Programma provvisorio del Corso di Analisi Matematica 2
Corsi di Laurea in Ingegneria dell’Ambiente e delle Risorse e
Ingegneria Industriale - a.a. 2007/08
Docente: Pierluigi Benevieri
Capitolo 1: successioni e serie.
Definizione di successione. Successioni limitate; successioni monotone. Limite di una successione. Teorema della permanenza del segno per i limiti di successioni. Teorema del confronto per
i limiti. Teorema sui limiti di successioni monotone.
Definizione di sottosuccessione. Legami tra limite di successioni e di sottosuccessioni.
Teorema di collegamento fra i limiti di funzioni e successioni.
Definizione di serie numerica. Somme parziali. Definizione di serie convergente. Convergenza
della somma di due serie convergenti. Studio della convergenza delle serie armoniche, di Mengoli,
geometriche. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Criterio di Leibniz per le serie
a segno alterno. Criteri del rapporto e della radice per le serie a termini positivi. Convergenza
assoluta
Capitolo 2: Calcolo differenziale per funzioni di piu’ variabili reali
Richiami di algebra dello spazio euclideo RN : vettori e punti dello spazio, coordinate, distanza
tra due punti e norma o modulo di un punto. Prodotto scalare di due vettori.
Topologia di RN : intorno circolare o sferico, punto interno, punto di frontiera, punto di accumulazione, insieme aperto, insieme chiuso, insieme limitato.
Definizione di limite di una successione a valori in RN .
Funzioni a valori reali di variabili in RN . Definizione di limite e continuita’. Continuita’ di
somme, prodotti, rapporti di funzioni continue. Teorema di Weierstrass.
Derivate parziali prime e seconde. Funzioni derivabili. Gradiente. Teorema di Schwarz
sull’inversione dell’ordine di derivazione.
Funzioni differenziabili, differenziale di una funzione. Relazione fra continuita’, derivabilita’ e
differenziabilita’. Teorema del differenziale.
Approssimazione di Taylor al primo ordine. Piano tangente al grafico di una funzione. Composizione di funzioni e formula di derivazione delle funzioni composte.
Derivata direzionale. Formula di calcolo della derivata direzionale per funzioni differenziabili.
Significato geometrico del gradiente. Linee di livello.
Approssimazione di funzioni di classe C 2 , formula di Taylor al secondo ordine.
Massimi e minimi assoluti e relativi. Teorema di Fermat (condizione necessaria del primo
ordine). Punto stazionario o critico. Matrice hessiana. Matrici quadrate e forme quadratiche
associate. Matrici e forme quadratiche definite e semidefinite positive e negative. Caratterizzazione delle matrici simmetriche definite e semidefinite in base allo studio degli autovalori.
Teoremi che determinano condizioni necessarie e sufficienti del secondo ordine per l’esistenza
di massimi o minimi relativi.
Applicazioni al caso particolare di funzioni di due e tre variabili. Cenni su applicazioni al caso
di funzioni di piu’ di tre variabili.
Capitolo 3: Calcolo integrale per funzioni di piu’ variabili reali
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Caso bidimensionale.
Domini normali del piano euclideo. Misura di un dominio normale. Partizioni e partizioni
puntate. Definizione di integrale e di funzione integrabile in un dominio normale di R2 . Insiemi
trascurabili.
Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili.
Integrale esteso all’unione di un numero finito di domini normali. Algebra delle funzioni integrabili: integrazione di somma di funzioni integrabili, prodotto per scalare, integrale del valore
assoluto e confronto tra funzioni.
Teorema: formula di riduzione per il calcolo degli integrali doppi.
Teorema di cambiamento di variabile negli integrali doppi. Matrice jacobiana. Esempi significativi: coordinate polari ed ellittiche.
Misura dei solidi di rotazione.
Caso tridimensionale.
Domini normali in R3 e loro misura. Definizione di integrale e di funzione integrabile in un
dominio normale di R3 . Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili sui domini normali
di R3 .
Integrale esteso all’unione di un numero finito di domini normali. Algebra delle funzioni integrabili: integrazione di somma di funzioni integrabili, prodotto per scalare, integrale del valore
assoluto e confronto tra funzioni.
Teorema: formula di calcolo degli integrali tripli.
Teorema di cambiamento di variabile negli integrali tripli. Matrice jacobiana. Esempi significativi: coordinate sferiche.
Capitolo 4: Curve e integrali curvilinei
Definizione di curva in RN ; sostegno della curva. Curve, continue derivabili, C 1 , semplici,
regolari. Vettore tangente e retta tangente.
Lunghezza di una curva. Curve equivalenti e indipendenza della lunghezza per curve equivalenti.
Integrali curvilinei di funzioni da RN in R. Significato geometrico. Indipendenza dell’integrale
per curve equivalenti.
Campi vettoriali e integrali curvilinei di campi vettoriali. Relazione tra gli integrali rispetto a
curve equivalenti con orientazione concorde od opposta.
Campi vettoriali conservativi e primitive. Condizioni necessarie all’esistenza di primitive. Tecniche per la determinazione di una primitiva.
Capitolo 5: estremi vincolati
Massimi e minimi assoluti e relativi per funzioni di due variabili su insiemi non aperti del piano
euclideo. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili. Teorema della funzione implicita
in dimensione 2 e applicazioni allo studio dei massimi e minimi vincolati. Cenni a problemi di
massimi e minimi vincolati per funzioni di tre variabili reali con parametrizzazione del vincolo.
Testi adottati:
- M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica, vol. secondo, Ed. Pitagora
Altri testi per approfondimenti ed esercizi:
- Bertsch - Dal Passo, Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw, 2007.
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