L’idea che la gravita’ non sia una forza come le altre e che possa essere considerata
come una proprieta’ geometrica dello spazio-tempo deriva sostanzialmente dal
Principio di Equivalenza, coniugato nelle sue diverse forme.
Cominciamo con il Principio di Equivalenza Debole
La seconda legge della dinamica ci dice che un corpo sottoposto ad una forza (di
qualsiasi natura) produce un’accelerazione proporzionale
! alla!forza stessa. La
costante di proporzionalita’ e’ detta massa inerziale. F = m I a
La legge di gravitazione universale di Newton dice che in presenza di un campo
gravitazionale un corpo e’ sottoposto ad una forza proporzionale al gradiente
! del
potenziale. La costante di proporzionalita’ e’ detta massa gravitazionale Fg = −mg ∇Φ
€
Galileo intui’ che la risposta all’accelerazione gravitazionale e’ universale e non
dipende dal tipo di corpo considerato. In termini Newtoniani questo vuol dire che
La massa inerziale e’ uguale a quella gravitazionale e€che percio’ il
comportamento di particelle in caduta libera e’ indipendente dalla loro massa
mg = mI
!
⇒ a = −∇Φ
Sperimentalmente questa equivalenza e’ stata verificate con grande precisione.
Il principio di equivalenza debole puo’ essere enunciato con formulazioni equivalenti.
Principio di Equivalenza (Debole)
1. La massa inerziale e’ uguale alla massa gravitazionale.
2. Esistono traiettorie preferenziali dette inerziali (o di caduta
libera) in cui viaggiano le particelle non accelerate
(=sottoposte solo alla gravita’).
3. Il moto di particelle in caduta libera e’ lo stesso in un campo
gravitazionale o in un sistema uniformemente accelerato in
regioni piccole dello spazio-tempo.
La formulazione 2) caratterizza i
campi gravitazionali. Un campo
elettromagnetico particelle con cariche
opposte si muoverebbero in direzioni
diverse.
La formulazione 3) e’ ben illustrata dal
popolare esperimento ideale
dell’osservatore in un box accelerato.
Con l’introduzione della RS in cui diventa chiaro che la massa e’ una manifestazione
dell’energia-momento ad Einstein parve necessario riformulare il principio di
equivalenza specificando che, in un box isolato, non e’ possibile distinguere tra gravita’
ed accelerazione attraverso nessun tipo di esperimento fisico.
Principio di Equivalenza (di Einstein)
• In una piccola regione dello spazio tempo le leggi della fisica
si riducono a quelle della relativita’ speciale. E’ impossible
rivelare la presenza di un campo gravitazionale attraverso
esperimenti locali.
Questo principio suggerisce che la gravita’ sia una proprieta’ intrinseca dello spaziotempo. In RS esiste una classe di osservatori privilegiati (inerziali) rispetto ai quali si
possono individuare i sistemi accelerati. P. es. una carica elettrica accelerata e’
individuabile in tutti questi sistemi. Viceversa non esistono sistemi di riferimento in cui si
possa capire se un’accelerazione dovuta e’ alla gravita’. E’ invece naturale definire
sistemi non-accelerati (in caduta libera) come sistemi privilegiati. La gravita’ non viene
vista come una “forza” che induce un’accelerazione. Vengono invece definiti sistemi a
zero accelerazione, ovvero in moto di caduta libera in presenza di campi gravitazionali
In base a questo ragionamento possiamo costruire qualcosa di simile ai sistemi di
riferimento inerziali. In RS esiste una procedura attraverso cui, mettendo iniseme aste
rigide ed orologi e’ possibile costruire un sistema di riferimento inerziale esteso a
tutto lo spazio-tempo. Ovvero GLOBALMENTE inerziale.
In presenza di un campo gravitazionale e delle sue disomogeneita’ questa procedura
non e’ piu’ valida. Se noi partiamo da un sistema in caduta libera e ripetiamo la
procedura precedente finiremo per vedere oggetti distanti in moto di caduta libera
come accelerati. La soluzione e’ quella di continuare a definire sistemi di rifermento
LOCALMENTE inerziali, che seguano il moto in caduta libera di singole particlelle
in regioni piccole dello spazio tempo
Il principale problema della RG sara’
quella di trasformare le leggi
della fisica da un sistema localmente
inerziale ad un altro
L’idea e’ quindi quella di considerare la gravita’ come una proprieta’ intrinseca dello
spazio-tempo. In particolare come una effetto della sua CURVATURA
Non possiamo DIMOSTRARE che la gravita’ sia effttivamente dovuta alla curvatura
dello spazio-tempo. Possiamo pero’ elaborare una teoria basata su questa idea e
verificarne la validita’ tramite esperimenti.
Per mostrare che l’idea che alla base della forza di gravita’ ci sia il concetto di
curvatura consideriamo un effetto fisico noto – l’effetto Doppler – e consideriamo
le sue conseguenze alla luce del principio di equivalenza di Einstein.
Consideriamo 2 razzi in moto
uniformemente accelerato (a) a distanza
relativa z.
z
a
a
λ0
t=t0
a
z
a
λ
t=t0+z/c
Δt = z /c → Δv = aΔt = az /c
Δλ Δv az
=
= 2
λ0
c
c
Al tempo t=t0 dal razzo inseguitore viene
emesso un treno d’onda monocromatico.
Il treno d’onda e’ ricevuto dal secondo
razzo al tempo t=t0+Δt=t0+v/c nel
sistema di riferimento di un osservatore
esterno.
A causa dell’accelerazione, nel tempo Δt i
due razzi hanno aumentato le loro
velocita’ di una quantita’ Δv=aΔt.
Per questo motivo le onde che
raggiungono il razzo anteriore risultano
red-shiftate a causa del convenzionale
effetto Doppler: Δλ/λ0.
λ
z
λ0
Δλ ag z
= 2
c
λ0
Secondo il Principio di Equivalenza di Einstein
lo stesso effetto dovrebbe osservarsi in presenza di
un campo gravitazionale. Si immagini che un
osservatore chiuso in una stanza in cima alla torre
sia in grado di rivelare un treno monocromatico di
fotoni emesso da un apparato a terra al tempo t0.
Secondo il principio di equivalenza l’osservatore
sulla torre dovrebbe osservare lo stesso effetto di
Redshift osservato dall’osservatore sul razzo,
I fotoni da lui rivelati avrebbero una lunghezza
d’onda maggiore di quelli emessi e la differenza
sarebbe pari a agz/c2
Siamo in presenza del noto effetto di
Redshift Gravitazionale la cui esistenza e’ implicita
al principio di equivalenza e non dipende dai
dettagli della teoria della relativita’ generale.
Il principio di equivalenza predice il fenomeno di Redshift Gravitazionale.
Vediamo ora che implicazioni ne possiamo trarre sulla geometria dello spazio-tempo.
Riproduciamo l’esperimento della torre nel diagramma spazio-temporale in figura
Treno d’onda
t
Treno d’onda
Δt1
Δt0
z0
z1
z
A t0 viene emesso, da terra (z0), un treno di fotoni λ0 in un tempo Δt
Il treno viaggia fino alla sommita’ della torre (z0) e qui viene rivelato.
Il tempo tra una cresta d’onda e quella successiva e’ Δt0=λ0/c (terra) e Δt1=λ1/c (torre).
Se assumiamo che il campo gravitazionale e’ statico allora le linee di universo dei
fotoni emessi all’inizio del treno d’onda dovrebbero essere uguali a quelle dei fotoni
emessi alla fine. Quindi ci si aspetterebbe che gli intervalli temporali di emissione e
ricezione del treno di fotoni siano identici Δt0=Δt1. Ma in effetti non lo sono. Per effetto
del redshift gravitazionale, predetto dal principio di Equivalenza, abbiamo invece:
λ0 λ1
Δt0 =
≠ = Δt1
c
c
Interpretazione:
Treno d’onda
Treno d’onda
t
Lo spazio-tempo
attraverso cui i fotoni
hanno viaggiato non
e’ piatto, ma curvo.
Δt1
€
Δt0
z0
z1
z
