La lente gravitazionale puntiforme

Università degli Studi del Salento
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea Triennale in Fisica
Tesi di Laurea
La lente gravitazionale puntiforme e simulazioni numeriche
Candidato:
Relatore:
Luigi Scialpi
Dott. Achille Nucita
Anno Accademico 2014–2015
Indice
Introduzione
iv
1 Il microlensing gravitazionale
1
1.1
Microlensing: breve descrizione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
La scoperta dell'eetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
L'approssimazione Newtoniana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
L'equazione della lente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
1.4.1
Rappresentazione graca dell'equazione di ray-trace . . . . .
8
1.4.2
L'equazione della lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
L'amplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5.1
Caso di sorgente estesa - Fattore di amplicazione . . . . . .
12
1.5.2
Il fattore di amplicazione totale
14
. . . . . . . . . . . . . . .
2 Simulazione di un evento di lente gravitazionale
2.1
La geometria di un evento
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1
Sorgente estesa uniformemente illuminata
. . . . . . . . . .
19
2.1.2
Approssimazione dell'amplicazione per una sorgente nita .
21
2.2
Astrometria del microlensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Simulazioni numeriche
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Codice del programma
34
Conclusione
39
Riferimenti bibliograci
40
i
Elenco delle gure
1.1
Le due immagini a e b del quasar QSO 0957+561. La galassia che
fa da lente gravitazionale è indicata con G
1.2
1.3
. . . . . . . . . . . . . .
Le quattro immagini del QSO 2237+0305 detto anche
Einstein
Croce di
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
Un anello di Einstein quasi perfetto della sorgente MG1654-1346
rilevato con osservazioni ottiche (a sinistra) e con osservazioni radio
(immagine di destra)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Un'immagine ripresa dalla cartograa Sloan Digital Sky Survey (SDSS)
5
1.5
Deessione Newtoniana di un fotone causata dalla lente
. . . . .
6
1.6
∆v = cϕ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7
M
Geometria della deessione di un raggio causata da una lente puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8
Soluzione graca del lensing di una lente puntiforme posta nell'origine degli assi
1.9
8
α−θ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Posizioni angolari delle immagini per quattro diversi valori di
θS
. .
9
11
1.10 Geometria dell'amplicazione di una sorgente arcoforme. I punti
a−d della sorgente hanno immagini a0 −d0 e a00 −d00 . Le due immagini
I1
e
I2
sono amplicate nella direzione azimutale e deamplicate in
quella radiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.11 Forme e posizioni (in scuro) delle immagini di una sorgente sferica
(in chiaro) prodotte da una lente puntiforme (punto nero) al variare
di
θS .
Il cerchio nero è l'anello di Einstein per una sorgente pun-
tiforme. La scala angolare è arbitraria. Non appena la sorgente si
discosta dalla lente, l'anello di Einstein (a) si divide in due archi
(c,d) e successivamente in due archi allungati detti
con diversa amplicazione
1.12 Posizioni
u1
e
u2
I1
e
I2
sul piano della lente
Sistema lente - sorgente in un piano arbitrario
2.2
Sistema lente - sorgente nel piano
εη
xy
. . . .
ingrandimento (uS
. . . . . . . . . .
17
18
Il tempo è legato al tempo
= u0 )
ed al tempo di Einstein
attraversare l'anello di Einstein
sorgente discoidale
velocità
v
S
TE
t0
di massimo
impiegato per
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
che si muove nel piano centrato in
L
20
con una
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
14
16
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Amplicazione in funzione del tempo di dieci diverse traiettorie (curve di luce ) con parametri d'impatto u0 = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5,
0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0.
2.4
(e,f )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
delle immagini
2.1
2.3
caustiche
20
Elenco delle gure
2.5
iii
Geometria di un sistema composto da lente singola puntiforme, nella
L, e una sorgente estesa, con centro in S e raggio proiettato
ρ; uS è la loro distanza fra i punti L ed S . A sinistra: la lente è
all'esterno della sorgente (u > ρ), uS,1 è la distanza fra L e la prima
intersezione con il bordo della sorgente nella direzione radiale, uS,2
è la distanza fra L e la seconda intersezione. A destra: la lente è
all'interno del raggio della sorgente (uS < ρ), uS,2 è la distanza fra
L e l'intersezione della direzione radiale con il bordo della stella . .
Andamento dello spostamento parallelo all'asse ε del centroide rispetto alla posizione della sorgente (proporzionale a (t − t0 )/TE ) per
dierenti valori del parametro d'impatto u0 . . . . . . . . . . . . . .
Andamento dello spostamento parallelo all'asse ε del centroide rispetto alla posizione della sorgente (proporzionale a (t − t0 )/TE ) per
dierenti valori del parametro d'impatto u0 . . . . . . . . . . . . . .
posizione
2.6
2.7
2.8
26
27
Andamento del modulo del vettore spostamento del centroide rispetto alla posizione della sorgente (proporzionale a
dierenti valori del parametro d'impatto
2.9
22
u0
(t − t0 )/TE ) per
. . . . . . . . . . . . . .
27
Rapporto tra le componenti parallela e perpendicolare dello spostamento del centroide al variare del parametro d'impatto
. . . . . . .
28
2.10 Andamento dell'angolo compreso tra l'asse verticale e la direzione
del vettore spostamento del centroide rispetto alla posizione della
sorgente nel tempo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Caso di sorgente puntiforme, quindi
molto piccolo
2.12 Caso in cui
u0 = 0.8 arbitrario e ρ = 0.0001,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u0 = ρ = 0.5
u0 = 0.8
30
raggi di Einstein, quindi il bordo della
ε. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ρ = 1 raggi di Einstein, quindi la sorgente è
t = 0 le due immagini si sovrappongono alla
sorgente tocca in ogni istante l'asse
2.13 Caso in cui
28
31
e
stata ingrandita. Per
sorgente, assumendo una forma ovoidale
. . . . . . . . . . . . . . .
32
u0 = 0, dunque la sort = 0 le due immagini si
2.14 Caso in cui il parametro d'impatto minimo
gente si sposta lungo l'asse
ε.
Quando
sovrappongono alla sorgente, posta nell'origine degli assi
. . . . . .
33
Introduzione
Una delle conseguenze più aascinanti ed importanti della Teoria della Relatività
Generale è il fenomeno della lente gravitazionale, che si manifesta attraverso la
deessione della radiazione emessa da una sorgente luminosa a causa della presenza
di una massa posta tra la sorgente e l'osservatore. Questo fenomeno è utilizzato con
regolarità per studiare la distribuzione delle stelle nella Via Lattea, per indagare
sia la materia oscura che l'energia oscura su grandissima scala e per scoprire pianeti
extrasolari.
Nel capitolo 1 di questo lavoro di tesi è stata fatta una panoramica della nascita
dell'eetto di lensing gravitazionale a partire dall'approssimazione Newtoniana, e
data l'equazione della lente della Relatività Generale si sono calcolate le posizioni
delle immagini soluzioni dell'equazione e le relative amplicazioni nel caso di una
sorgente estesa.
Nel capitolo 2, invece, si è studiata l'evoluzione temporale del sistema sorgente lente nel caso di una sorgente uniformemente illuminata, si è visto come si spostano
le immagini a causa dell'eetto lente gravitazionale (fenomeno detto microlensing
astrometrico) e sono state presentate delle simulazioni di eventi di lensing con
diversi parametri iniziali.
Inne nel capitolo 3 è stato riportato il codice, scritto in Fortran, che ha permesso di simulare lo spostamento della sorgente relativamente alla lente puntiforme.
iv
Capitolo 1
Il microlensing gravitazionale
I campi gravitazionali distorcono la struttura dello spazio−tempo costringendo i
raggi di luce a seguire delle curve dette
geodetiche nulle,
ossia dei percorsi che
rendono minima la distanza fra due punti in uno spazio curvo; ad un osservatore
sembrerà che il campo gravitazionale pieghi il cammino della luce.
In questo capitolo vedremo come questa idea fosse già diusa e vericabile
grazie alle leggi della dinamica di Newton e alla sua legge di gravitazione universale.
Inoltre, andremo a vedere la dipendenza esistente tra l'angolo di deessione subito
dalla luce e quello che sottende l'immagine della sorgente vista da un osservatore
arbitrario, scoprendo, grazie all'equazione della lente, che l'immagine non è unica.
1.1 Microlensing: breve descrizione
Il lensing gravitazionale è un fenomeno sico che consiste nella deviazione dei raggi
luminosi provenienti da una sorgente di fondo a causa dell'attrazione gravitazionale
di un corpo massivo che agisce da lente.
Il microlensing gravitazionale è un caso particolare del lensing in cui il corpo
in primo piano, che passa lungo la linea di vista della sorgente di fondo, genera
immagini multiple aventi tipicamente separazioni angolari dell'ordine di un milliarcosecondo (
m arcsec, mas), dunque irrisolvibili.
L'estensione angolare di queste
immagini è maggiore dell'estensione della sorgente, ed inoltre il usso luminoso
proveniente dalla sorgente è amplicato dal lensing gravitazionale e segue un andamento tipico rappresentato dalla cosiddetta
curva di luce, descritta analiticamente
da Paczy«ski nel 1986 [12].
Se la lente è accompagnata da un corpo secondario, ad esempio un pianeta,
quest'ultimo perturberà ulteriormente l'immagine e la curva di luce presenterà una
protuberanza o un avvallamento [10].
1.2 La scoperta dell'eetto
La prima testimonianza scritta della deviazione gravitazionale della luce fu l'articolo pubblicato da Johann Soldier nel 1801 [15], un geologo, astronomo e matematico
che utilizzò la meccanica Newtoniana per il calcolo teorico di un raggio di luce de-
1
1.2. La scoperta dell'eetto
2
viato da corpi massivi, trovando che l'angolo di deessione al bordo solare assumeva
un valore di
0.84
secondi d'arco.
Nel 1911 Einstein eettuò nuovamente il calcolo della deessione della luce
causata dal Sole, ed ottenne un valore pari a 0.87 secondi d'arco calcolato, così
come fatto da Soldner, utilizzando la sica Newtoniana come era consuetudine in
quel periodo.
Il 14 dicembre 1913 Einstein chiese ad Hale se fosse possibile osservare un tale
angolo di deessione. La risposta fu negativa ma Einstein, nel 1915, rifece il calcolo
servendosi della sua Teoria trovando un angolo di 1.75, dunque un eetto di deessione due volte più intenso rispetto a quanto previsto dalla legge di gravitazione
universale. Proprio quest'ultimo valore fu vericato per la prima volta nel 1919, in
uno storico esperimento guidato da Arthur S. Eddington.
Nel 1936 Einstein pubblicò un articolo su Science [6] nel quale spiegava come
si manifesta l'eetto lente quando una stella, durante il suo cammino sulla volta
celeste, intercetta la visuale di una stella più lontana. In particolare egli descrisse
come si potesse formare un anello luminoso (oggi detto
anello di Einstein ),
che
degenera in immagini multiple quando la sorgente e la lente non sono perfettamente
allineate e, inne, come misurare l'amplicazione della luminosità apparente della
sorgente. Il sico tedesco concluse spiegando come questo fenomeno fosse molto
dicile da osservare direttamente per via della piccola separazione angolare delle
immagini prodotte.
Tuttavia, Einstein aveva preso in considerazione solo il
lensing prodotto da una
singola stella, invece il sico svizzero Zwicky [17] capì che il fenomeno sarebbe stato
visibile se al posto di una stella si fosse considerata, ad esempio, una nebulosa extragalattica: in questo caso infatti la nebulosa avrebbe agito da lente gravitazionale
producendo una separazione angolare sucientemente grande delle immagini di
una sorgente di fondo. Quarant'anni dopo Walsh, Carswell e Weymann (nel 1979)
osservarono eettivamente una doppia immagine del quasar 0957+561 prodotta da
una galassia ellittica.
Le immagini ad arco di sorgenti estese, come le galassie, furono per la prima
volta presentate da Lynds e Petrosian nel 1989 [9].
Quasi tutte le formule utilizzate oggi per analizzare il lensing gravitazionale
furono derivate da Refsdal (1964) [14].
Chang e Refsdal, nel 1979 [4], e Gott nel 1981 [7] notarono che anche se una
massa puntiforme in un alone di una galassia lontana creasse una doppia immagine
irrisolvibile di un quasar di fondo, potrebbe essere osservata la variazione di tempo
della luminosità combinata delle due immagini.
In base alla capacità di un telescopio di
separare 1
le immagini della sorgente, si
possono denire diversi tipi di lensing. Se la lente è un oggetto molto massivo, ad
esempio una galassia, le immagini che si formano sono tipicamente ad una distanza
angolare compresa tra 0.1 e 1 e sono quindi separabili per un telescopio con un
suciente potere risolutivo: in questo caso il lensing gravitazionale è denito
crolensing.
ma-
Nelle gure 1.1-1.4 si riportano alcune immagini di lente gravitazionale
causate da galassie che si interpongono tra l'osservatore ed una sorgente lontana.
1 Due
sorgenti sono dette separabili se si trovano ad una distanza angolare maggiore di δθ =
D il diametro del telescopio.
1.22λ/D, doveλ è la lunghezza d'onda della luce e
1.2. La scoperta dell'eetto
Figura 1.1:
3
Le due immagini a e b del quasar QSO 0957+561. La galassia che fa da lente
gravitazionale è indicata con G.
Figura 1.2:
Le quattro immagini del QSO 2237+0305 detto anche Croce
di Einstein.
1.3. L'approssimazione Newtoniana
Figura 1.3:
4
Un anello di Einstein quasi perfetto della sorgente MG1654-1346 rilevato con
osservazioni ottiche (a sinistra) e con osservazioni radio (immagine di destra).
Invece, quando la geometria del sistema composto da sorgente, lente ed osservatore è tale che la separazione angolare delle immagini è dell'ordine del milionesimo
di arcosecondo (µarcsec) si parla di
microlensing :
in questo caso le sorgenti non
sono separabili, come già anticipato da Einstein nel 1936, e ciò che si potrebbe
osservare è un incremento della brillanza della sorgente seguito da un decremento
no al valore di base.
L'argomento ritornò in auge grazie ad un articolo di Paczy«ski del 1986, nel
quale egli suggerì di osservare dei gruppi molto vasti di stelle appartenenti alla
Grande Nube di Magellano (LMC), in modo da cogliere le variazioni signicative
della curva di luce delle stelle.
Il termine
microlensing
fu proposto da Paczy«ski nel 1986 [12] per descrive-
re il lensing gravitazionale che può essere osservato dalla misura della variazione
d'intensità di una macro-immagine formata da un certo numero di micro-immagini
irrisolte.
Paczy«ski aveva intenzione di vericare se la materia oscura potesse essere
presente nella forma di oggetti compatti, chiamati MACHOs (acronimo di MAssive
Compact Halo Objects, cioè oggetti compatti e pesanti dell'alone galattico), come
nane bianche, stelle di neutroni, nane brune e, in generale, oggetti caratterizzati
da una luminosità intrinseca molto bassa.
Nel 1993 furono osservati i primi due eventi di microlensing. A dispetto della
previsione del sico tedesco, la tecnica del microlensing è diventata uno standard
utile a identicare non solo MACHOs ma anche a scoprire pianeti extrasolari ed
addirittura, avendo a disposizione un tempo osservativo suciente ed un telescopio
dal grande diametro, pianeti nelle galassie vicine.
1.3 L'approssimazione Newtoniana
Come già anticipato, lo spazio-tempo si curva in prossimità di una massa e la luce
si propaga in esso secondo una linea non retta. Ad esempio, la luce di una stella
1.3. L'approssimazione Newtoniana
Figura 1.4:
5
Un'immagine ripresa dalla cartograa Sloan Digital Sky Survey (SDSS).
lontana che si trova apparentemente vicino al disco del Sole sarà deviata rispetto
alla traiettoria eettivamente percorsa dai fotoni, di modo che la stella ci appaia
spostata rispetto alla sua posizione reale di un certo angolo.
La prima discussione qualitativa dell'eetto fu eettuata da Newton nel 1704,
mentre il primo calcolo della deessione della luce fu pubblicato nel 1804 da Soldner.
Il procedimento da seguire è il seguente.
M ed un fotone γ , trattato come una particella
m M, proveniente dalla sorgente luminosa S e captato dall'osservatore O dopo essere stato deviato da M. L'angolo ϕ è la deviazione angolare del
fotone fra la direzione originaria di S e quella, apparente, dell'immagine (vedi la
Figura 1.5). Il segmento b, detto parametro d'impatto, è la minima distanza del
fotone γ dalla lente M.
Si consideri una stella di massa
avente massa
In generale, la legge di gravitazione universale aerma che
GmM
F~ = − 2 r̂,
r
dove
r̂
(1.1)
è il vettore unitario con origine in
Si consideri ora la componente
di
m,
Fx =
M
che punta il fotone in (
Fx perpendicolare alla direzione iniziale del moto
GmM
cos α,
r2
α come in gura.
cosα ' b/r, dunque
con
Fx = GmM
(b2
(1.2)
Per piccoli angoli di curvatura
ϕ
si ha che
b
.
+ y 2 )3/2
Per la seconda legge della dinamica vale
dvx
b
= −GM 2
dt
(b + y 2 )3/2
b,y ).
r ' (b2 + y 2 )1/2
e
(1.3)
Fx =mdvx /dt, quindi
(1.4)
1.3. L'approssimazione Newtoniana
Figura 1.5:
6
Deessione Newtoniana di un fotone causata dalla lente M.
da cui, integrando su tutto l'intervallo di tempo, si ottiene un valore nale della
velocità
vx
pari a
Z
+∞
2GM b
GM b
dt =
2
2
3/2
(b + y )
c
vx =
−∞
avendo posto
dt ≈ dx/v
+∞
Z
0
(b2
2GM
dy
=
,
2
3/2
+y )
bc
e tenuto conto che, trattandosi di un fotone,
(1.5)
vy =c.
Si fa presente che tale risultato si sarebbe ottenuto anche senza integrazione,
cioè assumendo
|F~ |
costante.
L'angolo di curvatura Newtoniano
ϕN
per una lente puntiforme è quindi (vedi
Figura 1.6)
ϕN =
2GM
2GM
vx
=
,
=
2
c
bv
bc2
(1.6)
dove si è assunto che la direzione dei vettori di velocità del fotone prima e dopo
l'interazione sia parallela, rispettivamente, alla direzione di propagazione iniziale e
nale.
m:
Come si evince dalla forma di
se si assume
km e
b=R,
M ' 2 × 1030
ϕ'
e con
R
vx ,
questo risultato è indipendente dalla massa
si considera il raggio del Sole pari a circa
700000
kg, la deessione angolare di un fotone è
2GM
rs
=
' 0.8700 ,
2
Rc
R
(1.7)
1.4. L'equazione della lente
7
Figura 1.6:
dove
rs
è detto
raggio di Schwarschild
∆v = cϕ.
e vale proprio
2GM/c2 .
Questo risultato, ottenuto con la meccanica Newtoniana, è errato.
Einstein, nel 1915, rifece il calcolo utilizzando la sua Teoria della Relatività
Generale, ottenendo un valore dell'angolo di deessione [2] pari a
ϕE = 2ϕN =
4GM
2rs
= 1.7500 ,
=
2
bc
b
(1.8)
dunque esattamente il doppio dell'angolo previsto
ϕN ,
risultato clamorosamente
confermato da Eddington durante l'eclisse solare del 1919.
1.4 L'equazione della lente
A partire dal 1919, si cominciarono a studiare gli eetti della deessione della luce
sulle immagini di corpi celesti.
Come anticipato in precedenza, con la teoria della Relatività Generale, si dimostra che l'angolo di deessione di un fotone che interagisce con il campo gravitazionale a distanza b da un corpo di massa M è dato da α
4
c2 .
(b)= GM/(b )
Ma qual è la relazione che lega la posizione angolare della sorgente con la
posizione dell'immagine vista dall'osservatore?
In riferimento alla Figura 1.7, si consideri un osservatore
sorgente
S
in prossimità di una lente
L
sulla sfera celeste.
d'impatto, che nella gura è rappresentato dal segmento
O
LP .
A causa della deessione della luce provocata dalla lente
vede l'immagine
I
alla retta passante per
θS
Sia
L,
che guarda una
b
il parametro
l'osservatore in
della sorgente posta ad una distanza angolare
O
ed
L;
θ
rispetto
se il raggio arrivasse all'osservatore senza subire
alcuna deessione, l'immagine della sorgente si troverebbe in
angolare
O
rispetto alla stessa congiungente.
S, cioè ad una distanza
Si indichi ora con
α
l'angolo di
deessione subito dalla traiettoria del fotone a causa del campo gravitazionale
della lente.
Dalla stessa gura, si osserva che il triangolo IPS è rettangolo, vale
quindi
h = P S tan α ' P Sα ' DLS α.
(1.9)
Analogamente per il triangolo IOS
h = (θ − θS )OS ' (θ − θS )DS .
(1.10)
1.4. L'equazione della lente
Figura 1.7:
8
Geometria della deessione di un raggio causata da una lente puntiforme.
Ponendo a sistema la (1.9) e la (1.10), si ottiene
α = (θ − θS )
DS
,
DLS
(1.11)
che è un'equazione, detta equazione di
ray-trace,
che denisce
α
dipendentemente
dalle variabili geometriche del problema.
Osservando che, per piccoli angoli
b=DL tanθ'DL θ, possiamo riscrivere la (1.8)
come
α=
4GM
,
θDL c2
(1.12)
un'equazione che lega quindi l'angolo di deessione all'angolo alla quale si trova
l'immagine rispetto al sistema di riferimento utilizzato dall'osservatore. Una sua
rappresentazione graca è data dai due rami d'iperbole riportati in Figura 1.8.
1.4.1 Rappresentazione graca dell'equazione di ray-trace
α è riportato sull'asse
θ rispetto all'asse di riferimento e
l'angolo θ è proporzionale al parametro
Sempre con riferimento alla Figura 1.8, l'angolo di deessione
verticale in funzione della posizione dell'immagine
per valori sia positivi che negativi. Poiché
d'impatto
b,
l'asse orizzontale è anche una misura di questo parametro:
infatti
quando il parametro d'impatto è molto grande, l'angolo di deessione converge a
zero. Se d'altra parte l'immagine è molto vicina alla posizione della lente, l'angolo
di deessione diventa molto grande.
In questa stessa gura, l'equazione di
e intercetta con l'asse delle ascisse (α
ray-trace è una retta di pendenza DS /DLS
= 0) pari a θS .
Come si vede, la retta interseca
i due rami d'iperbole nei punti (θ1 , α1 ) e (θ2 , α2 ), e questo signica che l'osservatore
1.4. L'equazione della lente
9
Soluzione graca del lensing di una lente puntiforme posta nell'origine degli assi
α−θ.
Figura 1.8:
vedrà sempre due immagini. Queste sono le posizioni che soddisfano sia l'equazione
di
ray-trace
che la relazione sull'angolo di deessione data dall'equazione (1.12).
Il graco ci dice che esistono due immagini che, relativamente all'asse osservatore
−
θ1
lente, si trovano alle posizioni angolari
θ1
corrisponde ad una angolo di deessione
α2
deessione
corrispondente all'immagine in
e
θ2 .
α1
θ2 .
In particolare, l'immagine in
che è più piccolo dell'angolo di
Inoltre, le due immagini si sono
formate sull'asse passante per la posizione della sorgente e perpendicolare alla
congiungente
L − O.
Si consideri ora cosa accade quando la posizione della sorgente
spetto alla lente. Se la sorgente è dietro la lente, l'angolo
θS = 0
θS
cambia ri-
e si formeranno
sempre due immagini diametralmente opposte alla posizione della sorgente. Per la
simmetria circolare del problema, l'osservatore vedrà la formazione dell'anello di
Einstein, di dimensione angolare
θE .
Se la sorgente si allontana dalla lente, la retta
a sé stessa lungo gli angoli
θ
ray-trace si sposta parallelamente
crescenti. Questa retta intersecherà sempre i due rami
d'iperbole in due punti, con la particolarità che una immagine
posizione reale della sorgente mentre l'altra,
I2 ,
I1
si avvicina alla
si avvicina alla posizione della
lente.
1.4.2 L'equazione della lente
Per quanto visto in precedenza, le posizioni delle immagini prodotte da un evento
di lente gravitazionale possono essere calcolate analiticamente considerando l'equazione (1.11) e ricordando la relazione (1.8). Uguagliando membro a membro,
Equazione della lente
si ottiene l'
DS
4GM
= (θ − θS )
.
2
θDL c
DLS
(1.13)
1.4. L'equazione della lente
10
Essa descrive l'angolo radiale dell'anello di Einstein per una sorgente posta ad
una distanza nita
Se la sorgente
ponendo
θ=θE ,
DS .
S fosse
posta direttamente dietro la lente
4GM DLS
θE =
c2 D L D S
1/2
4GM 1
=
c2 D
D ≡ (DL DS )/DLS ,
Anello di Einstein.
avendo posto
detto
L, θS =0
e quindi,
si ha
1/2
chiamato
,
(1.14)
parametro di distanza.
L'angolo
θE
è
Analogamente, si può denire il raggio di Einstein come
r
RE = θE DL =
4GM DLS DL
.
c2
DS
L'angolo di Einstein
θE =
dove
M
sorgente,
θE
(1.15)
può essere scritto nel seguente modo
p
kM πrel ,
(1.16)
πrel = AU × D è la
−1
k = 4G/c2 AU ' mas MJ
.
è la massa della lente,
D
come sopra, e
parallasse relativa lente -
Quantitativamente,
θE = 550 mas
M
0.3MJ
1/2 πrel
125µas
1/2
,
(1.17)
che corrisponde ad un raggio sico dell'anello di Einstein alla distanza della lente
rE = 2.2AU
dove
M
0.3MJ
1/2 x = DL /DS .
Si osserva che se la sorgente
S
DS
8kpc
1/2 x(1 − x)
0.25
va all'innito,
1/2
,
DS ≈DLS
(1.18)
e l'equazione della lente
si riduce alla già vista (1.8).
Tenendo conto della (1.14), l'equazione della lente può essere semplicata nella
forma quadratica
θ2 − θS θ − θE2 = 0
da cui, risolvendo in
θ1,2 =
θS ±
θ,
(1.19)
si ottengono le due soluzioni
p
θS2 + 4θE2
.
2
(1.20)
Si possono ottenere quindi le posizioni delle immagini se conosciamo la posizione
della sorgente
θS
e le quantità, prettamente geometriche, incluse in
Le posizioni delle immagini per diversi valori di
θS
θE .
ottenuti da (1.20) sono
mostrati in Figura 1.9 così come apparirebbero ad un osservatore.
1.4. L'equazione della lente
Figura 1.9:
Quando
11
Posizioni angolari delle immagini per quattro diversi valori di θS .
θS = 0,
cioè con la sorgente direttamente dietro la lente puntiforme
(1.9a), si forma un anello luminoso detto
anello di Einstein,
ed in questo caso
l'equazione (1.19) ha soluzioni
a)
θ1,2 = ±θE .
(1.21)
Non appena la sorgente si sposta lungo il piano sorgente-osservatore-lente (SOL),
con
0 < θS θE ,
b)
θ1 ≈
si ottengono le due soluzioni
θS
+ θE ;
2
θ2 ≈
θS
− θE .
2
(1.22)
Ciò signica che l'osservatore vedrà due immagini, come in Figura 1.9b: una
giacente all'interno dell'anello di Einstein, l'altra appena all'esterno di esso.
Quando la sorgente
S
si trova esattamente sull'anello, e quindi
θS = θE
(Figura
1.9c), le immagini si troveranno ad una distanza angolare dall'osservatore pari a
c)
√
1− 5
θ2 =
θE ≈ −0.62 θE .
2
√
1+ 5
θE ≈ 1.62 θE ;
θ1 =
2
L'immagine
I1
si allontana sempre più dalla lente, mentre
narcisi. Si nota che le distanze
I1 −S
ed
I2
(1.23)
tende ad avvici-
L−I2 rimangono tra loro uguali nel tempo.
Infatti si può calcolare facilmente la distanza che intercorre tra una immagine e la
lente o la sorgente usando l'equazione (1.20). In particolare, risulta che
∆θI1 ,S
p
θS2 + 4θE2 − θS
= θ1 − θS =
2
per la distanza angolare tra l'immagine
p
∆θI2 ,S = θ2 − θS = θ2 − 0 =
per la distanza tra l'immagine
I2
I1
(1.24)
e la sorgente, ed analogamente
θS2 + 4θE2 − θS
2
e la sorgente.
(1.25)
Si osserva quindi che, prese in
modulo, le due distanze angolari precedenti sono uguali nel tempo.
1.5. L'amplicazione
12
Gli angoli di curvatura
utilizzando l'equazione
α1
α2
e
ray-trace
θS = θE ,
DLS /DS =
possono essere calcolati, quando
(1.11) ed assumendo arbitrariamente
0.6:
1
(θ1 − θE ) = 1.03 θE ;
0.6
1
(θ2 − θE ) = −2.70 θE .
(1.26)
0.6
Si osserva che l'immagine inferiore subisce una curvatura α2 molto grande, come
α1 =
α2 =
previsto, in quanto il raggio passa molto vicino alla lente.
Il caso in Figura 1.9d è dato per
θS θE , nello specico θS = 3θE .
Le soluzioni
dell'equazione (1.19) sono
θE2
θ1 ≈ θS 1 + 2 → θS ;
θS
d)
θ2 ≈ −θS
θE2
→ 0.
θS2
(1.27)
Si può osservare che una immagine giace molto vicino alla sorgente, ed ha quindi
un angolo di deessione molto piccolo, mentre l'altra è prossima alla lente, ed ha
θS , l'immagine I1
alla lente L.
quindi un angolo molto grande. Al crescere di
sorgente
S,
mentre l'immagine
I2
si unirà
si sovrapporrà alla
1.5 L'amplicazione
Le due immagini di una sorgente puntiforme, in genere, non appaiono equamente
illuminate a causa di un fenomeno detto
amplif icazione.
Se un'immagine è am-
plicata, essa sottende un grande angolo solido maggiore rispetto a quello sotteso
dalla sorgente in assenza della lente.
L'amplicazione
M
è in generale un parametro unidimensionale che fornisce
un'informazione circa la dimensione di un oggetto osservato. Ad esempio se
M =1
la dimensione angolare dell'oggetto visto ad occhio nudo rimane invariata, mentre
se
M =4
l'oggetto risulta ingrandito di quattro volte.
Una sorgente che subisce l'eetto lente gravitazionale produce una diversa
amplicazione nella direzione radiale
Mrad
ed in quella azimutale
Maz .
1.5.1 Caso di sorgente estesa - Fattore di amplicazione
Si consideri come sorgente un segmento angolare di una banda circolare con luminosità superciale costante, come in Figura 1.32.
Le due immagini di un punto della sorgente devono trovarsi ognuna sulla retta denita da quel punto e dalla lente, e le distanze dalla lente devono essere
ovviamente in accordo con (1.20).
Se la dimensione della sorgente
∆θS
è più piccola di
θS
in entrambe le direzioni
radiale e azimutale, si può direttamente trovare una espressione analitica per il
fattore di amplicazione µ ≈ Maz Mrad
per ognuna delle due immagini.
L'amplicazione nella direzione azimutale è proporzionale alla distanza dell'immagine dalla lente; dato che l'amplicazione azimutale è unitaria per
che
θ = θS ,
si ha
Maz = θ/θS .
L'amplicazione nella direzione radiale Mrad è il rapporto tra la separazione
b0 e a0 e quella dei punti b ed a, e può essere scritta come
radiale dei due punti
Mrad = ∆θ/∆θS → Mrad = dθ/dθS
per elementi innitesimali.
1.5. L'amplicazione
Figura 1.10:
13
Geometria dell'amplicazione di una sorgente arcoforme. I punti a − d della sorgente hanno immagini a0 − d0 e a00 − d00 . Le due immagini I1 e I2 sono amplicate
nella direzione azimutale e deamplicate in quella radiale.
In tal modo il fattore di amplicazione per una sorgente estesa molto piccola,
tale che
∆θS θS ,
può essere scritto come
µ ≈ Maz Mrad =
θ dθ
.
θS dθS
(1.28)
Si consideri ora l'equazione della lente (1.19). Risolvendola per
θS
θE2
θE2
θS = θ −
=θ 1− 2 ,
θ
θ
dividendo per
Maz
θ
(1.29)
ed invertendo si ottiene
θ
=
=
θS
−1
θE2
.
1− 2
θ
Mrad ,
Analogamente per
(1.30)
considerando la derivata di (1.29) rispetto a
θ,
si
ottiene
−1
Mrad
dθS
d
=
=
dθ
dθ
θE2
θ2
θ−
= 1 + E2
θ
θ
Il fattore di amplicazione
µ = Maz Mrad =
θ4
1 − E4
θ
µ
→
Mrad =
θ2
1 + E2
θ
−1
.
(1.31)
è proprio il prodotto tra (1.30) e (1.31),
−1
.
Ma come variano le immagini al variare dell'angolo
(1.32)
θS
compreso tra la sorgente
e la lente?
Si prenda in considerazione la Figura 1.11.
Inizialmente la sorgente si trova direttamente dietro la lente, formando l'anello
di Einstein (1.11a). In questo caso, il fattore di amplicazione cresce all'innito
1.5. L'amplicazione
Figura 1.11:
14
Forme e posizioni (in scuro) delle immagini di una sorgente sferica (in chiaro)
prodotte da una lente puntiforme (punto nero) al variare di θS . Il cerchio nero è
l'anello di Einstein per una sorgente puntiforme. La scala angolare è arbitraria.
Non appena la sorgente si discosta dalla lente, l'anello di Einstein (a) si divide in
due archi (c,d) e successivamente in due archi allungati detti caustiche (e,f) con
diversa amplicazione.
∆θS θS ,
poiché, quando
un punto della sorgente nell'origine è innitamente
piccolo.
Non appena la sorgente sferica emerge da dietro la lente, l'immagine
θE
al di là di
µ1
e
µ2
I2
mentre
verso l'interno dell'anello.
I1 si muove
I fattori di amplicazione
sono inizialmente grandi e vanno decrementandosi all'allontanarsi della
θS θE , le soluzioni (1.20) dell'equazione della lente
quindi µ1 tende all'unità, mentre l'amplicazione µ2 di I2
sorgente dalla lente. Quando
dicono che
θ1 θE
e
decresce no a diventare negativa, il che signica che l'immagine risulta capovolta.
Il capitolo successivo sarà dedicato alla descrizione dettagliata di come produrre la
Figura 1.11 per una sorgente estesa di luminosità uniforme, che si muove di moto
relativo rispetto alla lente.
1.5.2 Il fattore di amplicazione totale
Si consideri ora il caso in cui le due immagini non siano separate. L'osservatore
vede le due immagini
I1
e
I2 ,
una amplicata e l'altra deamplicata.
amplicazione totale delle due immagini.
In questo
caso, è utile studiare l'
µ1 e µ2 (1.32) in
θ1,2 di (1.20). Per
θS e θ utilizzando
A questo scopo, si esprimono inizialmente le amplicazioni
termini di
θS
e
θE
invece di
θ
e
θE
sostituendo le soluzioni
semplicare il calcolo, si può riscrivere (1.32) in termini di
l'equazione della lente (1.19) e denendo
u ≡ θS /θE ,
distanza angolare in unità di
angoli di Einstein.
Si ottiene inne
µ1,2 =
u2S + 2
1
p
±
,
2 2uS u2S + 4
(1.33)
1.5. L'amplicazione
dove alla soluzione
15
θ1
è associato il segno + ed a
θ2
il segno −.
La somma dei valori assoluti delle (1.33) restituisce l'amplicazione totale
µtot
u2S + 2
= |µ1 | + |µ2 | = p 2
.
uS uS + 4
Si nota che
µtot ' 1.34
quando
uS = 1,
µtot
(1.34)
cioè proprio quando la sorgente inizia
ad entrare all'interno dell'anello di Einstein. Usualmente, si dice che l'eetto lente
ha inizio quando l'amplicazione totale è proprio pari a
Il fattore
1).
(uS
µtot
1.34.
assume grandi valori quando la sorgente si trova vicino alla lente
Quando invece la sorgente è lontana dalla lente (uS
cazione totale si avvicina all'unità e vale
1
1),
l'ampli-
proprio quando l'eetto lensing è
nullo.
In particolare, si osserva che per
µtot '
e per
uS 1,
si ha
1
,
uS
(1.35)
uS 1
µtot ' 1 +
2
,
u4S
(1.36)
di modo che per grandi separazioni angolari la stella lente produce una variazione
di magnitudine della stella sorgente pari a
∆m = −
5
.
ln 10u4S
(1.37)
Si osserva inne che
uS =
dove
dS
θS
θS DL
dS
=
=
,
θE
θE DL
RE
è una distanza misurata sul piano della lente. Il parametro
(1.38)
uS
è quindi una
distanza angolare in unità di angoli di Einstein o equivalentemente una distanza
in unità di raggi di Einstein (1.15).
Segue che l'equazione della lente (1.19), se si moltiplica primo e secondo membro
2
per DL , diventa
(θDL )2 − θS DL θDL − θE2 DL2 = 0,
(1.39)
2
= 0.
d2 − dS d − RE
(1.40)
cioè
Se le distanze sono date in unità di raggi di Einstein, l'equazione precedente
2
diventa, dividendo primo e secondo membro per RE
2
d2
dS d
RE
−
−
= 0,
2
2
RE
RE RE
RE
(1.41)
1.5. L'amplicazione
Figura 1.12:
16
Posizioni u1 e u2 delle immagini I1 e I2 sul piano della lente.
da cui, ricordando (1.38),
u2 − uS u − 1 = 0,
dove
uS
(1.42)
è la distanza che separa la sorgente
S
dalla lente
L,
nel piano della
lente, in unità di raggi di Einstein. Risolvere l'equazione (1.42) signica trovare
le posizioni delle immagini
u1
e
u2
in unità di raggi di Einstein nel sistema di
riferimento utilizzato (vedi Figura 1.12).
Capitolo 2
Simulazione di un evento di lente
gravitazionale
In questo capitolo si descriverà brevemente qual è la geometria alla base di un
evento di lente gravitazionale nell'approssimazione di sorgente puntiforme o estesa
ed uniformemente illuminata. Si mostrerà come il contorno della sorgente corrisponde a due immagini tramite l'equazione della lente. Inoltre, si vedrà come si
spostano le immagini a causa dell'eetto lente gravitazionale, fenomeno detto microlensing astrometrico, anche attraverso delle simulazioni di eventi di lensing con
diversi parametri iniziali.
2.1 La geometria di un evento
Si riguardi ora il sistema osservatore - lente - sorgente, rappresentato da un'altra
angolazione nella Figura 1.12.
Figura 2.1:
Sistema lente - sorgente in un piano arbitrario xy .
17
2.1. La geometria di un evento
18
Si consideri un sistema di riferimento di unità siche
xy
nel piano della lente
L
e centrato in essa, così come è visto dall'osservatore normale a questo piano e posto
lungo l'asse
z.
~v
una velocità
La sorgente puntiforme
S,
proiettata in questo piano, si sposta con
di moto rettilineo uniforme lungo una retta parallela all'asse delle
ascisse nella direzione delle
x
crescenti, posta ad una distanza ssa
y0 .
Le coordinate della sorgente sono
(
x = v(t − t0 )
S≡
y = y0
dove
t0
,
(2.1)
è un tempo iniziale arbitrario.
Se si divide primo e secondo membro di ogni coordinata per il raggio di Einstein
RE
(1.15), si ottengono le coordinate della sorgente
(
ε0 ≡
S≡
η0 ≡
x
RE
y
RE
=
=
v
(t − t0 )
RE
y0
= u0
RE
=
in un nuovo sistema di riferimento
t−t0
TE
εη ,
(2.2)
riportato in Figura 2.2.
Il rapporto tra il raggio di Einstein e la velocità
nalmente un tempo, detto
S
tempo di Einstein TE 1 .
|~v |
della sorgente è dimensio-
Si osserva che le nuove coordinate sono adimensionali, ed in particolare espresse
in unità di raggi di Einstein
RE .
Figura 2.2:
Sistema lente - sorgente nel piano εη .
Così come nella Figura 1.7 la distanza angolare tra la sorgente e la lente era
indicata con
θS ,
ora la distanza tra i due oggetti è rapportata al raggio di Einstein
ed è indicata con
1 Il
uS .
tempo di Einstein può essere anche denito come il rapporto tra il raggio di Einstein RE
e la velocità orizzontale della lente v⊥ , TE = RE /v⊥ .
2.1. La geometria di un evento
19
Osservando la Figura 2.2 e tenendo conto delle coordinate (2.2), si può scrivere
che
u2S = ε20 + η02 =
(t − to )2
+ u20 ,
TE2
(2.3)
cioè la distanza della sorgente nel sistema di riferimento considerato cambia nel
tempo,
uS = uS (t).
Come visto, l'equazione (1.33) fornisce l'amplicazione di ogni singola immagine. Ma è appena stato dimostrato che la distanza lente - sorgente è una funzione
del tempo, dunque anche l'amplicazione dipenderà dal tempo. In particolare
µ± (t) =
1
uS (t)2 + 2
p
±
,
2 2uS (t) uS (t)2 + 4
(2.4)
da cui l'amplicazione totale è
µtot (t) = |µ+ (t)| + |µ− (t)| =
uS (t)2 + 2
p
.
uS (t) uS (t)2 + 4
(2.5)
uS → ∞, µ+ → 1 e µ− → 0. Inoltre, per uS 1 l'amplicazione
1/uS mentre per uS 1 l'amplicazione è circa µ(uS ) ' 1 + 2u−4
S ,
Si nota che per
totale va come
cioè essa diminuisce rapidamente per separazioni lente - sorgente grandi.
Mettendosi nel caso di moto rettilineo uniforme, il moto relativo lente - sorgente
è dato dall'equazione
"
uS (t) = u20 +
t − t0
TE
2 #1/2
.
(2.6)
Essa descrive un evento di microlensing simmetrico con una forma caratteristica, detta
curva di Paczy«ski, rappresentato nella Figura 2.3.
I tempi tipici per eventi di microlensing osservati verso il Centro Galattico sono
dell'ordine del mese,
TE = 19d
M
0.3MJ
1/2 πrel
125µas
1/2 v⊥
10.5 mas/yr
−1
,
(2.7)
d sta per giorni, M è la massa della lente, MJ è la massa del Sole e πrel =
AU × D (con D come denito in (1.14)) è la parallasse relativa lente - sorgente.
dove
Se la lente è accompagnata da un pianeta e questo è localizzato vicino alle
traiettorie di una o di entrambe le immagini, il compagno planetario può creare
una perturbazione sull'evento di microlensing primario [10, 8].
2.1.1 Sorgente estesa uniformemente illuminata
Finora si è trattata la sorgente come puntiforme, ma nella realtà le stelle sono
estese e le curve di amplicazione in Figura 2.3 sono soggette a modicazioni più
o meno evidenti quando si tiene conto del fatto che la sorgente è nita.
2.1. La geometria di un evento
Figura 2.3:
20
Amplicazione in funzione del tempo di dieci diverse traiettorie (curve di luce ) con
parametri d'impatto u0 = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0. Il tempo
è legato al tempo t0 di massimo ingrandimento (uS = u0 ) ed al tempo di Einstein
TE impiegato per attraversare l'anello di Einstein.
Figura 2.4:
sorgente discoidale S che si muove nel piano centrato in L con una velocità v .
Si consideri il sistema lente - sorgente discoidale nel piano
εη
rappresentato in
Figura 2.4.
Ricordando la (2.2), la sorgente
S
mentre il punto P, generico punto appartenente al bordo di
P (ε, η).
Sia
ρ
S = S(ε0 (t), η0 (t))
S , ha coordinate P =
ha coordinate al centro
il raggio proiettato della sorgente sul piano della lente.
2.1. La geometria di un evento
21
Dato il sistema descritto, il punto
(
η(t) = u0 (t) + ρ sin ϕ
P ≡
ε(t) = ε0 (t) + ρ cos ϕ
al variare dell'angolo
P
ha coordinate
,
(2.8)
ϕ ∈ [0, 2π].
Come già detto nel Capitolo 1, dall'equazione della lente (1.42) si possono
trovare le posizioni
u1
e
u2
in unità di raggi di Einstein delle immagini del punto
P, questa volta però dipendenti dal tempo,
u(t)1,2 =
uS (t) ±
p
uS (t)2 + 4
.
2
Nella Figura siano ad esempio
Ricordando la (2.3) e detta
uS
I1
(2.9)
e
I2 .
la distanza tra il centro della sorgente discoidale
e la lente, essa varierà nel tempo in questo modo
uS (t)2 = ε0 (t)2 + η0 (t)2 =
(t − t0 )2
+ u20 .
(TE )2
Quindi, per ogni distanza lente - sorgente
immagini dell'intera sorgente
una sopra ad
S
e l'altra sotto
S sulla
L.
(2.10)
uS (t)
considerata, si otterranno due
retta congiungente la lente con la sorgente,
uP
P L,
Per questo particolare sistema lente - sorgente considerato, la distanza
il generico punto
P
appartenente al bordo di
S
e la lente
L
è il segmento
tra
che
può essere ricavata usando la formula della distanza tra due punti del piano,
P L = uP =
=
p
p
η 2 (t) + ε2 (t) = (u0 (t) + ρ sin ϕ)2 + (ε0 (t) + ρ cos ϕ)2 =
p
u2S (t) + ρ2 + 2ρ(u0 (t) sin ϕ + ε0 (t) cos ϕ).
(2.11)
Dunque, come ci si poteva aspettare, la distanza
della posizione lente - sorgente
del punto
P
uS ,
uP = uP (t)
quindi del tempo, e dell'angolo
è una funzione
ϕ
di rotazione
sul bordo della sorgente.
2.1.2 Approssimazione dell'amplicazione per una sorgente
nita
Se per il sistema rappresentato in Figura 2.4 è noto in qualche modo il fattore
di amplicazione
µ(ε, η)
punto per punto, il modo più generale per determinare
µf inite di una sorgente estesa S consiste nel calcolare il rapporto fra
Asource della sorgente, dell'amplicazione puntuale
pesata con la funzione S della luminosità superciale della stella e il usso totale
R
F = Asource S dA della sorgente
R
Z
1
Asource µS dA
=
µS dA.
(2.12)
µf inite (ρ; ε0 , η0 ) = R
F Asource
Asource S dA
l'amplicazione
l'integrale, esteso alla supercie
2.1. La geometria di un evento
22
L'equazione (2.12) permette dunque di calcolare, in modo rigoroso, l'amplicazione per una sorgente nita. Poiché, per come è stata denita nel paragrafo 1.5.2,
l'amplicazione totale è la somma delle amplicazioni delle singole immagini, in
modo analogo si può utilizzare l'equazione (2.12) per trovare il valore preciso della
2
magnicazione per ognuna delle due immagini ottenute .
p
2
u2S + 4)) è stato trovato che
Con l'equazione (1.33) µ(uS ) = (uS + 2)/(uS
l'amplicazione di una sorgente da parte di una lente singola puntiforme dipende
solo dalla distanza proiettata
uS
fra la sorgente e la lente, in unità di raggi di
Einstein.
Supponendo che la sorgente estesa abbia luminosità uniforme, si ha che l'amplicazione (2.12) in coordinate polari centrate nella lente è
2
µf inite (ρ; uS ) = 2
πρ
Z
π
Z
uS,2 (θ)
dθ
0
uS,1 (θ)
2
µ(ũS )ũS dũS = 2
πρ
Z
π
Z
uS,2 (θ)
dθ
0
uS,1 (θ)
ũ2 + 2
pS
dũS ,
ũ2S + 4
(2.13)
dove la distanza tra il centro della sorgente nita e la lente nel piano della sorgente
uS
è ricavata da (2.10).
Figura 2.5:
Geometria di un sistema composto da lente singola puntiforme, nella posizione L,
e una sorgente estesa, con centro in S e raggio proiettato ρ; uS è la loro distanza
fra i punti L ed S . A sinistra: la lente è all'esterno della sorgente (u > ρ), uS,1 è
la distanza fra L e la prima intersezione con il bordo della sorgente nella direzione
radiale, uS,2 è la distanza fra L e la seconda intersezione. A destra: la lente è
all'interno del raggio della sorgente (uS < ρ), uS,2 è la distanza fra L e l'intersezione
della direzione radiale con il bordo della stella.
Con riferimento alla Figura 2.5, gli estremi di integrazione sono deniti da
2 In


uS ≤ ρ,
0,
p
2
2
2
uS,1 (θ) = uS cos θ − ρ − uS sin θ, uS > ρ ∧ θ ≤ arcsin(ρ/uS ),


0,
uS > ρ ∧ θ > arcsin(ρ/uS ),
(2.14)

p
2
2
2

uS cos θ + pρ − uS sin θ, uS ≤ ρ,
uS,2 (θ) = uS cos θ + ρ2 − u2S sin2 θ, uS > ρ ∧ θ ≤ arcsin(ρ/uS ),


0,
uS > ρ ∧ θ > arcsin(ρ/uS ).
(2.15)
particolare si trova che l'integrale doppio in (2.13), ricordando la (1.33), è somma di due
integrali, uno dei quali in comune per le due immagini.
2.1. La geometria di un evento
23
Nell'equazione (2.13), l'integrale rispetto alla coordinata radiale
ũS
può essere
calcolato analiticamente e si ottiene
1
µf inite (ρ; uS ) = 2
πρ
π
Z
q
q
2
2
uS,2 (θ) uS,2 (θ) + 4 − uS,1 (θ) uS,1 (θ) + 4 dθ.
(2.16)
0
Questo è un integrale che può essere approssimato numericamente utilizzando
il metodo di Cavalieri - Simpson composito
µf in (ρ; uS ) ≈




















1 π
πρ2 2n
√
(uS +ρ)
3
(per approfondire, si veda [3]).
√
(uS +ρ)2 +4−(uS −ρ)
3
(uS −ρ)2 +4
+
uS ≤ ρ,
+ 32
n−1
P
2kπ
f
2n
k=1
+
4
3
n
P
f
k=1
(2k−1)π
2n
,
√
√


(uS +ρ) (uS +ρ)2 +4−(uS −ρ) (uS −ρ)2 +4
arcsin(ρ/uS )

1

+

πρ2
n
3







!


n/2−1
n/2

P
P

2
S)
S)


f 2k arcsin(ρ/u
+ 43
f (2k−1) arcsin(ρ/u
,
 +3
n
n
k=1
uS > ρ,
k=1
(2.18)
dove
n
è il numero, pari, di sottointervalli in cui si suddivide il dominio di integra-
q
q
f = uS,2 (θ) u2S,2 (θ) + 4 − uS,1 (θ) u2S,1 (θ) + 4.
zione e
Tuttavia le stelle non sono uniformemente illuminate ma, più realisticamente,
hanno una luminosità che tende a diminuire verso il bordo.
noto con il nome di
oscuramento al bordo, o limb darkening
Questo fenomeno è
in inglese.
Nel modello più semplice di limb darkening, la luminosità di una sorgente di
raggio
ρ
diminuisce con la distanza


3
S(w) = 1 − Γ 1 −
2
dove
Γ
s
1−
uS
dal centro secondo la legge [11]

u2S  F
,
ρ2
πρ2
(2.19)
è il coeciente di limb darkening, che dipende dalla lunghezza d'onda
osservata, dal tipo spettrale della sorgente, dalla sua gravità superciale e dalla
4
metallicità .
3 Siano
xk per k = 1, ..., m + 1 i punti della suddivisione dell'intervallo di integrazione [a, b]
in m sottointervalli di uguale ampiezza H = (b − a)/m. La formula di Cavalieri - Simpson
composita si ottiene approssimando la funzione integranda f in ogni sottointervallo k = 1, ..., m
con il polinomio di grado 2 che interpola f nei nodi xk e xk+1 , estremi dell'intervallo k-esimo e
nel punto medio di tale intervallo xk+1 − H/2
"
#
m
m+1
X
X
H
f (x1 ) + f (xm+1 ) + 2
f (xk ) + 4
(f (xk ) − H/2) ,
f (x)dx ≈
6
a
k=2
k=2
q
q
con f = uS,2 (θ) u2S,2 (θ) + 4 − uS,1 (θ) u2S,1 (θ) + 4 in questo caso.
Z
4 La
b
(2.17)
metallicità di un oggetto è una quantità adimensionale che indica la percentuale di materia
in una stella di elementi diversi da idrogeno ed elio.
2.2. Astrometria del microlensing
24
2.2 Astrometria del microlensing
L'astrometria è la più antica branca dell'astronomia che si occupa delle misurazioni,
delle posizioni, delle distanze e dei movimenti delle stelle e di altri corpi celesti.
Quando si ha un evento di microlensing, l'osservatore vedrà le immagini
I1
e
I2 , di conseguenza, come dimostrato da Walker nel 1995 [16], l'immagine osservata
avrà un centroide (baricentro) che è la media pesata delle due immagini, con pesi
proprio le amplicazioni µ1 e µ2 . In particolare, si ha

p
2

2+u
1
1
2
S

θ1 = 2 uS + uS + 4 , µ1 = 2 1 + u √u2 +4
S
S
,
(2.20)
p
2

2+u
1
1
2
S

√
θ2 = 2 uS − uS + 4 , µ2 = 2 1 −
2
uS
dove si ricorda che il termine
µ2
uS +4
è sempre negativo.
Seguendo la denizione
data da Walker, la posizione del baricentro delle immagini è
θ̄ =
θ1 |µ1 | + θ2 |µ2 |
,
|µ1 | + |µ2 |
(2.21)
da cui, sostituendo le (2.20), si ottiene
θ̄ =
uS (3 + u2S )
.
2 + u2S
(2.22)
La posizione del centroide, relativamente alla sorgente, è la grandezza misurata
sperimentalmente. Essa è data dalla quantità
∆θ = θ̄ − uS =
uS
.
2 + u2S
(2.23)
Il caso della sorgente estesa è più complesso, e si può calcolare risolvendo gli
integrali
dΩ(3 + u2S )(4 + u2S )−1/2
,
2
2 −1/2
dΩu−1
S (2 + uS )(4 + uS )
R
θ̄ = R
dove
dΩ
(2.24)
è l'angolo solido sotteso dalla sorgente [16].
Per una sorgente circolare uniformemente illuminata di raggio angolare
ρ uS ,
si ha
θ(ρ) ' θ(0) 1 +
con
θ(0)
ρ2 (u6S + 9u4S − 6u2S − 24)
,
8u2S (2 + u2S )(3 + u2S )(4 + u2S )
(2.25)
preso da (2.23).
L'equazione (2.23) può essere rivista come un vettore che ha la stessa direzione
del vettore
−→
∆θ =
−
u→
S,
ovvero
−
u→
S
.
2 + |−
u→|2
S
(2.26)
2.2. Astrometria del microlensing
−→
∆θ
Si noti che il vettore
25
giace sempre sulla congiungente lente - sorgente, di-
retto verso la sorgente, ed indica la posizione vettoriale del centroide rispetto alla
sorgente.
Dato che il vettore
−
u→
S
ha componenti date dalla (2.2), si possono facilmente
scrivere le coordinate della posizione del centroide in funzione del tempo
tempo di Einstein


∆θε =
∆θη =
t
e del
TE
t−t0
TE
2+u2S
u0
2+u2S
,
(2.27)
di modo che il modulo dello spostamento del centroide è
−→
|−
u→
S|
|∆θ| =
=
2 + |−
u→|2
S
−→
∆θ
q
(t−t0 )2
2
TE
2+
+ u20
(t−t0 )2
2
TE
In un sistema di riferimento
+ u20
εη ,
.
l'angolo
(2.28)
β
compreso tra l'asse
ε
ed il vettore
è, al solito,
tan β =
∆θε
.
∆θη
(2.29)
√
∆θmax = 42
√
per uS 2,
Si noti che lo spostamento del centroide assume il valore massimo
√
uS = 2.
∆θmax ' 1/uS .
Inoltre per
per
√
uS 2, ∆θmax ' uS /2,
mentre
Per confronto, l'amplicazione del microlensing va come
1/u4S
per grandi valori
del parametro d'impatto, e quindi il microlensing astrometrico ha una sezione
d'urto più grande rispetto a quello fotometrico.
Si considerino ora le componenti (2.27) del vettore
−→
∆θ.
Come si può vedere dalla Figura 2.6, la proiezione del vettore
ε
uS
ha un andamento lineare per
e
mento di un massimo, dopodiché al
−→
∆θ
lungo l'asse
(t − t0 )/TE vicini allo zero no al raggiungicrescere di (t − t0 )/TE assume un andamento
iperbolico.
La funzione
∆θη ,
rappresenta in Figura 2.7, va come l'inverso di
(t − t0 )2 /TE2
al variare della posizione della sorgente rispetto alla lente. Ha un massimo quando
la sorgente si trova a distanza
u0
dalla lente, cioè in corrispondenza del minimo
valore del parametro d'impatto.
Il modulo dello spostamento del centroide in funzione di
in Figura 2.8. Si può notare che per valori di
√
|uS | < 2
(t − t0 )/TE
è gracato
la funzione presenta due
picchi simmetrici rispetto alla distanza di minimo approccio (al contrario di quanto
avviene per il microlensing fotometrico). Per
|uS | >
√
2
la curva presenta un solo
picco.
Nel piano
εη
la traiettoria del centroide è una ellisse [16] con eccentricità di-
pendente dal parametro d'impatto minimo (si veda la Figura 2.9). In particolare
si nota che per
u0 → 0
l'ellisse converge ad un segmento di lunghezza
√
1/ 2.
Al
contrario, al crescere del parametro d'impatto, l'ellisse diviene un cerchio di raggio
1/(2u0 ).
2.2. Astrometria del microlensing
Figura 2.6:
26
Andamento dello spostamento parallelo all'asse ε del centroide rispetto alla posizione della sorgente (proporzionale a (t − t0 )/TE ) per dierenti valori del parametro
d'impatto u0 .
Inne, nella Figura 2.10 è riportato il graco dell'angolo
ε
β
compreso tra l'asse
(t − t0 )/TE .
t → +∞.
e la direzione del vettore spostamento del centroide in funzione di
Come ci si aspetta, L'angolo
β
tende a
π
per
t → −∞
e a
0
per
Poiché l'angolo di Einstein lo si può riscrivere come
θE = 2
quando
M
0.5MJ
DS DL ,
1/2 DL
kpc
−1/2
mas
(2.30)
1kpc di distanza
θE ' 3 mas. Segue quindi che il massimo dello spostamento
dell'ordine di 1 mas. Seppur questo spostamento possa sembrare
per una lente di una massa solare posta ad
dall'osservatore, si ha
del centroide è
piccolo, la strumentazione attuale permette già di eettuare una misura. Infatti, il
satellite
Gaia
ha una precisione astrometrica dell'ordine di
stella di magnitudine
10 − 20,
30 − 1000 µas
per una
e questo permetterebbe di misurare il microlensing
astrometrico di molte stelle [1] (si veda anche in seguito).
2.2. Astrometria del microlensing
Figura 2.7:
Figura 2.8:
27
Andamento dello spostamento parallelo all'asse ε del centroide rispetto alla posizione della sorgente (proporzionale a (t − t0 )/TE ) per dierenti valori del parametro
d'impatto u0 .
Andamento del modulo del vettore spostamento del centroide rispetto alla posizione della sorgente (proporzionale a (t − t0 )/TE ) per dierenti valori del parametro
d'impatto u0 .
2.2. Astrometria del microlensing
Figura 2.9:
28
Rapporto tra le componenti parallela e perpendicolare dello spostamento del
centroide al variare del parametro d'impatto.
Figura 2.10:
Andamento dell'angolo compreso tra l'asse verticale e la direzione del vettore
spostamento del centroide rispetto alla posizione della sorgente nel tempo.
2.3. Simulazioni numeriche
29
2.3 Simulazioni numeriche
Sono stati utilizzati due script per simulare il moto di una sorgente in prossimità
di una lente puntiforme.
Il primo, scritto in linguaggio
F ortran,
ha permesso di calcolare la curva di
luce della sorgente puntiforme, in particolare: per un tempo
t
ssato ha calcolato
le coordinate di ogni punto appartenente al bordo della sorgente, in riferimento a
(2.8); successivamente ha potuto ricavare la distanza lente - Punto secondo l'equazione (2.11), in modo da poter calcolare la posizione delle due immagini utilizzando
le soluzioni dell'equazione della lente (2.9). Ripetendo ricorsivamente questo procedimento per ogni istante di tempo t, ha potuto restituire dei le di testo contenenti
ognuno, ad un tempo
t,
la posizione della sorgente, i valori dell'angolo
ϕ
e le
posizioni delle due immagini.
Il secondo script, scritto in linguaggio
IDL,
ha permesso la conversione di ogni
le di testo precedentemente ottenuto in un le immagine.
Tutte le immagini
ottenute sono state messe in sequenza a formare un video.
Modicando i valori del parametro d'impatto
u0
e del raggio della sorgente
ρ,
sono stati simulati diversi eventi di lente gravitazionale, come si può vedere dalle
Figure 2.11, 2.12, 2.13 e 2.14, ciascuna ottenuta a diversi istanti di tempo. Nel CD
allegato sono dati i lmati completi alle
3
simulazioni prodotte.
2.3. Simulazioni numeriche
Figura 2.11:
30
Caso di sorgente puntiforme, quindi u0 = 0.8 arbitrario e ρ = 0.0001, molto
piccolo.
2.3. Simulazioni numeriche
Figura 2.12:
31
Caso in cui u0 = ρ = 0.5 raggi di Einstein, quindi il bordo della sorgente tocca in
ogni istante l'asse ε..
2.3. Simulazioni numeriche
Figura 2.13:
32
Caso in cui u0 = 0.8 e ρ = 1 raggi di Einstein, quindi la sorgente è stata ingrandita.
Per t = 0 le due immagini si sovrappongono alla sorgente, assumendo una forma
ovoidale.
2.3. Simulazioni numeriche
Figura 2.14:
33
Caso in cui il parametro d'impatto minimo u0 = 0, dunque la sorgente si sposta
lungo l'asse ε. Quando t = 0 le due immagini si sovrappongono alla sorgente,
posta nell'origine degli assi.
Capitolo 3
Codice del programma
Di seguito è riportato il codice sorgente del programma scritto per calcolare le
immagini prodotte da una sorgente estesa di raggio variabile sotto l'eetto di una
lente puntiforme. Il linguaggio usato è il FORTRAN 77.
Codice 3.1:
Programma per il calcolo delle immagini di una sorgente sotto l'eetto di una lente
puntiforme.
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
! NAME:
source_contour . f o r
!
!
PURPOSE :
!
!
Il
programma
1)
Curva
calcola :
!
!
di
!
istante
!
nel
luce
di
file
della
tempo
t.
sorgente
puntiforme
al
la
di
immagazzinata
curva
luce
e'
generico
point_like_source_lc . txt .
!
!
2)
Contorno
delle
!
Per
generico
!
contenente
!
associate
!
il
!
campionato
l ' intervallo
di
!
ad
NstepLC =100 ,
allora
!
per
!
immagini
ogni
le
al
ogni
x1
j
dove
!
numero
!
della
!
Il
!
NstepCon .
j
t)
che
( primaria
!
x2
y2
indica
y1
un
di
passi
ciascun
istante
NstepLC
tempo
!
a
coordinate
contorno
parametro
esempio
immagini
e
di
x
e
della
tempo
y
in
tempo
ci
secondaria )
utilizzati
si
tempo
scrive
immagini
quanti
−NTE∗ Te
conterranno
che
t
delle
di
un
1
t .
file
e
2
sorgente .
controlla
intero
istante
saranno
le
nel
viene
e NTE∗ t e .
100
file
coordinate
Se
( uno
delle
formato
incrementa
per
passi
da
campionare
0
il
sino
al
contorno
sorgente .
contorno
e'
campionato
tramite
il
parametro
!
!
3)
I
parametri
caratteristici
34
d e l l ' evento
sono
scritti
sul
35
!
file
event_parameters . t x t .
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
Implicit real ∗ 8 ( a−h , o−z )
Parameter ( NstepLC =100)
Parameter ( NstepCon =100)
Parameter (NTE=1)
real ∗ 8 t i m e _ a r r ( NstepLC ) , a m p l i _ a r r ( NstepLC )
real ∗ 8 x_image_pos ( NstepCon ) , y_image_pos ( NstepCon )
character ∗ 3 0 f i l e n a m e , j s t e p ,
external l t r i m
external l f i n d f i r s t n o t b l a n c k
!
rootfile
Costanti
acos ( −1 d0 )
Pi =
!
Grandezze
caratteristiche
!
gravitazionale .
di
un
t0
= 0 . 0 d0
!
tempo
generico
te
= 2.50
!
tempo
di
u0
= 0.8
!
parametro
!
raggi
rho = 0 . 5
!
!
di
t m i n=
−
di
di
lente
d e l l ' evento
Einstein
di
raggio
evento
in
in
giorni .
giorni .
impatto
in
unita '
di
Einstein .
della
stella
in
unita '
d e l l ' evento
in
un
di
raggi
Einstein .
NTE∗ Te
tmax= + NTE∗ Te
!
Si
scrivono
i
parametri
open ( 6 3 , f i l e = ' e v e n t _ p a r a m e t e r s . t x t ' )
write ( 6 3 , ∗ ) t 0 , t e , u0 , r h o , tmin , tmax
close ( unit =63)
!
Radice
!
delle
del
nome
del
file
che
contiene
le
file .
coordinate
immagini .
r o o t f i l e =" c o n t o r n o _ "
len_trim ( r o o t f i l e )
l1 =
!
Curva
di
!
istante
!
Contorno
luce
di
della
tempo
delle
sorgente
puntiforme
al
generico
t.
immagini
a
ciascun
istante
di
tempo
open ( 6 3 , f i l e = ' p o i n t _ l i k e _ s o u r c e _ l c . t x t ' )
do i = 0 , NstepLC −1
!
TEMPO
t = t m i n +(tmax−t m i n ) / ( d f l o a t ( NstepLC ) − 1 . )
&
∗dfloat ( i )
t.
36
!
AMPLIFICAZIONE DELLA SORGENTE PUNTIFORME
call
!
a m p l i f i c a t i o n ( t , t 0 , t e , u0 ,
ampli )
SCRIVO SU FILE
write ( 6 3 , ∗ )
( t −t 0 ) / t e ,
ampli
!
COSTRUZIONE DELLE IMMAGINI ASSOCIATE AL CONTORNO
!
DELLA SORGENTE QUANDO QUESTA S I TROVA A DISTANZA
!
u ( t )AL TEMPO t
!
S I APRE UN FILE CON UN NOME
write
!
conto
l2 =
( jstep , ' ( I3 ) ' )
la
lunghezza
i
della
len_trim ( j s t e p )
!
verifico
!
blanck
la
della
SEQUENZIALE
posizione
stringa
stringa
jstep .
dell ' ultimo
carattere
jstep .
n= l f i n d f i r s t n o t b l a n c k ( j s t e p , l 2 , i p o s )
f i l e n a m e= r o o t f i l e ( 1 : l 1 ) / / j s t e p ( i p o s +1: l 2 ) / / " . t x t "
open ( 6 5 , f i l e =f i l e n a m e
,
status= ' new ' )
!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
!
CONTORNO DELLE IMMAGINI AL TEMPO T
p h i m i n=0
phimax =2. d0 ∗ P i
do
!
j = 0 , NstepCon −1
PHI SUL CONTORNO
p h i = p h i m i n +(phimax−p h i m i n ) / ( d f l o a t ( NstepCon )
&
&
&
&
call
call
−1.)∗ d f l o a t ( j )
r i m a g e _ p o s ( t , t 0 , t e , u0 , r h o ,
phi ,
eps1 , eta1 ,
eps2 , e t a 2 )
s o u r c e _ c o o r d i n a t e s ( t , t 0 , t e , u0 ,
epsilons ,
etas )
write ( 6 5 , 1 0 0 0 )
j ,
t , epsilons ,
e t a s , phi , eps1 ,
eta1 , eps2 , e t a 2
enddo
1000
format ( i 3 , 1 x , 1 F13 . 9 , 1 x , 1 F13 . 9 , 1 x , 1 F13 . 9 ,
1
1 x , 1 F13 . 9 , 1 x , 1 F13 . 9 , 1 x , 1 F13 . 9 ,
1 x , 1 F13 . 9 , 1 x , 1 F13 . 9 )
close ( unit =65)
!−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
enddo
close ( unit =63)
37
end
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!
Subroutines
!
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
subroutine
&
s o u r c e _ c o o r d i n a t e s ( t , t 0 , t e , u0 ,
epsilons ,
etas )
Implicit real ∗ 8 ( a−h , o−z )
e p s i l o n s= ( t −t 0 ) / t e
etas
end
= u0
subroutine r i m p a c t _ p a r a m e t e r ( t , t 0 , t e , u0 , u s )
Implicit real ∗ 8 ( a−h , o−z )
c a l l s o u r c e _ c o o r d i n a t e s ( t , t 0 , t e , u0 , e p s i l o n s
u s=sqrt ( e p s i l o n s ∗∗2+ e t a s ∗∗ 2 )
end
, etas )
subroutine a m p l i f i c a t i o n ( t , t 0 , t e , u0 , a m p l i )
Implicit real ∗ 8 ( a−h , o−z )
c a l l r i m p a c t _ p a r a m e t e r ( t , t 0 , t e , u0 , u )
i f ( u . ne . 0 . 0 d0 ) then
a m p l i= ( u ∗∗ 2 + 2 . d0 ) / ( sqrt ( u ∗∗ 2 ∗ ( u ∗∗ 2 + 4 . 0 d0 ) ) )
else
a m p l i= 1 . d3
endif
end
subroutine
&
s o u r c e _ p _ c o o r d i n a t e s ( t , t 0 , t e , u0 , r h o ,
epsilonp , etap )
Implicit real ∗ 8 ( a−h , o−z )
c a l l s o u r c e _ c o o r d i n a t e s ( t , t 0 , t e , u0 ,
e p s i l o n p= e p s i l o n s+r h o ∗ cos ( p h i )
etap
= e t a s+r h o ∗ sin ( p h i )
end
subroutine
&
!
r i m a g e _ p o s ( t , t 0 , t e , u0 , r h o ,
epsilons , etas )
phi ,
eps1 , eta1 ,
eps2 , e t a 2 )
Implicit real ∗ 8 ( a−h , o−z )
Costanti .
Pi =
!
phi ,
acos ( −1 d0 )
Coordinate
call
del
punto
considerato
sul
contorno .
s o u r c e _ p _ c o o r d i n a t e s ( t , t 0 , t e , u0 , r h o ,
phi ,
38
&
epsilonp , etap )
atan2 ( e t a p , e p s i l o n p )
b e t a=
!
distanza
dalla
lente .
sqrt ( e p s i l o n p ∗∗2+ e t a p ∗∗ 2 )
up=
!
Si
!
sorgente
risolve
!
u_p
l ' equazione
posizionata
dalla
della
nel
lente
punto
puntiforme
generico
P a
per
una
distanza
lente .
sqrt ( up ∗∗ 2 + 4 . 0 d0 ) ) / 2 . 0
u2=(up−sqrt ( up ∗∗ 2 + 4 . 0 d0 ) ) / 2 . 0
u1=(up+
!
Coordinate
e p s 1=
e t a 1=
e p s 2=
e t a 2=
delle
immagini .
abs ( u1 ) ∗ cos ( b e t a )
abs ( u1 ) ∗ sin ( b e t a )
abs ( u2 ) ∗ cos ( P i+b e t a )
abs ( u2 ) ∗ sin ( P i+b e t a )
end
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!
Functions
!
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
10
20
integer function l t r i m ( s t r i n g , l e n g t h )
character ∗ ( ∗ ) s t r i n g
do 1 0 , i = l e n g t h , 1 , − 1
i f ( s t r i n g ( i : i ) . ne . ' ' ) go to 20
continue
continue
ltrim =
return
end
i
integer function
&
l f i n d f i r s t n o t b l a n c k ( string , length ,
ipos )
character ∗ ( ∗ ) s t r i n g
integer l e n g t h , i p o s
i p o s =0
do
i
= 1,
length
i f ( s t r i n g ( i : i ) . eq . '
enddo
return
end
')
i p o s=i p o s +1
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
Conclusione
In questo lavoro triennale di tesi è stato studiato l'eetto di microlensing gravitazionale nell'approssimazione di lente singola e di una sorgente puntiforme od
estesa.
In particolare, è stato visto come al variare della posizione relativa sorgente lente si formino due immagini puntiformi, che per una sorgente estesa diventano
degli archi. La somma delle amplicazioni delle immagini dà l'amplicazione totale
del microlensing.
fotometrico.
Questo eetto è noto col nome di
microlensing gravitazionale
Se però si riesce a determinare la posizione delle immagini rispetto alla sorgente con uno strumento con una risoluzione molto buona, come nel caso del satellite
Gaia, allora si può fare quello che si chiama
microlensing astrometrico, ossia vede-
re come le immagini si muovono nel piano della lente a causa dell'eetto di lente
gravitazionale. Dalla misura dei due eetti combinati, è possibile ottenere informazioni sui parametri dell'evento di lente gravitazionale che solitamente sono degeneri
(ossia non possono essere determinati univocamente da una procedura di best t).
Un possibile prosieguo di questo lavoro di tesi consiste nella determinazione di
quali sono i parametri caratteristici del microlensing astrometrico anché questo
eetto possa essere visto usando il satellite Gaia.
Infatti, come evidenziato da
Paczynski, gli eventi di microlensing astrometrico possono essere predetti quando
si identichino delle sorgenti con un grande moto proprio. Inoltre, lo spostamento
del centroide è più intenso per lenti più vicine. Gaia, quindi, potrebbe ricercare
eventi di microlensing astrometrico osservando stelle con grande moto proprio ed
entro
100 pc
di distanza dalla Terra [5, 13].
39
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