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Esercitazione del 03/11/2010
Indichiamo con D il disco unitario in C, ovvero l’insieme {z ∈ C : |z| < 1} e
con Da il disco di raggio a > 0, ovvero {z ∈ C : |z| < a}. Ricordiamo alcuni
risultati classici della teoria di una variabile complessa.
Thm 1.1 (Liouville) Per ogni r > 0, Hol(C, Dr ) = Dr .
Cor 1.2 Sia f ∈ Hol(C, C). Se f (C) ha complementare a parte interna non
vuota, allora f è costante.
Dim: Sia z0 nella parte interna del complementare di f (C); si consideri la
funzione
1
g(z) =
f (z) − z0
Essa è olomorfa e vale
|g(z)| ≤
1
< +∞
dist(z0 , f (C))
dunque, per Liouville, f è costante. !
Thm 1.3 (Casorati-Weierstrass) Sia U ⊆ C un aperto e sia z0 ∈ U un suo
punto. Se f ∈ Hol(U \ {z0 }, C) ha una singolarità essenziale in z0 , allora per
ogni V intorno di z0 in U l’immagine f (V \ {z0 }) è densa in C.
Prp 1.4 (Schwarz) Sia f ∈ Hol(D, D) con f (0) = 0. Allora
|f (z)| ≤ |z|
∀z∈D
e |f ! (0)| ≤ 1. Se inoltre esiste z ∈ D per cui vale l’uguaglianza |f (z)| = |z| o se
|f ! (0)| = 1, allora f (z) = az con a ∈ S1 .
Il lemma di Schwarz è il primo passo verso la classificazione degli automorfismi del disco, infatti porta in maniera naturale alla seguente proposizione.
Prp 1.5 Se f ∈ Aut(D) è tale che f (0) = 0, allora f (z) = az con a ∈ §1 .
Dim: Ovviamente, f (z) = az è un automorfismo del disco e fissa l’origine.
D’altra parte, se f ∈ Aut(D), anche f −1 ∈ Aut(D) e se f (0) = 0, anche f −1 (0) =
0, quindi, per il lemma di Schwarz, si ha
|f (z)| ≤ |z|
|z| = |f −1 (f (z))| ≤ |f (z)|
da cui |f (z)| = |z| per ogni z e dunque, sempre per il lemma di Schwarz,
f (z) = az.!
Con la notazione Autp (X) si indica il sottogruppo di Aut(X) fatto da quegli
elementi che fissano p. Il risultato precedente può allora essere riformulato
dicendo che
Aut0 (D) = {f (z) = az : a ∈ §1 }
Rem 1.1 Se J è un sottogruppo di Aut(X) che sia transitivo su X e che
contenga Autp per un qualche punto p ∈ X, allora J = Aut(X).
1
Thm 1.6 Si ha
"
az + b
2
2
| a, b ∈ C, |a| − |b| = 1
Aut(D) = z '→
bz + a
!
"
iφ z − w
= z '→ e
| w ∈ D, 0 ≤ φ < 2π
wz − 1
!
Dim: Usando la proposizione precedente, è facile vedere che entrambi questi
gruppi contengono Aut0 (D). Inoltre, la transitività è ovvia. L’unica verifica
da fare (facile, ma noiosa) è che entrambi questi gruppi siano effettivamente
composti da automorfismi del disco. !
Generalizziamo ora il lemma di Schwarz nel caso di una generica mappa dal
disco in sè.
Prp 1.7 (Schwar-Pick) Sia f ∈ Hol(D, D), allora
|f (z) − f (w)|
|f (w)f (z) − 1|
≤
|z − w|
wz − 1|
∀ z, w ∈ D
Se esistono z, w per cui vale l’uguaglianza, allora f ∈ Aut(D).
Dim: Sia
z−w
wz − 1
gw (z) =
Allora h = gf (w) ◦ f ◦ gw sta in Hol(D, D) e fissa l’origine e dunque, per Schwarz,
si ha |h(ξ)| ≤ |ξ|, da cui
|f (z) − f (w)|
|f (w)f (z) − 1|
−1
≤ |gw
(z)|
−1
Notiamo che gw
= gw e dunque
|f (z) − f (w)|
|f (w)f (z) − 1|
|z − w|
|wz − 1|
≤
Il caso di uguaglianza segue sempre dal lemma di Schwarz. !
Questi risultati possono essere trasportati dal disco al sempipiano H = {z ∈
C : Im(z) > 0} tramite il biolomorfismo
z '→ i
1+z
1−z
z '→
z−i
z+i
e il suo inverso
Quindi, ad esempio
Aut(H) =
!
αz + β
z '→
:
γz + δ
2
#
α
γ
β
δ
$
"
∈ SL(2, R)
e, per ogni f ∈ Hol(H, H), vale
|f (z) − f (w)|
|f (z) − f (w)|
≤
|z − w|
|z − w|
Esercizio Dimostrare che per f ∈ Hol(D, D) si ha
|f ! (z)|
1
≤
2
1 − |f (z)|
1 − |z|2
∀z∈D
Esercizio Sia f ∈ Hol(D, D) con f (0) = 0. Sia n ≥ 1 e ζ = e2iπ/n . Allora
|f (ζz) + f (ζ 2 z) + . . . + f (ζ n z)| ≤ n|z|n
∀z∈D
e se vale l’uguaglianza per un valore di z, si ha f (z) = az n .
1.1
Teorema della mappa di Riemann
Da quanto detto, è evidente che, dal punto di vista dell’analisi complessa, il disco
e il piano complesso sono abbastanza dissimili. Infatti, pur essendo omeomorfi,
non sono biolomorfi (facile corollario di Liouville); d’altra parte, il disco e il
semipiano superiore sono invece biolomorfi.
Thm 1.8 (Riemann) Sia G ! C un dominio semplicemente connesso, allora
G è biolomorfo a D.
Dim: In G, ogni unità di O(G) ha una radice quadrata, in quanto G è semplicemente connesso; supponiamo 0 ∈ G e sia a ∈ C \ G. Allora w(z) = z − a è
olomorfa su G e non nulla, quindi esiste v(z) ∈ O(G) tale che v 2 (z) = z − a.
Notiamo che v : G → C è iniettiva, in quanto lo è il suo quadrato, ed inoltre
v(G) ∩ (−v(G)) = ∅. Quindi esiste un disco B = B(c, r) tale che v(G) ⊂ C \ B.
Poniamo
#
$
1
1
1
g(z) = r
−
2
z − c v(0) − c
Allora la funzione f (z) = g ◦ v(z) manda G in D, è iniettiva e f (0) = 0.
Definiamo dunque la famiglia
F = {f ∈ Hol(G, D) | f iniett., f (0) = 0, f ! (0) > 0}
Per quanto appena detto, F non è vuota. Sia B = sup{f ! (0) | f ∈ F}. Allora
esiste {gn } ⊂ F tale che gn! (0) → B. Poiché gli elementi di F sono limitati
da una stessa costante, per il teorema di Montel F è una famiglia normale e
dunque esiste gnk che converge ad f sui compatti di G. Ovviamente |f (z)| ≤ 1,
f (0) = 0 e f ! (0) = B. Inoltre, per il teorema di Hurwitz, il limite di funzioni
iniettive è iniettivo o costante ed f , non essendo costante, è dunque iniettiva.
Per cui f ∈ F.
Ora, mostriamo che f è anche surgettiva. Supponiamo quindi che f (z) .= w0
per ogni z ∈ G. Allora
%
f (z) − w0
F (z) =
1 − w0 f (z)
3
è ben definita e
G(z) =
sta in F, ma
G! (0) =
|F ! (0)| F (z) − F (0)
F ! (0) 1 − F (0)F (z)
|F ! (0)|
1 + |w0 |
= &
B>B
1 − |F (0)|2
2 |w0 |
che è assurdo. Quindi f è surgettiva.
f è iniettiva e surgettiva tra G e D e dunque è un biolomorfismo. !
1.2
Teorema di Picard
Lo scopo di questa sezione è, per l’appunto, di dimostrare il Grande Teorema di
Picard, che afferma che tutti i valori eccetto al più uno vengono assunti infinite
volte nell’intorno di una singolarità isolata.
A tale scopo, analizziamo nel dettaglio il comportamento delle mappe olomorfe limitate.
Prp 1.9 (Landau - Bloch) Sia f ∈ Hol(D, C) con f (0) = 0, f ! (0) = 1 e
|f (z)| ≤ M per ogni z ∈ D. Allora esiste B = B(M ) tale che f (D) contiene un
disco di raggio B attorno all’orgine.
Dim: Osserviamo che, se |f (z)| ≥ a > 0 per ogni z ∈ bDr , allora per ogni
w0 ∈ Da si ha che f (z) − w0 e f (z) hanno lo stesso numero di zeri in Dr per
il teorema di Rouché. In particolare, questo significa che f (z) assume almeno
una volta ogni valore appartenente a Da , mentre z varia in Dr .
Ora, f (z) = z + a2 z 2 + . . . e |f (z)| ≤ M , quindi in particolare |an | ≤ M . Se
|z| = r < 1, si ha
|f (z)| = |z + (f (z) − z)| ≥ |z| − max |f (z) − z| ≥ r − M (r2 + . . . + rn + . . .)
|z|=r
M r2
1
≥
>0
1−r
6M
non appena r = 1/4M . Quindi f (D) contiene D1/6M . !
=r−
Thm 1.10 (Schottky) Sia f : Dr → C olomorfa su Dr e tale che f (z) .= 0, 1
per ogni z. Allora per ogni t ∈ (0, 1) si ha
|f (z)| ≤ Ω(a0 , t)
∀ z ∈ Dtr
con a0 = f (0).
Dim: Sia
H(z) = log
'(
log f (z)
−
2iπ
(
log f (z)
−1
2iπ
)
Tale funzione è olomofa per |z| ≤ r e non assume i valori
√
√
log( n ± n + 1) + 2imπ
per n > 0, m interi. Quindi esiste una costante C tale che H(z) non copre una
palla di raggio C.
4
Sia poi
H1 =
H(z) − H(ξ)
H ! (ξ)
con ξ ∈ Dr e H ! (ξ) .= 0. Tale funzione è olomorfa in |z − ξ| < r − |ξ|, quindi H1
riempie un disco di raggio B(r − |ξ|) per la proposizione precedente e H riempie
un disco di raggio B(r − |ξ|)H ! (ξ) ≤ C.
Dunque
C
H ! (ξ) ≤
B(r − |ξ|)
per |ξ| < r.
Allora
C
|H(ξ)| ≤ |H(0)| +
B
*
1
C
r
ds = |H(0)| + log
r−s
B
r − |ξ|
1
C
log 1−t
.
quindi se |z| ≤ tR, |H(z)| ≤ |H(0)| + B
Sostituendo l’espressione di H, si ricava una stima in termini di f :
1
|f (z)| = | exp πi (exp 2H(z) + exp(−2H(z))) ≤ exp π(exp 2|H(z)|)
2
quindi
|f (z)| ≤ exp
A
(1 − t)k
+ dove A = π exp 2|H(0)| dipende solo da f (0) = a0 e k = 2C/B. !
Non è difficile estendere questo risultato, provando che, se |f (0)| < a0 , allora
esiste una costante Ω∗ (a0 , t) tale che
|f (z)| < Ω∗ (a0 , t)
per ogni z ∈ Dtr .
Thm 1.11 (Grande Picard) Se 0 è una singolarità essenziale per la funzione
f (z), allora in ogni intorno della forma {0 < |z| < t} la funzione f assume ogni
valore finito infinite volte, eccettuato al più uno.
Dim: Supponiamo che f non assuma i valori 0 e 1 se non un numero finito di
volte. Definiamo
fn (z) = f (2n z)
Queste funzioni, sull’anello G = {1/2 < |z| < 2}, per n abbastanza grande sono
olomorfe e non assumono i valori 0 e 1. Sia z0 un punto di tale anello e sia r
abbastanza piccolo di modo che B(z0 , r) e B(z0 , 2r) siano entrambe contenute in
G; supponiamo che esista una sottosuccessione tale che |fnk (z0 )| < β per ogni k.
Allora |fnk (z)| < Ω∗ (β, 1/2) per z ∈ B(z0 , r), applicando il teorema di Schottky
su B(z0 , 2r) e dunque la sottosuccessione fnk è limitata, quindi equicontinua,
quindi convergente in B(z0 , r).
Se invece fn (z0 ) → ∞, allora le funzioni gn = 1/fn rispettano le stesse
ipotesi e gn (z0 ) → 0, quindi esiste gnk convergente assolutamente sui compatti,
ma lim gnk (z0 ) = 0 e dunque, se lim gnk .≡ 0, da un certo indice k0 in poi,
5
tutte le gnk devono avere almeno una radice in B(z0 , r) che è assurdo. Dunque
gnk → 0 e fnk → ∞ uniformemente sui compatti di B(z0 , r).
Dunque la famiglia fn è localmente normale in G, ma dunque è normale e
questo è assurdo. Se infatti fnk → F , allora f è limitata in un intorno di 0 e
dunque è estendibile ad una funzione olomorfa in 0; se invece fnk → ∞, allora
g = 1/f è olomorfa in 0 e vale 0, ma allora f avrebbe al più un polo 1/g in 0.
!
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