Politecnico di Bari
Dipartimento di Elettronica ed Elettrotecnica
Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Programma del corso di Complementi di Analisi Matematica
Anno Accademico 2012/2013
Dott. Pietro d’Avenia
Campi vettoriali
Campi vettoriali. Linee di campo. Gradiente, rotore e divergenza. Identità differenziali. Campi
solenoidali e potenziale vettore.
Superfici. Superfici in forma parametrica. Superfici regolari in forma parametrica.
Area e integrali di superficie. Area di una superficie. Integrale di superficie di una funzione continua.
Integrale di superficie di un campo vettoriale. Flusso. Superfici orientate. Bordo di una superficie. Superfici regolari a pezzi. Flusso.
Teorema della divergenza.
Teorema del rotore.
Elementi di Analisi Funzionale
Richiami sugli spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale.
Spazi vettoriali normati. Norme. Intorni. Spazi di Banach.
Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Teorema di passaggio al
limite sotto il segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. Completezza
di C([a, b], k · k∞ ). Non completezza di C([a, b], k · k1 ).
Serie di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza totale. Teorema di
integrazione termine a termine. Teorema di derivazione termine a termine.
Serie di potenze. Serie di potenze nel campo reale. Proprietà della somma di una serie di potenze.
Serie di Taylor. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor.
Cenni sulle serie di Fourier. Serie trigonometriche. Serie di Fourier di una funzione. Funzioni
sviluppabili in serie di Fourier. Sviluppi in serie di seni o di coseni.
Funzioni di variabile complessa
Il campo complesso. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Modulo e argomento
di un numero complesso. Formula di De Moivre. Intorno. Piano complesso esteso.
Funzioni di una variabile complessa. Aperto connesso. Limite. Funzione continua. Funzione
argomento principale. Radice quadrata. Regione fondamentale. Radice n-sima.
Funzioni olomorfe. Derivata. Differenziale. Condizioni di Cauchy–Riemann. Funzione esponenziale.
Condizioni di Cauchy–Riemann in coordinate polari. Funzione logaritmo. Funzione potenza. Funzioni
circolari. Funzioni iperboliche.
Serie di potenze. Definizione. Lemma di Abel. Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy–Hadamard.
Derivazione termine a termine.
Integrazione in campo complesso. Curva regolare. Circuito. Poligonale. Integrale. Proprietà
dell’integrale. Primitiva. Esistenza di una primitiva. Aperto semplicemnte connesso. Teorema della
divergenza. Teorema di Cauchy. Formula di Cauchy. Indice di avvolgimento. Funzioni analitiche.
Teorema di Morea. Teorema di Goursat.
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Proprietà delle funzioni analitiche. Zeri di una funzione analitica. Principio di identità. Prolungamento analitico. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.
Punti singolari. Serie bilatere. Punto singolare isoltato. Singolarità eliminabile. Polo. Singolarità
essenziale. Residuo. Corona. Serie bilatera. Parte caratteristica. Parte regolare. Serie di Laurent.
Sviluppo in serie di Laurent di una funzione razionale fratta.
Il teorema dei residui. Teorema dei residui. Teorema dell’indicatore logaritmico. Alcuni lemmi
tecnici. Calcolo di integrali.
Cenni sulle equazioni alle derivate parziali
Generalità.
Equazioni lineari del secondo ordine. Classificazione.
Equazioni tipo e problemi associati.
Il problema di Cauchy. Caratteristiche.
Generalità sui problemi al contorno. Nozione di problema ben posto.
Problemi di unicità.
Elenco dei teoremi dimostrati
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Identità differenziali.
Campi solenoidali ed esistenza di un potenziale vettore.
Teorema della divergenza, o di Gauss (con Lemma).
Continuità del limite uniforme di una successione di funzioni continue.
Completezza di C([a, b], k · k∞ ).
Non completezza di C([a, b], k · k1 ).
Continuità del limite uniforme di serie di funzioni continue.
Teorema di integrazione termine a termine.
Teorema di derivazione termine a termine.
Regolarità della somma di una serie di potenze.
Sviluppabilità in serie di Fourier di funzioni di classe C 2 ([−π, π]).
Continuità delle funzioni complesse di variabile complessa.
Equivalenza tra derivabilità e differenziabilità.
Condizioni di Cauchy-Riemann.
Proprietà della funzione potenza.
Proprietà dell’integrale curvilineo.
Teorema di Cauchy.
Invarianza di integrali curvilinei
Formula di Cauchy.
f olomorfa ⇒ f analitica.
Teorema di Morera.
Teorema di Goursat.
Teorema sugli zeri di funzioni analitiche.
Teorema sull’insieme degli zeri di funzioni analitiche.
Teorema di Liouville (con disuguaglianze di Cauchy).
Teorema fondamentale dell’algebra.
Formula per il calcolo del residuo di un polo di ordine n.
Sviluppabilità in serie di Laurent in una corona.
Singolarità isolate e serie di Laurent.
Sviluppo di Laurent di una funzione razionale fratta.
Teorema dei residui.
Teorema dell’indice logaritmico.
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Testi di riferimento
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[8]
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G.C. Barozzi, Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli.
M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi 3, Cusl.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
R. Fiorenza, D. Greco, Lezioni di Analisi Matematica, volume secondo, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume 2, pp. 1 e 2, Liguori Editore.
C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, volume 2, Zanichelli.
C. Presilla, Elementi di Analisi Complessa, Springer.
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli.
Altri testi consigliati
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M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill.
M. Codegone, Metodi matematici per l’ingegneria, Zanichelli.
G. Di Fazio, M. Frasca, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi Editore.
W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Boringhieri.
