COMPITO1 Soluzioni - Osservatorio di Arcetri

COMPITO 1 (09/03/10)
Soluzioni
★ Solo per esame da 9CFU. Una massa m=550 g viene lasciata cadere in una piscina
profonda 5 m. Trascurando la forza di Archimede ma supponendo che lʼacqua si
opponga al moto con una forza di attrito costante F=5 N, si calcoli il tempo che la massa
impiega ad arrivare sul fondo partendo con velocità nulla dalla superficie della piscina.
Quanto tempo impiegherebbe una massa m=1 kg? Quanto tempo impiegherebbero le
due masse a cadere se nella piscina non ci fosse acqua?
La massa che cade nellʼacqua è soggetta alla forza peso (diretta verso il basso) ed
allʼattrito diretto in verso opposto al moto ovvero verso lʼalto. Lungo la direzione
verticale, il II principio della dinamica è pertanto
m a = m g - F ovvero a = g - F/m
dove il segno positivo è per vettori diretti verso il basso. Questo è un moto
uniformemente accelerato per il quale lo spazio percorso è dato da
s = 1/2 a t2
dove si sono applicate e condizioni iniziali di velocità nulla e si è preso s=0 per la
superficie della piscina da cui viene lasciato cadere il corpo. Il tempo richiesto per
arrivare in fondo si ottiene ponendo s=h ovvero
t = [ 2 h / (g - F/m) ]0.5 = 3.8 s (per m = 550 g) e anche t = 1.4 s (per m = 1 kg)
si noti, come contrariamente al caso di caduta libera senza attrito, il tempo di caduta
dipende dalla massa. Il tempo di caduta libera si ottiene ponendo semplicemente F=0
t = [ 2 h / g ]0.5 = 1.0 s
che, come detto, è indipendente dalla massa del corpo.
★ Solo per esame da 6CFU. Un corpo di massa m=2 kg cade lungo un piano inclinato di
45° con lʼorizzontale. Supponendo che il piano inclinato sia privo di attrito e che il corpo
parta da una altezza h=1 m, si calcoli il tempo che il corpo impiega ad arrivare sul piano
orizzontale. Qualʼè la velocità con cui il corpo continua a muoversi sul piano orizzontale
supposto anchʼesso privo di attrito?
Il moto di caduta lungo il piano inclinato è uniformemente accelerato con accelerazione
a = g sin α
dove α è lʼangolo con il piano orizzontale ovvero, in questo caso, 45°.
Lo spazio percorso se il corpo parte con velocità nulla è
s = 1/2 a t2 con s = h/sin α dove h è lʼaltezza da cui parte il corpo.
Pertanto t = [2 h / (g (sin α)2 )]0.5 = 0.6 s
Applicando la conservazione dellʼenergia si può ricavare la velocità finale del corpo
ovvero la velocità con cui arriva alla fine del piano inclinato
1/2 m v2 = m g h da cui v = (2 g h )0.5 = 4.4 m/s
indipendente dallʼinclinazione del piano.
★ Un serbatoio dʼacqua posto sul tetto di un edificio è attaccato ad un tubo con sezione
circolare di diametro d1=3 cm. Il tubo è collegato ad un rubinetto al piano terra che si
trova 8 m al disotto della presa dʼacqua ed ha una sezione circolare di diametro d2=2
cm. Supponendo che la velocità di ingresso dellʼacqua sia v1=2 cm/s, qualʼè la
differenza di pressione dellʼacqua tra ingresso ed uscita dal tubo?
Si applicano la conservazione della portata ed il teorema di Bernoulli ovvero
v1 d12 = v2 d22 da cui v2 = v1 (d1/d2)2 = 4.5 cm/s
p1 + 1/2 d v12 + d g h1 = p2 + 1/2 d v12 + d g h2
ovvero
p2 - p1 = d g (h1-h2) + 1/2 d (v12-v12)2
p2 - p1 = 103 kg m-3 * 9.8 m s-2 * 8 m + 0.5 * 103 kg m-3 (22-4.52) 10-4 m2 s-2
= 7.84 104 Pa = 0.78 atm
★ In un calorimetro ideale contenente m=2 kg di acqua alla temperatura di 25 °C, viene
inserito un blocco di Ferro da 5 kg alla temperatura di 700 °C. Qualʼè la temperatura
finale di equilibrio e quanta acqua viene vaporizzata?
Il calore necessario per portare lʼacqua da 25 a 100 °C è
Q1 = m cs (Tf-Ti) = 150 kcal
Il calore necessario a vaporizzare tutta lʼacqua è
Q2 = m qvap = 1080 kcal
Portando la sua temperatura da 700 a 100 °C il ferro può cedere una quantità di calore
Q3 = mFe cFe (Tf-Ti) = 300 kcal
pertanto il Ferro è in grado di riscaldare lʼacqua fino a 100 °C ma non è in grado di
vaporizzarla completamente.
La temperatura finale di equilibrio sarà 100 °C e la quantità di acqua vaporizzata sarà
data da
mvap = (Q3-Q1)/qvap = 0.28 kg
★ Una macchina di carnot adopera come termostato a bassa temperatura acqua a T2=0
°C, ha un rendimento η=15% e produce un lavoro L = 250 J. Calcolare le quantità di
calore Q1 e Q2 scambiate con i termostati e la variazione di entropia della macchina
lungo lʼisoterma di espansione. Se il termostato è una miscela di acqua e ghiaccio,
quanto ghiaccio viene sciolto ad ogni ciclo?
Il rendimento è η = L/Q1 e vale Q1-Q2-L = 0 (I principio) da cui si ottiene
Q1 = 1667 J, Q2 = 1417 J
Poichè η = 1 - T2/T1 si ottiene anche T1 = T2/(1-η) = 273 K / 0.85 = 321 K
In una trasformazione isoterma la variazione di entropia è semplicemente DS = Q/T (Q
calore ricevuto reversibilmente) per cui nel caso in esame
ΔS = Q1 / T1 = 1667 J / 321 K = 5.2 J/K
Q2 è il calore assorbito dal termostato T2 ad ogni ciclo, il ghiaccio sciolto è pertanto
m = Q2/qfus = 1417 J / 80 cal g-1 = 1417 J / (80 * 4.186 J g-1) = 4.2 g