Unicità, a meno di isomorfismo, del campo
ordinato e completo dei reali
Stefano Baratella
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Introduzione
Queste note non presuppongono familiarità con la costruzione dei reali come
tagli (o sezioni) di Dedekind del campo dei razionali presentata a lezione, costruzione che segue piuttosto fedelmente Rudin–Principles of Mathematical
Analysis. È sufficiente sapere che i reali, comunque siano definiti, formano
un campo ordinato e (Dedekind) completo.
Scopo di queste note è provare che, a meno di isomorfismo di campi
ordinati, esiste un unico campo ordinato e completo. (Vedremo che ogni
campo ordinato e completo è archimedeo.)
Quindi, ogni altra maniera di costruire un campo ordinato e completo,
ad esempio come classi di equivalenza di successioni di Cauchy di razionali (si veda Hewitt & Stromberg - Real and Abstract Analysis) produce
essenzialmente la stessa struttura ottenuta con i tagli di Dedekind.
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Preliminari
Molte delle definizioni che daremo hanno senso anche in strutture “meno
ricche” di un campo. Ci concentriamo però sui campi, visto l’obiettivo di
queste note.
Definizione 1. campo ordinato è una struttura (F, +, −, ·, 0, 1, <), dove
(F, +, −, ·, 0, 1) è un campo e < è una relazione di ordine totale su F che
soddisfa le proprietà seguenti: per ogni a, b, c ∈ F
1. se a < b allora a + c < b + c;
2. se a < b e 0 < c allora a · c < b · c.
Osserviamo che (F, +, −, 0) è un gruppo abeliano. Con il simbolo “−”
denotiamo quindi l’operazione di opposto. Non mettiamo tra le operazioni di
campo quella di inverso moltiplicativo, semplicemente perché non è definita
su 0. Come al solito, se 0 6= a ∈ F, scriviamo a−1 per l’inverso di a.
Quando non ci sono ambiguità, scriveremo F per (F, +, −, ·, 0, 1, <).
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Esercizio 2. Sia F un campo ordinato. Provare che:
1. ogni quadrato è non negativo;
2. la caratteristica di F è zero;
3. F contiene una copia isomorfa del campo ordinato Q dei razionali.
Convenzione. In virtù di quanto affermato nell’Esercizio 2.3, converremo
che Q sia sottocampo di ogni campo ordinato. Dunque, in un campo ordinato, l’elemento neutro additivo e quello moltiplicativo sono i razionali 0
e 1, rispettivamente; la restrizione di < ai razionali è la relazione d’ordine
standard su Q e considerazioni analoghe valgono per le operazioni.
Definizione 3. Un campo ordinato F è (Dedekind) completo se ogni suo
sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato ha estremo superiore in F.
Il campo Q non è completo. Per questa ragione se ne costruisce “il”
completamento R. La completezza di R è stata provata a lezione.
Esercizio 4. Sia F un campo ordinato e completo. Provare che ogni sottoinsieme non vuoto e inferiormente limitato di F ha estremo inferiore in
F.
Suggerimento. Sia ∅ =
6 A ⊂ F inferiormente limitato. Sia
B = {b ∈ F : b è un minorante di A}.
Verificare che B è non vuoto e superiormente limitato. Provare infine che
inf A = sup B.
Definizione 5. Un campo ordinato F è archimedeo se per ogni a, b ∈ F tali
che 0 < a < b esiste n ∈ N per cui b < na.
Nella definizione precedente, na è una abbreviazione per |a + .{z
. . + a} .
n volte
Esempio. Il campo Q è archimedeo.
Non-esempio. Diamo anzitutto un esempio di anello ordinato non archimedeo. (La definizione di anello ordinato si ottiene sostituendo ovunque la
parola “campo” con “anello commutativo” nella definizione di campo ordinato.) Consideriamo l’anello dei polinomi Q[x], in cui l’ordine usuale su Q
viene esteso ponendo
r < x per ogni r ∈ Q.
L’ordine esteso si descrive meglio se si identifica un polinomio
a0 + a1 x + . . . + an xn
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con la successione definitivamente nulla (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0 . . .) Notiamo che
un Algebrista obietterebbe, con ragione, che non c’è nessuna identificazione
da fare: il polinomio è la successione! Si definisce poi sull’insieme delle
successioni di razionale quasi ovunque nulle l’ordine antilessicografico (le
successioni si “leggono” da destra a sinistra). Lasciamo come esercizio la
definizione formale di tale ordine.
Il campo delle frazioni Q(x) di Q[x] è allora un esempio di campo ordinato
non archimedeo. Infatti, l’ordine su Q[x] si estende in maniera naturale
al campo delle frazioni (nello stesso modo in cui l’ordine standard su Z si
estende a Q: verificarlo!).
Esercizio 6. Sia F un campo ordinato non archimedeo. Provere che, in F,
ci sono infinitesimi non banali (cioè elementi non nulli il cui valore assoluto
è minore del reciproco di ogni naturale positivo) e infiniti (cioè elementi il
cui valore assoluto è maggiore di ogni naturale positivo).
Il fatto che i tagli di Dedekind siano un campo archimedeo segue dalla
prossima proposizione.
Proposizione 7. Ogni campo ordinato e completo è archimedeo.
Dimostrazione. Per assurdo, sia F un campo ordinato e completo e siano
a, b ∈ F tali che 0 < a < b e na < b per ogni n ∈ N. L’insieme {na : n ∈ N}
è non vuoto e superiormente limitato (ad esempio da b). Sia s = sup{na :
n ∈ N}. Per definizione di sup, esiste k ∈ N tale che s − a/2 < ka, da cui
s < (k + 1)a: contraddizione.
Osserviamo che, nella proposizione precedente, la divisione per 2 è lecita
perché F non è di caratteristica 2.
Vogliamo ora provare che il campo dei razionali è denso in ogni campo
ordinato e archimedeo, in particolare in ogni campo ordinato e completo.
Proposizione 8. Sia F un campo ordinato e archimedeo. Per ogni a, b ∈ F
tali che a < b esiste r ∈ Q tale che a < r < b.
Dimostrazione. Trattiamo il caso 0 < a < b. Il lettore è invitato a trattare
gli altri casi.
Supponiamo anzitutto 1 < b − a. Per la proprietà archimedea, l’insieme
{k ∈ N : a < k} è non vuoto. Ne sia n il minimo. Allora a < n e n − a ≤ 1,
da cui n < b.
Se b − a ≤ 1, sia m ∈ N tale che 1 < m(b − a). Per il caso precedente,
k
esiste k ∈ N tale che a < m
< b.
Esercizio 9. Provare che, nella Proposizione 8, la proprietà archimedea è
un’ipotesi necessaria. (Usare il non-esempio sopra proposto.)
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Unicità dei reali
In questa sezione proviamo che, a meno di isomorfismo di campi ordinati, i
reali sono l’unico campo ordinato e completo.
Cominciamo ricordando la definizione di isomorfismo di campi ordinati.
Definizione 10. Siano (E, +E , −E , ·E , 0, 1, <E ) e (F, +F , −F , ·F , 0, 1, <F )
campi ordinati. Un isomorfismo di campi ordinati è una funzione j : E → F
con le proprietà che, per ogni a, b ∈ E,
1. j(a +E b) = j(a) +F j(b);
2. j(a ·E b) = j(a) ·F j(b);
3. se a <E b allora j(a) <F j(b);
4. j è suriettiva.
La proprietà 3 implica l’iniettività di j. Inoltre, da 3, si ricava facilmente
che a <E b se e soltanto se j(a) <F j(b), per ogni a, b ∈ F.
Osservazione 11. Si possono senz’altro togliere tutti gli indici e denotare
operazioni corrispondenti nei due campi della Definizione 10 con lo stesso
simbolo e, anche, usare lo stesso simbolo per le due relazioni d’ordine. Abbiamo preferito non farlo da subito, a costo di una certa pesantezza nella
notazione, per tenere sotto controllo il contesto in cui operazioni e relazioni
agiscono.
Abbiamo bisogno anche di ricordare alcune proprietà dell’estremo superiore.
Esercizio 12. Sia F un campo ordinato e completo e siano A, B ⊂ F sottoinsiemi non vuoti e superiormente limitati. Definiamo
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
e
A · B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}
Provare che:
1. A + B è superiormente limitato e sup(A + B) = sup A + sup B;
2. se nè A nè B contengono elementi negativi, l’insieme A · B è superiormente limitato e sup(A · B) = sup A · sup B;
3. al punto precedente, l’ipotesi che nè A nè B contengano elementi negativi è sufficiente, ma non necessaria, affinché A · B sia superiormente
limitato.
Siamo ora pronti per il risultato principale.
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Teorema 13. Siano (E, +E , −E , ·E , 0, 1, <E ) e (F, +F , −F , ·F , 0, 1, <F ) campi ordinati e completi. Allora E e F sono isomorfi.
Dimostrazione. Ricordiamo che, ragionando a meno di isomorfismo, abbiamo convenuto che Q sia sottocampo di ogni campo ordinato. Sia a ∈ E.
Definiamo Qa = {r ∈ Q : r <E a}. Se c ∈ F, definiamo Qc in maniera
analoga. L’insieme Qa è non vuoto e superiormente limitato anche in F.
(Perché?) Definiamo
h: E →
F
a 7→ supF Qa
Osserviamo che h(r) = r, per ogni r ∈ Q. Inoltre, dato che le relazioni
<E e <F coincidono con la relazione d’ordine standard < sui razionali, ometteremo gli indici quando in disuguaglianze sono coinvolti razionali. Adotteremo la stessa convenzione quando le operazioni di campo hanno argomenti
razionali.
a. Verifichiamo 3 della Definizione 10. Siano a, b ∈ E tali che a <E b. Per
la Proposizione 8, esistono s, t ∈ Q tale che a <E s < t <E b, da cui
supF Qa ≤F s. Poiché t ∈ Qb , è s <F supF Qb . Quindi
h(a) = sup Qa <F sup Qb = hb).
F
F
b. Verifichiamo 4 della Definizione 10. Sia c ∈ F. L’insieme Qc è superiormente limitato in E. Sia a = supE Qc . Ci proponiamo di concludere
che h(a) = c, provando che non valgono nè h(a) <F c nè c <F ha).
Supponiamo c <F h(a) e sia r ∈ Q tale che c <F r <F h(a). Da
h(r) = r e dal punto precedente ricaviamo r <E a. Per ogni s ∈ Qc è
s <F c <F r, quindi anche s < r. Dunque r è un maggiorante di Qc in
E e pertanto a ≤E r, contraddicendo r <E a.
La dimostrazione che h(a) 6<F c è lasciata al lettore.
c. Verifichiamo 1 della Definizione 10. Siano a, b ∈ E e sia c = a +E b.
Poniamo
Qa + Qb = {r + s : r ∈ Qa e s ∈ Qb }.
Proviamo che Qa + Qb = Qc . L’inclusione da sinistra a destra segue
dalle proprietà di campo ordinato. Per l’altra inclusione, sia p ∈ Q tale
che p <E c. Sia r ∈ Q tale che p−E b <E r <E a. Allora p = r +(p−r),
con r ∈ Qa e (p − r) ∈ Qb .
Abbiamo quindi
h(a)+F h(b) = sup Qa +F sup Qb = sup(Qa +Qb ) = sup Qc = h(a+E b),
F
F
F
dove l’uguaglianza centrale segue dall’Esercizio 12.
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F
d. Verifichiamo 2 della Definizione 10. Siano a, b ∈ E e sia c = a ·E b. Per
+
cominciare, supponiamo 0 <E a e 0 <E b. Poniamo Q+
a = Qa ∩ Q e
+
definiamo Q+
b e Qc in modo analogo.
+
+
+
+
Proviamo che Q+
a · Qb = Qc . Se r ∈ Qa e s ∈ Qb , allora, per le
proprietà di campo ordinato, 0 ≤ r · s <E a ·E b. Quindi r · s ∈ Q+
c .
−1 < b. Sia t ∈ Q+ tale
Per l’altra inclusione, sia r ∈ Q+
E
c . Allora r ·E a
b
+
−1
−1
che r ·E a <E t <E b. Allora r = (rt )t, con (rt−1 ) ∈ Q+
a e t ∈ Qb .
Abbiamo quindi:
+
+
+
+
h(a) ·F h(b) = sup Q+
a ·F sup Qb = sup(Qa · Qb ) = sup Qc = h(a ·E b),
F
F
F
F
dove l’uguaglianza centrale segue dall’Esercizio 12.
Rimangono da esaminare altri casi. Prima di cominciare osserviamo
che, dal punto c., ricaviamo h(−E a) = −F h(a), per ogni a ∈ E.
Quindi, se eliminiamo del tutto gli indici (finalmente!) e se, ad esempio,
a, b ∈ E sono tali che a < 0 e 0 < b, abbiamo
−h(a · b) = h(−(a · b)) = h(−a) · h(b) = (−h(a)) · h(b) = −(h(a) · j(b)),
da cui la conclusione. (Giustificare ogni passaggio.)
I casi rimanenti sono lasciati al lettore.
Il prossimo corollario è conseguenza immediata del Teorema 13 e del fatto
che i tagli di Dedekind un campo ordinato e completo.
Corollario 14. A meno di isomorfismo di campi ordinati, i tagli di Dedekind
sono l’unico campo ordinato e completo.
D’ora in poi diremo che i tagli di Dedekind “sono” il campo R dei reali.
Esercizio 15. Provare che l’unico automorfismo del campo ordinato R è
l’identità.
In ogni campo ordinato ha senso dare, nel modo usuale, la definizione
di successione di Cauchy. La Dedekind-completezza di R ha la seguente
formulazione equivalente:
Cauchy-completezza. Ogni successione di Cauchy di reali è convergente.
Esercizio 16. Provare che la Dedekind-completezza implica la Cauchy-completezza
dei reali.
Suggerimento. Ricordare anzitutto che ogni successione di reali ammette una
sottosuccessione monotona.
La dimostrazione che la Cauchy-completezza implica la Dedekind-completezza
non è altrettanto immediata. Si veda, ad esempio, E Hewitt e K. Stromberg–
Real and Abstract Analysis, Springer.
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