Le origini della
Teoria dei Quanti
Minicorso per gli studenti del
Liceo Scientifico “A. Guarasci” (Rogliano)
e dell’Istituto Magistrale “I Licei” (Belvedere)
Alessandro Papa
Dipartimento di Fisica, Università della Calabria
E-mail: [email protected] - Tel.: 0984-406015
Programma del corso
• Introduzione
- la fine del periodo classico della Fisica
- la Fisica teorica classica
- stato delle conoscenze microscopiche a fine ‘800
• Quantizzazione nella luce
- cenni sulla radiazione di corpo nero
- effetto fotoelettrico
- effetto Compton
- doppia fenditura di Young
1
• Quantizzazione nella materia
- atomo di Thomson, atomo di Rutherford
- atomo di Bohr
- esperimento di Franck-Hertz
- la “antica teoria dei quanti”
• La teoria quantistica moderna
- cenni storici
- ipotesi di De Broglie, “onde di materia”
- esperimento di Davisson e Germer
- incertezza della misura e indeterminazione di
Heisenberg
Introduzione
La fine del periodo classico
Paradigma della dottrina classica
• di un sistema fisico si vuole studiare l’evoluzione nel
tempo o, equivalentemente, determinarne la dinamica
• ad ogni sistema viene associato un certo numero di
variabili dinamiche, che possiedono tutte, ad un certo
istante, un valore ben preciso
• l’insieme di queste variabili dinamiche costituisce lo
stato dinamico del sistema; noto lo stato dinamico del
sistema, la sua evoluzione è determinata
2
Introduzione
La fine del periodo classico
Da Newton in poi, successo della dottrina
classica
• nuova scoperta
→ nuove variabili dinamiche
e/o nuove equazioni di evoluzione
I. Newton (1642-1727)
• sempre maggiore semplicità e unità delle
conoscenze
Introduzione
La fine del periodo classico
Verso il 1900, crisi della Fisica classica
le conoscenze microscopiche diventano sempre più precise
ed appaiono difficoltà e contraddizioni della teoria classica
→ nuovi princìpi
→ nuova teoria, la meccanica quantistica (1900-1925)
Cosa intendiamo qui per “microscopico”?
Relativo a scale di lunghezza atomiche, cioè a lunghezze inferiori a
1 Å=10-8 cm.
3
Introduzione
La Fisica teorica classica
fenomeni fisici
materia
irraggiamento
Teoria corpuscolare
- dalla meccanica dei corpi celesti e dei solidi macroscopici
fino alla scala microscopica
- confermata l’ipotesi atomica dei chimici
(leggi delle proporzioni costanti e delle proporzioni multiple)
-la difficoltà di operare con sistemi con un numero di variabili
dell’ordine del numero di Avogadro porta alla nascita della
meccanica statistica (Boltzmann, 1884)
L. Boltzmann (1844-1906)
Introduzione
La Fisica teorica classica
materia
fenomeni fisici
irraggiamento
Teoria ondulatoria
- le variabili dinamiche sono i campi elettrici e
magnetici in tutti i punti dello spazio-tempo
- esse obbediscono alle equazioni di Maxwell (1855)
che unificano l’ottica con l’elettricità e il magnetismo
e portano alla previsione delle onde
elettromagnetiche, scoperte da H.R. Hertz (1887)
J.C. Maxwell (1831-1879)
4
Introduzione
La Fisica teorica classica
materia
fenomeni fisici
irraggiamento
Tutto sembra trovare spiegazione nell’ambito della teoria corpuscolare
o in quella dell’irraggiamento, con sorprendente grado di unità.
Fu proprio la ricerca di un grado di unità ancora maggiore, quello tra la
propagazione delle onde elettromagnetiche e delle onde elastiche, che
portò alla ricerca dell’etere. Il fallimento di questa ricerca sta all’origine
della formulazione della teoria della relatività (Einstein, 1905).
Introduzione
Stato delle conoscenze microscopiche a fine ‘800
Gli sforzi sperimentali a fine ‘800 sono mirati allo studio della struttura della materia,
delle mutue interazioni tra corpi e della interazione materia-radiazione.
Conducibilità elettrica nei gas rarefatti (10 −3 mm/Hg)
- raggi catodici (elettroni; J.J. Thomson, 1897)
- raggi canale (ioni di gas residuo, Goldstein, 1886)
- raggi anodici (ioni strappati dall’anodo)
In seguito a queste scoperte l’esistenza di atomi e
molecole da ipotesi di lavoro diventa realtà.
Inoltre, si affinano le tecniche sperimentali per isolare
particelle atomiche e sub-atomiche:
- misura carica elettrone (Millikan, 1910)
- camera di Wilson (1912)
- contatore Geiger (1913)
5
Introduzione
Stato delle conoscenze microscopiche a fine ‘800
Scoperta della radioattività (Bequerel, 1896):
-prima manifestazione delle proprietà dei
nuclei atomici
- si comincia a disporre dei raggi α come potente
mezzo di investigazione dell’atomo
A.H. Bequerel (1852-1908)
M. Curie (1867-1934)
Onde elettromagnetiche:
- scoperta dei raggi X (Röntgen, 1895) …
- … e delle loro proprietà ondulatorie
(von Laue, 1912)
W.C. Röntgen (1845-1923)
Analisi spettrale dell’irraggiamento: informazioni su
emissione, assorbimento e diffusione della radiazione
e primi disaccordi con la teoria classica.
Digressione: Onde elettromagnetiche
λ = “distanza tra due creste consecutive” = “lunghezza d’onda”
T = “periodo dell’onda”
ν = 1/T = “frequenza dell’onda”
λ=
c
ν
6
Digressione: spettro elettromagnetico I
Digressione: spettro elettromagnetico II
7
Digressione: spettro elettromagnetico III
Digressione: spettro elettromagnetico IV
Spettro della radiazione elettromagnetica
Regione
Lunghezza
d’onda
(Angstrom)
Lunghezza
d’onda
(centimetri)
Frequenza
(Hz)
Energia
(eV)
Radio
> 109
> 10
< 3 x 109
< 10-5
Microonde
109
-
106
Infrarosso
106 - 7000
Visibile
7000 - 4000
10 - 0.01
0.01 - 7 x 10-5
109
3x
-3x
1012
3 x 1012 - 4.3 x 1014
7 x 10-5 - 4 x 10-5 4.3 x 1014 - 7.5 x 1014
4x
10-5
-
10-7
7.5 x
1014
-3x
1017
10-5 - 0.01
0.01 - 2
2-3
Ultravioletto
4000 - 10
3 - 103
Raggi X
10 - 0.1
10-7 - 10-9
3 x 1017 - 3 x 1019
103 - 105
Raggi
Gamma
< 0.1
< 10-9
> 3 x 1019
> 105
8
Digressione:
Interferenza di onde elettromagnetiche I
Interferenza costruttiva
Interferenza distruttiva
Digressione: Diffrazione I
Posizione dei minimi:
d sinθ = nλ
n = 1,2,3,....
9
Digressione: Diffrazione II
Esempi di figure di diffrazione
sinistra: forma apertura
destra: immagine sullo schermo
ad apertura piccole corrispondono
picchi centrali più estesi
Posizione primo minimo:
sinθ =
λ
d
Quantizzazione nella luce
Cenni sulla radiazione di corpo nero
Corpo nero: oggetto ideale che assorbe il 100% delle radiazioni che lo colpiscono,
quindi non riflette alcuna radiazione e appare perfettamente nero.
Un corpo può apparire nero ai nostri occhi perché assorbe solo la luce visibile.
Un corpo nero ideale assorbe su tutto lo spettro elettromagnetico.
In natura niente assorbe totalmente (la migliore
approssimazione è la grafite che riflette solo il 3%).
In pratica, un piccolo foro in una scatola con
l'interno annerito, si avvicina molto al concetto di
corpo nero: la radiazione che entra viene
totalmente assorbita.
Quella che ne uscirà corrisponderà all'equilibrio di
temperatura del corpo.
10
Quantizzazione nella luce
Cenni sulla radiazione di corpo nero
Il corpo nero dunque è anche idealmente
un perfetto emettitore di radiazione.
L'emissione è isotropa e dipende solo
dalla temperatura, non dal materiale di
cui è fatto.
La lunghezza d'onda a cui avviene la
massima emissione dipende dalla
temperatura del corpo.
Legge di spostamento di Wien:
λmax T = 0.2898 cm K
Quantizzazione nella luce
Cenni sulla radiazione di corpo nero
B(λ, 310 K) (x108 erg cm-3 s-1)
Ogni corpo emette radiazioni, anche se non ce ne rendiamo conto, poiché un
oggetto deve essere molto caldo per emettere luce visibile (es. il ferro
incandescente, la lava di un vulcano).
Ad esempio, per l’uomo
T = 37 o C = 310 K → λmax ≅ 9 µm
λ (µm)
11
Quantizzazione nella luce
Cenni sulla radiazione di corpo nero
Le stelle sono buone approssimazioni di
emissione di radiazione di corpo nero, ad
es. la superficie del Sole ha un massimo di
emissione intorno ai 6000 K, che corrisponde
al suo tipico colore giallo-arancio.
Quantizzazione nella luce
Cenni sulla radiazione di corpo nero
I fisici già nel 1800 tentavano di trovare la teoria che spiegasse
lo spettro di corpo nero, utilizzando le leggi di Maxwell
dell’elettromagnetismo classico. Molte cose furono capite,
come ad esempio la dipendenza dalla temperatura della
potenza totale emessa da un corpo nero e la forma della
legge di spostamento di Wien.
W. Wien (1864-1928)
Nel 1900 che M. Planck riuscì a trovare la formula che
riproduce I valori osservati dello spettro di corpo nero.
Ma per farlo dovette introdurre un’ipotesi nuova, che
apparve inizialmente come un mero artificio matematico.
M. Planck (1858-1947)
12
Quantizzazione nella luce
Cenni sulla radiazione di corpo nero
Spiegazione di Planck (1900)
le pareti di una cavità, come qualsiasi superficie
emittente, contengono particelle, che assorbendo
energia dall’esterno aumentano la loro temperatura e
iniziano ad oscillare.
Oscillando emettono radiazione, ma, contrariamente
ai principi classici, l’energia di questa radiazione è
emessa in quantità definite o pacchetti di energia
hν, dove h=6.626x10-34 J s (costante di Planck).
L’emissione alle alte frequenze (piccole lunghezze
d’onda) è sfavorita perché comporterebbe
l’emissione di pacchetti di energia “grandi”.
In effetti, lo spostamento verso le lunghezze d’onda
più piccole si verifica alle temperature più elevate.
Digressione: La radiazione cosmica di fondo
L’universo è permeato da radiazione omogenea
e isotropa, ritenuta essere il residuo termico del
big bang. Questa radiazione, chiamata radiazione
cosmica di fondo, scoperta nel 1964 da A. Penzias
e R.W. Wilson, è caratterizzata da un perfetto
spettro di corpo nero a una temperatura di 2,726 K.
R.W. Wilson e A. Penzias
Questa radiazione è estremamente
uniforme su tutto il cielo; le anisotropie
sono dell’ordine dello 0.0001-0.001% e
danno utilissime informazioni su età,
dimensione, composizione ed
evoluzione futura dell’universo.
Mappa del fondo cosmico a microonde ottenuta da WMAP
13
Quantizzazione nella luce
Effetto fotoelettrico
Misure effettuate da H. Hertz (1887),
Hallwachs (1888), Elster e Geitel (1889-92),
Lenard (1899-1902).
Luce monocromatica (tipicamente UV) su
placche di metalli alcalini; rilevazione della
corrente tra catodo e anodo, in un tubo a
vuoto.
Fenomenologia:
1. esiste frequenza di soglia, al di sotto della quale non vengono emessi elettroni;
2. numero di elettroni emessi proporzionale alla intensità della radiazione incidente
3. velocità degli elettroni dipendente solo dalla frequenza della luce, secondo legge
1
m v 2 = hν − A
2
A costante caratteristica del metallo
Quantizzazione nella luce
Effetto fotoelettrico
Ipotesi di Einstein dei “quanti di luce”
(1905):
- ogni quanto di luce colpisce un elettrone del
metallo e gli cede la sua energia hν
- se questa energia è maggiore del lavoro di
estrazione del metallo A, l’elettrone viene
emesso
- l’avanzo di energia hν-A di cui dispone
l’elettrone costituisce l’energia cinetica con cui
si muove dopo l’emissione
L’esistenza di una frequenza di soglia è in contrasto con la teoria ondulatoria:
un’onda di luce trasporta energia in proporzione alla sua intensità; essa cederebbe
questa energia agli elettroni del metallo in modo continuo, fino a consentire loro di
sfuggire dal metallo → emissione ritardata, non osservata sperimentalmente.
14
Quantizzazione nella luce
Effetto Compton
Diffusione di raggi X su grafite (1922)
A. Compton (1892-1962)
Aspettativa secondo la teoria ondulatoria:
gli elettroni del materiale vengono messi in oscillazione dalle onde elettromagnetiche
incidenti e diventano essi stessi sorgente di radiazione elettromagnetica con la
stessa frequenza della radiazione incidente.
Quantizzazione nella luce
Effetto Compton
Osservazione sperimentale:
1. la radiazione diffusa ha una lunghezza
d’onda λ’ diversa da quella della radiazione
incidente, λ
2. la differenza λ’-λ dipende dall’angolo di
rilevazione
15
Quantizzazione nella luce
Effetto Compton
Teoria corpuscolare della luce:
radiazione incidente costituita di
fotoni di energia E=hν e
quantità di moto
p= E/c=hν/c=h/λ; ogni singolo
fotone incide su un elettrone,
trasferendogli parte della sua
energia.
Elettrone
diffuso
pγo
Φ
Fotone
incidente
pe
x
θ
Fotone
diffuso
pγ
Conservazione dell’energia e della quantità di moto:
h
h
cosθ + pe cosΦ
λ λ'
h
0 = sinθ − pesinΦ
λ'
=
mc 2 + hν =
pe c 2 + m 2 c 4 + hν '
λ '−λ =
2
h
(1 − cosθ )
mc
in accordo con l’esperimento
Quantizzazione nella luce
Doppia fenditura di Young
Singola fenditura: interpretazione ondulatoria
16
Singola fenditura: interpretazione corpuscolare
A
Sorgente
B
parete
otturatore
Singola fenditura: interpretazione corpuscolare
A
Sorgente
B
parete
otturatore
17
Singola fenditura: interpretazione corpuscolare
A
Sorgente
B
parete
otturatore
Singola fenditura: interpretazione corpuscolare
A
Sorgente
B
parete
otturatore
18
Singola fenditura: interpretazione corpuscolare
A
Sorgente
B
parete
otturatore
Esperimento di Young (1801)
Frange di
interferenza
19
Doppia fenditura: interpretazione ondulatoria
Doppia fenditura: interpretazione corpuscolare
Aspettativa classica
A
Sorgente
B
parete
20
Doppia fenditura: interpretazione corpuscolare
Osservazione sperimentale
A
Sorgente
B
Frange di
interferenza
Quantizzazione nella luce
Doppia fenditura di Young
Cosa possiamo concludere?
La luce si comporta come un flusso di corpuscoli (fotoni); ma il comportamento di
ciascuno di essi può essere previsto solo in senso probabilistico.
La funzione di probabilità obbedisce alla teoria ondulatoria.
Infatti, dopo aver inviato contro la parete un numero elevatissimo di fotoni, l’insieme
dei loro impatti localizzati formerà una figura come quella prevista dalla teoria
ondulatoria nelle stesse condizioni sperimentali.
→ Dualismo onda-corpuscolo
21
Quantizzazione nella materia
Atomo di Thomson
Nel 1903 J.J. Thomson ipotizzò che un atomo con
numero atomico Z fosse costituito da una sfera
uniformemente carica di raggio dell’ordine di 1 Å,
con carica totale positiva pari a +Ze, all’interno
della quale siano distribuiti Z elettroni, come
l’uvetta in un panettone o i semi in un’anguria.
J.J. Thomson (1856-1940)
Dallo studio delle frequenze di oscillazione degli elettroni
intorno alle loro posizioni di equilibrio, si può determinare
lo spettro di emissione di un atomo di Thomson, che non è
in accordo con i dati sperimentali.
Un atomo siffatto deve risultare praticamente trasparente,
se “bombardato” con particelle pesanti, come le particelle α.
Quantizzazione nella materia
Esperimento di Rutherford
Nel 1911 Rutherford condusse un esperimento fondamentale:
bombardò un sottilissimo foglio di oro, posto fra una sorgente
di particelle α (nuclei di elio) e uno schermo al solfuro di zinco
(materiale fluorescente che emette lampi di luce quando viene
colpito dalle particelle).
Le particelle, passate attraverso la lamina, sarebbero rimaste
impresse sullo schermo.
E. Rutherford (1871-1937)
Risultato sperimentale:
le particelle α non venivano quasi mai
deflesse; ma quando ciò succedeva, la
deflessione era notevole (in alcuni casi
venivano respinte all’indietro).
22
Quantizzazione nella materia
Atomo di Rutherford
Nell’atomo la carica positiva non può essere
distribuita in modo uniforme su una sfera di
raggio dell’ordine di 1 Å, ma deve essere
concentrata in un nucleo di dimensioni
dell’ordine di 10-13 cm.
Il modello atomico di Rutherford è di tipo “planetario”:
gli elettroni orbitano intorno al nucleo, occupando uno
spazio delle dimensioni di 1 Å; essi determinano le
proprietà chimiche degli elementi.
Quantizzazione nella materia
Difficoltà del modello di Rutherford
Secondo la teoria elettromagnetica una carica soggetta ad accelerazione emette
energia sotto forma di radiazione elettromagnetica: gli elettroni dell'atomo di
Rutherford dovrebbero emettere onde elettromagnetiche e, perdendo energia,
spiralizzare fino a cadere sul nucleo …
Nel caso dell’idrogeno, tutto ciò dovrebbe succedere in un tempo dell’ordine
di 10-10 secondi!
23
Digressione: Spettri di riga
Spettro solare
(continuo)
Spettro emissione
idrogeno atomico
Spettro emissione
azoto mlecolare
Spettro
assorbimento
del sole
Linee spettrali nel visibile dell’Elio
Linee spettrali nel
visibile del Neon
Linee spettrali nel visibile del mercurio
λ = 435.835 nm (blu), 546.074 nm (verde), 576.959
nm e 579.065 nm (giallo-arancio).
24
Quantizzazione nella materia
Atomo di Bohr
Nel 1913 N. Bohr propose un modello atomico che
superasse le difficoltà di quello di Rutherford e
fosse compatibile con le osservazioni spettroscopiche.
N. Bohr (1885-1962)
1. L'elettrone può muoversi solo su
alcune determinate orbite
non-radiative, dette stati stazionari.
2. L'atomo emette (o assorbe) radiazione
quando l'elettrone effettua una transizione
da uno stato stazionario ad un altro.
Quantizzazione nella materia
Atomo di idrogeno secondo Bohr I
Gli stati stazionari dell’atomo di
idrogeno hanno energie date
dalla formula
R
n = 1, 2 ,3,....
n2
R ≅ 13.6 eV (costante di Rydberg)
En = −
1 eV = 1.6 x 10-19 J
Alla transizione tra il livello ni ed il livello
nf < ni corrisponde l’emissione di un fotone
di frequenza ν tale che
1
1
1
R 1
hν = Eni − En f = − R 2 − 2 → ν = 2 − 2
n
h n f
ni
n f
i
25
Atomo di idrogeno secondo Bohr II
nf =3 Paschen, infrarosso
nf =2 Balmer, visibile
nf =1 Lyman, ultravoletto
Quantizzazione nella materia
L’esperimento di Franck-Hertz (1914)
In un tubo di vetro riempito di vapori
di mercurio, gli elettroni emessi dal
catodo vengono accelerati verso una
griglia carica positivamente. Urtando
contro gli atomi di mercurio, essi
cerdono parte della loro energia.
J. Franck (1889-1964)
G.L. Hertz (1887-1975)
Se gli atomi di mercurio possono trovarsi
solo in stati stazionari quantizzati, le
energie perse dagli elettroni nell’urto
devono coincidere con le energie di
eccitazione dell’atomo di mercurio.
26
Quantizzazione nella materia
L’esperimento di Franck-Hertz (1914)
La corrente aumenta all’aumentare del potenziale della griglia; quando esso raggiunge
i 4.9 V, la corrente scende improvvisamente, segnalando una perdita brusca di energia
da parte degli elettroni. Quello che succede è che gli elettroni cedono tutta la loro
energia cinetica agli atomi di mercurio (che passano così dallo stato fondamentale al
primo stato eccitato) e, di conseguenza, non hanno più l’energia sufficiente a vincere
il campo frenante tra griglia e anodo e a raggiungere quest’ultimo.
Quantizzazione nella materia
La antica teoria dei quanti
Il successo del modello atomico di Bohr, in particolare per la descrizione dell’atomo
di idrogeno incoraggiò la formulazione di una teoria, oggi nota come “antica teoria
dei quanti” in grado di descrivere il comportamento di altri sistemi.
Essa si basava sulla imposizione di regole di quantizzazione per le variabili dinamiche
di un sistema e si poteva applicare senza difficoltà a sistemi multiperiodici, cioè a
sistemi per i quali tutte le variabili dinamiche hanno carattere periodico.
La antica teoria dei quanti ebbe successo nella descrizione dell’atomo di idrogeno,
degli atomi idrogenoidi (He+, Li++, …), atomi alcalini e di altri sistemi atomici e molecolari.
Tuttavia la teoria è incompleta in quanto non può descrivere atomi complessi
(presenta difficoltà anche per la descrizione dell’atomo di elio); inoltre non sono
contemplati I fenomeni che coinvolgono urti.
→ Occorre una nuova teoria, completa e non contraddittoria
27
La teoria quantistica moderna
Cenni storici
La meccanica quantistica è la teoria delle interazioni tra le particelle elementari.
Finora non è stata smentita da alcuna osservazione sperimentale.
Essa è nata tra il 1923 e il 1927, con il contributo di diversi fisici.
Inizialmente apparve in due formulazioni apparentemente diverse: la meccanica
delle matrici (Heisenberg, Born, Jordan) e la meccanica ondulatoria
(Schrödinger). Successivamente fu lo stesso Schrödinger a dimostrare
l’equivalenza delle due formulazioni.
La messa a punto del formalismo generale della teoria quantistica si deve a Dirac.
L’interpretazione e la coerenza interne della teoria sono state pienamente
comprese grazie ai lavori di Bohr, Born e Heisenberg.
La teoria quantistica moderna
Ipotesi di de Broglie; “onde di materia”
Alla base della meccanica ondulatoria si trova l’ipotesi
di de Broglie (1924): la stessa corrispondenza che
esiste tra un’onda luminosa ed un quanto di luce deve
esistere tra una particelle ed una onda di materia.
Ad una particella che possiede quantità di moto pari
a p viene associata un’onda piana di lunghezza d’onda
pari a
λ=
h
(lunghezza d' onda di de Broglie)
p
L. de Broglie (1892-1987)
Per l’elettrone di un atomo di idrogeno la condizione di
stazionarietà è data dalla condizione di non-autointerferenza:
2π r = nλ = n
h
h
→ mvr = n
p
2π
- quantizzazione del momento angolare (Bohr)
28
La teoria quantistica moderna
Esperimento di Davisson e Germer (1927)
L’esperimento di Davisson e Germer prova la
validità dell’ipotesi di de Broglie sull’esistenza
di onde di materia.
Un fascio di elettroni era diretto verso un cristallo
di nickel, che poteva essere ruotato per misurare
la distribuzione angolare degli elettroni.
C. Davisson (1881-1958)
L. Germer (1896-1971)
Si poteva variare anche il voltaggio che
accelerava il fascio di elettroni e, quindi,
la loro velocità.
La teoria quantistica moderna
Esperimento di Davisson e Germer (1927)
A certi angoli si osservava un picco
nell’intensità degli elettroni diffusi, in accordo
con la condizione di interferenza costruttiva
tra “onde elettroniche” riflesse da diversi
piani reticolari, come accade con i raggi X.
Raggi X
Elettroni
Diffrazione da fogli sottili
29
La teoria quantistica moderna
La funzione d’onda
Il fatto che una particella come l’elettrone
mostri comportamento di tipo ondulatorio
non significa che l’elettrone sia
identificabile con un’onda piana di
definita frequenza. Se fosse così sarebbe
un oggetto di estensione infinita.
Per avere un oggetto di estensione finita è necessario sovrapporre più onde
piane con lunghezze d’onda distribuite intorno a quella di de Broglie λ=h/p
per una particella di una data quantità di moto (pacchetto d’onde).
Tuttavia, anche in questo caso, non vale l’identificazione
particella = pacchetto d’onde.
La teoria quantistica moderna
La funzione d’onda
Un pacchetto d’onde, proprio perché costituito da onde con lunghezze d’onda diverse,
tende a “sparpagliarsi” man mano che si propaga, quindi non può essere identificato
con un oggetto di estensione limitata.
Ma allora, cos’è l’onda associata
ad una particella?
È un’onda di probabilità! Essa
descrive la probabilità che una
particella possa essere osservata
in un certo punto dello spazio.
Schrödinger ha sviluppato la formulazione
Ondulatoria della meccanica quantistica, basata
sul concetto di funzione d’onda; la celebre
equazione di Schrödinger (1925) è in grado di
descrivere perfettamente lo spettro dell’atomo
di idrogeno e, in generale, il comportamento di una
particella in un potenziale.
E. Schrödinger (1887-1961)
30
Orbitali atomici: atomo di idrogeno
La teoria quantistica moderna
Indeterminazione di Heisenberg
Heisenberg sviluppò contemporaneamente a
Schrödinger l’approccio della meccanica delle
matrici, che rappresenta una formulazione
equivalente della moderna teoria quantistica.
Ad Heisenberg si deve la formulazione della nota
relazione di indeterminazione (1927).
W. Heisenberg (1901-1976)
∆x
θ
∆x sinθ ≈ λ =
→ ∆p x ≈
h
∆x
h
p
→ ∆x ∆p x ≈ h
31
I postulati della meccanica quantistica
Postulato I
Ad un sistema dinamico (per semplicità costituito da una sola particella, in moto
unidimensionale) è associata una funzione d’onda ψ(x,t). Le funzioni d’onda
ψ(x,t) e C ψ(x,t), con C costante, corrispondono allo stesso stato fisico.
La probabilità di trovare la particella all’istante di tempo t nell’intervallo
compreso tra x e x+dx è data da |ψ(x,t)|2= ψ(x,t) ψ(x,t)*.
Per dare una corretta interpretazione della realtà, la funzione d’onda deve essere
una funzione
- continua
- ad un solo valore
- a quadrato sommabile
+∞
2
∫ |ψ ( x, t ) | dx = 1
−∞
Condizione di normalizzazione:
la probabilità di trovare la particella in un punto
qualsiasi dello spazio deve essere pari ad 1.
I postulati della meccanica quantistica
Postulato II (principio di sovrapposizione)
Se un sistema si può trovare nello stato descritto dalla funzione d’onda ψ1(x,t) e
in quello descritto dalla funzione d’onda ψ2(x,t), allora può trovarsi in tutti gli stati
descritti dalle funzioni d’onda
C1ψ 1 ( x, t ) + C2ψ 2 ( x, t )
dove C1 e C2 sono costanti.
L’insieme delle funzioni d’onda di un sistema ha la struttura di spazio vettoriale.
32
I postulati della meccanica quantistica
Postulato III
Ad ogni osservabile fisica corrisponde un operatore O che, quando agisce su
una funzione d’onda ψ(x,t) dà come risultato una nuova funzione d’onda ψ’(x,t):
Oψ ( x, t ) = ψ ' ( x, t )
Per una data osservabile, ci sono alcune funzioni d’onda particolari, per le quali
succede che
Oψ ( x, t ) = λψ ( x, t )
L’insieme di tutte le funzioni di questo tipo costituisce l’insieme delle
autofunzioni di O; l’insieme dei corrispondenti valori di λ costituisce lo spettro
degli autovalori di O. Tale spettro può essere continuo o discreto.
I postulati della meccanica quantistica
Postulato III - continuazione
L’insieme delle autofunzioni di un dato operatore O forma una base per tutte le
funzioni d’onda del sistema, cioè ogni funzione d’onda ψ(x,t) può essere
costruita per sovrapposizione di autofunzioni di O.
Se si misura l’osservabile associata ad O su uno stato descritto da una generica
funzione d’onda ψ(x,t), il risultato della misura può essere solo uno degli
autovalori λ, con probabilità che dipende dal peso che ha l’autofunzione con
autovalore λ nella sovrapposizione che costruisce ψ(x,t).
Dopo una misura che abbia dato come risultato un certo autovalore λ, la
funzione d’onda ψ(x,t) si riduce alla autofunzione che ha quel λ come
autovalore.
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I postulati della meccanica quantistica
Postulato IV
L’evoluzione temporale di una funzione d’onda ψ(x,t) è governata
dall’equazione di Schrödinger
i 2hπ ∂∂tψ ( x, t ) = Hψ ( x, t )
Qui H è l’operatore corrispondente alla osservabile energia del sistema.
Si tratta di una equazione differenziale del prim’ordine rispetto al tempo, quindi
richiede la conoscenza della sola funzione d’onda ψ(x,t=0).
L’evoluzione del sistema è causale e deterministica, fin tanto che non si effettui
una operazione di misura. La misura di una osservabile perturba drasticamente
lo stato del sistema, producendo la riduzione della funzione d’onda ad una
delle autofunzioni dell’osservabile misurata (postulato III).
La meccanica quantistica
La teoria costruita a partire da questi postulati è in grado di spiegare tutti i
fenomeni finora osservati alle scale atomiche.
In particolare, essa ha consentito
- di descrivere correttamente il moto di particelle soggette a campi di forza;
- di determinare i livelli energetici dell’atomo di idrogeno e le corrispondenti
funzioni d’onda dell’elettrone (orbitali);
- di ottenere, applicando il principio di esclusione di Pauli, la configurazione
elettronica degli atomi più complessi;
- di ottenere, quando integrata con una teoria quantistica della radiazione
elettromagnetica, le probabilità di transizione tra due diversi livelli energetici di
un atomo.
La meccanica quantistica non è stata finora contraddetta da alcun fatto
sperimentale.
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Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Propagazione libera di un pacchetto gaussiano
Classicamente, una particella in moto con una certa velocità, non soggetta ad
alcuna forza, si muove mantenendo inalterata la sua velocità.
Secondo la teoria quantistica, la funzione d’onda associata alla particella evolve
nel tempo diventando più estesa: se all’istante iniziale la particella era localizzabile
in una regione di spazio piccola, col passare del tempo la regione in cui
è possibile trovarla diventa sempre più estesa.
Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Moto di un corpo soggetto a forza elastica
Classicamente, una particella soggetta a forza
elastica, compie un moto oscillatorio armonico.
Quantisticamente, l’insieme dei valori possibili per
l’energia forma uno spettro discreto
h
1
n
2π
2
E =
ω (n + ),
n = 0,1,2,....
Il valore più basso possibile per l’energia (n=0) non è zero, in accordo con la
indeterminazione di Heisenberg.
Velocità media non nulla
Velocità media nulla
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Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Moto di un elettrone contro barriera “dura”
Classicamente, una particella che incontri lungo il suo percorso una barriera di
potenziale infinitamente alta, ne viene respinta all’indietro, manentendo immutato
il valore assoluto della sua velocità.
Vediamo come si presenta questo processo secondo la teoria quantistica:
Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Effetto tunnel
•
•
Una particella, secondo la
meccanica classica, non può
assolutamente superare una
barriera se non ha l’energia
sufficiente
Secondo la meccanica
quantistica, invece, c’è sempre
una probabilità non nulla di
trovare la particella oltre una
barriera qualunque sia l’energia
della particella. Questo è il
cosiddetto effetto tunnel (la
probabilità evolve nel tempo,
una “parte” di probabilità
rimbalza sulla barriera, un’altra
“parte” la supera)
secondo la meccanica classica
effetto tunnel
36
Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Effetto tunnel
Pacchetto d’onde gaussiano in moto con energia E verso una barriera di potenziale
pari a V=2 E.
Classicamente la particella verrebbe respinta indietro in ogni caso.
Quantisticamente, esista la probabilità di attraversare la barriera; questa probabilità
decade esponenzialmente con lo spessore della barriera.
Barriera di potenziale di spessore d,
pacchetto di spessori (d,2d).
Barriera di potenziale di spessore 2d,
pacchetto di spessori (8d,8d).
Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Effetto Tunnel
La corrente elettrica è trasportata in generale da particelle cariche (elettroni).
All’interno di materiali conduttori, come i metalli, gli elettroni hanno la possibilità di
muoversi liberamente sotto l’azione di una tensione applicata.
Se si hanno due conduttori ravvicinati, tra cui è imposta una
tensione V, lo spazio non conduttore tra di essi costituisce
una barriera per il passaggio di elettroni (corrente).
Se si elimina la barriera, passa la
corrente.
Tuttavia se la separazione tra i due conduttori
è molto piccola (< 10 mm), c’è una certa
probabilità che gli elettroni possano passare
attraverso la barriera dando luogo a un
flusso di corrente I (effetto Tunnel)
La probabilità di passaggio di un
elettrone diminuisce esponenzialmente
al crescere della separazione d tra i
due conduttori (Fowler – Nordheim):
I ∝ (V2 / d2) exp(-d / V)
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Microscopio a Scansione Tunnel
(STM, G. Binnig – H. Rohrer, 1982)
Se si mantiene costante la tensione V tra i due conduttori,
- aumentando la loro distanza, diminuisce la corrente I
- diminuendo la loro distanza, aumenta la corrente I
Misurando la corrente I si può ottenere una misura precisa della distanza.
Microscopio a scansione tunnel : se uno dei
due conduttori è una punta piccolissima, tenuta
separata dalla superficie di un campione
conduttivo, misurando la corrente circolante per
effetto tunnel si può conoscere la distanza della
punta dal punto del campione.
1
2
PUNTA METALLICA
CAMPIONE CONDUTTIVO
Superficie di un cristallo di silicio
(si può distinguere la posizione
dei singoli atomi di silicio
arrangiati con
simmetria esagonale).
Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation
Emissione spontanea
L’atomo in uno stato eccitato E2 passa “spontaneamente”, cioè senza nessuna
sollecitazione esterna, in uno stato di energia inferiore E1
E2
E2
E1
E1
EMISSIONE
INCOERENTE
Emissione stimolata
L’atomo immerso in un campo e.m. di frequenza ν = (E2 – E1)/h, viene “indotto” a
compiere la transizione, cioè la presenza di un fotone “stimola” l’emissione di un fotone
alla stessa ν.
E2
E2
E1
E1
EMISSIONE
COERENTE
Due fotoni indistinguibili: stessa frequenza, direzione, fase, ecc.
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Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation
Normalmente la luce viene assorbita quando si propaga attraverso un materiale.
In un mezzo in cui è stata creata una inversione di popolazione si ha emissione ed
amplificazione della luce.
Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation
Schema di funzionamento di un laser
EMISSIONE
DI LUCE LASER
SPECCHIO
PARZIALMENTE
RIFLETTENTE
MEZZO ATTIVO
SPECCHIO
COMPLETAMENTE
RIFLETTENTE
SISTEMA DI POMPAGGIO
(CHE SERVE A CREARE L’INVERSIONE DI POPOLAZIONE NEL MEZZO OTTICO)
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Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica
Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation
Esempio di schema per la creazione di inversione di popolazione in un
sistema a tre livelli.
In vista del test di verifica …
Cos’è un’onda elettromagnetica piana? Quali sono i parametri che la caratterizzano?
Come sono legati tra di loro? Cosa si intende per “parte visibile” dello spettro
della radiazione elettromagnetica?
Cosa si intende per “corpo nero”? Lo spettro di emissione di un corpo nero è continuo
o discreto? Quali sono le possibili frequenze della luce emessa da un corpo nero?
Come è legata la lunghezza d’onda alla quale c’è il picco di emissione di un corpo nero
con la temperatura? Qual è la lunghezza d’onda di picco di una stella con temperatura
superficiale pari a 6000 K? In cosa consiste l’ipotesi di Planck? Quanto vale la
costante di Planck?
Perché è necessario ipotizzare che la luce sia costituita di corpuscoli per spiegare
l’effetto fotoelettrico? Se il potenziale di estrazione A di un materiale è pari a 5 eV,
quale sarà il valore della frequenza di soglia per l’emissione di elettoni per effetto
fotoelettrico?
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In vista del test di verifica …
Perché la teoria corpuscolare della luce spiega l’effetto Compton, mentre quella
ondulatoria fallisce? Di quanto differisce la lunghezza d’onda della radiazione
diffusa da quella incidente se nell’effetto Compton il rivelatore è posto a 90 gradi
rispetto alla direzione del fascio incidente?
Lo spettro di emissione e di assorbimento di radiazione degli atomi e delle molecole
è continuo o discreto? Quali sono la frequenza e la lunghezza d’onda della
radiazione emessa dall’idrogeno atomico in seguito alla transizione dal livello n=2
al livello n=1? Un fotone emesso in seguito a questa transizione, potrebbe provocare
una emissione fotoelettrica su un materiale con potenziale di estrazione A pari a
10 eV?
Se si ripetesse l’esperimento di Franck-Hertz usando idrogeno atomico invece
vapore di mercurio, per quale valore della tensione tra catodo e griglia si osserverebbe
la “caduta” della corrente?
In vista del test di verifica …
A parità di velocità, quale è maggiore tra la lunghezza d’onda di de Broglie di un
elettrone e di un protone? Per produrre diffrazione di elettroni per mezzo di una
fenditura di larghezza pari a 1 Å, quale deve essere la velocità degli elettroni da
utilizzare?
Cosa si intende per dualismo onda-corpuscolo? Cosa rappresenta la funzione
d’onda per un sistema di una particella?
Perché, secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg, non è possibile
che un corpo puntiforme soggetto a forza elastica abbia energia totale uguale
nulla?
Cos’è l’effetto tunnel? Perché non è mai stato osservato per un corpo macroscopico?
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Grazie per l’attenzione!!!
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