Introduzione ai numeri complessi

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Introduzione ai numeri
complessi
Pietro Pantano
Dipartimento di Matematica
Università della Calabria
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1 Cenni sui numeri complessi/1
5
2 Cenni sui numeri complessi/2
6
3 Cenni sui numeri complessi/3
7
4 Somma e differenza di due numeri complessi
8
5 Prodotto di due numeri complessi
9
6 Quoziente tra due numeri complessi
10
7 Modulo di un numero complesso
11
8 Complesso coniugato
12
9 Le operazioni
13
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10 Le operazioni/2
14
11 Rappresentazione geometrica
15
12 Coordinate polari
16
13 Rappresentazione trigonometrica
17
14 Forma trigonometrica dei numeri complessi 18
15 Forma trigonometrica/2
19
16 Forma esponenziale
20
17 Proprietà
21
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18 Esempio 1
22
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19 Esempio 2
23
20 Esempio 3
24
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21 Esempio 4
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1.
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Cenni sui numeri complessi/1
L’equazione
x2 + 1 = 0,
non possiede soluzioni nel campo dei numeri reali.
Per risolvere questa equazione ed equazioni di questo
tipo vengono introdotti i numeri complessi.
2.
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Cenni sui numeri complessi/2
Si definisce unità immaginaria i quel nuovo numero
tale che
i2 = −1
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Mediante questo numero si definiscono i numeri complessi come quei numeri dati da
a + i b, dove a, b ∈ R
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a viene detta parte reale del numero complesso;
b viene detto coefficiente della parte immaginaria
del numero complesso considerato.
3.
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Cenni sui numeri complessi/3
Due numeri complessi si dicono uguali se hanno uguale
parte reale e uguale parte immaginaria.
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Nell’operare con i numeri complessi, si suppone che
valgono le regole del calcolo letterale.
4.
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Somma e differenza di due numeri
complessi
Dati i numeri complessi
a1 + i b 1
e a2 + i b 2
la loro somma è data da
(a1 + i b1 ) + (a2 + i b2 ) = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 )
La differenza è data dalla somma del sottraendo
con l’opposto del minuendo.
5.
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Prodotto di due numeri complessi
Il prodotto tra i numeri complessi
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a1 + i b 1
e a2 + i b 2
è dato da
(a1 + i b1 ) · (a2 + i b2 ) =
= (a1 a2 − b1 b2 ) + i (a1 b2 + a2 b1 )
6.
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Quoziente tra due numeri complessi
Il quoziente tra i numeri complessi
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a1 + i b 1
supposto
a22 + b22 6= 0
è dato da
(a1 + i b1 )
(a1 + i b1 )(a2 − i b2 )
=
=
(a2 + i b2 )
(a2 + i b2 )(a2 − i b2 )
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=
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e a2 + i b 2
(a1 a2 + b1 b2 )
(b1 a2 − a1 b2 )
+i
.
2
2
(a2 + b2 )
(a22 + b22 )
7.
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Modulo di un numero complesso
Dato il numero complesso
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z = a + ib
ne definiamo il
come
modulo
√
ρ = a2 + b 2
8.
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Complesso coniugato
Dato il numero complesso
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z = a + ib
definiamo il suo
complesso coniugato
come
z̄ = a − i b
9.
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Le operazioni
I numeri complessi sono coppie ordinate di numeri reali (a, b) e su di essi si possono definire le operazioni
di somma, sottrazione, prodotto e quoziente come quelle
operazioni che a due numeri complessi associano un terzo
numero complesso costituito da una coppia di numeri reali il cui primo elemento è dato dalla parte reale ed il secondo elemento dalla parte immaginaria delle espressioni
della somma, sottrazione, prodotto e quoziente.
10.
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Le operazioni/2
Somma
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(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ),
Prodotto
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ),
Quoziente
a1 a2 + b 1 b 2 b 1 a2 − a1 b 2
(a1 , b1 )
=(
,
)
(a2 , b2 )
a22 + b22
a22 + b22
11.
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Rappresentazione geometrica
Essendo una coppia ordinata di numeri reali un numero
complesso si può rappresentare geometricamente con un
punto del piano R2
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Figure 1: Rappresentazione di un numero complesso nel piano
cartesiano
12.
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Introduciamo le coordinate polari
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Coordinate polari
ρ e θ
dove:
• ρ è la distanza del punto rappresentativo P dall’origine
del sistema di coordinate (vale a dire il modulo del
numero complesso)
~ forma con l’asse x,
• θ è l’angolo che il segmento OP
misurato positivamente in senso antiorario.
13.
Rappresentazione trigonometrica
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Figure 2: Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso
14.
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Forma trigonometrica dei numeri complessi
Essendo
a = ρ cosθ,
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b = ρ sinθ,
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un numero complesso si può rappresentare nella forma
trigonometrica
a + ib = ρ( cosθ + i sinθ),
θ si chiama argomento del numero complesso ed è individuato a meno di un multilpo intero di 2π.
Se si sceglie −π < θ ≤ π l’argomento viene detto principale.
15.
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Forma trigonometrica/2
I numeri reali positivi sono, come tutti i numeri reali,
un sottoinsieme dell’insieme dei numeri complessi. Essi
hanno come argomento principale θ = 0.
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I numeri reali negativi hanno θ = π.
I numeri immaginari puri (i numeri la cui parte reale è
nulla) con coefficiente della parte immaginaria positivo
hanno θ = π2
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I numeri immaginari puri con coefficiente della parte immaginaria negativo hanno θ = − π2 .
16.
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Forma esponenziale
Nell’ambito della teoria delle funzioni complesse si vede
che, dato z ∈ C, z = x + i y,
ez = ex (cosy + i siny),
vale a dire che ez è un numero complesso la cui parte
reale è
ex cosy
e la parte immaginaria è
ex siny
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Quindi se si ha un numero complesso in forma trigonometrica e lo si vuole scrivere in forma esponenziale, la x
sarà data dal log ρ.
17.
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Proprietà
Per gli esponenziali complessi vale la stessa proprietà
degli esponenti reali
0
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0
ez+z = ez ez .
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Si ha quindi
ei y = cosy + i siny,
da cui si ricava che
ei y + e−i y
cosy + isiny + cosy − isiny
=
= cosy,
2
2
ei y − e−i y
cosy + isiny − cosy + isiny
=
= siny.
2i
2i
18.
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Esempio 1
√
Determinare il modulo e l’argomento di 1 + i 3 e scrivere questo numero in forma trigonometrica.
Si ha
√
ρ = 1 + 3 = 2,
√
b √
tgθ = arctg( 3) = = 3,
a
ed essendo a > 0, b > 0 il punto rappresentativo si trova
nel primo quadrante e quindi
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θ=
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z = 2(cos
π
3
π
π
+ isin )
3
3
19.
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Esempio 2
√
Determinare il modulo e l’argomento di −1 + i 3 e scrivere questo numero in forma trigonometrica.
Si ha
√
ρ = 1 + 3 = 2,
√
b
tgθ = = − 3,
a
ed essendo a < 0, b > 0 il punto rappresentativo si trova
nel secondo quadrante e quindi
√
π
2
θ = arctg(− 3) + π = − + π = π
3
3
2
2
z = 2[cos( π) + isin( π)]
3
3
20.
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Esempio 3
√
Determinare il modulo e l’argomento di −1 − i 3 e scrivere questo numero in forma trigonometrica.
Si ha
√
ρ = 1 + 3 = 2,
b √
tgθ = = 3,
a
ed essendo a < 0, b < 0 il punto rappresentativo si trova
nel terzo quadrante e quindi
√
π
2
θ = arctg( 3) − π = − π = − π,
3
3
2
2
z = 2[cos( π) − isin( π)]
3
3
21.
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Esempio 4
√
Determinare il modulo e l’argomento di 1 − i 3 e scrivere questo numero in forma trigonometrica.
Si ha
√
ρ = 1 + 3 = 2,
√
b
tgθ = = − 3,
a
ed essendo a > 0, b < 0 il punto rappresentativo si trova
nel quarto quadrante e quindi
√
π
θ = arctg(− 3) = − ,
3
π
π
z = 2(cos − isin )
3
3