GEOMETRIA ALGEBRICA a.a. 2015/16

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UNIVERSITÀ DI CATANIA
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Programma di Geometria Algebrica
ANNO ACCADEMICO 2015-2016
Docente: Prof. Francesco Russo
I) – Richiami sugli spazi proiettivi, equazioni cartesiane e parametriche tramite dualità, spazio
proiettivo duale. Sistemi lineari di ipersurperficie e applicazioni: ipersuperficie passanti per un numero
fissato di punti. Complementi di geometria delle iperquadriche. Rette incidenti quattro rette generali
nello spazio. Quadrica di Klein come spazio dei moduli delle rette dello spazio proiettivo. Rilettura di
alcune proprietà delle rette tramite la geometria della Quadrica di Klein.
II) – Insiemi algebrici affini e proiettivi. Topologia di Zariski sullo spazio affine e proiettivo. Corrispondenza tra insieme algebrici affini e ideali radicali di un anello di polinomi (campo algebricamente
chiuso). Insiemi algebrici irriducibili e loro corrispondenza con gli ideali primi di un anello di polinomi.
Anello delle coordinate di una varietà affine e di una varietà proiettiva. Decomposizione di un insieme
algebrico in componenti irriducibili e legami con la decomposizione primaria di un ideale. Dimensione
di una varietà algebrica: versione topologica e algebrica.
III) – Funzioni regolari su una varietà algebrica quasi-proiettiva: definizione e prime proprietà.
Esempi e applicazioni. Morfismi tra varietà: definizione e prime proprietà. Esempi e applicazioni.
Anello locale delle funzioni regolari su una varietà: definizioni e prime proprietà. Funzioni razionali
su una varietà: definizione e prime proprietà. Applicazioni razionali (e birazionali) tra varietà: definizioni e prime proprietà. Esempi e applicazioni. Corrispondenza tra applicazioni razionali dominanti
e omomorfismi dei rispettivi campi di funzioni razionali. Funzioni regolari su una varietà proiettiva e
applicazioni.
IV) – Prodotto di varietà algebriche: proprietà universale, esistenza e unicità. Esempi e applicazioni: morfismo grafico, morfismo diagonale, decomposizione di un morfismo tramite morfismo grafico e
proiezioni dal prodotto. Teorema Fondamentale della Teoria della Eliminazione. Esempi e applicazioni.
V) – Punto non singolare di una varietà: definizione estrinseca e intrinseca. Luogo singolare.
Scoppiamento di una varietà in un punto. Cono tangente e spazio tangente a una varietà in un punto:
definizioni intrinseche e estrinseche. Esempi e applicazioni. Definizione di molteplicità algebrica di un
punto su una varietà. Confronto tra cono tangente e spazio tangente: criterio di non-singolarità.
VI) – Teorema della Dimensione delle Fibre. Applicazioni. Criterio Irriducibilità. Applicazione allo
studio delle rette su superficie in P3 con particolare riguardo al caso cubico. Varietà duale e Teorema
di Bertini. Varietà di spazi plurisecanti: definizioni e esempi. Mappa di Gauss: definizione e esempi.
VII) – Intersezione negli spazi proiettivi. Dimensione intersezione di varietà proiettive. Grado di
una varietà proiettiva: definizione geometrica e algebrica tramite Polinomio di Hilbert. Richiami su
Annullatore e Primi Associati di un modulo graduato su un anello di polinomi. Molteplicità di un
modulo lungo un primo minimale. Teorema di Hilbert-Serre e Polinomio di Hilbert di una varietà
proiettiva. Teorema di Bézout generalizzato e applicazioni. Definizione locale di molteplicità di intersezione e confronto con la molteplicità del modulo associato. Molteplicità di intersezione di curve piane:
esempi e proprietà. Flessi di curve algebriche piane e curva hessiana. Esempi e applicazioni. Studio di
alcune classi di punti singolari: punti multipli ordinari e loro risoluzione per scoppiamento. Singolarità
non ordinarie e tacnodi.
Se il tempo lo consentirà verrano svolte anche parti del seguente modulo:
0) – Prodotto tensoriale di spazi vettoriali su un campo: proprieà universale, esistenza e unicità.
Vari teoremi di isomorfismo e relazioni con altre operazioni (somme dirette, dualità, etc, etc). Costruzione delle varietà di Segre e prime proprietà geometriche. Applicazioni multilineari e prodotto
tensoriale multiplo: proprietà universale e primi teoremi di isomorfismo. Algebra tensoriale di uno
spazio vettoriale: proprietà universale, esistenza e unicità. Algebra tensoriale simmetrica di uno spazio
vettoriale: proprietà universale, esistenza e unicità. Costruzione delle varietà di Veronese e prime proprietà geometriche. Algebra tensoriale anti-simmetrica di uno spazio vettoriale: proprietà universale,
esistenza e unicità. Determinante, Formule di Laplace e Binet generalizzate. Vettori decomponibili e
varietà di Grassmann. Prodotto tensoriale di algebre su un campo: proprietà universale, esistenza e
unicità. Esempi e applicazioni.
Testi consigliati
00) M. C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Letture su curve, superficie e
varietà proiettive speciali. Un’ introduzione alla Geometria Algebrica, Bollati Boringhieri.
0) R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag.
1) W. Fulton, Algebraic Curves–An Introduction to Algebraic Geometry,
http://www.math.lsa.umich.edu/ wfulton/CurveBook.pdf
2) I. Dolgachev, Classical Algebraic Geometry, http://www.math.lsa.umich.edu/ idolga/CAG.pdf
3) I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag.
4) D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Verlag.
Materiale Didattico Integrativo
– Appunti Lezioni del Corso, disponibili sulla pagina internet
http://www.dmi.unict.it/˜frusso/DMI/Geometria Algebrica.html
– Liste di Esercizi svolti a Lezione disponibili sulla pagina internet:
http://www.dmi.unict.it/˜frusso/DMI/Geometria Algebrica.html
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