Potenze e radici di numeri complessi

Home Page
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Slides 1 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Potenze e radici di numeri
complessi
Pietro Pantano
Dipartimento di Matematica
Università della Calabria
Indice slides
Home Page
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
1 Formula di De Moivre
3
2 Formula di De Moivre/2
4
3 Radici di numeri complessi
5
4 Radici di numeri complessi/2
6
5 Esempio 1
7
6 Esempio 1/2
8
7 Esempio 2
9
Slides 2 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
8 Esempio 2/2
10
1.
Home Page
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Formula di De Moivre
Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica è dato da
[ρ(cosθ + isinθ)] · [ρ0 (cosθ0 + isinθ0 )] =
= ρρ0 [(cosθ cosθ0 −sinθ sinθ0 )+i(sinθ cosθ0 +sinθ0 cosθ)] =
= ρρ0 [cos(θ + θ0 ) + isin(θ + θ0 )].
In particolare si ha
Slides 3 di 11
[ρ(cosθ + isinθ)]2 = ρ2 (cos2 θ + isin 2θ)
Slide precedente
e più in generale
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
[ρ(cosθ + isinθ)]n = ρn (cosn θ + isin nθ),
che e’ la cosiddetta formula di De Moivre.
2.
Home Page
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Slides 4 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Formula di De Moivre/2
Il quoziente di due numeri complessi ha per
• modulo il rapporto dei moduli
• argomento la differenza degli argomenti
Per le potenze negative si ha
[ρ(cosθ + isinθ)]−n =
= ρ−n (cos(−n θ) + isin(−nθ)).
3.
Home Page
Titolo della pagina
Radici di numeri complessi
Dato z = ρ(cosφ + i sinφ), si dice radice nma di z un
numero complesso,
r(cosθ + i sinθ)
Indice slides
JJ
II
J
I
Slides 5 di 11
la cui potenza nma è uguale a z, vale a dire
rn (cos(n θ) + i sin(n θ)) = ρ(cosφ + i sinφ),
da cui
1
r = (ρ) n
Slide precedente
θ=
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
dove k = 0, ±1, ±2, . . . .
nθ = φ + 2kπ
φ
k
+2 π
n
n
4.
Home Page
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Slides 6 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Radici di numeri complessi/2
Per
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
si hanno radici distinte, infatti due radici coincidono se i
loro argomenti differiscono di un numero intero di angoli
giro
φ
k1
φ
k2
+ 2 π − − 2 π = 2 h π,
n
n
n
n
vale a dire se
k1 − k2 = n h.
5.
Home Page
Esempio 1
Trovare le radici di
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Slides 7 di 11
x7 − i = 0,
Si ha
ρ7 = 1,
Inoltre
7θ =
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
π
π
+ isin ),
2
2
da cui
ρ = 1.
x7 = i = 1 · (cos
π
+ 2kπ
2
e quindi
θ=
2
π
+ k π.
14 7
6.
Esempio 1/2
Home Page
Gli angoli delle radici indipendenti, che si ottengono per
Titolo della pagina
k = 0, . . . , 6
Indice slides
JJ
II
J
I
sono
θ1 =
5
25
π
, θ2 = π, . . . , θ7 = π.
14
14
14
Slides 8 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
1
Figure 1: i 7
7.
Home Page
Esempio 2
Risolvere l’equazione
x5 + 1 = 0.
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Slides 9 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
Si ha
x5 = 1(cosπ + isinπ).
Inoltre
5θ = π + 2kπ
e quindi
θ=
π 2
+ k π.
5 5
8.
Home Page
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Esempio 2/2
Gli angoli delle radici indipendenti, che si ottengono per
k = 0, . . . , 4, sono
θ1 =
π
3π
9π
, θ2 =
, . . . , θ5 =
.
5
5
5
Slides 10 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci
1
Figure 2: (−1) 5
Home Page
Titolo della pagina
Indice slides
JJ
II
J
I
Slides 11 di 11
Slide precedente
Pieno Schermo
Chiudi
Esci