Università degli Studi di Milano Forze elettriche, campi e potenziale

Università degli Studi di Milano
Corso di Laurea in Informatica
Anno accademico 2013/14, Laurea Triennale
FISICA
Lezione n. 10 (4 ore)
Forze elettriche, campi e potenziale elettrostatico
Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
La carica elettrica
E’ esperienza comune che la materia può contenere della
carica elettrica e molti dei fenomeni associati ad essa sono già noti:
fulmini, scariche, attrazione elettrostatica ecc.
La materia ordinaria contiene enormi quantità di carica elettrica anche
se risulta normalmente nascosta: infatti contiene un numero identico di
cariche positive e negative, risultando così elettricamente neutra.
E’ pero possibile, ad esempio per sfregamento, generare in un corpo un
eccesso di carica di un dato segno, tale corpo avrà allora una carica
netta.
Esiste in natura una forza sensibile allo stato di carica di un corpo:
cariche elettriche dello stesso segno si respingono, cariche di
segno opposto si attraggono.
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Fisica x Informatica - Lez. 10 - 2013/14
Materia, conduttori ed isolanti
La struttura stessa degli atomi è responsabile della natura elettrica della
materia:
– Protoni con carica positiva e neutroni, privi di carica,
formano un nucleo centrale
– Elettroni carichi negativamente orbitano intorno al nucleo
– L’atomo ha una struttura complessivamente neutra, ma
può perdere o acquisire carica per ionizzazione
E’ possibile classificare le sostanze in funzione della facilità che hanno
le cariche elettriche a muoversi attraverso di esse:
– Conduttori: le cariche si muovono abbastanza liberamente, come nel rame
o nei metalli in genere
– Non conduttori o isolanti: le cariche non si muovono affatto, come la
gomma, la plastica o il vetro.
– Semiconduttori: sostanze dal comportamento intermedio, come il silicio o il
germanio utilizzati nei circuiti integrati.
– Superconduttori: sostanze perfettamente conduttrici in cui le cariche si
spostano senza ostacolo alcuno, come il niobio al di sotto della temperatura
di 9 K che viene utilizzato negli acceleratori di particelle.
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La legge di Coulomb
Due particelle con cariche elettriche di modulo q1 e q2, poste ad una
distanza r, subiscono una forza elettrostatica data dalla
legge di Coulomb:

q1 q2
F k 2
r
C.A. Coulomb,
1785
Ciascuna delle cariche esercita una forza F sull’altra, si tratta di una
coppia di azione-reazione.
La forza è sempre diretta lungo la direttrice tra le due particelle, nel verso
di allontanamento se si respingono e nel verso di avvicinamento se si
attraggono.
E’ evidente l’analogia con la forza di gravitazione universale di Newton, k
è detta costante elettrostatica.
L’unità di misura SI per la carica è il coulomb (C) e la costante k è pari a:
N  m2
k
 8.99 10
4  0
C2
1
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9
con
4
N   kg  m  s 2 
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Concetti e formule fondamentali
Alcune concetti fondamentali:
La quantità di carica elettrica Q in transito nell’intervallo di tempo  t è
detta corrente elettrica. L’unità SI della corrente è l’ampere [A].
i
dQ
Q
 lim
dt t 0 t
[ A] 
[C ]
[ s]
1 C  1 A  1 s 
La costante elettrostatica è determinata dall’espressione:
k
1
4 0
 0  8.85 10
12
C2
 costante dielettrica del vuoto
2
N m
Diversamente da Coulomb o Franklin oggi sappiamo che la carica
elettrica è quantizzata, ovvero che essa è sempre e solo multiplo di
una carica elementare detta e. Per qualsiasi q vale che:
q  ne ; n  1,  2, ... ; e  1.602 10 19 C
Ad ogni livello dell’indagine fisica, da quello atomico a quello
macroscopico, è sempre verificato il principio di conservazione della
carica elettrica formulato da B. Franklin.
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Tavola Periodica degli elementi
Nella Tavola periodica gli elementi sono ordinati secondo il numero di cariche
elementari positive (protoni) che sono contenute nei rispettivi nuclei. Intorno ai
nuclei “ruotano” altrettante cariche elementari negative (elettroni) in modo che
l’atomo sia elettricamente neutro.
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Campo elettrico e linee di forza
L’azione a distanza caratteristica della forza elettrostatica viene spiegata in fisica
grazie al concetto di campo elettrico:
– Il campo elettrico è vettoriale, consiste in una distribuzione di vettori nello spazio intorno
ad una particella carica.
– Supponiamo di esplorare tale spazio tramite una particella con carica positiva di prova
q0. Se F è la forza a cui la particella è soggetta in un dato punto P(x,y,z), il campo
elettrico in P vale:
Analogia con il campo gravitazionale

 Fel
E
con q0  1  C
q0

ag 

Fg
m0
con m0  1  kg
E = forza per unità di carica ag = forza per unità di massa
Il campo elettrico in un certo spazio può essere visualizzato attraverso le sue
linee di forza:
– In ogni punto la tangente alla linea indica la direzione del campo elettrico
– La densità di linee per unità di superficie normale è proporzionale alla intensità del
campo elettrico: le linee si addensano dove il campo è più intenso
– Si consideri che la particella di prova è sempre positiva: le linee escono dalle cariche
positive ed entrano in quelle negative
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Campo elettrico e linee di forza - 2
Le linee di forza tracciano sempre traiettorie chiuse; nel caso di cariche
di un solo segno si suppongono chiuse su cariche lontane (all’infinito).
Ecco qualche esempio di linee di forza e di vettore campo elettrico
corrispondente per semplici distribuzioni di carica:
Singola carica
negativa.
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Coppia di cariche
positive
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Coppia di cariche di
segno opposto:
dipolo elettrico
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Campo di una carica puntiforme
Utilizziamo la carica di prova positiva q0 per descrivere il campo elettrico
di una singola carica puntiforme q in funzione della distanza r:
– L’intensità della forza è data dalla legge di Coulomb:

1 q q0
F 
4 0 r 2
– L’intensità del vettore campo elettrico è allora data da:

 F
1 q

E 
q0 4 0 r 2
– Vale il principio di sovrapposizione, dunque è possibile calcolare allo
stesso modo il campo generato da più cariche puntiformi qi come:



  

1 qi  q0 
F1 F2
 r
r e r 
E  E1  E2  ...    ... con Fi 
2
4 0 r
q0 q0
r
– Ciascun contributo Ei corrisponde al campo elettrico che sarebbe generato se
la carica q i fosse l’unica presente!
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Esempio: Campo di un dipolo elettrico
Utilizziamo il principio di sovrapposizione per esprimere il campo elettrico
generato da un dipolo elettrico lungo il suo asse (asse z):
E  E   E  
1
q
4 0 r 2

1
q
4 0 r 2

1
q
2
4 0 
d
z 
2


1
q
2
4 0 
d
z 
2

Che può essere riscritta come:
2
2

d 
d  

E
1    1   
2 
4 0 z  2 z 
 2 z  
q
Quando ci troviamo a grandi distanze dal dipolo
possiamo approssimare il risultato considerando
che z >> d. L’espressione risultante è:
E
q
2d
1 qd
1 p


4 0 z 2 z
2 0 z 3 2 0 z 3
;
p  qd
p = qd è il momento di dipolo elettrico, contiene
le due grandezze intrinseche del dipolo.
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Moto di una carica in campo elettrico
Per descrivere il moto di una particella carica q in un campo
elettrico E(x,y,z) è sufficiente considerare che in ogni punto
P la forza sulla particella è data da:


F qE
Considerazioni importanti:
– Il campo è un campo esterno: esso non è quello generato dalla
particella che in esso si muove. Corollario: un corpo carico non
risente del proprio campo elettrico !
– Il campo elettrico ha lo stesso verso della forza se la particella ha
carica positiva, ha il verso opposto se ha carica negativa.
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Flusso del campo elettrico
Se in una data porzione di spazio è presente un campo vettoriale, ogni
superficie arbitraria dà luogo ad un flusso di campo determinato dalle
linee di campo che la superficie intercetta.
Introduciamo il vettore areale, il cui
modulo è pari all’area della superficie A
e la cui direzione è normale al piano
dell’area. In un campo elettrico costante
Il flusso è definito come:
 
 E  E  A
Se consideriamo una superficie chiusa, possiamo
sommare il contributo di tutti i piccoli piani di area
 A che la compongono:
– Il campo E può essere ritenuto costante su aree
così piccole
– Facendo tendere a zero l’area dei piani  A:
 
 E   E  dA
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Legge di Gauss
La legge di Gauss mette in relazione il flusso netto di campo elettrico
attraverso una superficie chiusa (detta anche superficie gaussiana) con la
carica netta qint che è racchiusa all’interno della superficie. Vale che:
 
qint   0  E   0  E  dA
Legge di Gauss
– Se la carica netta è positiva il flusso è uscente,
se è negativa il flusso è entrante.
– Forma e posizione delle cariche non hanno
importanza!
– Cariche esterne alla superficie danno un flusso
netto pari a zero: tutte le linee di forza entrano
ed escono.
Ad esempio si considerino le superfici in figura:
– S1: carica netta positiva, flusso positivo
– S2: carica netta negativa, flusso negativo
– S3: niente carica, flusso netto nullo
– S4: carica netta nulla, flusso nullo
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Applicazione della legge di Gauss ai conduttori
Campo elettrico all’interno dei conduttori:
– In un conduttore le cariche in eccesso sono libere di muoversi e la repulsione
elettrostatica le spinge tutte a disporsi sulla superficie esterna
– Applicando la legge di Gauss ad una superficie chiusa
tutta interna al conduttore osserviamo che essa
non racchiude alcuna carica:
• il campo elettrico è nullo all’interno dei conduttori!
Campo elettrico sulla superficie dei conduttori:
– Consideriamo una piccola superficie cilindrica “a cavallo”
dello strato più esterno
– Sia  [C/m2] la densità superficiale di carica:
– Non c’è flusso nella superficie interna poiché E = 0
– Non c’è flusso in quella laterale perché il campo è
ortogonale al vettore areale
– Il solo contributo al flusso è dato dalla faccia esterna

qint   0 E A   A  E 
0
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Ancora sui conduttori …
Alcune considerazioni ulteriori sui conduttori:
– Su oggetti asimmetrici la carica elettrica in eccesso non si distribuisce
necessariamente in modo omogeneo, la densità superficiale tende ad essere
maggiore laddove il raggio di curvatura è minore (punte, spigoli etc.).
• Il campo sulla superficie è sensibile alla sola densità superficiale di carica, ne
segue quindi che il campo elettrico ha valori più alti in prossimità di spigoli vivi: è
l’effetto punta.
– Le cariche sui conduttori si dispongono sempre in modo da determinare
campo elettrico nullo all’interno, anche se il conduttore non presenta cariche
in eccesso.
• Le linee di forza si arrestano alla superficie e sono ad essa perpendicolari
– Si consideri il caso di un conduttore con una
cavità che racchiuda una carica - q:
• Sulle superfici interna ed esterna del conduttore
cavo si formano delle cariche –q e +q tali che
il campo all’interno del conduttore (in azzuzzo nella
figura) sia nullo e il conduttore rimanga neutro.
• Tali cariche sono dette cariche immagine.
• La configurazione interna della carica è insondabile
dall’esterno, così come la carica interna non risente
in alcun modo di quelle esterne.
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Energia potenziale elettrica
La forza elettrostatica è conservativa, possiamo allora definire per essa
un’energia potenziale elettrica  U tale che:
 U  U f  U i  Lapp   L
Dove L è il lavoro compiuto dal campo elettrico nel passare da i a f, mentre
Lapp= - L è il lavoro compiuto da una forza esterna per passare dalla
configurazione iniziale a quella finale
La configurazione di riferimento per un sistema di particelle cariche è
quella in cui esse siano infinitamente distanti, a tale configurazione
assegniamo una energia potenziale nulla.
Se indichiamo con L∞ il lavoro compiuto dal campo elettrico per portare una
carica dall’infinito alla configurazione finale, l’energia Uf = U sarà pari a:
U   L
In perfetta analogia con la gravitazione, il lavoro compiuto non dipende
dal percorso effettuato ma solo dalla scelta delle configurazioni iniziale e
finale.

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Il potenziale elettrico
L’energia potenziale di una carica dipende dal valore della carica stessa,
invece l’energia potenziale per unità di carica ne è indipendente. Essa
viene chiamata potenziale elettrico ed è dunque data da:
U
V
q
e
Uf
U i U
L
 V  V f  Vi 



q
q
q
q
– Il potenziale V(x,y,z) è un campo scalare, la sua unità di misura
SI è il volt [V] = [J]/[C] = [J]/[A·s], ricordando che 1C=1A·1s
– Il campo elettrico E può dunque essere anche
misurato in V/m:
1 V  
1 J 
1 C 
E   N   J / m  V 
C  C  m
Il luogo dei punti nello spazio aventi il medesimo potenziale è chiamato
superficie equipotenziale:
– Le linee di forza sono sempre ortogonali
alle superfici equipotenziali
– Un percorso i cui punti iniziale e finale
giacciano su una superficie equipotenziale
compie lavoro nullo.
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Calcolo del potenziale elettrico
Ricaviamo un espressione per il calcolo del potenziale elettrico
– dalla definizione stessa di lavoro
e di campo elettrico:
 
 
dL  F  ds  q0 E  ds
– integrando lungo la traiettoria scelta:
f
 
L  q0  E  ds
i
– e dalla definizione di potenziale:
f
 
V  V f  Vi    E  ds
i
Il risultato è l’integrale di linea della grandezza E·ds lungo la traiettoria
Se come punto iniziale assumiamo il punto di riferimento a cui associamo
potenziale nullo, Vi = 0, si ha:
f
 
V    E  ds
i
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Potenziale di carica puntiforme
Utilizziamo l’espressione appena ricavata per calcolare il potenziale elettrico nello
spazio intorno ad una carica puntiforme, rispetto al potenziale nullo.
Dato che la traiettoria scelta non influenza il risultato, scegliamo quella più semplice,
lungo la direzione radiale.
Per la traiettoria scelta, con q>0, si ha :
 
E  ds  E ds cos   E ds
inoltre ds diventa dr e i limiti di integrazione sono ri = ∞
ed rf = R. Dunque:
R

1 q
V  V f  Vi  VR  V    E dr  
dr 
2
4 0 r
R


1
q  1


dr
 
2

4 0 R r
4 0  r 
q
Quindi, in generale:


R
1
q
4 0 R
1
q
V (r ) 
4 0 r
E, per un insieme di n cariche puntiformi:
n
V (r )   Vi 
i 1
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n
qi

4 0 i 1 ri
1
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Calcolo del campo elettrico dato il potenziale
Percorrere il cammino inverso, ovvero determinare il campo elettrico E noto il
potenziale V(x,y,z) nello spazio, richiede una derivazione.
Vale sempre che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale
passante per P(x0,y0,z0).
Dalle definizioni stesse di lavoro e potenziale:
dL  dU   q0 dV  q0 Eds cos   q0 E cos  ds
E cos   Es  
dV
ds
Es è proprio la componente di E lungo la direzione di ds.
Dunque, in generale la componente di E in qualsiasi direzione è la derivata
del potenziale elettrico, cambiata di segno, lungo quella direzione.
Rispetto agli assi x, y e z:
V ( x, y, z )
V ( x, y, z )
V ( x, y, z )
Ex  
; Ey  
; Ez  
x
y
z
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

 E  V
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Appendice: analogia con la forza gravitazionale
Elettrostatica
Grandezza
Espressione Unità
Forza
Costante
Gravitazione
F k
q1 q2
N
r2
k  8.99 10


F qE
9
Grandezza
kg m
s2
Espressione Unità
F G
Forza
N m2
C2
m1m2
r2
G  6.67 10
Costante
11


F ma
N m 2 kg m 3 s 2
2
3 4


[k ] 
kg
m
s
A
( A s) 2
C2
k
1
4  0
N
kg m
s2
N m2
kg 2
 0  8.854 10 12
( A s) 2
C2
1
3
4
2


[ 0 ] 
kg
m
s
A
N m 2 kg m 3 s  2
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Esescizi Lezione 10
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W.
Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
19.1: Verificare l’esattezza della seguente affermazione di R. Feynman: due persone di
70 kg distanti un metro che avessero un numero di elettroni maggiore dell’1% rispetto al
numero di protoni, si respingerebbero con una forza pari alla forza peso associabile alla
massa della terra. Si ricordi che l’unità di massa atomica u=1.66·10-27 kg. [70 kg ≈ 4·1028 u ⇒ Q ≈ 2
·1026 e ≈ 3·107 C ⇒ F ≈ 1025 N ≈ Mt ·g = 6·1024 ·9.8]
19.2: Tre cariche puntiformi sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato L = 0.500
m, e valgono rispettivamente: QA = 2  C, QB = -4  C, QC = 7  C. Determinare la forza
agente sulla carica QC generata dai campi prodotti dalle cariche QA e QB.
[ F1 = (0.252i + 0.436j) N ; F2 = (0.503 i - 0.872j) N ; F=F1+F2=(0.755i - 0.436j) N ; |F |=0.872 N, =-30°]
19.10: Due piccole sfere di massa M sono sospese a delle funicelle di lunghezza L
collegate in un punto. Una sfera ha carica Q e l’altra 2 Q, mentre la loro distanza è r<<L.
Assumendo che gli angoli siano piccoli in modo che si possa scrivere sin = tan =  (in
radianti) si dimostri: a) che 1 = 2 = r/(2L), b) che r = [(4kQ2L)/(Mg)]1/3
19.11: Una sfera isolante di raggio a ha una densità di carica uniforme  e una carica
totale Q. La sfera è concentrica ad una sfera cava conduttrice che la contiene e ha raggi
interno e esterno rispettivamente b e c. Sapendo che la sfera esterna conduttrice non è
carica, si determini: a) l’intensità del campo elettrico nelle regioni: r<a, a<r<b, b<r<c, r>c;
b) la densità di carica indotta sulla superfici interna ed esterna della sfera cava. [ a) Er<a=
(r)/(30), Ea<r<b= Q/(40 r2), Eb<r<c= 0, Er>c= Q/(40 r2), b) int=-Q/(4b2), ext=Q/(4c2) ]
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Esescizi Lezione 10 - continua
20.4: Dimostrare che la quantità di lavoro L necessario per mettere insieme quattro
cariche puntiformi identiche di grandezza Q ai vertici di un quadrato di lato a è dato da:
L = 5.41·k·Q2 / a. Calcolare il lavoro necessario nel caso in cui sia Q=1C e a=1m
[ 4.9 · 10-2 J ]
Date 2 cariche puntiformi Q1=1C e Q2 =-1C giacciono su un piano nelle posizioni P1
(1,2) e P2 (-1,-2). Sapendo che tutte le coordinate sono espresse in metri, calcolare: a) il
vettore campo elettrico, b) il potenziale, prodotti dalle 2 cariche nel punto P(1,0).
[E (1,0) = - (0.80 i + 3.05 j ) V/m ; V (1,0) = 1.30 ·103 V ]
In una certa regione di spazio il potenziale elettrico è dato da V = 5x – 3x2y + 2yz2.
Determinare: a) le espressioni delle componenti del campo elettrico E, in funzione di x, y,
z, b) il modulo di E nel punto P(1, 0, -2). [ a) E = -V, Ex = -5 + 6xy, Ey = 3x2 – 2z2, Ez = -4yz ; b)
E(1,0,-2) = 7.07 N/C ]
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