SOLUZIONI
1) Quale numero deve essere aggiunto al numeratore e al denominatore di 14 per
n ?
ottenere la frazione n +
1
R. Basta provare le 5 soluzioni proposte per vedere che solo la (E) funziona:
1
1 + (3n − 1)
3n
n
→
=
=
.
4
4 + (3n − 1)
3n + 3
n+1
2) Se i numeri reali u, v, w soddisfano u < v < w < 0, allora quale delle seguenti
affermazioni è errata?
R. Si vede subito che l’affermazione (B) è falsa: da vu < wv dividendo entrambi i
membri per v si ottiene u > w (essendo v < 0 il verso della disequazione s’inverte)
che è falsa.
3) Ad un’infermiera occorrono 10 cc di una medicina che contiene il 15,5% di una certa
sostanza A. Per ottenerli, l’infermiera mescola x cc di una soluzione contenente
il 20% di A e y cc di una soluzione che contiene il 5% di A. Quale delle seguenti
affermazioni è corretta?
R. Siccome y = 10 − x si ottiene l’equazione: 0,20x + 0,05(10 − x) = 0,155 · 10 che
risolta dà x = 7.
4) Si consideri un rombo aventi le diagonali di lunghezza 6 e 8 e la circonferenza C1
inscritta in esso. I vertici del rombo sono i punti medi dei lati di un rettangolo,
inscritto a sua volta in una circonferenza C2 . Quanto vale il rapporto fra il raggio
di C1 e il raggio di C2 ?
R. Il rombo è formato da 4 triangoli rettangoli i cui cateti misurano 3 e 4 e la cui
ipotenusa quindi misura 5. Il raggio di C1 è uguale all’altezza relativa all’ipotenusa
di uno di questi triangoli, che vale: r1 = (3 · 4)/5 = 12/5. Il rettangolo è formato
da 4 rettangoli con i lati che misurano 3 e 4. Il raggio di C2 è uguale alla diagonale
di uno di questi rettangoli e misura quindi r2 = 5. Perciò r1 /r2 = 12/25 = 0,48.
5) Qual è il massimo comun divisore di 878787878787 e 787878787878?
R. Come si verifica facilmente facendo la moltiplicazione in colonna, si ha:
878787878787 = 10101010101 · 87
e
787878787878 = 10101010101 · 78.
D’altra parte 87 = 3 · 29 e 78 = 3 · 26. Ma 26 e 29 sono primi tra loro, sicché il
M.C.D. è 10101010101 · 3 = 30303030303.
6) Qual è l’ultima cifra del numero 32005 − 22005 ?
R. Se osserviamo la cifra delle unità delle prime potenze di 3 troviamo: 3, 9, 7, 1, 3,
9. . . cioè una successione di 4 cifre (3, 9, 7, 1) che si ripete. Quindi 32004 ha come
cifra delle unità 1 e 32005 ha come cifra delle unità 3. Analogamente per le potenze
di 2 troviamo che le 4 cifre (2, 4, 8, 6) si ripetono come cifra delle unità e quindi
22005 ha come cifra delle unità 2. La differenza perciò ha come cifra delle unità 1.
7) Un contadino ha diviso il suo orto rettangolare in 9
quadrati, come mostrato nella figura. Il quadrato più
piccolo ha l’area di 1 m2 . Quanto vale l’area del quadrato ombreggiato (che è il penultimo in ordine di grandezza)?
R. Se indichiamo con x il lato (in metri) del quadrato che
sta subito sopra il quadrato più piccolo, i lati degli altri
3 quadrati che gli stanno intorno saranno x + 1, x + 2 e
x+3, come si vede in figura. Allora il lato del quadrato
ombreggiato deve essere 4 m e la sua area sarà 16 m2 .
?
x
x+1
x+3
x+2
8) Se la funzione f soddisfa f (x) + xf (1 − x) = x per ogni valore reale della variabile
x, quanto vale f (2)?
R. Ponendo x = 2 nella relazione data si trova: f (2) + 2f (−1) = 2. Ponendo invece
x = −1 si ottiene: f (−1) − f (2) = −1. Sommando queste due equazioni troviamo
3f (−1) = 1, cioè f (−1) = 1/3. Quindi f (2) = 2 − 2f (−1) = 4/3.
9) Quanto vale il quoziente
6,8888...
2,4444... ?
R. 6,8 = 62/9 e 2,4 = 22/9, quindi il quoziente cercato vale 62/9 : 22/9 = 31/11.
10) Qual è la percentuale di area ombreggiata nel rettangolo
in figura?
R. Dividendo il rettangolo in due rettangoli più piccoli, come
in figura, si vede che ogni triangolo ha la stessa base e la
stessa altezza di uno dei due rettangoli. Quindi l’area di ogni triangolo è la metà
dell’area del corrispondente rettangolo. Lo stesso vale per la somma delle figure,
quindi la risposta esatta è 1/2 ovvero 50%.
11) Una ragazza sta viaggiando in un treno composto da 49 carrozze, numerate in
sequenza da 1 a 49, e nota che la somma dei numeri delle carrozze che precedono
la sua è uguale alla somma dei numeri delle carrozze che la seguono. Qual è il
numero della carrozza in cui si trova la ragazza?
R. Indichiamo con n il numero della carrozza in cui si trova la ragazza. La somma dei
vagoni precedenti è uguale alla somma dei numeri da 1 a n − 1, che è (n − 1)n/2.
La somma dei numeri di tutti i vagoni è 49 · 50/2 = 1225. Da cui l’equazione:
(n − 1)n/2 = 1225 − n − (n − 1)n/2, che equivale a n2 = 1225, cioè n = 35.
(a + 2)x + a2 − 1
12) Per a = 4 il valore della frazione ax − 2a + 18 non dipende da x. Gli altri
valori di a per cui succede questo a quale dei seguenti intervalli appartengono?
R. Il valore della frazione non dipende da x solo se (a+2)/a = (a2 −1)/(−2a+18), cioè
se (a + 2)(−2a + 18) = (a2 − 1)a, che semplificando diventa a3 + 2a2 − 15a − 36 = 0.
Sappiamo già che una soluzione è a = 4, quindi il polinomio a primo membro è
divisibile per a − 4, infatti: a3 + 2a2 − 15a − 36 = (a − 4)(a + 3)2 . Dunque le altre
soluzioni si ottengono dall’equazione (a + 3)2 = 0 che ha come unica soluzione
a = −3.
