Programma del corso di Analisi 2 per Ing.
Gestione Produzione sede di Pesaro
March 30, 2009
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Trasformate di Laplace ed equazioni differenziali.
Richiami sugli integrali impropri: Condizione necessaria per la convergenza,
Teorema del confronto assintotico, assoluta convergenza. Insieme discreto e
funzione generalmente continue.
Funzioni Laplace trasformabili (e non) e di ordine esponenziale.
Definizione di ascissa di convergenza e di trasformata di Laplace. Ascissa di convergenza della somma e del prodotto. T.d L. della funzione di Heavyside, della funzione porta, di una potenza, del seno e coseno. Proprietà algebriche
della T.D.L. Teorema della convergenza dominata. Proprietà diff. della T.
d.L. e loro applicazioni alla risoluzione di eq. diff. Proprietà asint. della
T.d.L e teorema del valor finale. Covoluzione e T.d.L.
Equazioni differenziali, ordine e grado. Teorema di esistenza e unicità della
soluzione del problema di Cauchy. Equivalenza tra sistemi ed equazioni di ordine
n. Sistemi di equazioni differenziali: risoluzione con il metodo di Laplace. Matrice fondamentale. Elementi di geometria algebrica: determinante di una matrice.
Calcolo degli autovalori.
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Funzioni di più variabili.
Vettori in Rn . Operazioni con i vettori. Norma di un vettore e prodotto scalare.
Dis. di Cauchy- Schwartz e triangolari. Punti interni, esterni e di frontiera, di
acc. Aperti, chiusi. Limiti e continuità in più variabili, limiti lungo
direzioni generiche. Esempi.
Definizione di continuità di funzioni a valori vettoriali. Funzioni continue e loro composizioni. Connessione per segmenti e convessità. Teorema degli
zeri, di Weierstrass e valori intermedi.
Derivabilità. Derivata direzionale, gradiente e Jacobiano. Definizione di differenziale. Differenziabilità di funzioni composte. Teorema del
valor medio. Teorema del gradiente (o del differenziale). Teorema del
differenziale totale. Funzioni con gradiente nullo in un connesso. Condizione
necessaria del primo ordine per l’esistenza di minimi e massimi. Derivate seconde e teorema di Schwartz. Norma di una matrice e sue proprietà.
Formula di Taylor con resto di Lagrange e di Peano. Matrici definite,
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semidefinite e indefinite. Condizione necessaria del secondo ordine per
l’esistenza di punti critici e condizione sufficiente.
Teorema di Dini e dei moltiplicatori di Lagrange (interpretazione
geometrica) .
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Curve e integrali curvilinei di prima specie.
Curve regolari, semplici e chiuse. Versore tangente. Lunghezza di una
curva. Teorema di rettificabilità. Esempio di curva non rettificabile.
Invarianza per curve equivalenti.
Integrale curvilineo di prima specie. Esempi di calcolo. Baricentro e
momento di inerzia.
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Integrali curvilinei di seconda specie.
Integrale curvilineo di seconda specie. Relazione tra campi di vettori e
forme differenziali. Lavoro fatto da un campo lungo una curva. Relazione tra
forme chiuse ed esatte (richiesta dim. che le forme esatte sono chiuse).
Domini stellati e semplicemente connessi. Teorema di Poincarè su stellati
e su domini semplicemente connessi.
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Serie di Fourier.
Successioni di funzioni, convergenza semplice e uniforme. Relazione tra convergenza uniforme e continuità, derivabilità ed integrabilità. Serie di funzioni. Convergenza totale, esempi. Calcolo dei coefficienti di una serie di Fourier.
Polinomi trigonometrici. Sistemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema sulla convergenza puntuale e uniforme delle
serie di Fourier.
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Teoria dell’integrazione in 2 o più variabili.
Misura di Peano-Jordan. Formule di riduzione. Misura in R2 e misura di
Peano-Jordan.
Formula di cambiamento di variabili: coordinate polari in R2 e in
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R , coordinate cilindriche.
Integrali impropri per funzioni di segno costante e di segno variabile.
Le parti in grassetto sono le più importanti, quelle sottolineate sono quelle
di cui è richiesta la dimostrazione in dettaglio.
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