COMPITO 1 (09/03/10) Soluzioni ★ Solo per esame da 9CFU. Una massa m=550 g viene lasciata cadere in una piscina profonda 5 m. Trascurando la forza di Archimede ma supponendo che lʼacqua si opponga al moto con una forza di attrito costante F=5 N, si calcoli il tempo che la massa impiega ad arrivare sul fondo partendo con velocità nulla dalla superficie della piscina. Quanto tempo impiegherebbe una massa m=1 kg? Quanto tempo impiegherebbero le due masse a cadere se nella piscina non ci fosse acqua? La massa che cade nellʼacqua è soggetta alla forza peso (diretta verso il basso) ed allʼattrito diretto in verso opposto al moto ovvero verso lʼalto. Lungo la direzione verticale, il II principio della dinamica è pertanto m a = m g - F ovvero a = g - F/m dove il segno positivo è per vettori diretti verso il basso. Questo è un moto uniformemente accelerato per il quale lo spazio percorso è dato da s = 1/2 a t2 dove si sono applicate e condizioni iniziali di velocità nulla e si è preso s=0 per la superficie della piscina da cui viene lasciato cadere il corpo. Il tempo richiesto per arrivare in fondo si ottiene ponendo s=h ovvero t = [ 2 h / (g - F/m) ]0.5 = 3.8 s (per m = 550 g) e anche t = 1.4 s (per m = 1 kg) si noti, come contrariamente al caso di caduta libera senza attrito, il tempo di caduta dipende dalla massa. Il tempo di caduta libera si ottiene ponendo semplicemente F=0 t = [ 2 h / g ]0.5 = 1.0 s che, come detto, è indipendente dalla massa del corpo. ★ Solo per esame da 6CFU. Un corpo di massa m=2 kg cade lungo un piano inclinato di 45° con lʼorizzontale. Supponendo che il piano inclinato sia privo di attrito e che il corpo parta da una altezza h=1 m, si calcoli il tempo che il corpo impiega ad arrivare sul piano orizzontale. Qualʼè la velocità con cui il corpo continua a muoversi sul piano orizzontale supposto anchʼesso privo di attrito? Il moto di caduta lungo il piano inclinato è uniformemente accelerato con accelerazione a = g sin α dove α è lʼangolo con il piano orizzontale ovvero, in questo caso, 45°. Lo spazio percorso se il corpo parte con velocità nulla è s = 1/2 a t2 con s = h/sin α dove h è lʼaltezza da cui parte il corpo. Pertanto t = [2 h / (g (sin α)2 )]0.5 = 0.6 s Applicando la conservazione dellʼenergia si può ricavare la velocità finale del corpo ovvero la velocità con cui arriva alla fine del piano inclinato 1/2 m v2 = m g h da cui v = (2 g h )0.5 = 4.4 m/s indipendente dallʼinclinazione del piano. ★ Un serbatoio dʼacqua posto sul tetto di un edificio è attaccato ad un tubo con sezione circolare di diametro d1=3 cm. Il tubo è collegato ad un rubinetto al piano terra che si trova 8 m al disotto della presa dʼacqua ed ha una sezione circolare di diametro d2=2 cm. Supponendo che la velocità di ingresso dellʼacqua sia v1=2 cm/s, qualʼè la differenza di pressione dellʼacqua tra ingresso ed uscita dal tubo? Si applicano la conservazione della portata ed il teorema di Bernoulli ovvero v1 d12 = v2 d22 da cui v2 = v1 (d1/d2)2 = 4.5 cm/s p1 + 1/2 d v12 + d g h1 = p2 + 1/2 d v12 + d g h2 ovvero p2 - p1 = d g (h1-h2) + 1/2 d (v12-v12)2 p2 - p1 = 103 kg m-3 * 9.8 m s-2 * 8 m + 0.5 * 103 kg m-3 (22-4.52) 10-4 m2 s-2 = 7.84 104 Pa = 0.78 atm ★ In un calorimetro ideale contenente m=2 kg di acqua alla temperatura di 25 °C, viene inserito un blocco di Ferro da 5 kg alla temperatura di 700 °C. Qualʼè la temperatura finale di equilibrio e quanta acqua viene vaporizzata? Il calore necessario per portare lʼacqua da 25 a 100 °C è Q1 = m cs (Tf-Ti) = 150 kcal Il calore necessario a vaporizzare tutta lʼacqua è Q2 = m qvap = 1080 kcal Portando la sua temperatura da 700 a 100 °C il ferro può cedere una quantità di calore Q3 = mFe cFe (Tf-Ti) = 300 kcal pertanto il Ferro è in grado di riscaldare lʼacqua fino a 100 °C ma non è in grado di vaporizzarla completamente. La temperatura finale di equilibrio sarà 100 °C e la quantità di acqua vaporizzata sarà data da mvap = (Q3-Q1)/qvap = 0.28 kg ★ Una macchina di carnot adopera come termostato a bassa temperatura acqua a T2=0 °C, ha un rendimento η=15% e produce un lavoro L = 250 J. Calcolare le quantità di calore Q1 e Q2 scambiate con i termostati e la variazione di entropia della macchina lungo lʼisoterma di espansione. Se il termostato è una miscela di acqua e ghiaccio, quanto ghiaccio viene sciolto ad ogni ciclo? Il rendimento è η = L/Q1 e vale Q1-Q2-L = 0 (I principio) da cui si ottiene Q1 = 1667 J, Q2 = 1417 J Poichè η = 1 - T2/T1 si ottiene anche T1 = T2/(1-η) = 273 K / 0.85 = 321 K In una trasformazione isoterma la variazione di entropia è semplicemente DS = Q/T (Q calore ricevuto reversibilmente) per cui nel caso in esame ΔS = Q1 / T1 = 1667 J / 321 K = 5.2 J/K Q2 è il calore assorbito dal termostato T2 ad ogni ciclo, il ghiaccio sciolto è pertanto m = Q2/qfus = 1417 J / 80 cal g-1 = 1417 J / (80 * 4.186 J g-1) = 4.2 g