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Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione
Corpo rigido con asse di rotazione fisso (Z)
z
r1
m1
ogni elemento del corpo ha la stessa velocità angolare
m2
r2
un elemento a distanza rK dall’asse di rotazione ha velocità
rK
vk = ω rk
mK
e dunque energia cinetica
mk 2 mk 2 2
vk =
ω rk
2
2
In un caso discreto, l’energia cinetica complessiva vale:
mk 2 2 1 
2 2
K =∑
ω rk =  ∑ mk rk ω
2
2 k
k

momento d’inerzia
1 2
K = Iω
2
Momento d’inerzia
Per un corpo esteso
I = ∑ mi ri 2
z
rk
Si divide il corpo in tanti elementini “infinitesimi”
la somma diventa un integrale
Momento d’inerzia
[I ] = kg m 2
i
mk
dipende dalla distribuzione di massa rispetto all’asse di rotazione.
Grandezza scalare, sempre positiva.
come vedremo fra poco, è l’analogo rotazionale della massa
Esempi di momenti d’inerzia ....
Il momento d’inerzia dipende dall’asse di rotazione (v. Teorema degli assi paralleli)
Alcuni momenti d’inerzia
z
rispetto ad un asse passante per il cdm
sbarra di massa m, lunghezza l,
risp. asse ortogonale passante per il cdm:
d
m
IZ =
1 punto materiale:
I Z = md 2
I Z = mR
2
m 2
l
12
IZ =
R
R
m 2
R
2
Cerchio, rispetto
al proprio asse.
Anello, rispetto
al proprio asse.
R
Sfera. rispetto ad un asse.
IZ =
2
mR
5
2
Cilindro, rispetto
al proprio asse.
IZ =
m 2
R
2
Effetto rotatorio di una forza. Momento di una forza
Un corpo rigido con un asse di rotazione fisso, può solo ruotare intorno al proprio asse.
L’applicazione di una forza produce una rotazione, ovvero una accelerazione angolare
α∝F
O
P
O
α ∝ OP
P’
r
F1
O
P
r
F2
r
F3
a parità di direzione e punto di applicazione
della forza, l’effetto è proporzionale a |F|
con forze uguali l’effetto è proporzionale ad OP
α ∝ sin θ
a parità di |F| e punto di applicazione
l’effetto dipende dall’angolo fra F e OP
una forza parallela ad OP (radiale) non produce rotazione
una forza ortogonale ad OP (tangenziale) produce rotazione
Tutto ciò si riassume nel concetto di Momento della forza F rispetto al punto (polo) O
Effetto rotatorio di una forza. Corpo rigido con asse fisso.
Momento della forza F rispetto al punto O (definizione provvisoria)
asse di rotazione
FT
τ = OP ⋅ F sin θ
F
θ
O
P
H
FR
τ = OP ⋅ FT
[τ ] = Nm
τ = OH ⋅ F
il segmento OH si chiama braccio della forza
Si suol dire che il momento di una forza è dato da forza x braccio ....
... essendo il braccio la distanza del punto O dalla retta di applicazione della forza
Attenzione: il momento di una forza dipende dal punto O, quindi la stessa forza con lo stesso
punto di applicazione, ha momenti diversi rispetto a punti diversi.
Effetto rotatorio di una forza. Legge della rotazione
(asse di rotazione fisso)
il moto dipende
anche dal corpo:
• dalla massa del corpo
• da come tale massa è distribuita rispetto all’asse di rotazione
asse di rotazione
F
m
F
d
θ
O
θ
O
P
P
H
H
se l’asta ha massa trascurabile, e la sfera è piccola
τ Z = I Zα
α∝
1
md 2
in generale,
2a legge di Newton per le rotazioni
τ e I calcolati rispetto allo stesso asse Z
∑τ
k
k
τ e α grandezze con segno
α∝
1
I
Esempi di rotazione di un corpo rigido con asse fisso
τ Z = I Zα
z è l’asse di rotazione
Se F costante: moto circolare uniformemente accelerato.
R
F
τ
R
M
Disco o cilindro, rotante
intorno al proprio asse:
mg − T = ma

→ TR = Iα
T
T
mg

mR 2
g
a =
2
mR + I

I
T =
mg
2

mR + I
con
I=
M 2
R
2
a = αR
Momento di una Forza (rispetto al polo O)
τ
Polo O
H
r
r
Definizione generale.
Piano definito da OP e F
r
F⊥
P
θ
r
F
m2
[τ ] = Nm = kg 2
s
Proprietà del momento τ.
τ ortogonale al piano definito da r e F.
Verso: regola della mano destra.
τ non ha un punto di applicazione
r
r r
τ = r × F = OP × F
r
dimensionalmente uguale al Joule ma ...
τ = rF sin θ
τ = rF ⊥
τ = F r⊥ = F ⋅ OH = Fb
braccio della forza
Osservazioni sul momento di una forza
τ
τ
F
r
O
r
F
F
r
Direzione e verso di τ
sono dati dalla regola
della mano destra: verso
di rotazione visto da O
Una stessa forza F, applicata in una determinato punto, ha momenti angolari diversi
a seconda del punto rispetto al quale si calcola. Alto grado di arbitrarietà.
A
r
F
La medesima forza F ha momenti diversi rispetto ai
punti A, B e C. Per esempio, τA e τC hanno segno
C
B
opposto, mentre τB=0.
Momento Angolare o Momento della quantità di moto di una particella
Definizione generale.
L
Prodotto vettore: attenzione all’ordine.
O
H
r
r r r
l = OP × m v = r × p
r
v⊥
r
r
P
θ
r
v
Proprietà del momento angolare l.
♦ l ortogonale al piano definito da r e p=mv.
♦ verso: regola della mano destra.
♦ l non ha un punto di applicazione
m2
[l] = kg
s
l = rmv sin θ
l = rmv ⊥
l = mv r⊥ = mv ⋅ OH = mvb
braccio
Seconda legge di Newton in forma angolare (e vettoriale)
momento angolare di una particella
(definizione)
derivando rispetto al tempo:
r r
r
l = r × mv
r
r
r
r r
d l dr
dv
=
× mv + r × m
dt
dt
dt
r
v
r
r dl
τ =
dt
si chiama anche Teorema del momento angolare
r
F
r
τ
r
a
Seconda L. Newton in forma angolare. Moto di una particella.
d r
(r × mvr ) = rr × mgr
dt
y
r
r
θ
r
mg
x
O
H
d
(mvr ) = mgr
dt
Pendolo semplice
O
θ
r
r
r
T
r
v
r
mg
dl Z
=τZ
dt
v =ωr
τ Z = −mgr sin θ ≅ −mgrθ
l Z = mvr = mω r 2
dω
d 2θ
g
=
=
−
 θ
2
dt
dt
r 
Tipicamente, con un solo punto materiale il teorema del momento angolare non dice nulla di nuovo.
Un’eccezione importante è costituita dalle forze centrali, come la forza gravitazionale.
Campo gravitazionale. Leggi di Keplero
r
l
r
dl O
= MO = 0
dt
O
r
F
r
⇒ lO = cost
La direzione del momento angolare
definisce il piano dell’orbita.
v
Conservazione della direzione di L: orbita piana (parte della 1a Legge Keplero)
Conservazione del
modulo di L:
velocità areolare costante (2a Legge Keplero):
r
r (t + dt )
1
dA = r ds sin θ
2
dA 1
mrv sin θ LO
= rv sin θ =
=
dt 2
2m
2m
r
r (t )
r
ds
ds⋅ sinθ
Campo Gravitazionale
Siamo in grado di rispondere alla domanda: perché i pianeti non «cadono» sul Sole?
Forza conservativa:
Forza centrale:
EM =
Lo = mrvθ = cost
θ
r
rmin
O
m 2
Mm
v −G
= cost
2
r
m 2 m 2
K = vr + vθ
2
2
ovvero
rmax
L2o
m 2
K = vr +
2
2mr 2
m 2
L2o
Mm
EM = vr +
−G
2
2
2mr
r
Campo Gravitazionale
Energia
L2o
2mr 2
EM
U = −G
Mm
r
L’orbita del pianeta è compresa fra un minimo e un massimo.
Se l’energia meccanica corrisponde al minimo della curva rossa rmin = rmax (circonferenza)
Estensione ad un sistema di particelle
Momento angolare di un sistema di particelle:
r r
r
r
L = l 1 + l 2 + l 3 + ... =
∑
r
lk
k
Derivando rispetto al tempo:
r
dL
=
dt
∑
k
r
d lk
=
dt
r
∑τ
k
k
Seconda legge di Newton in forma angolare, detto anche
Teorema del Momento Angolare
r ( EST )
τ
r
dL
=
dt
è una legge fondamentale e del tutto generale
In particolare, notare:
• la somiglianza con il teorema della quantità di moto
• che solo le forze esterne al sistema hanno effetto
L’equazione del moto rotazionale per un corpo rigido con asse fisso si può ricavare
rigorosamente a partire da questo teorema.
Momento angolare di un corpo rigido con asse fisso
in tal caso basta la componente di L lungo l’asse z (LZ).
l
O
v
Es. punto materiale in moto circolare
m
r r
r
l = r × mv
r
l Z = mrv = m ω r 2
parallelo all’asse di rotazione (se ..)
comp. lungo l’asse di rotazione z
Momento angolare lungo l’asse di rotazione (z) di un corpo esteso.
z
rk
Si divide il corpo in tanti elementini di massa
Ogni elemento di massa si muove di moto circolare intorno all’asse
mk
punto k-esimo
vk = ω rk
l Zk = rk m k v k = m k rk2ω
LZ =
ω è la stessa per tutti i punti
momento angolare della massa k-ma
(componente lungo l’asse z)

2 
l
=
m
r
 ∑ k k ω
∑
kz
k =1
 k

N
Momento angolare di un corpo rigido con asse fisso
LZ = I Z ω
In casi particolari, ad esempio quando l’asse di rotazione è asse di simmetria
questa relazione si può scrivere in forma vettoriale:
r
r
L = Iω
se |ω
ω|=ω e la direzione è data
dalla regola della mano destra
questa formula ha una validità limitata, mentre quella per le componenti z è di validità generale
Sistemi isolati. Conservazione del momento angolare
In un sistema isolato (o comunque se il momento delle forze esterne è nullo)
il momento angolare è costante.
r
dL
=0 ⇒
dt
r
L = cost
r
r
Lin = L fin
La conservazione del momento angolare in un sistema isolato è una delle leggi
di conservazione fondamentali.
1a e 2a legge di Keplero
(quasi) costanza della velocità di rotazione
e dell’orientamento dell’asse di rotazione.
Sistemi isolati. Conservazione del momento angolare
per un corpo “rigido”
LZ = I Z ω = cost
uomo su una corda
I iω i = I f ω f
Persona su pedana girevole
Sistemi isolati. Conservazione del momento angolare
Nature, v. 481, p.181. 12 Gennaio 2012
v. anche tuffi dal trampolino
Nota: questi non sono sistemi isolati!
Tuttavia il momento si conserva rispetto al centro di massa
Corpo rigido e forza peso.
Un risultato fondamentale dello studio dei sistemi di forze equivalenti riguarda la forza peso
In un corpo esteso, la forza gravitazionale agisce su ognuna
delle sue particelle. E’ un sistema di forze parallele.
In un corpo rigido, l’insieme di queste forze è equivalente
r
′
dm ⋅ g
r
dm⋅ g
r
mg
• alla forza peso totale mg ...
• ... applicata nel centro di massa (*)
(*) In realtà, il punto di applicazione è il centro di gravità, che non necessariamente coincide con il centro di massa.
Coincidono se l’accelerazione di gravità identica in ogni punto del corpo, condizione senz’altro verificata negli
esempi ordinari.
Risultante delle forze (esterne) nulla.
Equilibrio di un corpo rigido.
F1
Momento risultante delle forze (esterne) nullo
r
 FEXT = 0
r
τ EXT = 0
F2
F2
F1
mg
mg
Determinazione empirica del centro massa (coincide con il centro di gravità o baricentro)
T
mg
c.d.g
Equilibrio di un corpo rigido.
RVX + T X = 0
r
R
V
θ
RVY + TY − mg = 0
r
T
T l sin θ = mg
r
mg
l
2
N 1 + N 2 = mg
N 1d1 = N 2 d 2
d1
RV
b1
r
mg
r
N1
b2
r
N2
d2
m 1 gb
1
= m 2 gb
2
m 1b1 = m 2 b 2
r
m1g
r
m 2g
«leggi della leva»