probabilismo - Dipartimento di Filosofia Comunicazione e Spettacolo
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1 FILOSOFIA DELLE SCIENZE NATURALI 2014-2015 Secondo modulo 2 Mar-Mer10-12, aula 6 Giov 10-12, aula 24 (15/1 in aula 6) [email protected] Logica induttiva e probabilità Testi: I.M. Copi/C.M. Cohen ‘Introduzione alla Logica’, Il Mulino – capitoli 15-16 I. Hacking ‘Introduzione alla probabilità e alla logica induttiva’, Il Saggiatore - tutto 3 Piano generale: Ragionamento induttiva scientifico e logica Probabilità Teorie Nozioni di base Applicazioni Probabilità, utilità, incertezza e decisione (Ritorno al problema dell’induzione) 4 Copi/Cohen, cap. 15. Scienza e ipotesi La scienza ha valore pratico e valore teoretico Come risposta al desiderio di conoscere, essa mira a verità generali e leggi Sulla base di queste, si definiscono spiegazioni Spiegazione: gruppo di proposizioni da cui può essere inferito un fatto, eliminando o diminuendo il carattere problematico di quest’ultimo 5 Stretta relazione fra spiegazione e inferenza induttiva Vari modelli filosofici della spiegazione scientifica (e della predizione) Hempel e il ‘modello della legge di copertura’ (o ‘nomologico-deduttivo’) Leggi generali Fatti particolari Fenomeno da spiegare . 6 Stretta relazione fra spiegazione e inferenza induttiva Vari modelli filosofici della spiegazione scientifica (e della predizione) Hempel e il ‘modello della legge di copertura’ (o ‘nomologico-deduttivo’) Leggi generali Fatti particolari . explanans Fenomeno da spiegare explanandum 7 Versioni probabilistiche/statistiche Modello statistico-deduttivo – deduzione di conseguenze da leggi probabilistiche Leggi generali probabilistiche Fatti particolari Fenomeno da spiegare . 8 Modello statistico-deduttivo – deduzione di conseguenze da leggi probabilistiche La penicillina cura lo streptococco al 95% L’infezione è stata trattata con penicillina L’infezione era da streptococco . Il 95% dei pazienti è guarito 9 Modello statistico-induttivo – sussunzione di eventi specifici sotto leggi probabilistiche La penicillina cura lo streptococco al 95% L’infezione è stata trattata con penicillina L’infezione era da streptococco . Jones è guarito 10 Spiegazioni scientifiche e non scientifiche Solo le spiegazioni scientifiche sono non dogmatiche e aperte alla revisione sulla base dell’evidenza La verifica empirica (almeno indiretta) deve essere sempre disponibile Modello popperiano: H E test empirico … 11 Criteri di scientificità delle ipotesi (Copi/Cohen, pp. 534-538) Rilevanza Controllabilità Compatibilità Potere con ipotesi precedenti esplicativo/predittivo Semplicità 12 Stadi dell’indagine scientifica (Copi/Cohen, pp. 538-542) Identificazione del problema Selezione delle ipotesi preliminari Raccolta di fatti addizionali Formulazione di un’ipotesi esplicativa Deduzione di ulteriori conseguenze Verifica delle conseguenze Applicazione della teoria 13 Esempio: Watson&Crick e il DNA Esperimenti cruciali Esempio: Michelson&Morley 1887, passaggio dalla teoria dell’etere alla relatività Ma cosa ci dicono veramente gli esperimenti? Teorie e ipotesi (ausiliarie e ad hoc) 14 La dinamica dei controlli sperimentali: HE Ipotesi ausiliarie H(+A1+A2+…)E Ipotesi EH ad hoc è falsa EH+Aad hoc è Vari ok sensi di ‘ad hoc’ 15 Esempio Teoria ‘buono’: Urano e Nettuno. di Newton Orbita A per Urano Osservazione Orbita B per Urano Osservazione Teoria di Newton è falsa Ma: Teoria di Newton + Esistenza di un pianeta ignoto Orbita B per Urano 16 Le caratteristiche di Nettuno possono essere dedotte dalla teoria di Newton + l’orbita di Urano effettivamente osservata 1687: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica di Newton Agosto-Settembre Leverrier 23 1846: Calcoli di Adams e Settembre 1846: Osservazione di Nettuno e conferma della ipotesi aggiuntiva (e della teoria di Newton) 17 Esempio ‘cattivo’: Osservazioni di Galileo, messa in dubbio della perfezione delle sfere celesti Ipotesi che le irregolarità della luna fossero solo apparenti, e in realtà piene di sostanza cristallina Ulteriore lavoro di Galileo, e confutazione dell’ipotesi ad hoc I satelliti di Galileo 18 Sommario: Apprendimento dai dati empirici e spiegazione Ipotesi Dinamica della ricerca scientifica e della valutazione delle ipotesi Esperimenti, ipotesi ausiliarie e ipotesi ad hoc Il metodo scientifico si basa in modo essenziale sulla logica induttiva 19 Hacking, Logica Da capp. 1-2: deduttiva vs. Logica induttiva Mill a Carnap e Reichenbach Logica deduttiva: Validità Verità Logica induttiva: Argomenti ‘rischiosi’ legati alla probabilità 20 Il ragionamento deduttivo non è ampliativo, quello induttivo sì Niente di nuovo alla fine del ragionamento Se il ragionamento è valido, la verità è trasmessa dalle premesse alla conclusione Attenzione: differenti! validità e verità sono due cose 21 Gli argomenti validi possono solo avere conclusioni vere se le premesse sono vere Tutti i numeri sono o pari o dispari 7 è un numero Quindi, 7 è o pari o dispari Tutti i numeri sono pari 7 è un numero Quindi, 7 è pari 22 Se le premesse sono false, la conclusione può essere sia vera sia falsa Tutti le creature con dieci zampe hanno le ali Tutti i ragni hanno dieci zampe Quindi, tutti i ragni hanno le ali Tutti i pesci sono mammiferi Tutte le balene sono pesci Quindi, tutte le balene sono mammiferi 23 Per gli argomenti non validi, qualsiasi combinazione di premesse e conclusioni è possibile Invalido V-V Invalido V-F Invalido F-V Invalido F-F 24 La logica induttiva non dà nessun tipo di certezza Non è valida deduttivamente Campioni e popolazioni Proporzioni e probabilità Collegamento con un’altra forma di ragionamento: Inferenza alla migliore spiegazione 25 Induzione e inferenza alla migliore spiegazione Charles S. Peirce (1839-1914): Deduzione Regola Caso Risultato Induzione Caso Risultato Regola Abduzione Risultato Regola Caso 26 Induzione e inferenza alla migliore spiegazione Charles S. Peirce (1839-1914): Deduzione Tutti gli A sono B, x è A, x è B Induzione x è A, x è B (ripetuto), tutti gli A sono B Abduzione x è B, Tutti gli A sono B, x è A 27 Induzione e inferenza alla migliore spiegazione Esempio: Il formaggio nella dispensa è scomparso La notte scorsa ho sentito rumori raschianti provenienti dalla dispensa Quindi, topo il formaggio è stato mangiato da un 28 Non Ma deduttivo neanche frutto di generalizzazione Eliminazione di ipotesi alternative ed identificazione dell’ipotesi migliore? Abduzione migliore Ma: - Inferenza alla spiegazione viene prima l’induzione o l’inferenza alla spiegazione migliore ? 29 Peirce, Harman etc.: ‘Prima l’inferenza alla spiegazione migliore!’ Quando generalizziamo induttivamente, non facciamo che affermare ciò che ci sembra costituire la migliore spiegazione dell’evidenza Hume: ‘Prima È l’induzione!’ comunque sulla base di induzioni passate che giudichiamo il potere esplicativo 30 Due definizioni generali: La logica induttiva analizza gli argomenti rischiosi usando idee probabilistiche La teoria della decisione analizza le decisioni rischiose usando le idee di probabilità e utilità 31 32 33 34 Teorie della probabilità Che cos’è la probabilità? Teorie: Classica, statistica/frequentista, soggettivistica/della credenza… 1) Teoria classica: Jacob Bernoulli (1654-1705) Pierre-Simon de Laplace (1784-1829) 35 Le probabilità corrispondono a fatti numerici relativi alle possibilità disponibili Per esempio: Che esca il 4 quando lancio un dado ha probabilità 1/6 Che esca un 7 totale con due dadi ha probabilità 1/6 (6/36) Che esca un 6 totale con due dadi ha probabilità 5/36 Che esca lo 0 in un giro di roulette ha probabilità 1/39 36 Ma le possibilità disponibili devono essere viste come equiprobabili Circolarità? In generale, è difficile individuare le possibilità e i loro pesi 2) Da qui, si è passati alle probabilità come frequenze Frequenze relative e frequenze al limite Esempi: lanci di monete, controlli su dadi truccati… Problema con gli eventi unici? 37 3) Probabilità logica: John Maynard Keynes (1883-1946) e Harold Jeffreys (1891-1989): la teoria frequentista è sbagliata, la probabilità è una relazione logica Carnap (1891-1970): ‘Io concepisco la probabilità logica come una relazione in qualche modo analoga all’implicazione logica; infatti ritengo che la probabilità possa essere considerata come un’implicazione parziale’ (p. 50) 38 Esempio: 1) La probabilità per un uomo di essere più alto di 1,60 è 0,8 2) x è un uomo C) x è più alto di 1,60 1) esprime una frequenza, è una probabilità statistica C) ha probabilità (logica) 0,8 dati 1) e 2) 39 4) Probabilità personale/come credenza: La probabilità esprime una opinione Un’affermazione probabilistica esprime il grado soggettiva di credenza nella verità di una certa proposizione Essa corrisponde a quanto intuitivamente siamo disposti a rischiare su qualcosa 40 Teorie della probabilità - addendum: Secondo la teoria delle propensioni, si danno fatti probabilistici oggettivi nel mondo, anche singolarmente Esempio: ‘la probabilità per l’elettrone di avere spin su quando lo si misura’ 41 Hacking: Il focus sarà su probabilità come credenza e probabilità come frequenza Possibilità di un approccio dogmatico e di un approccio eclettico Esempi: monete, dinosauri, paraurti etc. Elementi soggettivi e oggettivi (aventi a che fare col mondo o con relazioni logiche fra enunciati) 42 Quiz: Serie Si di eventi riguardanti una roulette assume che la roulette non sia truccata Esce nero 12 volte di fila Tizio osserva e conclude che gli conviene puntare sul rosso Il ragionamento di Tizio è giusto? 43 Gli assiomi e le regole della probabilità Proposizioni Nozioni 1) ed eventi di base Bilanciamento Nei tempi lunghi ogni esito ha una frequenza relativa uguale agli altri 44 2) Dipendenza e indipendenza degli esiti Gli esiti precedenti (non) influiscono sulle probabilità dei successivi 3) Onestà Lo scenario non è sbilanciato, gli eventi sono indipendenti Esempi Come di disonestà (pp. 50-51) valutare eventi reali? 45 Risposta al quiz. No! Se si assume il bilanciamento tutti gli eventi hanno la stessa probabilità, ma questo non ha alcuna conseguenza sugli eventi singoli Se si raggiunge la conclusione a favore del rosso in base all’osservazione, si sta assumendo la non indipendenza degli eventi Ma Tizio sta invece raggiungendo la conclusione sulla base dell’assunzione di bilanciamento! 46 Fallacia del giocatore Se lo scenario è onesto, gli esiti sono indipendenti, e nessun evento osservato può guidare predizioni su eventi futuri Rimane aperta la questione se l’assunzione di onestà è giusta o sbagliata Forse si deve apprendere dall’esperienza che la roulette è sbilanciata? O che gli eventi sono dipendenti? (P. 56) 47 Esempio 57) Ci degli aerei e del rischio (pp. 56- sono vari modi di ragionare in senso lato Premesse diverse conducono a conclusioni diverse - La logica induttiva non aiuta a scegliere fra questi modi Però c’è solo un modo di ragionare in senso stretto - La logica induttiva permette di evitare le fallacie Errore nel modello e errore nel ragionamento sul modello 48 49 Se A e B sono reciprocamente esclusivi, Pr(A oppure B)=Pr(A)+Pr(B) Se sono esaustivi, il totale è 1 Es.: Se lancio di una moneta: Pr(cr)+Pr(te)=1 A e B sono indipendenti, Pr(A e B)=Pr(A)xPr(B) 50 Si può calcolare la probabilità ‘condizionale’ Pr(A|B) Se Pr(B)>0, allora Pr(A|B)=Pr(A e B)/Pr(B) Da cui segue Pr(A e B)=Pr(A|B)xPr(B) Esempi pp. 79-81 e 82-86 Possibilità di visualizzare le possibilità e le loro relazioni in forma di ‘albero’ Di nuovo la fallacia del giocatore 51 Altre regole: Probabilità totale: se 0<Pr(B)<1, Pr(A)=Pr(B)xPr(A|B)+Pr(non-B)xPr(A|non-B) Conseguenza Pr(A)Pr(B) Indipendenza logica: se B implica A, statistica: se 0<Pr(A) e 0<Pr(B), A e B sono statisticamente indipendenti se e solo se Pr(A|B)=Pr(A) 52 Altre regole: Sovrapposizione: se A e B non sono reciprocamente esclusivi, Pr(A o B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A e B) Tutte le regole possono essere ‘condizionalizzate’, cioè estese ai casi in cui abbiamo probabilità del tipo Pr(A dato B) (Pp. 92-93) 53 Riassunto regole/assiomi: Normalità Certezza Additività Moltiplicazione Probabilità totale Indipendenza statistica Sovrapposizione Conseguenza logica e condizionalizzazione 54 Diagrammi di Venn e rappresentazione grafica delle relazioni probabilistiche (Pp. 95-97) La domanda strana numero 2 e la questione relativa alla (ir)razionalità delle persone Relazione Nota fra verità e informatività storica: assiomi, Huygens e Kolmogorov 55 La regola di Bayes Thomas Bayes (1702-1761) Pierre-Simon Nicholas Richard Harold de Laplace (1749-1827) Saunderson (1682-1739) Price (1723-1791) Jeffreys (1891-1989): “Bayes’ theorem is to the theory of probability what Pythagoras's theorem is to geometry” 56 La regola di Bayes Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(H | E ) Pr(E ) 57 La regola di Bayes Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(H | E ) Pr(E ) Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(H | E ) Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(nonH ) Pr(E | nonH ) Dimostrazione Generalizzazione Applicazione (pp. 105-106) 58 Attendibilità e tassi di base L’utilizzo della regola di Bayes rende evidente che occorre ragionare bene e considerare tutti i dati rilevanti Per Ne es., la proporzione totale di taxi verdi segue una distinzione fra: Attendibilità1(di Attendibilità2 Esempio una fonte d’informazione) (di una fonte dati i tassi di base) della tonsillite (pp. 108-111) 59 Importante: L’evidenza permette di apprendere anche a partire dall’assoluta ignoranza Le probabilità saranno diverse, ma il modo in cui sono aggiornate è lo stesso e porta nella stessa direzione Addendum: Pr(H 1 | E ) Pr(H 1) Pr(E | H 1) Pr(H 2 | E ) Pr(H 2) Pr(E | H 2) 60 Un’altra Falsi distinzione fondamentale: positivi e falsi negativi Se il tasso di base è basso, un resoconto di una fonte affidabile può essere sbagliato in un numero non trascurabile di casi Se il tasso di base non è basso e la fonte non affidabilissima, il risultato negativo può essere sbagliato in un numero non trascurabile di casi 61 Ipotesi vera Ipotesi falsa Risposta del test ‘no’ Falso negativo OK Risposta del test ‘sì’ OK Falso positivo 62 Ipotesi vera Ipotesi falsa Risposta del test ‘no’ Falso negativo OK Risposta del test ‘sì’ OK Falso positivo Esempio 1: tasso di base 1/10000, attendibilità del test 99/100 – probabilità di un falso positivo - Pr(V|S) - 99% Esempio 2: tasso di base ½, attendibilità del test 60/100 – probabilità di un falso negativo – Pr(V|S) - 40%! (t.b. 1/3 – 25%) 63 Ancora sul teorema di Bayes: Centrale scienza in statistica e filosofia della I teorici soggettivisti della probabilità e dell’evidenza lo considerano essenziale Teoria bayesiana della conferma Assunzioni di base: Relatività dell’evidenza, proporzionismo e conferma incrementale 64 Ancora sul teorema di Bayes: Centrale scienza in statistica e filosofia della I teorici soggettivisti della probabilità e dell’evidenza lo considerano essenziale Epistemologia Uso bayesiana del teorema + regole di coerenza Obiezioni: onniscienza, incertezza, problema delle probabilità a priori… problema della vecchia evidenza 65 Esempio: evidenza Il problema della vecchia Se H implica E ma E è già nota, la presunta crescita nella fiducia in H a causa di E non si dà Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(H | E ) Pr(E ) Pr(E|H)=Pr(E)=1 Quindi Pr(H|E)=Pr(H) (??) Risposte: novità nelle relazioni fra E e H,diverse misure di conoscenza di E… 66 Applicazione Come Atti, Il all’azione e alla decisione combinare probabilità e utilità? conseguenze e utilità valore atteso Att(A)=(Pr(C1)xU(C1)+Pr(C2)xU(C2)+…) Calcolare il valore atteso di un atto permette di sapere il ‘prezzo onesto’, il rischio accettabile data la situazione 67 Valutazione di casi specifici (pp. 118-127) Riffe, venditori ambulanti, viaggi, roulette, lotterie… Martingale (P. 128): Metodo sicuro per vincere o rischio eccessivo? Gioco di San Pietroburgo e utilità marginale (Pp. 129-132) 68 Lancio di una moneta bilanciata Se esce testa si vincono 2 euro, se esce croce si rilancia Se esce testa al secondo lancio si vincono 4 euro, altrimenti si rilancia … Si finisce quando esce testa Valore atteso? 69 Per N =Il gioco finisce dopo n lanci: U(N)=2n Pr(N)=1/2n Valore Ma atteso=((1/2)n(2n)) tale valore è infinito (1+1+1+…) Eppure non considereremmo come prezzo onesto per giocare una somma infinita! 70 Risposte: 1) Accetta la conclusione 2) Il gioco è fisicamente irrealizzabile 3) Non esiste un valore atteso ben definito 4) Rimane improbabile vincere molto 5) Occorre considerare l’utilità marginale Cioè, quella costituita dall’aggiunta di qualcosa a risorse già esistenti Tale utilità decresce, ed elimina il paradosso 71 Probabilità, utilità e valore atteso Prezzo onesto, controesempi (martingale, gioco di San Pietroburgo) Utilità marginale Massimizzazione nozione di ‘utile’ del valore atteso, 72 Come scegliere fra atti possibili? Massimizzazione Credenze La del valore atteso e desideri nozione di ‘utile’ Rischio, incertezza e preferenze Utilitarismo Kantismo Avversione Esempi al rischio pp. 143-147 73 Possibilità di ‘incommensurabilità’ Possibilità di dissenso sia su probabilità che su utilità Ruolo della teoria della decisione in questi casi: Analisi dei dati rilevanti Indicazione dei fattori oggettivi e condivisi e di quelli su cui c’è reale disaccordo Esempio pp. 147-150 74 Relazione fra modello e decisioni reali Paradosso di Allais 100 carte numerate Se ne pesca 1 Gli esiti sono distinti in 3 classi B: carta inferiore a 90 (Pr(B)=0.89) N: carta 90 (Pr(N)=0.01) A: carta superiore a 90 (Pr(A)=0.1) 75 Gioco 1: a): 500 euro se si verificano A o N, niente se si verifica B b): 2500 euro sei si verifica A, niente se si verificano B o N È preferibile a) o b)? 76 Gioco c): 2: 500 euro regalati d): 2500 euro se si verifica A, 500 se si verifica B, niente se si verifica N È preferibile c) o d)? 77 Solo la scelta congiunta b)+d) è giustificata in termini di massimizzazione dell’utilità! b) 2500 euro sei si verifica B, niente se si verificano A o N d) 2500 euro sei si verifica A, 500 se si verifica B, niente se si verifica N Si osserva invece una prevalenza di b)+c) Avversione al rischio? Irrazionalità?...? 78 Decisione in condizioni di incertezza La scommessa di Pascal sull’esistenza di Dio (pp. 158-168) Idee guida e aspetti principali: Scelta fra due opzioni definite, con conseguenze precise Partizioni, Utilità scommesse infinite e utilità nulle 79 Valore atteso e regola del valore atteso Dominanza e regola della dominanza Applicabile a scenari indipendenti Controesempi (pp. 164-165) Necessità con scenari dipendenti di considerare nuovamente in modo esplicito le probabilità 80 Considerazione di probabilità anche nel caso degli scenari indipendenti Probabilità arbitraria oppure continuum di assegnazioni di probabilità Valore atteso dominante e regola del valore atteso dominante Pascal sembra avere ragione appena si concede che Pr(Dio esiste)>0 81 Probabilità, Valore utilità, utili atteso Applicazione a scenari pratici: Disaccordo sulla quantificabilità delle scelte Disaccordo sulle quantificazioni di probabilità e/o utilità Relazione fra teoria e scelte reali Massimizzazione del valore atteso, dominanza e valore atteso dominante 82 Le probabilità personali Probabilità come rappresentazione dei gradi di credenza personali Valutazione delle probabilità sulla base di scenari immaginari Scommesse e quotazioni: Quotazione=(puntata)/(posta in gioco) 83 Q=(puntata)/(posta Rappresentazione dei pay-off Quotazioni in gioco) dei risultati – matrice eque Non c’è margine, è indifferente scommetere su E alla quotazione p o contro E alla quotazione (1-p) Probabilità Le e scommesse condizionali quotazioni includono il risultato nullo 84 Risultato fondamentale: Ci sono (insiemi di) quotazioni che conducono a perdita certa Esse non sono coerenti L’incoerenza si evita soddisfacendo le regole di base della probabilità (Inaspettata) Hacking conferma ‘pratica’ degli assiomi pp. 216-221 85 Più precisamente: Se si hanno credenze incompatibili, si è soggetti a contratti a perdita certa Si hanno tali credenze solo se si è soggetti a contratti a perdita certa Si hanno credenze compatibili e che non portano a perdita certa se e solo se tali credenze soddisfano le regole di base della probabilità 86 ‘Dutch-book arguments’ http://plato.stanford.edu/entries/dutch-book/ F.P. Ramsey, Truth and Probability (1926) Anche le probabilità soggettive, cioè intese come credenze, devono soddisfare gli assiomi (‘probabilismo’) Assunzione fondamentale: le nostre quotazioni rispecchiano le nostre preferenze e le nostre assegnazioni di probabilità 87 Argomento: se le assegnazioni di probabilità sono incoerenti, si incorre in perdita certa Coerenza probabilistica come condizione necessaria per evitare la perdita certa Argomento inverso: se si soddisfano gli assiomi della probabilità, non si incorre in perdita certa Coerenza probabilistica come condizione sufficiente per evitare la perdita certa 88 probabilistica evitabilità della perdita certa Coerenza Domande: Quale senso di irrazionalità si presuppone? Scollamento fra assegnazioni, preferenze e utili contraddittorietà logica: Possibilità di ‘Czech book arguments’ - l’apparente irrazionalità porta in pratica a vincite sicure! Estendibilità? 89 probabilistica evitabilità della perdita certa Coerenza Domande: Additività con infiniti termini Condizionalizzazione: Principio Prpost(A)=Prprec(A|E) di riflessione: Pr(A|Prpost(A)=r)=r … Dutch books sincronici e diacronici 90 In generale, gli argomenti in questione non indicano una incoerenza logica, quanto una tensione fra obiettivi pratici (teoria della decisione) e credenze teoriche (assegnazioni di probabilità) Importanza nell’epistemologia bayesiana, e per i soggettivisti in genere Applicazioni molteplici: per es., ‘sleeping beauty’ problem http://www.princeton.edu/~adame/papers/sleeping/sleeping.html 91 Imparare Ancora dall’esperienza (cap. 15) il teorema di Bayes Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(H | E ) Pr(E ) Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(H | E ) Pr(Hi) Pr(E / Hi) 92 Importanza della ‘verosimiglianza’ Pr(E/H) Probabilità a posteriori proporzionale a probabilità a priori x verosimiglianza Il denominatore si può considerare una costante di proporzionalità Applicazioni ripetute del teorema di Bayes uniformità nel modo di aggiornare le proprie credenze 93 Differenze marginali in probabilità a priori diventano Verosimiglianze come indicatori del ‘peso’ della nuova informazione, modo ‘oggettivo’ di aggiornare le proprie credenze Esempi Quindi: pp. 227-233 credenze e quotazioni+Dutch book arguments+regola di Bayes Il teorema di Bayes costituisce un (il?) modello dell’apprendimento dall’esperienza 94 Regola di Jeffrey Pr*(A)=Pr(A|B)Pr*(B)+Pr(A|non-B)Pr*(nonB) Con Pr* uguale alla probabilità dopo che nuova evidenza è stata raccolta Cfr. Probabilità totale (p. 90) Vale anche per i bayesiani logicisti Jeffreys - L’update riguarda relazioni fra ipotesi e dati Carnap - Requisito dell’evidenza totale e continuum dei metodi induttivi 95 In conclusione, le probabilità come credenze (o come relazioni logiche) possono e devono essere modellate sulla base delle regole di base della probabilità Di conseguenza, anche il teorema di Bayes gioca un ruolo centrale Rimane il fatto che il ragionamento formalmente corretto può essere fuorviante Esempio dell’argomento di Leslie (pp. 243-245) 96 Probabilità, frequenza e statistica Per i frequentisti, la regola di Bayes non è essenziale Piuttosto, è cruciale l’idea che le probabilità si stabilizzino con l’aumentare del numero delle prove Stabilità Media statistica campione e frequenza k/n Deviazione standard DS=√((Xj-X)2/n) 97 Prove bernoulliane Eventi indipendenti, esito possibile E con probabilità costante p La frequenza relativa di E si avvicina alla probabilità p in proporzione alla lunghezza della successione di prove Per ogni margine di errore , all’aumentare del numero delle prove la differenza fra frequenza relativa e p può rimanerne al di sotto La ‘probabilità della precisione’ si avvicina a 1 98 Per n eventi con probabilità p, il numero più probabile di esiti E è approssimativamente uguale a pn È il numero compreso fra pn-(1-p) e pn+p La frequenza relativa più probabile è quindi: (p-((1-p)/n)) ≤ k0/n ≤ (p+p/n) Teorema. Per un numero molto grande di prove, la frequenza relativa più probabile k0/n coincide con p Pp. 252-254 99 La convergenza della frequenza relativa verso la probabilità (frequenza relative attesa) e del margine di errore verso 0 (probabilità della precisione1) si possono riassumere nel Teorema di Bernoulli: ogni piccolo errore e piccola differenza x, esiste un numero di prove N tale che per ogni n>N: Per Pr[(p-)≤k/n≤(p+)]>(1-x) 100 Approssimazioni Curve normali di Gauss, medie e deviazioni e : i valori a cui la media del campione k/n e la deviazione standard DS=√((Xj-X)2/n) si approssimano come misura standard di approssimazione Fatto normale I a p. 262 101 Distribuzione binomiale b(k; n, p) Probabilità di ottenere k volte l’evento E in n prove quando la probabilità è Pr(E)=p Per p non molto vicina a 0 o 1, tale distribuzione è approssimata da una distribuzione normale con =pn =√((1-p)pn)) 102 Dato tutto questo, si deriva che Per ogni probabilità p, numero totale di eventi n, e numero favorevole di eventi k: La probabilità che k diverga da pn non più di è circa 0.68 La probabilità che k diverga da pn non più di 2 è circa 0.95 La probabilità che k diverga da pn non più di 3 è circa 0.99 dove =√((1-p)pn)) 103 Significatività e potenza La significatività esprime la rilevanza di un certo dato rispetto alle frequenze e alle approssimazioni definite in precedenza I test di significatività mettono alla prova una certa ipotesi, evidenziando risultati che in base all’ipotesi hanno probabilità più bassa (cfr. la verosimiglianza – p. 276) Significativo al livello p vuol dire che i risultati in questione hanno probabilità p (date certe assunzioni) 104 I test statistici sono allora progettati per individuare eventuali dati significativi rispetto ad una ipotesi data Idea di ipotesi nulla Considerando varie ipotesi si può allora comprendere quanto i dati osservati sono ‘naturali’ nel contesto di ciascuna di esse Rimane però possibile che nessuna delle ipotesi considerate sia corretta Possibilità di correlazioni con cause comuni (pp. 281-285) 105 Un risultato significativo può portare a scartare l’ipotesi nulla in favore di qualche altra congettura Ma si può anche sostenere che occorra accettare le ipotesi se i risultati non sono significativi Più importante il primo o il secondo elemento? Significatività ‘Dogmatici o accettazione/rifiuto? della significatività’ e ‘dogmatici dell’accettazione’ 106 Possibilità di un approccio eclettico che integri gli aspetti positivi delle due posizioni Come definire criteri per l’accettazione e il rifiuto di una ipotesi? Aggiunta dell’idea di potenza Neyman e Pearson Due tipi di errore possibile: Respingere H quando è vera Accettare H quando è falsa 107 La significatività di fatto conduce alla Minimizzazione un’ipotesi vera della probabilità di respingere Ma i test dovrebbero anche massimizzare la potenza, cioè Minimizzare la probabilità di accettare un’ipotesi falsa I test di Neyman-Pearson mirano quindi a minimizzare sia Pr(R|H) che Pr(A|non-H) Pp. 287-289 108 Fiducia e comportamento induttivo popolazione campione (frequenze ideali e relative, teorema di Bernoulli e test statistici) a Da Campione popolazione: come usare un campione per formulare stime più generali? Esempio opinione Modelli paradigmatico: i sondaggi di e dati 109 Stime puntuali e stime per intervalli Come Idea valutarne l’attendibilità? di fiducia e intervalli di fiducia Strategia argomentativa (pp. 300-2): Assunzione del caso peggiore (p=1/2) (e aggiunta di ‘almeno’) ‘Inversione’: da i) un’assunzione sulla popolazione per parlare del campione a ii) dati sul campione e conclusioni sulla popolazione (deduzione induzione) 110 Fiducia e errore sono inversamente proporzionali Vari tipi di evidenza, campioni stratificati Relazione con i test di Neyman-Pearson: in molti casi ragionare in termini di intervalli di fiducia e cercare di massimizzare significatività e potenza è equivalente (p. 308) Neyman induttivo Pp. e l’idea di comportamento 310-312 111 Applicazione al problema filosofico dell’induzione: Hume (cap. 19) Goodman Soluzioni anti-induttive (Popper) La logica induttiva aggira il problema riconoscendo la non necessità delle conclusioni, ma definendo comunque regole preferibili Giustificazione razionale (deduttiva) no, ragionevolezza pratica sì 112 Aggiramento Hume bayesiano ha ragione: nessuna giustificazione Ma la regola di Bayes ci mostra il modo ‘razionale’ per imparare dall’esperienza Se due soggetti concordano su ciò che è possibile/impossibile, l’apprendimento bayesiano porta sempre alla convergenza e all’accordo 113 Obiezione: L’elemento fondato Perché diacronico non è ben pensare che le mie credenze a un tempo successivo debbano essere uguali a quelle che ora potrei calcolare come probabilità a posteriori? 114 Pr(H ) Pr(E / H ) Pr(H | E ) Pr(E ) Condizionalizzazione: Prpost(A)=Prprec(A|E) Argomenti bayesiani basati su coerenza e contratti a perdita certa? Fedeltà al ‘vecchio io’ come ‘imperativo morale’? 115 Aggiramento frequentista: Dall’abitudine di Hume alla abitudine saggia del ‘comportamento induttivo’ Date certe conoscenze e credenze di sfondo, possiamo provare che certe abitudini e modi di procedere sono preferibili Essi ci conducono nella maggior parte dei casi ad essere nel giusto 116 Più in particolare: i) Noi possiamo interagire attivamente con la natura attraverso test ed esperimenti ii) Ci sono risultati deduttivi che implicano l’alta probabilità di successo del comportamento induttivo nel senso frequentista Obiezione 1 - basata sull’uso di modelli in cui l’uniformità della natura è presupposto Obiezione 2 - del caso singolo 117 Risposte frequentiste? Uniformità ok - Dissoluzione e non soluzione (Mill?) Insistenza sulla rilevanza dei risultati formali e la potenziale rivedibilità Reinterpretazione degli scenari a caso singolo come idealmente connessi alla probabilità reale Peirce sull’elemento intrinsecamente sociale del ragionamento 118 Argomenti Base aggiuntivi: metafisica - Armstrong: Induzione basata su leggi come connessioni necessarie fra universali Le leggi di natura sono una necessità metafisica Sono spiegate nel modo migliore in termini di universali E a loro volta costituiscono la migliore spiegazione delle regolarità che osserviamo intorno a noi 119 Base matematica - Williams (1947): “Given a fair sized sample, then, from any [large, finite] population, with no further material information, we know logically that it very probably is one of those which [approximately] match the population, and hence that very probably the population has a composition similar to that which we discern in the sample. This is the logical justification of induction”. Cfr. posizione di Neyman Rielaborazione da parte di Stove (1986), ulteriore discussione 120 Williams concepisce il problema dell’induzione in termini di: i) Inferenza campione popolazione ‘Inversione’ ii) dei risultati di Bernoulli etc. Sillogismo statistico Sillogismo Tutti gli S sono P, questo è un S, questo è P Sillogismo La standard: statistico: maggioranza degli S sono P, questo è un S, questo è probabilmente P 121 Quindi: Data la popolazione, la maggioranza dei campioni sufficientemente grandi non si discosta troppo da essa Analogamente, la maggioranza dei campioni sufficientemente grandi è rappresentativa della popolazione Di conseguenza, è razionale pensare che il campione grande che abbiamo è rappresentativo, e che la popolazione è molto simile al campione 122 L’argomento in versione più formale: 1) S è un campione sufficientemente grande da P - (ass.) 2) La frequenza di un certo tratto R in S è r - (ass.) 3) La frequenza relativa di campioni come S è alta - (principio di frequenza – fatto sui grandi numeri) 4) Prob(S simile a P) alta - (1), 3), prob. come freq.) 5) Prob(f(R|P)r|S simile a P) alta - (2), somiglianza) 6) Prob(f(R|P)r) alta - (4), 5)) 123 Sommario: Scienza: ipotesi, spiegazioni e probabilità Probabilità e logica induttiva, definizioni e posizioni filosofiche Assiomi della probabilità, teorema di Bayes Utilità, valore atteso, dominanza; decisioni Probabilità personali, centralità del teorema di Bayes, argomenti basati sull’idea di perdita certa; regola di Jeffrey 124 Sommario: Probabilità come frequenze; stabilità, medie e deviazioni; distribuzioni Prove bernoulliane e risultati matematici; significatività, potenza e fiducia Comportamento induttivo e applicazione della logica induttiva al problema dell’induzione Aggiramento bayesiano e aggiramento frequentista, risultati (anche formali) e loro significato filosofico, discussione aperta…
