Esercizi sulle distribuzioni di probabilità. - Quali sono i tre presupposti per poter applicare correttamente il modello di distribuzione binomiale? o i risultati possibili sono due eventi complementari e mutuamente esclusivi o la probabilità di successo è costante nei diversi esperimenti o i risultati dei diversi esperimenti sono indipendenti rif. p 130 1 - p. 148, n.10. Si consideri un gruppo di 7 soggetti (n=7); la probabilità che un soggetto sia diabetico è 0,125. o Le modalità di ordinamento sono 7!= 5040 o Possibili modalità di estrarre 4 soggetti da 7: 7! / (3! * 4!) = 5040 / (6*24) = 35 (rif. p 131) o Probabilità che esattamente 2 soggetti siano diabetici [7! / (2! * 5!)] * 0,1252 * (1-0,125) 5 = 21 * 0,015625 *0,512909 = 0,168 rif. p. 129 e segg. o Probabilità che 4 soggetti siano diabetici [7! / (4! * 3!)]*0,1254 * (1-0,125) 3 = 0,005724 rif. p. 129 e segg. 2 - p. 148, n.11 Si estragga un campione di 10 soggetti (n=10); nella popolazione da cui provengono la probabilità che un soggetto sia mancino è 0,098. o Le modalità di ordinamento sono 10!= 3628800 o Possibili modalità di estrarre 4 soggetti da 10: 10! / (4! * 6!) = 3628800 / (24*720) = 210 (rif. p 131) o Probabilità che esattamente 3 soggetti siano mancini [10! / (3! * 7!)]*0,0983 * (1-0,098) 7 = 0,054866 o Probabilità che almeno 6 soggetti siano mancini [10! / (6! * 4!)]*0,0986 * (1-0,098) 4 + [10! / (7! * 3!)]*0,0987 * (1-0,098) 3 + [10! / (8! * 2!)]*0,0988 * (1-0,098) 2 + [10! / (9! * 1!)]*0,0989 * (1-0,098) 1 + [10! / (10! * 0!)]*0,09810 * (1-0,098) 0 = 0,000131105 3 o Probabilità che al massimo 2 soggetti siano mancini [10! / (0! * 10!)]*0,0980 * (1-0,098) 10 + [10! / (1! * 9!)]*0,0981 * (1-0,098) 9 + [10! / (2! * 8!)]*0,0982 * (1-0,098) 8 = 0,93321069 4 Esercizio.•Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media = 172,5 cm e deviazione standard =6,25 cm.•Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190? •U = (190 – 172,5) / 6,25 = 2,8 •Da cui p= 0,00256 5 •Esercizio.•Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media = 172,5 cm e deviazione standard =6,25 cm. •Qual è la probabilità che un individuo estratto da tale popolazione sia di altezza compresa tra cm 165 e 170? Poichè entrambi i valori sono nella stessa metà della distribuzione posso sottrarre la probabilità minore (corrispondente a p(h<165) dalla probabilità maggiore (corrispondente a p(h<170)) p(h<170) - p(h<165) = p[(170-172,5)/6,25] - p[(165-172,5)/6,25]= p(-0,4) - p(-1,2) = 0,345 - 0,115 = 0,2295 6 •Qual è la probabilità che 2 individui estratti da tale popolazione siano entrambi di altezza compresa tra cm 165 e 170? p(A e B) = p(A) * p(B) A e B sono uguali, quindi p(A e B) = p(A)^2 p(A e B) = 0,2295^2 = 0,0527 7 Esercizi dal testo. La soluzione è riferita alla tabella A3, che riporta la coda superiore della distribuzione normale standard •P. 149 es. 17 o p(z>2,60) = 0,005 8 o p(z<1,35) = 1-0,089 =0,911 9 o p(-1,70<z<3,10) possiamo risolvere il problema come = 1 - [p(z>3,10) + p(z<-1,70)] = 1 - p(z>3,10) - p(z<-1,70) [togliamo dall'area totale le due code corrispondenti a z<-1,70 e z>3,1] =1- 0,045 - 0,001 = 0,954 o z(0,15 nella coda superiore) = 1,04 10 o z(0,20 nella coda inferiore) dato che la tabella è riferita alla coda superiore debbo calcolare z(0,20) e z'= -1*z(0,20) = -1 * 0,84 = -0,84 11 P. 149 es. 18 o p(PD<60 mmHg) = p[(60-77)/11,6] = p(-1,47) = 0,071 o p(PD>90 mmHg) = p[(90-77)/11,6] = p(1,12) = 0,113 o p(60<PD<90 mmHg) = 1 - p[(90-77)/11,6] - p[(60-77)/11,6] = 1 - 0,071 0,113 = 0,816 0,816 0,071 0,113 12 •P. 149 es. 19 o p(Peso<130 libbre) = p[(130-172,2)/29,8] = p(- 1,42) = 0,079 o p(Peso>210 libbre) = p[(210-172,2)/ 29,8] = p(1,27) = 0,102 o p(130<Peso<210 libbre) = p[(210-172,2)/ 29,8] - p[(130-172,2)/29,8] = 1 - 0,079 - 0,102 = 1 - 0,181 = 0,819 o p(su 5 almeno 1 con peso non compreso in 130<w<210) = 1 - p(tutti con peso compreso in 130<w<210) = 1- [p(130<Peso<210 libbre)]5 = 1-0,81935 = 1 - 0,3692 = 0,6308 0,81935 corrisponde al calcolo binomiale di p(0 su 5) = 5! / (0! * 5!) * (1- 0,8193)0 * 0,81935 13