Analisi Matematica T-A
Ingegneria Energetica, 2014/2015
Programma
• Introduzione
Cenni di teoria degli insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni. Insiemi ordinati.
Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Composizione tra funzioni. Funzioni invertibili.
Numeri naturali e assiomi di Peano. Numeri interi. Numeri razionali.
Operazioni. Allineamento decimale dei numeri razionali.
Numeri reali. Assioma di Dedekind. Completezza.
Proprieta’ di densita’. Cenni sulla cardinalita’.
Maggioranti e minoranti. Massimi e minimi.
Estremo superiore e inferiore.
Cenni di topologia in R. Intervalli e intorni.
Insiemi aperti e chiusi. Frontiera.
Punti di accumulazioni e isolati. Esempi ed esercizi.
• Successioni.
Definizioni e proprieta’.
Limiti per successioni convergenti e divergenti.
Sottosuccessioni. Unicita’ del limite.
Teorema della permanenza del segno.
Teorema del confronto e dei due carabinieri.
Successioni limitate. Proprieta’ e teoremi.
L’algebra dei limiti. Infiniti e infinitesimi.
Successioni monotone. Esistenza del limite per successioni monotone.
Criterio del rapporto. Equivalenza asintotica e o-piccolo.
Successioni definite per ricorrenza.
Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Insiemi compatti. Teorema di Heine-Borel.
Esempi ed esercizi.
1
• Funzioni reali di variabile reale.
Definizioni e proprieta’. Definizione di limite. Unicita’ del limite.
Limite destro e sinistro. Equivalenza fra le definizioni di limite per intorni e per successioni.
L’algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno.
Teorema del confronto e dei due carabinieri.
Funzioni infinitesime e infinite. Limiti per funzioni monotone e funzioni limitate.
Equivalenza asintotica e o-piccolo. Funzioni continue. Definizioni ed esempi.
Prime proprieta’ delle funzioni continue. Composizione di funzioni continue.
Limiti notevoli. Teorema di Weierstrass.
Teorema di Bolzano. Teorema dei valori intermedi.
Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.
Proprieta’ elementari delle funzioni. Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche.
Asintoti. Operazioni sui grafici. Funzioni potenza.
Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni trigonometriche e loro inverse.
Funzioni iperboliche e loro inverse.
Esempi ed esercizi.
• Calcolo differenziale.
Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione.
Caratterizzazione delle funzioni derivabili.
Relazione tra funzioni derivabili e funzioni continue.
Derivate di somme, prodotti e quozienti di funzioni derivabili.
Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa.
Derivata delle funzioni elementari. Estremanti locali. Punti critici.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy.
Funzioni differenziabili su intervalli e monotonia.
Teorema di Darboux. Teorema di de l’Hospital.
Derivate di ordine superiore. Funzioni polinomiali e proprieta’.
Formula di Taylor con resto di Peano.
Formula di Taylor con resto di Lagrange.
Polinomi di Taylor di funzioni elementari.
Funzioni convesse. Teoremi e caratterizzazioni.
Metodo per la determinazione di estremanti locali o flessi mediante derivate successive.
Studio di grafici di funzioni.
Esempi ed esercizi.
2
• Calcolo integrale.
Scomposizioni. Somme inferiori e superiori.
Definizioni e prorieta’. Integrale inferiore e superiore.
Integrabilita’ secondo Riemann. Teorema di Riemann.
Integrabilita’ di funzioni limitate, monotone, continue.
Proprieta’ delle funzioni integrabili.
Teorema della media integrale. Funzione integrale e primitive.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Integrali generalizzati. Definizioni e proprieta’.
Criteri del confronto. Convergenza assoluta.
Criteri di convergenza per funzioni a segno non costante.
Esempi ed esercizi.
Testi consigliati
• P.Marcellini, C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori.
• E.Giusti, Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri.
• M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.
• G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht, Elementi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.
• E.Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora.
• P.Marcellini, C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica Vol. 1, Liguori.
• E.Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, Bollati Boringhieri.
• S.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Analisi matematica Vol. 1, Zanichelli.
Metodi didattici
• Lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di verifica dell’apprendimento
3
• L’esame consiste in una prova scritta preliminare e una prova orale.
Ricevimento
• su appuntamento.
4
