1
FILOSOFIA DELLE SCIENZE
NATURALI
2014-2015
Secondo modulo
2
Mar-Mer10-12,
aula 6
Giov 10-12, aula 24 (15/1 in aula 6)
[email protected]
Logica
induttiva e probabilità
Testi:
I.M.
Copi/C.M. Cohen ‘Introduzione alla
Logica’, Il Mulino – capitoli 15-16
I. Hacking ‘Introduzione alla probabilità e alla
logica induttiva’, Il Saggiatore - tutto
3
Piano
generale:
Ragionamento
induttiva
scientifico e logica
Probabilità
Teorie
Nozioni
di base
Applicazioni
Probabilità,
utilità, incertezza e decisione
(Ritorno al problema dell’induzione)
4
Copi/Cohen,
cap. 15. Scienza e ipotesi
La
scienza ha valore pratico e valore
teoretico
Come risposta al desiderio di conoscere,
essa mira a verità generali e leggi
Sulla base di queste, si definiscono
spiegazioni
Spiegazione:
gruppo di proposizioni da cui può
essere inferito un fatto, eliminando o
diminuendo il carattere problematico di
quest’ultimo
5
Stretta
relazione fra spiegazione e
inferenza induttiva
Vari
modelli filosofici della spiegazione
scientifica (e della predizione)
Hempel
e il ‘modello della legge di
copertura’ (o ‘nomologico-deduttivo’)
Leggi generali
Fatti particolari
Fenomeno da spiegare
.
6
Stretta
relazione fra spiegazione e
inferenza induttiva
Vari
modelli filosofici della spiegazione
scientifica (e della predizione)
Hempel
e il ‘modello della legge di
copertura’ (o ‘nomologico-deduttivo’)
Leggi generali
Fatti particolari
.
explanans
Fenomeno da spiegare explanandum
7
Versioni
probabilistiche/statistiche
Modello
statistico-deduttivo – deduzione
di conseguenze da leggi probabilistiche
Leggi generali probabilistiche
Fatti particolari
Fenomeno da spiegare
.
8
Modello
statistico-deduttivo – deduzione
di conseguenze da leggi probabilistiche
La penicillina cura lo streptococco al 95%
L’infezione è stata trattata con penicillina
L’infezione era da streptococco .
Il 95% dei pazienti è guarito
9
Modello
statistico-induttivo – sussunzione
di eventi specifici sotto leggi
probabilistiche
La penicillina cura lo streptococco al 95%
L’infezione è stata trattata con penicillina
L’infezione era da streptococco .
Jones è guarito
10
Spiegazioni
scientifiche e non scientifiche
Solo
le spiegazioni scientifiche sono non
dogmatiche e aperte alla revisione sulla
base dell’evidenza
La verifica empirica (almeno indiretta)
deve essere sempre disponibile
Modello
popperiano:
H E test empirico …
11
Criteri
di scientificità delle ipotesi
(Copi/Cohen, pp. 534-538)
Rilevanza
Controllabilità
Compatibilità
Potere
con ipotesi precedenti
esplicativo/predittivo
Semplicità
12
Stadi
dell’indagine scientifica
(Copi/Cohen, pp. 538-542)
Identificazione
del problema
Selezione delle ipotesi preliminari
Raccolta di fatti addizionali
Formulazione di un’ipotesi esplicativa
Deduzione di ulteriori conseguenze
Verifica delle conseguenze
Applicazione della teoria
13
Esempio:
Watson&Crick e il DNA
Esperimenti
cruciali
Esempio:
Michelson&Morley 1887,
passaggio dalla teoria dell’etere alla
relatività
Ma
cosa ci dicono veramente gli
esperimenti?
Teorie e ipotesi (ausiliarie e ad hoc)
14
La
dinamica dei controlli sperimentali:
HE
Ipotesi
ausiliarie
H(+A1+A2+…)E
Ipotesi
EH
ad hoc
è falsa
EH+Aad hoc è
Vari
ok
sensi di ‘ad hoc’
15
Esempio
Teoria
‘buono’: Urano e Nettuno.
di Newton Orbita A per Urano
Osservazione
Orbita B per Urano
Osservazione
Teoria di Newton è falsa
Ma:
Teoria
di Newton + Esistenza di un
pianeta ignoto Orbita B per Urano
16
Le
caratteristiche di Nettuno possono
essere dedotte dalla teoria di Newton +
l’orbita di Urano effettivamente
osservata
1687:
Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica di Newton
Agosto-Settembre
Leverrier
23
1846: Calcoli di Adams e
Settembre 1846: Osservazione di Nettuno e
conferma della ipotesi aggiuntiva (e della
teoria di Newton)
17
Esempio
‘cattivo’:
Osservazioni
di Galileo, messa in dubbio
della perfezione delle sfere celesti
Ipotesi che le irregolarità della luna
fossero solo apparenti, e in realtà piene
di sostanza cristallina
Ulteriore
lavoro di Galileo, e
confutazione dell’ipotesi ad hoc
I
satelliti di Galileo
18
Sommario:
Apprendimento
dai dati empirici e
spiegazione
Ipotesi
Dinamica della ricerca scientifica e
della valutazione delle ipotesi
Esperimenti, ipotesi ausiliarie e ipotesi ad
hoc
Il metodo scientifico si basa in modo
essenziale sulla logica induttiva
19
Hacking,
Logica
Da
capp. 1-2:
deduttiva vs. Logica induttiva
Mill a Carnap e Reichenbach
Logica
deduttiva:
Validità
Verità
Logica
induttiva:
Argomenti
‘rischiosi’ legati alla probabilità
20
Il
ragionamento deduttivo non è
ampliativo, quello induttivo sì
Niente
di nuovo alla fine del
ragionamento
Se il ragionamento è valido, la verità è
trasmessa dalle premesse alla
conclusione
Attenzione:
differenti!
validità e verità sono due cose
21
Gli
argomenti validi possono solo
avere conclusioni vere se le premesse
sono vere
Tutti
i numeri sono o pari o dispari
7 è un numero
Quindi, 7 è o pari o dispari
Tutti
i numeri sono pari
7 è un numero
Quindi, 7 è pari
22
Se
le premesse sono false, la conclusione
può essere sia vera sia falsa
Tutti
le creature con dieci zampe hanno le ali
Tutti i ragni hanno dieci zampe
Quindi, tutti i ragni hanno le ali
Tutti
i pesci sono mammiferi
Tutte le balene sono pesci
Quindi, tutte le balene sono mammiferi
23
Per
gli argomenti non validi, qualsiasi
combinazione di premesse e conclusioni
è possibile
Invalido
V-V
Invalido V-F
Invalido F-V
Invalido F-F
24
La
logica induttiva non dà nessun tipo di
certezza
Non è valida deduttivamente
Campioni
e popolazioni
Proporzioni e probabilità
Collegamento
con un’altra forma di
ragionamento:
Inferenza alla migliore spiegazione
25
Induzione
e inferenza alla migliore
spiegazione
Charles
S. Peirce (1839-1914):
Deduzione
Regola
Caso Risultato
Induzione
Caso
Risultato Regola
Abduzione
Risultato
Regola Caso
26
Induzione
e inferenza alla migliore
spiegazione
Charles
S. Peirce (1839-1914):
Deduzione
Tutti
gli A sono B, x è A, x è B
Induzione
x
è A, x è B (ripetuto), tutti gli A sono B
Abduzione
x
è B, Tutti gli A sono B, x è A
27
Induzione
e inferenza alla migliore
spiegazione
Esempio:
Il
formaggio nella dispensa è scomparso
La
notte scorsa ho sentito rumori raschianti
provenienti dalla dispensa
Quindi,
topo
il formaggio è stato mangiato da un
28
Non
Ma
deduttivo
neanche frutto di generalizzazione
Eliminazione
di ipotesi alternative ed
identificazione dell’ipotesi migliore?
Abduzione
migliore
Ma:
- Inferenza alla spiegazione
viene prima l’induzione o l’inferenza
alla spiegazione migliore ?
29
Peirce,
Harman etc.:
‘Prima
l’inferenza alla spiegazione
migliore!’
Quando
generalizziamo induttivamente, non
facciamo che affermare ciò che ci sembra
costituire la migliore spiegazione
dell’evidenza
Hume:
‘Prima
È
l’induzione!’
comunque sulla base di induzioni passate
che giudichiamo il potere esplicativo
30
Due
definizioni generali:
La
logica induttiva analizza gli
argomenti rischiosi usando idee
probabilistiche
La
teoria della decisione analizza le
decisioni rischiose usando le idee di
probabilità e utilità
31
32
33
34
Teorie
della probabilità
Che
cos’è la probabilità?
Teorie:
Classica, statistica/frequentista,
soggettivistica/della credenza…
1)
Teoria classica:
Jacob
Bernoulli (1654-1705)
Pierre-Simon de Laplace (1784-1829)
35
Le
probabilità corrispondono a fatti
numerici relativi alle possibilità disponibili
Per
esempio:
Che
esca il 4 quando lancio un dado ha
probabilità 1/6
Che esca un 7 totale con due dadi ha
probabilità 1/6 (6/36)
Che esca un 6 totale con due dadi ha
probabilità 5/36
Che esca lo 0 in un giro di roulette ha
probabilità 1/39
36
Ma
le possibilità disponibili devono
essere viste come equiprobabili
Circolarità?
In generale, è difficile individuare le
possibilità e i loro pesi
2)
Da qui, si è passati alle probabilità
come frequenze
Frequenze
relative e frequenze al limite
Esempi: lanci di monete, controlli su dadi
truccati…
Problema con gli eventi unici?
37
3)
Probabilità logica:
John Maynard Keynes (1883-1946) e
Harold Jeffreys (1891-1989): la teoria
frequentista è sbagliata, la probabilità è
una relazione logica
Carnap (1891-1970):
‘Io
concepisco la probabilità logica come
una relazione in qualche modo analoga
all’implicazione logica; infatti ritengo che la
probabilità possa essere considerata come
un’implicazione parziale’ (p. 50)
38
Esempio:
1)
La probabilità per un uomo di essere più
alto di 1,60 è 0,8
2) x è un uomo
C) x è più alto di 1,60
1)
esprime una frequenza, è una
probabilità statistica
C) ha probabilità (logica) 0,8 dati 1) e
2)
39
4)
Probabilità personale/come
credenza:
La
probabilità esprime una opinione
Un’affermazione probabilistica esprime
il grado soggettiva di credenza nella
verità di una certa proposizione
Essa
corrisponde a quanto
intuitivamente siamo disposti a rischiare
su qualcosa
40
Teorie
della probabilità - addendum:
Secondo
la teoria delle propensioni, si
danno fatti probabilistici oggettivi nel
mondo, anche singolarmente
Esempio:
‘la probabilità per l’elettrone di
avere spin su quando lo si misura’
41
Hacking:
Il
focus sarà su probabilità come
credenza e probabilità come frequenza
Possibilità
di un approccio dogmatico e
di un approccio eclettico
Esempi:
monete, dinosauri, paraurti etc.
Elementi soggettivi e oggettivi (aventi a che
fare col mondo o con relazioni logiche fra
enunciati)
42
Quiz:
Serie
Si
di eventi riguardanti una roulette
assume che la roulette non sia truccata
Esce
nero 12 volte di fila
Tizio
osserva e conclude che gli conviene
puntare sul rosso
Il
ragionamento di Tizio è giusto?
43
Gli
assiomi e le regole della probabilità
Proposizioni
Nozioni
1)
ed eventi
di base
Bilanciamento
Nei
tempi lunghi ogni esito ha una frequenza
relativa uguale agli altri
44
2)
Dipendenza e indipendenza degli esiti
Gli
esiti precedenti (non) influiscono sulle
probabilità dei successivi
3)
Onestà
Lo
scenario non è sbilanciato, gli eventi
sono indipendenti
Esempi
Come
di disonestà (pp. 50-51)
valutare eventi reali?
45
Risposta
al quiz. No!
Se
si assume il bilanciamento tutti gli eventi
hanno la stessa probabilità, ma questo non ha
alcuna conseguenza sugli eventi singoli
Se
si raggiunge la conclusione a favore del
rosso in base all’osservazione, si sta assumendo
la non indipendenza degli eventi
Ma
Tizio sta invece raggiungendo la
conclusione sulla base dell’assunzione di
bilanciamento!
46
Fallacia
del giocatore
Se
lo scenario è onesto, gli esiti sono
indipendenti, e nessun evento osservato
può guidare predizioni su eventi futuri
Rimane
aperta la questione se l’assunzione
di onestà è giusta o sbagliata
Forse
si deve apprendere dall’esperienza che la
roulette è sbilanciata? O che gli eventi sono
dipendenti? (P. 56)
47
Esempio
57)
Ci
degli aerei e del rischio (pp. 56-
sono vari modi di ragionare in senso lato
Premesse
diverse conducono a conclusioni
diverse - La logica induttiva non aiuta a
scegliere fra questi modi
Però
c’è solo un modo di ragionare in
senso stretto - La logica induttiva permette
di evitare le fallacie
Errore
nel modello e errore nel
ragionamento sul modello
48
49
Se
A e B sono reciprocamente esclusivi,
Pr(A oppure B)=Pr(A)+Pr(B)
Se
sono esaustivi, il totale è 1
Es.:
Se
lancio di una moneta: Pr(cr)+Pr(te)=1
A e B sono indipendenti, Pr(A e
B)=Pr(A)xPr(B)
50
Si
può calcolare la probabilità
‘condizionale’ Pr(A|B)
Se
Pr(B)>0, allora Pr(A|B)=Pr(A e B)/Pr(B)
Da
cui segue Pr(A e B)=Pr(A|B)xPr(B)
Esempi
pp. 79-81 e 82-86
Possibilità
di visualizzare le possibilità e le
loro relazioni in forma di ‘albero’
Di
nuovo la fallacia del giocatore
51
Altre
regole:
Probabilità
totale: se 0<Pr(B)<1,
Pr(A)=Pr(B)xPr(A|B)+Pr(non-B)xPr(A|non-B)
Conseguenza
Pr(A)Pr(B)
Indipendenza
logica: se B implica A,
statistica: se 0<Pr(A) e
0<Pr(B), A e B sono statisticamente
indipendenti se e solo se Pr(A|B)=Pr(A)
52
Altre
regole:
Sovrapposizione:
se A e B non sono
reciprocamente esclusivi,
Pr(A o B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A e B)
Tutte
le regole possono essere
‘condizionalizzate’, cioè estese ai casi in
cui abbiamo probabilità del tipo Pr(A dato
B) (Pp. 92-93)
53
Riassunto
regole/assiomi:
Normalità
Certezza
Additività
Moltiplicazione
Probabilità
totale
Indipendenza
statistica
Sovrapposizione
Conseguenza
logica e condizionalizzazione
54
Diagrammi
di Venn e rappresentazione
grafica delle relazioni probabilistiche
(Pp.
95-97)
La
domanda strana numero 2 e la
questione relativa alla (ir)razionalità delle
persone
Relazione
Nota
fra verità e informatività
storica: assiomi, Huygens e Kolmogorov
55
La
regola di Bayes
Thomas
Bayes (1702-1761)
Pierre-Simon
Nicholas
Richard
Harold
de Laplace (1749-1827)
Saunderson (1682-1739)
Price (1723-1791)
Jeffreys (1891-1989):
“Bayes’
theorem is to the theory of probability
what Pythagoras's theorem is to geometry”
56
La
regola di Bayes
Pr(H ) Pr(E / H )
Pr(H | E )
Pr(E )
57
La
regola di Bayes
Pr(H ) Pr(E / H )
Pr(H | E )
Pr(E )
Pr(H ) Pr(E / H )
Pr(H | E )
Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(nonH ) Pr(E | nonH )
Dimostrazione
Generalizzazione
Applicazione
(pp. 105-106)
58
Attendibilità
e tassi di base
L’utilizzo
della regola di Bayes rende
evidente che occorre ragionare bene e
considerare tutti i dati rilevanti
Per
Ne
es., la proporzione totale di taxi verdi
segue una distinzione fra:
Attendibilità1(di
Attendibilità2
Esempio
una fonte d’informazione)
(di una fonte dati i tassi di base)
della tonsillite (pp. 108-111)
59
Importante:
L’evidenza
permette di apprendere
anche a partire dall’assoluta ignoranza
Le
probabilità saranno diverse, ma il modo
in cui sono aggiornate è lo stesso e porta
nella stessa direzione
Addendum:
Pr(H 1 | E ) Pr(H 1) Pr(E | H 1)
Pr(H 2 | E ) Pr(H 2) Pr(E | H 2)
60
Un’altra
Falsi
distinzione fondamentale:
positivi e falsi negativi
Se
il tasso di base è basso, un resoconto di una
fonte affidabile può essere sbagliato in un
numero non trascurabile di casi
Se
il tasso di base non è basso e la fonte non
affidabilissima, il risultato negativo può essere
sbagliato in un numero non trascurabile di casi
61
Ipotesi vera
Ipotesi falsa
Risposta del test ‘no’
Falso negativo
OK
Risposta del test ‘sì’
OK
Falso positivo
62
Ipotesi vera
Ipotesi falsa
Risposta del test ‘no’
Falso negativo
OK
Risposta del test ‘sì’
OK
Falso positivo
Esempio
1: tasso di base 1/10000,
attendibilità del test 99/100 – probabilità di
un falso positivo - Pr(V|S) - 99%
Esempio
2: tasso di base ½, attendibilità
del test 60/100 – probabilità di un falso
negativo – Pr(V|S) - 40%! (t.b. 1/3 – 25%)
63
Ancora
sul teorema di Bayes:
Centrale
scienza
in statistica e filosofia della
I
teorici soggettivisti della probabilità e
dell’evidenza lo considerano essenziale
Teoria
bayesiana della conferma
Assunzioni
di base: Relatività dell’evidenza,
proporzionismo e conferma incrementale
64
Ancora
sul teorema di Bayes:
Centrale
scienza
in statistica e filosofia della
I
teorici soggettivisti della probabilità e
dell’evidenza lo considerano essenziale
Epistemologia
Uso
bayesiana
del teorema + regole di coerenza
Obiezioni:
onniscienza, incertezza, problema
delle probabilità a priori… problema della
vecchia evidenza
65
Esempio:
evidenza
Il problema della vecchia
Se
H implica E ma E è già nota, la presunta
crescita nella fiducia in H a causa di E non si
dà
Pr(H ) Pr(E / H )
Pr(H | E )
Pr(E )
Pr(E|H)=Pr(E)=1
Quindi
Pr(H|E)=Pr(H) (??)
Risposte:
novità nelle relazioni fra E e H,diverse
misure di conoscenza di E…
66
Applicazione
Come
Atti,
Il
all’azione e alla decisione
combinare probabilità e utilità?
conseguenze e utilità
valore atteso
Att(A)=(Pr(C1)xU(C1)+Pr(C2)xU(C2)+…)
Calcolare
il valore atteso di un atto
permette di sapere il ‘prezzo onesto’, il
rischio accettabile data la situazione
67
Valutazione
di casi specifici (pp. 118-127)
Riffe,
venditori ambulanti, viaggi, roulette,
lotterie…
Martingale
(P.
128): Metodo sicuro per vincere o rischio
eccessivo?
Gioco
di San Pietroburgo e utilità
marginale
(Pp.
129-132)
68
Lancio
di una moneta bilanciata
Se
esce testa si vincono 2 euro, se esce
croce si rilancia
Se
esce testa al secondo lancio si
vincono 4 euro, altrimenti si rilancia
…
Si
finisce quando esce testa
Valore
atteso?
69
Per
N =Il gioco finisce dopo n lanci:
U(N)=2n
Pr(N)=1/2n
Valore
Ma
atteso=((1/2)n(2n))
tale valore è infinito (1+1+1+…)
Eppure
non considereremmo come
prezzo onesto per giocare una somma
infinita!
70
Risposte:
1)
Accetta la conclusione
2)
Il gioco è fisicamente irrealizzabile
3)
Non esiste un valore atteso ben
definito
4)
Rimane improbabile vincere molto
5)
Occorre considerare l’utilità marginale
Cioè,
quella costituita dall’aggiunta di
qualcosa a risorse già esistenti
Tale
utilità decresce, ed elimina il paradosso
71
Probabilità,
utilità e valore atteso
Prezzo
onesto, controesempi (martingale,
gioco di San Pietroburgo)
Utilità
marginale
Massimizzazione
nozione di ‘utile’
del valore atteso,
72
Come
scegliere fra atti possibili?
Massimizzazione
Credenze
La
del valore atteso
e desideri
nozione di ‘utile’
Rischio,
incertezza e preferenze
Utilitarismo
Kantismo
Avversione
Esempi
al rischio
pp. 143-147
73
Possibilità
di ‘incommensurabilità’
Possibilità
di dissenso sia su probabilità
che su utilità
Ruolo
della teoria della decisione in
questi casi:
Analisi
dei dati rilevanti
Indicazione
dei fattori oggettivi e condivisi e di
quelli su cui c’è reale disaccordo
Esempio
pp. 147-150
74
Relazione
fra modello e decisioni reali Paradosso di Allais
100
carte numerate
Se
ne pesca 1
Gli
esiti sono distinti in 3 classi
B:
carta inferiore a 90 (Pr(B)=0.89)
N:
carta 90 (Pr(N)=0.01)
A:
carta superiore a 90 (Pr(A)=0.1)
75
Gioco
1:
a):
500 euro se si verificano A o N, niente
se si verifica B
b):
2500 euro sei si verifica A, niente se si
verificano B o N
È
preferibile a) o b)?
76
Gioco
c):
2:
500 euro regalati
d):
2500 euro se si verifica A, 500 se si
verifica B, niente se si verifica N
È
preferibile c) o d)?
77
Solo
la scelta congiunta b)+d) è
giustificata in termini di massimizzazione
dell’utilità!
b)
2500 euro sei si verifica B, niente se si
verificano A o N
d)
2500 euro sei si verifica A, 500 se si verifica B,
niente se si verifica N
Si
osserva invece una prevalenza di b)+c)
Avversione
al rischio? Irrazionalità?...?
78
Decisione
in condizioni di incertezza
La
scommessa di Pascal sull’esistenza di
Dio (pp. 158-168)
Idee
guida e aspetti principali:
Scelta
fra due opzioni definite, con
conseguenze precise
Partizioni,
Utilità
scommesse
infinite e utilità nulle
79
Valore
atteso e regola del valore atteso
Dominanza e regola della dominanza
Applicabile
a scenari indipendenti
Controesempi
(pp. 164-165)
Necessità
con scenari dipendenti
di considerare nuovamente in
modo esplicito le probabilità
80
Considerazione
di probabilità anche nel
caso degli scenari indipendenti
Probabilità
arbitraria oppure continuum di
assegnazioni di probabilità
Valore
atteso dominante e regola del
valore atteso dominante
Pascal
sembra avere ragione appena si
concede che Pr(Dio esiste)>0
81
Probabilità,
Valore
utilità, utili
atteso
Applicazione
a scenari pratici:
Disaccordo
sulla quantificabilità delle scelte
Disaccordo
sulle quantificazioni di probabilità
e/o utilità
Relazione
fra teoria e scelte reali
Massimizzazione
del valore atteso,
dominanza e valore atteso dominante
82
Le
probabilità personali
Probabilità
come rappresentazione dei
gradi di credenza personali
Valutazione
delle probabilità sulla base di
scenari immaginari
Scommesse
e quotazioni:
Quotazione=(puntata)/(posta
in gioco)
83
Q=(puntata)/(posta
Rappresentazione
dei pay-off
Quotazioni
in gioco)
dei risultati – matrice
eque
Non
c’è margine, è indifferente scommetere
su E alla quotazione p o contro E alla
quotazione (1-p)
Probabilità
Le
e scommesse condizionali
quotazioni includono il risultato nullo
84
Risultato
fondamentale:
Ci
sono (insiemi di) quotazioni che
conducono a perdita certa
Esse
non sono coerenti
L’incoerenza
si evita soddisfacendo le
regole di base della probabilità
(Inaspettata)
Hacking
conferma ‘pratica’ degli assiomi
pp. 216-221
85
Più
precisamente:
Se
si hanno credenze incompatibili, si è
soggetti a contratti a perdita certa
Si
hanno tali credenze solo se si è soggetti
a contratti a perdita certa
Si
hanno credenze compatibili e che non
portano a perdita certa se e solo se tali
credenze soddisfano le regole di base
della probabilità
86
‘Dutch-book
arguments’
http://plato.stanford.edu/entries/dutch-book/
F.P.
Ramsey, Truth and Probability (1926)
Anche
le probabilità soggettive, cioè
intese come credenze, devono
soddisfare gli assiomi (‘probabilismo’)
Assunzione
fondamentale: le nostre
quotazioni rispecchiano le nostre
preferenze e le nostre assegnazioni di
probabilità
87
Argomento:
se le assegnazioni di
probabilità sono incoerenti, si incorre in
perdita certa
Coerenza
probabilistica come condizione
necessaria per evitare la perdita certa
Argomento
inverso: se si soddisfano gli
assiomi della probabilità, non si incorre in
perdita certa
Coerenza
probabilistica come condizione
sufficiente per evitare la perdita certa
88
probabilistica evitabilità
della perdita certa
Coerenza
Domande:
Quale
senso di irrazionalità si presuppone?
Scollamento
fra assegnazioni, preferenze e utili
contraddittorietà logica: Possibilità di ‘Czech
book arguments’ - l’apparente irrazionalità
porta in pratica a vincite sicure!
Estendibilità?
89
probabilistica evitabilità
della perdita certa
Coerenza
Domande:
Additività
con infiniti termini
Condizionalizzazione:
Principio
Prpost(A)=Prprec(A|E)
di riflessione: Pr(A|Prpost(A)=r)=r
…
Dutch
books sincronici e diacronici
90
In
generale, gli argomenti in questione
non indicano una incoerenza logica,
quanto una tensione fra obiettivi pratici
(teoria della decisione) e credenze
teoriche (assegnazioni di probabilità)
Importanza
nell’epistemologia bayesiana,
e per i soggettivisti in genere
Applicazioni
molteplici: per es., ‘sleeping
beauty’ problem
http://www.princeton.edu/~adame/papers/sleeping/sleeping.html
91
Imparare
Ancora
dall’esperienza (cap. 15)
il teorema di Bayes
Pr(H ) Pr(E / H )
Pr(H | E )
Pr(E )
Pr(H ) Pr(E / H )
Pr(H | E )
Pr(Hi) Pr(E / Hi)
92
Importanza
della ‘verosimiglianza’ Pr(E/H)
Probabilità
a posteriori proporzionale a
probabilità a priori x verosimiglianza
Il
denominatore si può considerare una
costante di proporzionalità
Applicazioni
ripetute del teorema di
Bayes uniformità nel modo di
aggiornare le proprie credenze
93
Differenze
marginali
in probabilità a priori diventano
Verosimiglianze
come indicatori del
‘peso’ della nuova informazione, modo
‘oggettivo’ di aggiornare le proprie
credenze
Esempi
Quindi:
pp. 227-233
credenze e quotazioni+Dutch book
arguments+regola di Bayes Il teorema di
Bayes costituisce un (il?) modello
dell’apprendimento dall’esperienza
94
Regola
di Jeffrey
Pr*(A)=Pr(A|B)Pr*(B)+Pr(A|non-B)Pr*(nonB)
Con
Pr* uguale alla probabilità dopo che
nuova evidenza è stata raccolta
Cfr. Probabilità totale (p. 90)
Vale
anche per i bayesiani logicisti
Jeffreys
- L’update riguarda relazioni fra ipotesi
e dati
Carnap - Requisito dell’evidenza totale e
continuum dei metodi induttivi
95
In
conclusione, le probabilità come
credenze (o come relazioni logiche)
possono e devono essere modellate sulla
base delle regole di base della
probabilità
Di
conseguenza, anche il teorema di
Bayes gioca un ruolo centrale
Rimane
il fatto che il ragionamento
formalmente corretto può essere
fuorviante
Esempio
dell’argomento di Leslie (pp. 243-245)
96
Probabilità,
frequenza e statistica
Per
i frequentisti, la regola di Bayes non è
essenziale
Piuttosto,
è cruciale l’idea che le
probabilità si stabilizzino con l’aumentare
del numero delle prove
Stabilità
Media
statistica
campione e frequenza k/n
Deviazione
standard DS=√((Xj-X)2/n)
97
Prove
bernoulliane
Eventi
indipendenti, esito possibile E con
probabilità costante p
La
frequenza relativa di E si avvicina alla
probabilità p in proporzione alla lunghezza della
successione di prove
Per
ogni margine di errore , all’aumentare
del numero delle prove la differenza fra
frequenza relativa e p può rimanerne al di
sotto
La
‘probabilità della precisione’ si avvicina a 1
98
Per
n eventi con probabilità p, il numero
più probabile di esiti E è
approssimativamente uguale a pn
È
il numero compreso fra pn-(1-p) e pn+p
La
frequenza relativa più probabile è
quindi:
(p-((1-p)/n)) ≤ k0/n ≤ (p+p/n)
Teorema.
Per un numero molto grande di
prove, la frequenza relativa più probabile
k0/n coincide con p
Pp.
252-254
99
La
convergenza della frequenza relativa
verso la probabilità (frequenza relative
attesa) e del margine di errore verso 0
(probabilità della precisione1) si possono
riassumere nel
Teorema
di Bernoulli:
ogni piccolo errore e piccola
differenza x, esiste un numero di prove N tale
che per ogni n>N:
Per
Pr[(p-)≤k/n≤(p+)]>(1-x)
100
Approssimazioni
Curve
normali
di Gauss, medie e deviazioni
e : i valori a cui la media del campione
k/n e la deviazione standard DS=√((Xj-X)2/n) si
approssimano
come misura standard di approssimazione
Fatto
normale I a p. 262
101
Distribuzione
binomiale
b(k; n, p)
Probabilità
di ottenere k volte l’evento E
in n prove quando la probabilità è
Pr(E)=p
Per
p non molto vicina a 0 o 1, tale
distribuzione è approssimata da una
distribuzione normale con
=pn
=√((1-p)pn))
102
Dato
tutto questo, si deriva che
Per
ogni probabilità p, numero totale di
eventi n, e numero favorevole di eventi k:
La
probabilità che k diverga da pn non più di
è circa 0.68
La
probabilità che k diverga da pn non più di
2 è circa 0.95
La
probabilità che k diverga da pn non più di
3 è circa 0.99
dove
=√((1-p)pn))
103
Significatività e potenza
La
significatività esprime la rilevanza di un
certo dato rispetto alle frequenze e alle
approssimazioni definite in precedenza
I
test di significatività mettono alla prova
una certa ipotesi, evidenziando risultati
che in base all’ipotesi hanno probabilità
più bassa (cfr. la verosimiglianza – p. 276)
Significativo
al livello p vuol dire che i
risultati in questione hanno probabilità p
(date certe assunzioni)
104
I
test statistici sono allora progettati per
individuare eventuali dati significativi
rispetto ad una ipotesi data
Idea
di ipotesi nulla
Considerando
varie ipotesi si può allora
comprendere quanto i dati osservati sono
‘naturali’ nel contesto di ciascuna di esse
Rimane
però possibile che nessuna delle
ipotesi considerate sia corretta
Possibilità
di correlazioni con cause comuni
(pp. 281-285)
105
Un
risultato significativo può portare a
scartare l’ipotesi nulla in favore di
qualche altra congettura
Ma si può anche sostenere che occorra
accettare le ipotesi se i risultati non sono
significativi
Più importante il primo o il secondo
elemento?
Significatività
‘Dogmatici
o accettazione/rifiuto?
della significatività’ e
‘dogmatici dell’accettazione’
106
Possibilità
di un approccio eclettico che integri
gli aspetti positivi delle due posizioni
Come
definire criteri per l’accettazione e
il rifiuto di una ipotesi?
Aggiunta dell’idea di potenza
Neyman e Pearson
Due
tipi di errore possibile:
Respingere
H quando è vera
Accettare H quando è falsa
107
La
significatività di fatto conduce alla
Minimizzazione
un’ipotesi vera
della probabilità di respingere
Ma
i test dovrebbero anche massimizzare
la potenza, cioè
Minimizzare
la probabilità di accettare
un’ipotesi falsa
I
test di Neyman-Pearson mirano quindi a
minimizzare sia Pr(R|H) che Pr(A|non-H)
Pp.
287-289
108
Fiducia
e comportamento induttivo
popolazione campione (frequenze
ideali e relative, teorema di Bernoulli e
test statistici) a
Da
Campione
popolazione: come usare
un campione per formulare stime più
generali?
Esempio
opinione
Modelli
paradigmatico: i sondaggi di
e dati
109
Stime
puntuali e stime per intervalli
Come
Idea
valutarne l’attendibilità?
di fiducia e intervalli di fiducia
Strategia
argomentativa (pp. 300-2):
Assunzione
del caso peggiore (p=1/2) (e
aggiunta di ‘almeno’)
‘Inversione’:
da i) un’assunzione sulla
popolazione per parlare del campione a
ii) dati sul campione e conclusioni sulla
popolazione (deduzione induzione)
110
Fiducia
e errore sono inversamente
proporzionali
Vari
tipi di evidenza, campioni stratificati
Relazione
con i test di Neyman-Pearson:
in molti casi ragionare in termini di
intervalli di fiducia e cercare di
massimizzare significatività e potenza è
equivalente (p. 308)
Neyman
induttivo
Pp.
e l’idea di comportamento
310-312
111
Applicazione
al problema filosofico
dell’induzione:
Hume
(cap. 19) Goodman
Soluzioni
anti-induttive (Popper)
La
logica induttiva aggira il problema
riconoscendo la non necessità delle
conclusioni, ma definendo comunque
regole preferibili
Giustificazione
razionale (deduttiva) no,
ragionevolezza pratica sì
112
Aggiramento
Hume
bayesiano
ha ragione: nessuna giustificazione
Ma
la regola di Bayes ci mostra il modo
‘razionale’ per imparare dall’esperienza
Se
due soggetti concordano su ciò che è
possibile/impossibile, l’apprendimento
bayesiano porta sempre alla
convergenza e all’accordo
113
Obiezione:
L’elemento
fondato
Perché
diacronico non è ben
pensare che le mie credenze a
un tempo successivo debbano essere
uguali a quelle che ora potrei calcolare
come probabilità a posteriori?
114
Pr(H ) Pr(E / H )
Pr(H | E )
Pr(E )
Condizionalizzazione:
Prpost(A)=Prprec(A|E)
Argomenti
bayesiani basati su coerenza e
contratti a perdita certa?
Fedeltà
al ‘vecchio io’ come ‘imperativo
morale’?
115
Aggiramento
frequentista:
Dall’abitudine
di Hume alla abitudine
saggia del ‘comportamento induttivo’
Date
certe conoscenze e credenze di
sfondo, possiamo provare che certe
abitudini e modi di procedere sono
preferibili
Essi
ci conducono nella maggior parte
dei casi ad essere nel giusto
116
Più
in particolare:
i)
Noi possiamo interagire attivamente
con la natura attraverso test ed
esperimenti
ii)
Ci sono risultati deduttivi che implicano
l’alta probabilità di successo del
comportamento induttivo nel senso
frequentista
Obiezione
1 - basata sull’uso di modelli in cui
l’uniformità della natura è presupposto
Obiezione
2 - del caso singolo
117
Risposte
frequentiste?
Uniformità
ok - Dissoluzione e non
soluzione (Mill?)
Insistenza
sulla rilevanza dei risultati formali
e la potenziale rivedibilità
Reinterpretazione
degli scenari a caso
singolo come idealmente connessi alla
probabilità reale
Peirce
sull’elemento intrinsecamente sociale
del ragionamento
118
Argomenti
Base
aggiuntivi:
metafisica - Armstrong:
Induzione
basata su leggi come
connessioni necessarie fra universali
Le leggi di natura sono una necessità
metafisica
Sono spiegate nel modo migliore in termini
di universali
E a loro volta costituiscono la migliore
spiegazione delle regolarità che
osserviamo intorno a noi
119
Base
matematica - Williams (1947):
“Given
a fair sized sample, then, from any
[large, finite] population, with no further material
information, we know logically that it very
probably is one of those which [approximately]
match the population, and hence that very
probably the population has a composition
similar to that which we discern in the sample.
This is the logical justification of induction”.
Cfr.
posizione di Neyman
Rielaborazione
da parte di Stove (1986),
ulteriore discussione
120
Williams
concepisce il problema
dell’induzione in termini di:
i) Inferenza campione popolazione
‘Inversione’
ii)
dei risultati di Bernoulli etc.
Sillogismo statistico
Sillogismo
Tutti
gli S sono P, questo è un S, questo è P
Sillogismo
La
standard:
statistico:
maggioranza degli S sono P, questo è un S,
questo è probabilmente P
121
Quindi:
Data
la popolazione, la maggioranza dei
campioni sufficientemente grandi non si
discosta troppo da essa
Analogamente, la maggioranza dei
campioni sufficientemente grandi è
rappresentativa della popolazione
Di
conseguenza, è razionale pensare che
il campione grande che abbiamo è
rappresentativo, e che la popolazione è
molto simile al campione
122
L’argomento
in versione più formale:
1) S è un campione sufficientemente grande da
P - (ass.)
2) La frequenza di un certo tratto R in S è r - (ass.)
3) La frequenza relativa di campioni come S è
alta - (principio di frequenza – fatto sui grandi numeri)
4) Prob(S simile a P) alta - (1), 3), prob. come freq.)
5) Prob(f(R|P)r|S simile a P) alta - (2), somiglianza)
6) Prob(f(R|P)r) alta - (4), 5))
123
Sommario:
Scienza: ipotesi, spiegazioni e probabilità
Probabilità e logica induttiva, definizioni e
posizioni filosofiche
Assiomi della probabilità, teorema di Bayes
Utilità, valore atteso, dominanza; decisioni
Probabilità personali, centralità del teorema di
Bayes, argomenti basati sull’idea di perdita
certa; regola di Jeffrey
124
Sommario:
Probabilità come frequenze; stabilità, medie e
deviazioni; distribuzioni
Prove bernoulliane e risultati matematici;
significatività, potenza e fiducia
Comportamento induttivo e applicazione della
logica induttiva al problema dell’induzione
Aggiramento bayesiano e aggiramento
frequentista, risultati (anche formali) e loro
significato filosofico, discussione aperta…
