Programma del corso di Istituzioni di Geometria Superiore 2 - B

Programma del corso di
Istituzioni di Geometria Superiore 2 - B
2011/2012
Valentina Beorchia
Richiami su spazi affini e proiettivi e loro sottospazi. Insiemi algebrici affini, insiemi di zeri
V (I) di ideali dell’anello dei polinomi K[x1 , . . . , xn ]. Proprietà della mappa V : I → V (I). Topologia
di Zariski su AnK . Ideale I(X) associato a un sottoinsieme X ⊆ An . Proprietà della mappa I : S →
I(S). Anelli Noetheriani, Teorema della Base di Hilbert (senza dimostrazione). Forme debole e forte
del Teorema degli Zeri di Hilbert.
Insiemi algebrici proiettivi, insiemi di zeri VP (I) di ideali omogenei dell’anello dei polinomi
K[x0 , . . . , xn ]. Proprietà della mappa VP : I → VP (I). Topologia di Zariski su PnK . Ideale omogeneo
IH (X) associato a un sottoinsieme X ⊆ Pn . Proprietà della mappa IH : S → IH (S). Versione
proiettiva del Teorema degli Zeri di Hilbert.
Prodotti di spazi proiettivi Pn × Pm . Topologia di Zariski, caratterizzazione delle equazioni dei
chiusi in Pn × Pm .
Spazi topologici irriducibili. Ogni aperto non vuoto di uno spazio irriducubile è denso ed irriducibile. Spazi topologici Noetheriani, componenti irriducibili. Varietà affini, un insieme algebrico
affine X è irriducibile se e solo se I(X) è primo. Varietà proiettive e quasiproiettive, un insieme
algebrico proiettivo X è irriducibile se e solo se IH (X) è primo.
Anello delle coordinate A(V ) di un aperto V di una varietà affine, biiiezione con l’anello delle
funzioni polinomiali su V . Campo delle funzioni razionali K(V ) di V , anello locale OV,p e suo ideale
massimale Mp , anello delle funzioni regolari OV (U ) su U ⊆ V . Biiezione tra OV (U ) e l’anello delle
funzioni U → K localmente quozienti di funzioni polinomiali. Isomorfismo OX (X) ∼
= A(X) per
varietà affini X.
Anello delle coordinate omogenee S(V ) di un aperto V di una varietà proiettiva. Campo delle
funzioni razionali K(V ) di V , anello locale OV,p e suo ideale massimale Mp , anello delle funzioni
regolari OV (U ) su U ⊆ V . Biiezione tra OV (U ) e l’anello delle funzioni U → K localmente quozienti
di funzioni polinomiali omogenee dello stesso grado.
Struttura di K-algebra di OV (U ), carattere locale delle funzioni regolari, continuità delle funzioni regolari.
Morfismi tra varietà quasiproiettive. Pullback ϕ∗ : OY (U ) → OX (ϕ−1 (U )) di un morfismo
ϕ : X → Y e sue proprietà funtoriali. Isomorfismi. Carattere locale dei morfismi. Caratterizzazione
dei morfismi X → An e dei morfismi tra varietà affini. Biiezioni tra M or(X, Y ) e Hom(A(Y ), OX (X)
per Y varietà affine.
Aperti principali XF ⊆ X ⊆ An di una varietà affine, isomorfismo di XF con una varietà affine
n+1
in A
.
Aperti Ui = {xi 6= 0} ⊂ Pn , le mappe ji : An → Ui , ji (y1 , . . . , yn ) = (y1 : · · · : yi : 1 : yi+1 :
· · · : yn ) sono isomorfismi di varietà quasiproiettive. Chiusura proiettiva di un insieme algebrico
affine. Ogni varietà quasiproiettiva ammette un ricoprimento aperto con aperti isomorfi a varietà
affini. Una mappa ϕ : X → Y tra varietà quasiproiettive è un morfismo se e solo se è localmente
polinomiale se e solo se le componenti sono localmente determinate da funzioni regolari. Proiettività
e proiezioni da sottospazi proiettivi.
1
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Il prodotto di varietà affini è una varieta’ affine. Proprietà universale del prodotto di varietà
affini. Prodotto di varietà proiettive. Immersione di Segre σn,m : Pn × Pm → PN e varietà di Segre
Σn,m . L’immagine tramite σn,m di un prodotto di varietà quasiproiettive è una varietà quasiproiettiva.
Proprietà universale del prodotto di varietà quasiproiettive.
Separatezza delle varietà quasiproiettive. Il grafico di un morfismo tra varietà quasiproiettive
è chiuso ed isomorfo al dominio del morfismo. Ogni varietà proiettiva su K = K è completa. I
morfismi definiti su varietà proiettive su K = K sono applicazioni chiuse. Ogni funzione regolare e
ogni morfismo a valori in uno spazio affine definiti su una varietà proiettiva su K = K è costante.
Morfismo di Veronese vn,d : Pn → PN . Le intersezioni di varietà proiettive con ipersuperfici
sono isomorfe a sezioni iperpiane dell’immagine della varietà tramite un’opportuno morfismo di
Veronese. Gli aperti principali XF = X\VP (F ) di X varietà proiettiva sono isomorfi a varietà affini.
Una varietà proiettiva X su K = K ha intersezione vuota con un’ipersuperficie se e solo se X è un
punto.
Mappa razionali tra varietà quasiproiettive. Dominio e immagine di una mappa razionale.
Mappe razionali dominanti, pullback di mappe razionali. Mappe birazionali. Biiezione tra Rat(X, Y )
insieme delle mappe razionali dominanti e Hom(K(Y ), K(X)). Caratterizzazione delle mappe birazionali.
b 2 di A2 nell’origine. Divisore eccezionale. Ricoprimento di A
b 2 con due aperti
Scoppiamento A
b2 ∼
isomorfi ad A2 , controimmagini di curve piane singolari nell’origine. Isomorfismo tra A
= F1,0 .
Dimensione combinatoria di uno spazio topologico, dimensione in un punto. Dimensione di
un sottospazio topologico, dimesnione di un chiuso proprio di uno spazio di dimensione finita. Se
f : X → Y è un’applicazione continua, chiusa e suriettiva tra spazi topologici Noetheriani, allora
dim X ≥ dim Y .
Morfismi finiti tra varietà affini. Un morfismo finito è un’applicazione chiusa. Un morfismo
finito e suriettivo preserve le inclusioni strette tra chiusi. Lemma di Normalizzazione di Noether. Se
f : X → Y è un morfismo finito, allora dim X = dim Y . Dimensione dello spazio affine, dimensione
delle ipersuperfici affini, varietà affini di codimensione uno. Dimensione dell’intersezione di una
varietà affine con un’ipersuperficie affine. Dimensione di un aperto di una varietà quasi proiettiva.
Dimesnione dello spazio proiettivo, delle ipersuperfici proiettive. Varietà proiettive di codimensione
uno. Dimensione del prodotto di varietà quasiproiettive, dimensione del cono affine di una varietà
proiettiva.
Teorema sulla dimensione di un’intersezione tra varietà affini e tra varietà proiettive.
Punti singolari e punti regolari di una ipersuperficie affine, l’insieme dei punti regolari di
V (F ) ⊂ An è un aperto non vuoto. Spazio tangente affine tp X ⊆ An a una varietà affine X ⊂ An .
Punti singolari e punti regolari di una varietà affine. Differenziale di un morfismo tra varietà affini e
matrice Jacobiana. Spazio tangente di Zariski Tp X in un punto di una varietà quasiproiettiva X. Se
X è una varietà affine si ha tp X ∼
= Tp X. Se X è una varietà affine o proiettiv, allora il sottoinsieme
dei punti regolari è un aperto non vuoto e in ogni punto dim Tp X ≥ dim X. Criterio Jacobiano per la
ricerca di punti singolari per varietà affini e proiettive.
Testi consigliati:
• Shafarevich, I. R. Basic algebraic geometry. Translated from the Russian by K. A. Hirsch. Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 213, 1974. Springer
Study Edition. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977
• Hartshorne, Robin : Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. SpringerVerlag, New York-Heidelberg, 1977.
• Harris, Joe Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate
Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995.