Coppie di variabili aleatori

Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
INTRODUZIONE ALLE COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE
Esperimento: lancio di due dadi
Frequenze Assolute osservate delle coppie di valori su 100000 Prove
Dad1/Dado 2
1
2
3
4
5
6
1
2813
2786
2693
2767
2797
2886
16742
2
2760
2811
2700
2709
2706
2795
16481
3
2725
2806
2722
2699
2796
2657
16405
4
2814
2812
2737
2717
2807
2776
16663
5
2859
2760
2838
2801
2846
2858
16962
6
2829
2769
2768
2801
2755
2825
16747
16800
16744
16458
16494
16707
16797
100000
Frequenze Assolute teoriche dadi non truccati e indipendenti
(100000 Prove)
Dado1/Dado2
1
2
3
4
5
6
1
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
16666.6
2
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
16666.6
3
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
16666.6
4
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
16666.6
5
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
16666.6
6
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
2777.7
16666.6
16666.6
16666.6
16666.6
16666.6
16666.6
16666.6
100000
283
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Frequenze Assolute relative all’esperimento del lancio di una
coppia di dadi ripetuta 100000
2777.7
Istogramma bidimensionale
284
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INTRODUZIONE ALLE COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE
Esperimento: lancio di una freccia sul bersaglio (10000 prove)
Y
X
285
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Frequenze Assolute delle coppie di valori (X,Y)
Y
X
Istogramma bidimensionale
286
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Istogramma dei valori di X (10000 prove)
Supponendo che l’errore sulla coordinata X è indipendente da quello
sulla coordinata Y e che X è causato dalla somma di numerosi fattori
indipendenti, X è una v.a. Gaussiana.
287
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Istogramma dei valori di Y (10000 prove)
Supponendo che l’errore sulla coordinata Y è indipendente da quello
sulla coordinata X e che Y è causato dalla somma di numerosi fattori
indipendenti, Y è una v.a. Gaussiana.
288
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, COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE
Distribuzioni di Probabilità Congiunte e Marginali
Date due variabili aleatorie X ed Y
• Proprietà statistiche individuali: Funzioni di Distribuzioni (o di
Densità) marginali
⇓
FX ( x ) , f X ( x ) e FY ( y ) , fY ( y )
• Proprietà statistiche congiunte, cioè di ( X ,Y ) come coppia di
variabili aleatorie: Funzione di Distribuzione Congiunta
⇓
FXY ( x, y )
289
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Funzione di Distribuzione (cumulativa) Congiunta
Dato l’evento
{ X ≤ x,Y ≤ y}
generato dalla coppia di variabili
( X ,Y ) cioè l'appartenenza di un punto P ≡ ( x, y ) a D0
y
P
D0
x
la Funzione di Distribuzione congiunta è:
FXY ( x, y ) = P ⎣⎡( x, y ) ∈ D0 ⎤⎦ = P { X ≤ x, Y ≤ y}
290
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Densità di Probabilità Congiunta
La densità di probabilità congiunta f XY ( x, y ) è tale che:
P { x < X ≤ x + dx , y < Y ≤ y + dy} = f XY ( x, y ) dxdy
f XY ( x, y )
y
y + dy
y
x
x + dx
x
291
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Densità di Probabilità Congiunta (segue)
Per una generica regione D del piano ( x, y ) :
P {( X , Y ) ∈ D} =
∫∫
f XY ( x, y ) dxdy
D
Applicando l’espressione precedente alla regione D0 , si ha:
FXY ( x, y ) =
∫∫
f XY ( α, β ) d αd β =
D0
∫ ∫
y
x
−∞
−∞
f XY ( α, β ) d αd β
da cui si ricava il legame tra densità e distribuzione congiunte:
f XY ( x, y ) =
∂ 2 FXY ( x, y )
∂x ∂y
y
P
D0
x
292
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La Distribuzione Marginale
o La distribuzione marginale della v.a. X è:
FX ( x ) = FXY ( x, +∞ )
o Infatti la probabilità dell’evento
{ X ≤ x}
eguaglia la massa
relativa alla regione a sinistra della retta verticale passante
per x, cioè la probabilità dell’evento:
{ X ≤ x,Y ≤ +∞}
y
x
x
o Analogamente per Y : FY ( y ) = FXY ( +∞ , y )
293
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La Densità Marginale
{ x ≤ X ≤ x + Δx,Y ≤ +∞} che definisce sul
ΔD ( x ) di sviluppo verticale e larghezza Δx ,
Considerando l’evento
piano una “striscia”
che poi si farà tendere a zero (dx), si ha:
y
D (x)
dx
Δx
x
P { X ∈ ΔD ( x )} =
∫∫
ΔD ( x )
x
f XY ( x, y ) dydx ≅ f X ( x ) Δx
294
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La Densità Marginale (segue)
L’integrale
∫∫
ΔD ( x )
f XY ( x, y ) dydx si può scrivere facendo tendere
y
Δx a zero:
D (x)
⎡
f X ( x ) dx = ⎢
⎣
+∞
∫
−∞
⎤
f XY ( x, y ) dy ⎥ dx
⎦
dx
x
x
Quindi la densità marginale è:
fX ( x) =
∫
+∞
−∞
f XY ( x, y ) dy
o Si dice che la densità marginale di X si ottiene “saturando Y ”.
o Analogamente per la v.a. Y :
fY ( y ) =
∫
+∞
−∞
f XY ( x, y ) dx
295
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Massa di Probabilità Congiunta
Se X e Y sono variabili aleatorie discrete, si definisce la massa di
probabilità congiunta sui diversi punti di coordinate ( xi , yk ) :
P { X = xi ,Y = yk } = pik
Massa di Probabilità Marginale
P { X = xi } = pi
; P {Y = yk } = qk
Si ottengono per “saturazione” dell’altra variabile aleatoria:
∑p
=∑ p
pi =
ik
k
qk
ik
i
296
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Esempio: densità di probabilità gaussiana bidimensionale
Y
X
⎧ ⎡ x2
1
y2
f XY ( x, y ) =
exp ⎨− ⎢ 2 + 2
2 πσ X σY
⎩ ⎣ 2σ X 2σY
⎤⎫
⎥⎬ , σ X = σY = 2
⎦⎭
297
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Esempio: densità di probabilità gaussiana bidimensionale
o In generale
f XY ( x, y ) =
2
2
⎧
⎡
( x − ηX )
( x − η X )( y − ηY ) ( y − ηY ) ⎤ ⎫⎪
1
1
⎪
exp ⎨−
=
− 2ρ
+
⎢
⎥⎬
2
2
2
2
σ X σY
σY
2 πσ X σY 1 − ρ
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ 2 ( 1 − ρ ) ⎢⎣ σ X
con:
2
⎧
1
⎪ ( x − η X ) ⎫⎪
fX ( x) =
exp ⎨−
⎬ ,
2
2σ X ⎭⎪
2π ⋅ σ X
⎩⎪
2
⎧
1
⎪ ( y − ηY ) ⎫⎪
fY ( y ) =
exp ⎨−
⎬
2
2σ Y ⎭⎪
2π ⋅ σ Y
⎪⎩
o Densità di probabilità marginali di X e Y.
o ρ definisce il coefficiente di correlazione tra la variabile
aleatoria X e la variabile aleatoria Y.
298
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Curve di livello
Funzione densità di probabilità gaussiana bidimensionale nel
caso di σ X = 0.3 , σY = 0.15 , ρ XY = 0
299
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Curve di livello
Funzione densità di probabilità gaussiana bidimensionale nel
caso di σ X = 0.3 , σY = 0.3 , ρ XY = 0
300
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Curve di livello
Funzione densità di probabilità gaussiana bidimensionale nel
caso di σ X = 0.3 , σY = 0.3 , ρ XY = 0.7
301
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Indipendenza statistica di due variabili aleatorie
La proprietà di indipendenza di due variabili aleatorie si basa su
quella di indipendenza tra due eventi A e B:
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
Definizione:
Due
variabili
X
e
Y
sono
indipendenti, se sono indipendenti gli eventi
statisticamente
{Y ≤ y}
e
{ X ≤ x} ,
cioè:
P { X ≤ x, Y ≤ y} = P { X ≤ x} ⋅ P {Y ≤ y}
⇓
FXY ( x, y ) = FX ( x ) ⋅ FY ( y )
∀ x, y
∂ 2 FXY ( x, y )
⇓ da f XY ( x, y ) =
∂x∂y
dFX ( x ) dFY ( y )
f XY ( x, y ) =
⋅
= f X ( x ) ⋅ fY ( y )
dx
dy
302
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Indipendenza statistica di due variabili aleatorie (segue)
Nel caso di variabili aleatorie discrete X e Y, definendo gli eventi:
{ X = xi }
e
{Y = Yk }
con le masse di probabilità marginali
pi = P { X = xi }
e
qk = P {Y = Yk }
allora X e Y sono indipendenti se:
pik = pi ⋅ qk
303
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Esempio di Variabili Indipendenti
Esperimento: doppio lancio di un dado non truccato con sei
facce.
Risultati: 36 del tipo fi f j , dove i ( j ) indica la faccia del dado.
Variabili aleatorie: X e Y associate al numero che compare sulla
faccia superiore rispettivamente al primo ed al secondo lancio:
X ( fi f j ) = i con i = 1,2,...,6
1
P ( X = i) =
6
Y ( fi f j ) = j con j = 1,2,...,6
1
P (Y = j ) =
6
1
P { X = i, Y = j} =
= P { X = i} ⋅ P {Y = j}
36
Nello spazio S dei due lanci indipendenti X e Y sono
indipendenti.
304
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Teoria dei
d Fenomeni Alea
atori
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E
Esempio di Va
ariabili Indipen
ndenti
X e Y sono
o indipendentti, X uniiforme in (0, a)
a e Y un
niforme
e in (0, b)
Densittà marg
ginali
Densittà cong
giunta
f (x,y)
XY
1
ab
b
x
y
a
305
Doc
centi: Gaspare Ga
alati – Gabriele Pa
avan
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Funzione di una Coppia di variabili aleatorie
o Data la funzione z = g ( x, y ) e data la coppia di vv.aa. ( X ,Y ) si
costruisce la v.a. Z:
Z = g ( X ,Y )
o La densità di probabilità f Z ( z ) risulta assegnata nota f XY ( x, y )
.
o Calcolo del valore atteso di Z:
E [Z ] =
∫
+∞
−∞
z ⋅ f Z ( z ) dz
o NB: Non occorre ricavare la f Z ( z ) :
E {Z } = E { g ( X ,Y )} =
+∞
∫ ∫
−∞
+∞
−∞
g ( x, y ) f XY ( x, y ) dxdy .
306
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Covarianza e Correlazione
Se si prende z = g ( x, y ) = x ⋅ y , il prodotto di due variabili aleatorie
X e Y forma una terza variabile aleatoria Z
Z = X ⋅Y
Definizione:
o Si definisce CORRELAZIONE tra le v.a. X ed Y il valore atteso
del loro prodotto
Cor ( X ,Y ) = E [ XY ]
Definizione:
o Date due variabili aleatorie X ed Y la loro COVARIANZA è:
μ XY = Cov ( X ,Y ) = E ⎡⎣( X − η X )(Y − ηY ) ⎤⎦
dove ηX ed ηY sono i valori attesi di X ed Y rispettivamente.
307
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Relazione tra Covarianza e Correlazione
Cov ( X ,Y ) = Cor ( X ,Y ) − η X ηY
Verifica:
Cov ( X ,Y ) = E ⎡⎣( X − η X )(Y − ηY ) ⎤⎦ =
= E [ XY ] − η X E [Y ] − ηY E [ X ] + η X ηY =
= E [ XY ] − η X ηY
308
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Coefficiente di Correlazione
Definizione:
o Si definisce coefficiente di correlazione di X ed Y la
“covarianza normalizzata”:
μ XY
rXY =
σ X σY
dove σ X ed σY sono le deviazioni standard di X ed Y.
o A volte il coefficiente di correlazione si indica con:
ρ XY
o semplicemente con ρ .
309
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Variabili Aleatorie Centrate e Normalizzate
Date le variabili aleatorie X ed Y si definiscono:
X − ηX
Y − ηY
X0 =
, Y0 =
σX
σY
X 0 e Y0 sono dette v.a. standardizzate e hanno per definizione:
E [ X 0 ] = E [Y0 ] = 0
σ 2X 0 = σY20 = 1
Ne segue che:
⎡⎛ X − η X ⎞ ⎛ Y − ηY ⎞ ⎤
Cov ( X 0 ,Y0 ) = E [ X 0Y0 ] = E ⎢⎜
⎟⎜
⎟⎥ =
⎣⎝ σ X ⎠ ⎝ σY ⎠ ⎦
Cov ( XY )
1
E ⎣⎡( X − η X )(Y − ηY ) ⎦⎤ =
=
= rXY
σ σ
σ σ
X
Y
X
Y
310
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Disuguaglianza di Schwartz
Data la coppia di vv.aa. X e Y, vale la seguente disuguaglianza:
2
2
⎡
⎤
⎡
E
XY
E
X
E
Y
≤
[
]
{
} ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦
2
Verifica: se c è una costante, per la variabile aleatoria differenza:
Y − cX
2
⎡
E (Y − cX ) ⎤ = Q ( c ) ≥ 0
⎣
⎦
deve essere:
Q ( c ) = E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦ − 2c ⋅ E [ XY ] + c 2 E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ = αc 2 − 2β c + γ ≥ 0
La forma quadratica Q ( c ) risulta non negativa se:
β 2 − γα ≤ 0
quindi
{E [ XY ]} − E ⎡⎣ X ⎤⎦ E ⎡⎣Y ⎤⎦ ≤ 0
2
2
2
⇒
2
2
⎡
⎤
⎡
≤
E
XY
E
X
E
Y
{ [ ]} ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦
2
311
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Disuguaglianza di Schwartz
Graficamente se la parabola non interseca l’asse delle ascisse
(cioè non ci sono radici reali dell’equazione di 2° grado
nell’incognita c):
Q (c)
Q (c)
Sì
0
No
c
c
0
Il che prova l’ineguaglianza di Schwartz:
{E [ XY ]}
2
≤ E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦
A volte si trova la notazione: E 2 [ XY ] ≤ E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦
312
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Proprietà del Coefficiente di Correlazione
o Il coefficiente di correlazione tra due v.a. X e Y è compreso in
modulo tra -1 e +1:
−1 ≤ rXY ≤ +1
Dimostrazione: (si fa uso della disuguaglianza di Schwartz)
Se η X = E [ X ] ed ηY = E [Y ] , indicando con
X c = X − ηX
e
Yc = Y − ηY
ed applicando la disuguaglianza di Schwartz a X c e Yc , si ha:
E 2 [ X cYc ] ≤ E ⎡⎣ X c2 ⎤⎦ E ⎡⎣Yc2 ⎤⎦
2
XY
r
=
E 2 [ X cYc ]
E ⎡⎣ X ⎤⎦ E ⎡⎣Y ⎤⎦
2
c
2
c
≤1
rXY =
E [ X cYc ]
E ⎡⎣ X c2 ⎤⎦ E ⎡⎣Yc2 ⎤⎦
≤1
313
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Proprietà del Coefficiente di Correlazione (segue)
Il coefficiente di correlazione rXY = 1 se Y è funzione lineare di X:
Y = αX + β con α , β costanti
Verifica:
Infatti sostituendo nella definizione e ricordando che
ηY = E [ αX + β] = αη X + β
2
2
2
⎡
⎤
⎡
σ = E ⎡⎣( αX + β ) − ( αη X + β ) ⎤⎦ = E α ( X − η X ) ⎤ =
⎣
⎦
⎣
⎦
2
= α 2 E ⎡( X − η X ) ⎤ = α 2 σ 2X
⎣
⎦
E {[ X − η X ][Y − ηY ]} E [ X − η X ] ⎡⎣αX + β − ( αη X + β ) ⎤⎦
rXY =
=
=
σ X σY
α ⋅ σX σX
2
Y
{
=
E {[ X − η X ] α [ X − η X ]}
α⋅σ
2
X
=
}
{
E [ X − ηX ]
2
σ2X
} =1
314
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Esempio di Variabili Correlate
o Data la coppia di v.a. (X1, X2) indipendenti con
Masse marginali:
P(X1 = i) = 1/6
P(X2 = j) = 1/6
i, j = 1, 2, …,6
Massa congiunta:
P(X1 = i, X2 = j) = P(X1 = i)P(X2 = j) = 1/36
o Se definiamo la v.a. somma: S = X1 + X2
o Le v.a. X1 ed S sono correlate.
315
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Esempio di Variabili Correlate
Infatti essendo
ηX = ηX = ηX
1
σ X2 = σ X2 = σ X2
e
2
1
2
η S = η X + η X = 2η X
1
*
σ = σ X2 + σ X2 =2σ X2
2
S
1
2
2
(* per l'indipendenza tra X 1 e X 2 )
Cor ( X 1 ,S ) = E [ X 1 S ] = E ⎡⎣ X 1 ( X 1 + X 2 ) ⎤⎦ =
*
= E ⎡⎣ X ⎤⎦ + E [ X 1 X 2 ] = σ X2 1 + η X2 1 + η X 1η X 1 = σ X2 + 2η X2
2
1
r=
Cov ( X 1 ,S )
σX σS
=
Cor ( X 1 ,S ) − η X 1η S
1
σX σS
1
σ X2 + 2η X2 − η X 2η X
1
=
=
≅ 0.707
2σ X σ X
2
316
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Dominio della coppia (X1 , S)
Somma S
Dado X1
Su ogni ( • ) la massa di probabilità vale: P ( X 1 = i,S = j ) = P ( i, j ) =
Massa Marginale
Massa Marginale
P ( X1 = i) =
P(S = j) =
12
∑
j =2
6
∑
i =1
1
36
1
P ( i, j ) =
i = 1,2,...,6
6
⎧ j36−1 j = 2,...,7
P ( i, j ) = ⎨ 13 − j
⎩ 36 j = 8,...,12
317
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Simulazione su 100000 Prove di (X1 , S)
318
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Simulazione su 100000 Prove di (X1 , S)
Massa di Probabilità congiunta di (X1, S)
i/j
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
0,0282
0,0275
0,0277
0,0279
0,0286
0,0278
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0279
0,0284
0,0282
0,0280
0,0274
0,0279
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0265
0,0272
0,0272
0,0274
0,0282
0,0276
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0274
0,0273
0,0273
0,0270
0,0287
0,0278
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0279
0,0272
0,0282
0,0281
0,0284
0,0272
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0289
0,0281
0,0267
0,0275
0,0288
0,0282
0,0282
0,0554
0,0825
0,1107
0,1391
0,1660
0,1393
0,1110
0,0836
0,0560
0,0282
1/36
1/18
1/12
1/12
1/18
1/36
1/9
5/36
1/6
5/36
1/9
0,1677
0,1678
0,1641
0,1654
0,1668
0,1682
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
319
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Variabili Aleatorie Scorrelate
Definizione:
o Le variabili aleatorie X e Y sono scorrelate (o incorrelate) se
la loro correlazione eguaglia il prodotto dei loro valori attesi:
E [ XY ] = E [ X ] ⋅ E [Y ]
o Dalla relazione tra covarianza e correlazione
μ XY = Cov ( X ,Y ) = Cor ( X ,Y ) − η X ηY
per variabili scorrelate si ha:
μ XY = 0
rXY = 0
320
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Varianza della Differenza di v.a. Correlate
X −Y
Data la v.a.:
σ
2
X −Y
2
2
⎡
⎤
= E ( X − Y ) − { E [ X − Y ]} =
⎣
⎦
= E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ + E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦ − 2E [ XY ] − ( E 2 [ X ] + E 2 [Y ] − 2E [ X ] E [Y ]) =
{
} {
}
= E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ − E 2 [ X ] + E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦ − E 2 [Y ] − 2 { E [ XY ] − E [ X ] E [Y ]} =
= σ2X + σY2 − 2Cov ( X ,Y ) =
= σ2X + σY2 − 2rXY σ X σY
In particolare se:
rXY = 1
σ2X = σY2
σ2X −Y = 0
321
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Varianza della Somma di v.a. Correlate
Data la v.a.:
X +Y
procedendo come fatto per la differenza si ottiene:
σ2X +Y = σ2X + σY2 + 2rXY σ X σY
Se X e Y sono scorrelate ( rXY = 0 ) :
σ2X ±Y = σ2X + σY2
o Se le variabili sono scorrelate, a varianza della somma
(differenza) è uguale alla somma delle varianze.
o Le “fluttuazioni” si sommano quadraticamente se le loro
cause sono “indipendenti”.
322
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Variabili Aleatorie Ortogonali
Definizione:
o Due variabili aleatorie X e Y sono ortogonali se
E [ XY ] = 0
Segue che se X e Y sono ortogonali:
2
⎡
E ( X + Y ) ⎤ = E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ + E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦
⎣
⎦
323
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Indipendenza e Scorrelazione
o Due variabili aleatorie indipendenti sono anche scorrelate.
Verifica:
μ XY = E ⎡⎣( X − η X )(Y − ηY ) ⎤⎦ =
=
=
+∞
∫ ∫
−∞
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
( x − η X )( y − ηY ) f XY ( x, y ) dxdy =
per l’indipendenza: f XY ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y )
+∞
( x − η X ) f X ( x ) dx ⋅ ∫ ( y − ηY ) fY ( y ) dy =
−∞
= E [ X − η X ] ⋅ E [Y − ηY ] = 0
Indipendenti ⇒ Scorrelate
324
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie
y
y
r=1
0
x
x
325
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Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie
y
y
r>0
0
x
x
326
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie
y
y
r<0
0
x
x
327
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
Andamenti empirici (scatter plots) di due variabili aleatorie
y
y
r<0
0
x
x
328
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
Il Concetto di Regressione
o La regressione si può intendere come un problema di “stima”
di una v.a. Y nota la v.a. X.
Ovvero determinare una funzione:
y = Φ ( x)
tale che l'errore di stima ε definito come:
ε = Y −Φ( X )
sia “minimo” secondo qualche criterio statistico.
329
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Regressione Lineare
Se si assume una funzione lineare per Φ ( x ) :
Φ ( x ) = a + bx
si parla di “regressione lineare”.
o Nel caso della regressione lineare di due variabili X e Y,
l’errore diviene:
ε = Y − ( a + bX )
o Si vuole scegliere i coefficienti a e b in modo da minimizzare il
valore quadratico medio di ε :
e = E ⎣⎡ε ⎤⎦ = E ⎡ ⎡⎣Y − ( a + bX ) ⎤⎦ ⎤ =
⎣
⎦
2
2
+∞
∫ ∫
−∞
+∞
−∞
⎡⎣ y − ( a + bx ) ⎤⎦ f XY ( x, y ) dxdy
2
330
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Regressione Lineare (segue)
y
( xi , yi )
ε
y = a + bx
ηY
0
ηX
x
Errore di stima della regressione lineare
331
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Regressione Lineare (segue)
Calcolo dei coefficienti a e b tali che:
{
}
2
⎡
min ( e ) = min E ⎡⎣Y − ( a + bX ) ⎤⎦ ⎤
⎣
⎦
⎧ ∂e
⎪ ∂a = 0
⎪
⎨
⎪ ∂e = 0
⎪⎩ ∂b
⎧ ∂e
⇒ E [Y ] = a + bE [ X ]
⎪⎪ ∂a = −2E ⎡⎣Y − ( a + bX ) ⎤⎦ = 0
⎨
⎪ ∂e = −2E ⎡ X ⎡Y − ( a + bX ) ⎤ ⎤ = 0 ⇒ E [ XY ] − aE [ X ] − bE ⎡ X 2 ⎤ = 0
⎦⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎣
⎪⎩ ∂b
332
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AA 2012/13
Regressione Lineare (segue)
Dalla prima equazione, cioè E [Y ] = a + bE [ X ] si ottiene:
ηY = a + bη X
Sottraendo quest'ultima espressione all’equazione
Y = a + bX
si ha:
Y − ηY = b ( X − η X )
o La retta di regressione passa per il punto
( ηX ,ηY )
detto
“centroide”
333
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Regressione Lineare (segue)
∂e
Dalla seconda equazione
= 0 : E [ XY ] − aE [ X ] − bE ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ = 0
∂b
si ottiene:
E [ XY ] − aη X − b ( σ2X + η2X ) = 0
E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦ = σ2X + η2X
E [ XY ] − aη X − bη2X − bσ 2X = 0
E [ XY ] − η X ( a + bη X ) − bσ2X = 0
ηY = a + bη X
E [ XY ] − η X ηY − bσ2X = 0
Cov ( X ,Y ) = E [ XY ] − η X ηY
Cov ( X ,Y ) − bσ2X = 0
rXY σ X σY − bσ2X = 0
σY
b = rXY
σX
Cov ( X ,Y ) = rXY σ X σY
da cui essendo a = ηY − bη X
a = ηY − rXY
σY
ηX
σX
334
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Regressione Lineare (segue)
o L'approssimazione lineare che minimizza l’errore quadratico
medio (LSM, Least Mean Square) di “Y su X ” è la “retta di
regressione”:
σY
y − ηY = rXY
( x − ηX )
σX
σ
che passa per il punto ( η X ,ηY ) e ha pendenza rXY Y .
σX
y
tg (α ) = rXY
ηY
α
ηX
σY
σX
x
335
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Momenti Congiunti di una Coppia di v.a.
o Data una coppia di variabili aleatorie
( X ,Y )
i momenti
congiunti sono:
mkr = E ⎡⎣ X Y ⎤⎦ =
k
r
+∞
∫ ∫
−∞
+∞
−∞
x k y r f XY ( x, y ) dxdy
o Momenti congiunti centrali:
μ kr = E ⎡( X − η X ) (Y − ηY ) ⎤ =
⎣
⎦
k
r
+∞
∫ ∫
−∞
+∞
−∞
( x − ηX )
k
( y − ηY ) f XY ( x, y ) dxdy
r
336
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Momenti Congiunti di una Coppia di v.a. (segue)
Casi particolari:
m10 = η X ; m01 = ηY
m20 = η2X + σ 2X ; m02 = ηY2 + σY2
μ10 = 0;
μ01 = 0
μ11 = μ XY = Cov ( X ,Y ) = rXY σ X σY
μ 20 = σ2X ; μ02 = σY2
337
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Distribuzione di una Funzione di una Coppia di v.a.
Data la variabile aleatoria Z = g ( X ,Y ) , la distribuzione marginale:
FZ ( z ) = P {Z ≤ z} = P { g ( X , Y ) ≤ z} = P {( X , Y ) ∈ D ( z )}
dove D ( z ) è la proiezione sul piano
( x, y )
della porzione di
superficie g ( x, y ) sotto il piano z = costante .
z
Piano z = cost
z = g ( x, y )
x
y
D(z)
338
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Esempi di Funzione di una Coppia di v.a.
Massimo tra due variabili aleatorie: Z = g ( X ,Y ) = max ( X ,Y )
D ( z ) = {( x, y ) tali che max ( x, y ) ≤ z} = {( x ≤ z ) ∩ ( y ≤ z )}
y
z
D(z)
0
z
x
Si ha pertanto: FZ ( z ) = FXY ( z,z )
339
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Esempi di Funzione di una Coppia di v.a. (segue)
Minimo tra due variabili aleatorie: Z = g ( X ,Y ) = min ( X ,Y )
D ( z ) = {( x, y ) tali che min ( x, y ) ≤ z} = {( x ≤ z ) ∪ ( y ≤ z )}
Y
D(z)
z
0
z
x
Si ha pertanto: FZ ( z ) = FXY ( +∞ ,z ) + FXY ( z, +∞ ) − FXY ( z,z )
340
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Esempi di Funzione di una Coppia di v.a. (segue)
Somma di due variabili aleatorie: Z = X + Y
Calcolo della funzione di Distribuzione
L’equazione z = g ( x, y ) = x + y definisce un piano nello spazio;
l’intersezione col piano z = costante definisce una retta sul piano
x, y :
y= z−x
( oppure x = z − y )
y
FZ ( z ) = P {Z ≤ z} =
= P {( x, y ) ∈ al semipiano D ( z )}
y = x−z
D(z)
0
x
341
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Somma di variabili aleatorie discrete
Siano X e Y v.a. discrete con massa di probabilità congiunta:
P ( X = i, Y = j ) = pi , j
i, j interi
se:
Z = X +Y
si ha:
P(Z = k ) =
∑∑ p
i,j
i
⋅ δ (i + j − k )
j
⎧1 n = 0
essendo δ ( n ) il simbolo di Kronecker: δ ( n ) = ⎨
.
⎩0 n ≠ 0
Pertanto
P(Z = k ) =
+∞
∑p
i ,k − i
i =−∞
342
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AA 2012/13
Somma di variabili aleatorie discrete
Masse da sommare nel caso di k = 4 e k = -1.
j
6
5
4
3
2
1
-2 -1
0
1
2
3
4 5
6
7
8
i
-1
-2
-3
k=-1
k=4
343
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
Somma di variabili aleatorie discrete
Nel caso particolare in cui:
pi , j ≠ 0 solo per i ≥ 0, i ≤ N e j ≥ 0, j ≤ N si ha:
P(Z = k ) =
∑p
k
i ,k − i
per
0≤k≤N
per
N < k ≤ 2N
i =0
P(Z = k ) =
∑p
N
i ,k −i
i =k − N
P(Z = k ) = 0
fuori degli intervalli suddetti.
344
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
Somma di variabili aleatorie discrete
In figura è mostrato il caso N =3, con k = 1 e k = 4.
j
6
5
4
3
2
1
0
1
k=1
2
3
4 5
k=4
6 i
Se X e Y sono indipendenti, le espressioni precedenti si fattorizzano
dando luogo alla convoluzione discreta della massa di probabilità di X
con la massa di probabilità di Y:
P(Z = k ) =
∑p ⋅p
i
k −i
i
345
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Somma di due variabili aleatorie – Caso Discreto
Lancio di due dadi: X ∈ 1,2,...,6 e Y ∈ 1,2,...,6
Z = X +Y
Z ∈ 2,3,4,...,11,12
Calcolo della massa di probabilità
P ( Z = 2 ) = P ( 1,1)
P ( Z = 3 ) = P ( 1,2 ) + P ( 2,1)
P ( Z = 4 ) = P ( 1,3 ) + P ( 2,2 ) + P ( 3,1)
………………… ………
P ( Z = 11) = P ( 5,6 ) + P ( 6 ,5 )
P ( Z = 12 ) = P ( 6 ,6 )
346
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Teoria dei
d Fenomeni Alea
atori
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Somma di due variabiili aleattorie – Caso
C
D
Discreto
o
M
Masse
d
di proba
abilità relative
r
al lanc
cio di due dadi
X
X: 1° da
ado, Y:
Y 2° dad
do, Z = X + Y
P(Z = k ) =
k −1
∑ P ( X = i,Y = k − i )
k = 2,3,4,...,11,12
2
i =1
347
Doc
centi: Gaspare Ga
alati – Gabriele Pa
avan
Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
Esempio A:
X 1 , X 2 , X 3 , X 4 v.a. indipendenti equidistribuite con Masse di Probabilità:
1
P ( Xi = k ) =
per k = 1,2,3
P ( X i = k ) = 0 altrove
3
0.8
0.7
Massa di Probabilità
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Xi (i = 1, 2, 3, 4)
348
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
X 1 + X 2 ottenuta per
Esempio A: Massa di Probabilità della Somma:
convoluzione delle masse di probabilità di X 1 e di X 2 .
Somma di 2 variabili aleatorie
0.35
Massa di Probabilità di X1+X2
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
X1 + X2
349
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
X 1 + X 2 + X 3 ottenuta per
convoluzione delle masse di probabilità di ( X 1 + X 2 ) e di X 3 .
Esempio A: Massa di Probabilità della Somma:
Somma di 3 variabili aleatorie
0.35
Massa di Probabilità di X1+X2+X3
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
X1 + X2 + X3
350
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ottenuta
per convoluzione delle masse di probabilità di ( X 1 + X 2 + X 3 ) e di X 4 .
Esempio A: Massa di Probabilità della Somma:
Somma di 4 variabili aleatorie
0.35
Massa di Probabilità di X1+X2+X3+X4
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
X1 + X2 + X3 + X4
η = E [ X1 + X 2 + X3 + X4 ] = 8
σ 2 = Var [ X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ] =
8
3
σ=
8
≅ 1.633
3
351
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
Esempio
A:
AA 2012/13
Densità di Probabilità Gaussiana:
⎛
N ⎜η = 8;σ =
⎝
confrontare con la massa di probabilità di X 1 + X 2 + X 3 + X 4
8⎞
⎟
3⎠
da
Variabile Gaussiana: eta = 8 , sigma = 1.633
0.35
0.3
Densità di Probabilità
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Z
352
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Densità della Somma di due variabili aleatorie continue
La densità di probabilità di Z = X + Y (o in generale di Z = g ( X ,Y ) )
nota la densità congiunta f XY ( x, y ) , si può ricavare prendendo
una variabile aleatoria
W =Y
e calcolando prima (mediante il teorema fondamentale per
trasformazioni di coppie di variabili aleatorie)
f ZW ( z,w )
e poi
fZ ( z ) =
∫
+∞
−∞
f ZW ( z,w ) dw
Si userà qui un procedimento più semplice.
353
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
Densità della Somma di due variabili aleatorie continue
Z = X +Y
{ z < Z ≤ z + dz} se e solo se
y
dz
{ z < X + Y ≤ z + dz} cioè se
( x, y ) ∈ ΔD ( z )
x y z dz
f Z ( z ) dz = P ( z < Z ≤ z + dz ) =
dz
x
= P ⎡⎣( x, y ) ∈ ΔD ( z ) ⎤⎦ =
+∞
⎡
= ∫ f XY ( z − y, y ) dy ⎤ dz
⎥⎦
⎣⎢ −∞
D(Z)
fZ ( z ) = ∫
+∞
−∞
f XY ( z − y, y ) dy
354
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
AA 2012/13
Somma di due variabili aleatorie Indipendenti
Se le v.a. X e Y sono indipendenti, per Z = X + Y dal risultato
precedente:
fZ ( z ) = ∫
+∞
−∞
f XY ( z − y, y ) dy
si ottiene, per l'indipendenza:
fZ ( z ) =
∫
+∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) dy
la quale è la convoluzione delle densità di probabilità di X e di Y.
355
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Concetto di Convoluzione
Date due funzioni f ( x ) ed h ( x ) si definisce convoluzione di f ( x )
con h ( x ) , e si indica con:
g ( x) = f ( x) ∗ h ( x)
il seguente integrale:
g ( x) =
∫
+∞
−∞
h ( x − t ) f ( t ) dt
356
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AA 2012/13
Somma di due v.a. Indipendenti Esponenziali
Se X e Y sono v.a. con densità esponenziale di uguale valore
atteso:
f X ( x ) = α exp ( −αx ) U ( x )
fY ( y ) = α exp ( −αy ) U ( y )
allora per la densità della loro somma Z si ottiene:
fZ ( z ) = α2
∫
0
=α
2
∫
z
z
exp ⎡⎣ −α ( z − t ) ⎤⎦ exp ( −αt ) dt =
exp ( −αz ) dt = α 2 z ⋅ exp ( −αz )U ( z )
0
357
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Teoria dei Fenomeni Aleatori
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Somma di due v.a. Indipendenti Esponenziali
0.40
1.00
0.80
0.30
f(X)
f(Z)
0.60
0.20
0.40
0.10
0.20
0.00
0.00
0.00
2.00
4.00
6.00
X
f X ( x ) = α exp ( −αx )U ( x )
fY ( y ) = α exp ( −αy )U ( y )
8.00
10.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
Z
f Z ( z ) = α 2 z ⋅ exp ( −αz )U ( z )
358
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Somma di due v.a. Indipendenti Uniformi
Se X e Y sono distribuite uniformemente nell'intervallo ( 0,c ) , la
densità della loro somma Z è un triangolo.
Si ottiene per convoluzione di due rettangoli eguali:
fx (w) = f y (w)
y
fz(z)
2c - z
1
c
c
1
c
(2c - z ) dz
z dz
z=x+y
S
0
z
c
z
x
0
c
w
c
2c
z
dz
359
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Convoluzione di un “triangolo” con un “rettangolo”
R x
f( t )
h( t)
0.5
0.5
0.5
C
B
A
0.25
0.125
D
0
2
4 t
“triangolare”
0
0
2
t
“rettangolare”
1
2
3
4 5
6 x
convoluzione tra f ( t ) e h ( t )
R ( x ) è costituita dai tre rami di parabola: OA, AB,BD
360
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Convoluzione di un “triangolo” con un “rettangolo” (segue)
x=1
h(x-t) 0.5
x=2
x=3
f ( t)
0
2
4
t
t
0
x=6
x=5
0
t
0
t
0
t
R ( x ) è interpretabile come la densità della somma di tre variabili
aleatorie uniformi in ( 0,2 ) .
361
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Densità di Probabilità della Somma Z di due v.a. indipendenti X e Y
Uniformi in (a , b)
Z = X +Y
f X ( x ) = fY ( y )
1
b−a
-b
-a
0
a
b
2a a+b 2b
x, y
Intervalli di definizione per la v.a. Z
Z < 2a
Evento impossibile
2a < Z < 2b
Z > 2b
Evento impossibile
362
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Calcolo della densità di Z
f Z ( z ) = f X ( x ) ∗ fY ( y ) =
fZ ( z ) =
fZ ( z ) =
∫
∫
fZ ( z ) = 0
z
dτ
(b − a )
2a
2b
2
dτ
(b − a )
z
2
=
=
∫
+∞
−∞
z − 2a
(b − a )
f X (τ ) fY ( z − τ ) dτ
2b − z
(b − a )
2a < z ≤ a + b
per
2
per
2
a + b < z < 2b
altrove
fZ ( z )
1
b−a
0
a
b
2a a+b 2b
z
363
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Funzioni di una Coppia di Variabili Aleatorie
Date due v.a. X e Y e due funzioni g ( x, y ) e h ( x, y )
le variabili aleatorie così definite:
Z = g ( X ,Y )
e
W = h ( X ,Y )
sono una coppia la cui distribuzione congiunta
FZW ( z,w )
può essere espressa in funzione di
FXY ( x, y )
364
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Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a.
Considerata la trasformazione:
⎧⎪ Z = g ( X ,Y )
⎨
⎪⎩W = h ( X ,Y )
la densità di ( Z ,W ) è data da:
f ZW ( z,w ) =
f XY ( x1 , y1 )
J ( x1 , y1 )
+
f XY ( x2 , y2 )
J ( x2 , y2 )
+ .... +
f XY ( xN , yN )
J ( xN , y N )
(a)
con: J ( x, y ) determinante dello Jacobiano della trasformazione;
( xi , yi )
per i = 1,2,...,N sono le coppie che soddisfano:
g ( xi , yi ) = z e h ( xi , yi ) = w
(b)
365
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Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a. (segue)
Si riporta la definizione dello Jacobiano:
J ( x, y ) =
∂g ( x, y )
∂g ( x, y )
∂x
∂y
∂h ( x, y )
∂h ( x, y )
∂x
∂y
366
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Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a. (segue)
Dimostrazione:
g (x,y) = z
y
dz
g (x,y) = z +dz
Bi
y
i
A
dw
w
h (x, y )=w
0
0
z
xi
x
Trasformazione dell'elemento di superficie del piano z,w al piano
x, y .
P {( z,w ) ∈ A} = P {( x, y ) ∈ Bi }
i = 1,2,...,N
P ( z < Z ≤ z + dz , w < W ≤ w + dw ) = f ZW ( z,w ) dzdw
367
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Il Teorema Fondamentale per Coppie di v.a. (segue)
L’area di Bi è pari a:
Area ( Bi ) =
area ( A )
J ( xi , yi )
dato che: Area ( A ) = dzdw , e che P {( z,w ) ∈ A} = f ZW ( z,w ) dzdw
si ha:
P ⎡⎣( X ,Y ) ∈ Bi ⎤⎦ =
f XY ( xi , yi )
J ( xi , yi )
dzdw
(c)
Essendo l'evento { z < Z ≤ z + dz,w < W ≤ w + dw} unione degli eventi
disgiunti {( X ,Y ) ∈ Bi } , dalla relazione (c) segue la (a):
f ZW ( z,w ) =
f XY ( x1 , y1 )
J ( x1 , y1 )
+
f XY ( x2 , y2 )
J ( x2 , y2 )
+ .... +
f XY ( xN , yN )
J ( xN , y N )
368
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Uso della variabile ausiliaria
La densità f Z ( z ) di una sola funzione Z = g ( X ,Y ) di due v.a. X e Y
può essere determinata ricorrendo al Teorema fondamentale ed
introducendo una variabile ausiliaria W = h ( X ,Y ) , come segue:
1) si determina f ZW ( z,w )
2) si determina f Z ( z ) =
(Teorema Fondamentale)
∫
+∞
−∞
f ZW ( z,w ) dw
(si satura W)
La variabile aleatoria W è scelta opportunamente, di solito si
sceglie:
W=X
oppure
W =Y
369
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Trasformazioni Lineari
Data la trasformazione con a,b,c,d costanti:
⎧⎪ Z = aX + b
⎨
⎪⎩W = cY + d
Si ha un unica soluzione per ogni valore di ( z,w ) :
z −b
x1 =
a
Lo Jacobiano vale:
w−d
y1 =
c
J ( x, y ) = ac
Applicando il Teorema Fondamentale:
⎛ z −b w−d ⎞
f XY ⎜
,
⎟
a
c
⎝
⎠
f ZW ( z , w ) =
ac
370
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Somma di due variabili aleatorie
Date le v.a. X e Y si consideri la variabile aleatoria
Z = X +Y
Per determinare la densità di Z, si introduce la variabile ausiliaria
in questo caso:
W =Y
1 1
=1
J ( x, y ) =
0 1
Dal Teorema Fondamentale risulta, con
x1 = z − w e
f ZW ( z,w ) = f XY ( z − w,w )
y1 = w
saturando rispetto alla W:
fZ ( z ) = ∫
+∞
−∞
f XY ( z − w,w ) dw
371
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Densità del Prodotto di Due Variabili Aleatorie
Z = X ⋅Y
usando la variabile ausiliaria:
W =Y
⎧ z = xy
⎨
⎩w = y
con
y x
J ( x, y ) =
=y
0 1
pertanto
1
⎛z ⎞
f ZW ( z,w ) =
f XY ⎜ ,w ⎟
w
⎝w ⎠
saturando la v.a. W
fZ ( z ) =
∫
+∞
−∞
1
⎛z ⎞
f XY ⎜ ,w ⎟ dw
w
⎝w ⎠
372
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Densità del Rapporto di Due Variabili Aleatorie
X
Z=
Y
usando la variabile ausiliaria:
W =Y
x
⎧
⎪z =
y
⎨
⎪⎩ w = y
1
J ( x, y ) = y
0
con
x
− 2 1
y =
y
1
pertanto
f ZW ( z,w) = w f XY ( zw,w)
saturando la v.a. W
fZ ( z ) =
∫
+∞
−∞
w f XY ( zw ,w ) dw
373
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