Capitolo 5 - Tutorati UNIPV

Capitolo 5
Applicazioni lineari
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria
Università degli studi di Pavia
Tutorato di geometria e algebra lineare
Anno accademico 2014-2015
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Sistema lineare)
Un’applicazione L : V −→ W è lineare se soddisfa le seguenti
proprietà:
1) L (0V ) = 0W ;
2) L (v1 + v2 ) = L (v1 ) + L (v2 )
3) L (αv) = αL (v)
∀v1 , v2 ∈ V ;
∀v ∈ V , ∀α ∈ R;
Un applicazione in cui lo spazio di partenza e arrivo sono uguali,
cioè L : V −→ V , è detta operatore lineare o endomorfismo.
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Forma matriciale di un’applicazione lineare)
Data l’applicazione lineare L : V −→ W , dim (V ) = n,
dim (W ) = m, scegliamo due basi BV = {v1 , . . . , vn } per V e
BW = {w1 , . . . , wn } per W . Allora, posti:
v ∈ V,
X
= [v]BV ,
Y
= [L (v)]BW ,
v ∈ V,
abbiamo che l’applicazione lineare in forma matriciale è data da:
AX = Y ,
A ∈ MR (m, n)
A = [L (v1 )]BW | · · · | [L (vn )]BW
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Nucleo)
E’ il sottospazio definito nel modo seguente:
ker (L) = {v ∈ V | L (v) = 0W }
ker (L) = {X ∈ Rn | AX = 0m }
’in forma astratta
’in forma matriciale
dim (ker (L)) = n − rg (A) ,
ker (L) ⊂ V
“Le equazioni cartesiane di ker (L) sono le righe linearmente
indipendenti della matrice A.”
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Immagine)
E’ l’insieme definito nel modo seguente:
Im (L) = {w ∈ W | ∃v ∈ V : L (v) = w}
Im (L) = {Y ∈ Rm | ∃X ∈ Rn : AX = Y }
dim (Im (L)) = rg (A) ,
’in forma astratta
’in forma matriciale
Im (L) ⊂ W
“Le colonne linearmente indipendenti di A formano una base per
Im (L).”
Marco Robutti
Capitolo 5
Teorema (Teorema delle dimensioni)
Data l’applicazione lineare L : V −→ W , si ha che:
dim (V ) = dim (ker (L)) + dim (Im (L))
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Iniettività)
Un’applicazione lineare L : V −→ W è iniettiva se:
∀v1 , v2 ∈ V , v1 6= v2 =⇒ L (v1 ) 6= L (v2 )
ker (L) = 0V ⇐⇒ dim (ker (L)) = 0
’in teoria
’in pratica
”L’immagine di una base di V è una base per Im (L).”
Se L : V −→ W è iniettiva si ha inoltre che:
dim (V ) ≤ dim (W )
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Suriettività)
Un’applicazione lineare L : V −→ W è suriettiva se:
∀w ∈ W ∃v ∈ V : L (v) = w
’in teoria
Im (L) = W ⇐⇒ dim (Im (L)) = dim (W )
Se L : V −→ W è suriettiva si ha inoltre che:
dim (W ) ≤ dim (V )
Marco Robutti
Capitolo 5
’in pratica
Definizione (Biettività e isomorfismo)
Un’applicazione lineare L : V −→ W è biettiva se è iniettiva e
suriettiva.
Un’applicazione lineare L : V −→ W è detta essere un
isomorfismo se è biettiva.
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Matrici equivalenti)
Siano A, B ∈ MR (k, n); la matrice B è detta equivalente ad A se
esistono una matrice M ∈ GL (k, R) ed una matrice
N ∈ GL (n, R) tali che:
B = M −1 AN
Condizione necessaria e sufficiente (C.N.S) affinché due matrici
siano equivalenti è che:
rg (A) = rg (B)
C.N.S
“Due matrici sono equivalenti se e solo se rappresentano la
stessa applicazione lineare in basi diverse.”
Marco Robutti
Capitolo 5
Definizione (Matrici simili)
Siano A, B ∈ MR (n); le due matrici sono dette essere simili se
esiste una matrice N ∈ GL (n, R) tale che:
B = N −1 AN
Le proprietà invarianti per similitudine che sono però solo
condizioni necessarie ma non sufficienti (C.N.N.S) sono:
1) rg (A) = rg (B);
2) |A| = |B|;
3) tr (A) = tr (B);
Marco Robutti
Capitolo 5