CAP7-online 21..25

A
Sistemi omogenei
Un sistema si dice omogeneo se le sue equazioni si possono scrivere come polinomi omogenei uguagliati a un
numero d che puoÁ eventualmente anche essere nullo.
Fra tutti i sistemi omogenei ci occupiamo di quelli di quarto grado nei quali ciascuna equazione eÁ di secondo
grado; essi assumono pertanto la forma:
2
ax ‡ bxy ‡ cy 2 ˆ d
a 0 x 2 ‡ b 0 xy ‡ c 0 y 2 ˆ d 0
Per esempio eÁ omogeneo di quarto grado il sistema:
x 2 3xy 4y 2 ˆ 6
2x 2 5y 2 ˆ 3
Per risolvere sistemi di questo tipo si segue un algoritmo particolare.
I caso: d 6ˆ 0 _ d 0 6ˆ 0
Se almeno uno dei valori d e d 0 eÁ diverso da zero, la procedura da applicare eÁ la seguente, che utilizziamo sul
precedente sistema.
n I passo
Si utilizza un'incognita ausiliaria t e si opera la sostituzione y ˆ tx :
2
2
3x tx 4t 2 x 2 ˆ 6
3tx 2 4t 2 x 2 ˆ 6
x
x
!
2x 2 5t 2 x 2 ˆ 3
2x 2 5t 2 x 2 ˆ 3
n II passo
Si raccoglie x 2 a fattor comune al primo membro:
x 2 …1
x 2 …2
3t 4t 2 † ˆ 6
5t 2 † ˆ 3
n III passo
Se, come in questo caso, almeno uno dei due termini d eÁ diverso da zero, si esegue la divisione membro a
membro delle due equazioni ottenute (nel caso in cui uno dei termini d eÁ zero, occorre lasciare questo termine al numeratore):
x 2 …1 3t 4t 2 † 6
ˆ
3
x 2 …2 5t 2 †
!
1
3t
2
4t 2
5t 2
ˆ2
!
6t 2
3t
3ˆ0
!
2t 2
t
1ˆ0
Il sistema dato eÁ quindi equivalente a quello che si ottiene associando la precedente equazione a una del
sistema, scegliamo la seconda:
2
2t
t 1ˆ0
2
2x
5t 2 x 2 ˆ 3
n IV passo
Si risolve l'equazione in t del nuovo sistema:
p
1 1‡8
13
ˆ
ˆ
tˆ
4
4
1
2
1
Approfondimenti di algebra
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
n V passo
Otteniamo cosõÁ i due sistemi:
8
8
8
1
>
>
1
1
<
<
<t ˆ
t
ˆ
tˆ
2
l
!
2 _
2
:
:
>
5 2
>
: 2x 2
x ˆ3
xˆ 2
xˆ2
4
(
t ˆ1
t ˆ1
l
sistema impossibile
!
2
2x 2 5x ˆ 3
x2 ˆ 1
Tornando alla variabile y:
8
1
<
x
yˆ
!
… 2, 1†
2
:
xˆ 2
_
8
<
:
yˆ
1
x
2
!
xˆ2
In definitiva, il sistema ha come insieme delle soluzioni
II caso: d ˆ d 0 ˆ 0
Descriviamo la procedura risolvendo il sistema
…2,
1†
S ˆ …2,
1†, … 2, 1† .
3x 2 ‡ xy 2y 2 ˆ 0
x 2 ‡ 6xy ‡ 5y 2 ˆ 0
Possiamo dire che la coppia …0, 0† soddisfa il sistema, quindi eÁ una sua soluzione. Per trovare le altre, seguiamo
una procedura simile a quella del caso precedente.
n I passo
Operiamo la sostituzione y ˆ tx :
2
3x ‡ x tx 2t 2 x 2 ˆ 0
!
x 2 ‡ 6x tx ‡ 5t 2 x 2 ˆ 0
3x 2 ‡ tx 2 2t 2 x 2 ˆ 0
x 2 ‡ 6tx 2 ‡ 5t 2 x 2 ˆ 0
n II passo
Raccogliamo x 2 a fattor comune in entrambe le equazioni:
x 2 …3 ‡ t 2t 2 † ˆ 0
x 2 …1 ‡ 6t ‡ 5t 2 † ˆ 0
n III passo
0
che otter0
remmo al secondo membro eÁ priva di significato. Possiamo peroÁ applicare la legge di annullamento del prodotto dalla quale, tenendo presente che abbiamo giaÁ evidenziato la soluzione x ˆ 0, otteniamo:
3 ‡ t 2t 2 ˆ 0
1 ‡ 6t ‡ 5t 2 ˆ 0
Non possiamo questa volta dividere membro a membro le due equazioni perche l'espressione
Poiche le due equazioni sono in sistema, dobbiamo trovare le loro soluzioni comuni:
1
2
l 3 ‡ t
2t ˆ 0
!
tˆ
3
2
Approfondimenti di algebra
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l
2
1 ‡ 6t ‡ 5t ˆ 0
1
!
tˆ
La sola soluzione comune eÁ t ˆ
1
5
1.
n IV passo
Tenendo presente la sostituzione fatta possiamo dire che il sistema eÁ verificato da tutte le coppie …x, y † nella
quali eÁ y ˆ x, cioeÁ da tutte le coppie della forma …x, x †.
In definitiva, il sistema ammette infinite soluzioni, tutte della forma …x,
x † fra cui anche la coppia …0, 0†.
ESERCIZI
Comprensione
1 Indica quali fra i seguenti sistemi sono omogenei:
2
x
2y 2 ‡ 4xy ˆ 1
x y 2 ‡ 2xy ˆ 3
a.
b.
3x 2 ‡ y 2 xy ˆ 2
x 2 ‡ y 2 4xy ˆ 1
2
2
x ‡ 5y 2 ‡ xy ˆ 2
x ‡ 3y 2 xy ˆ x
d.
c.
x 2 ‡ 4y 2 ˆ 2
x 2 3xy ˆ 4
2 Se si opera la sostituzione y ˆ xt, il sistema omogeneo
l'equazione:
a.
1 ‡ 2t 2
1
ˆ
2
1 4t
b.
1 ‡ 2t 2 1
‡ ˆ0
2
1 4t
c.
x 2 ‡ 2y 2 ˆ 6
x 2 4xy ˆ 12
1 ‡ 2t 2 6
ˆ0
1 4t 12
porta alla risoluzione deld.
1 4t
ˆ2
1 ‡ 2t 2
Applicazione
Risolvi i seguenti sistemi omogenei.
3
2x 2 4xy 3y 2 ˆ 5
x 2 ‡ 2y 2 ˆ 5
Il sistema eÁ omogeneo, operiamo quindi la soluzione y ˆ xt :
2x 2 4tx 2 3t 2 x 2 ˆ 5
x 2 ‡ 2t 2 x 2 ˆ 5
Raccogliamo x 2 in entrambe le equazioni e, supposto x 6ˆ 0, dividiamole membro a membro.
2
x …2 4t 3t 2 † ˆ 5
2 4t 3t 2
ˆ1
!
5t 2 ‡ 4t 1 ˆ 0
!
2…
2†
1 ‡ 2t 2
x 1 ‡ 2t ˆ 5
Approfondimenti di algebra
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Risolvendo questa equazione otteniamo t1 ˆ
y ˆ xt, otteniamo i due sistemi
8
<y ˆ 1 x
yˆ x
5
_
x 2 ‡ 2y 2 ˆ 5
: 2
x ‡ 2y 2 ˆ 5
1 _ t2 ˆ
Risolvendoli, troviamo le soluzioni del sistema dato
e pertanto l'insieme delle soluzioni eÁ
(
r r! r
r!
5
5
5
5
Sˆ
,
;
,
;
3
3
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
:x
3y 2 ˆ 9
4
3
2
2xy ˆ 0
y
12
2
y ‡ xy x 2 ˆ 2
14
15
8
r
>
5
>
>
<x ˆ 3
r
>
>
>
:y ˆ 5
3
r
r!
5 1 5
,
;
3 3 3
5
3
r
5
,
3
x 2 y 2 ˆ 24
xy ‡ x 2 ˆ 60
8
7
>
< x 2 ‡ xy ‡ y 2 ˆ
9
>
10
:x2 ‡ y2 ˆ
9
(
2
…2x ‡ y† ˆ 4
4xy ‡ y 2 ˆ 3
2
x
y2 ˆ 5
y…x ‡ y† ˆ 10
2
xy 2y 2 ˆ 0
x
x 2 ‡ xy ‡ y 2 ˆ 0
2
xy ˆ 14
x
2
y
xy ˆ 63
(
2
…x ‡ y† ˆ 5 xy
xy ˆ 1
8
< x…2x y† ˆ 3
13
5
3
1
e, ricordando la sostituzione operata
5
y 2 ‡ 2xy ˆ 1
4x 2 ‡ xy ‡ y 2 ˆ 2
y2
xy
x 2 ˆ 27
x2 ˆ 9
x2
x2
7xy ‡ 12y 2 ˆ 0
xy 6y 2 ˆ 0
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8
r
>
5
5
>
>
<x ˆ 3 3
r
>
>
1
5
>
:y ˆ 3 3
1
3
r!)
5
.
3
S ˆ …5, 7†; … 5,
1,
Sˆ
3
Sˆ
1 ; 1,
1 ;
3
1
3 ;
,1 ;
2
1,
2
1 ;
1,
2
(
Sˆ
3,1 ;
2
3,
2
1 ; p6 ,
35
1,3
2
p
2
,
4
p
2 ;
2†
S ˆ …1, 1†; … 1,
1†
11 ;
p
2 35
11
p6 , p
35 2 35
r
2,
5
p p p p 2
3
3
, 2 ;
,
;
4
3
3
S ˆ …0, 0†
9†
( r r!
2, 2 2 ;
Sˆ
5
5
Sˆ
S ˆ …2, 9†; … 2,
"
1,1 ;
1, 1
3
3
S ˆ …3, 2†; … 3,
"
7†
p
3
,
3
)#
r!)#
2 2
5
p 3
3
S ˆ …3, 6†; … 3,
6†
Sˆ
x, 1 x
3
16
17
18
19
8
3
>
< x 2 ‡ y 2 ‡ xy ˆ
2
>
7
: x…x 3y† ˆ
2
2
x ‡ xy 2y 2 ˆ 0
x 2 ‡ 8xy ‡ 15y 2 ˆ 0
2
3x ‡ 4xy ‡ y 2 ˆ 0
x 2 ‡ 3xy y 2 ˆ 2
2
5xy y 2 ˆ 4
2x
x 2 5xy ‡ 6y 2 ˆ 1
20
21
x 2 ‡ 2xy ‡ 11y 2 ˆ 10
x 2 9y 2 ˆ 2
2x 2 ‡ 3xy y 2 ˆ 13
2
…x ‡ y † 2y …x ‡ y † ˆ 3
"
( p
2
,
Sˆ
2
p
2 ;
p p 2
, 2 ; p7 ,
2
26
p2 ;
26
p7 , p2
26
26
p
p p p
34
6
6
3 34
,
,
; 17
3
3
17
Sˆ
Sˆ
S ˆ …0, 0†
Sˆ
)#
p p
6
5 6
,
6
6
p
p p
p 7 26
2 26
4 14
14
,
; ,
7
7
13
13
S ˆ …2, 1†
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