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ANALISI SPETTRALE NUMERICA
(Aspetti di misura)
ARGOMENTI
• Problemi di misura con la FFT
– Aliasing
– Spectral leakage (dispersione spettrale)
• Funzioni finestra
– Uso e importanza
– Caratteristiche
– Ricadute positive sulle misure
PROBLEMI DI MISURA
CON LA FFT
(Aliasing)
Aliasing: dominio del tempo
fin > fc / 2,
(fc / 2 limite di Nyquist)
ampiezza [V]
fin = frequenza del segnale = (19 / 20)· fc
fc = frequenza di campionamento
tempo [s]
Non è soddisfatto il teorema del campionamento !
Ampiezza
Aliasing: dominio della frequenza
Sezione ridondante
Frequenza alias
(bin 1)
bin 10
fc / 2
Frequenze alias
osservate, falias
Posizione nominale
(bin 19)
fc
Frequenza
falias =│fin – m· fc │< fc / 2
con m intero positivo
Per evitare le frequenze alias occorre utilizzare un
filtro antialiasing prima del campionamento.
PROBLEMI DI MISURA
CON LA FFT
(Spectral leakage)
Spectral Leakage
Segnale originario
Acquisizione
nel time record
Ipotesi FFT
Ampiezza [dB]
Time record contenente un
numero intero di periodi
Frequenza [Hz]
Campionamento coerente
Spectral Leakage
Segnale originario
Acquisizione
nel time record
Ipotesi FFT
Ampiezza [dB]
Time record contenente un
numero non intero di periodi
Frequenza [Hz]
Campionamento
non coerente
Spectral Leakage
Time record contenente un
numero intero di periodi
Time record contenente un
numero non intero di periodi
Tempo
Frequenza
Spectral Leakage: perché?
 La FFT campiona lo spettro del segnale numerico di
durata illimitata che coincide, nel time record, con il
segnale acquisito e assume valore “0” altrove.
Segnale numerico di durata illimitata
Segnale originario campionato
a)
b)
TR
Impulso (finestra) rettangolare
Spectral Leakage: perché?
Dominio del tempo
Dominio della frequenza
Segnale originario campionato
Ampiezza
Singola riga
0
TR
1
Convoluzione
│S (k)│
Prodotto
Frequenza
normalizzata
Impulso (finestra) rettangolare
0
0.02
0.04
Frequenza
normalizzata
Spectral Leakage: perché?
b) Time record contenente un
numero non intero di periodi
│S (k)│
│S (k)│
a) Time record contenente un
numero intero di periodi
Frequenza normalizzata
Frequenza normalizzata
La FFT fornisce lo spettro atteso
La potenza del tono si
disperde su altri bin
Spectral Leakage: errori di misura
Bin di riferimento
│S (k)│
Errore di ampiezza
Frequenza normalizzata
Errore di frequenza
FUNZIONI FINESTRA
(Uso e importanza)
Finestratura (Windowing)
Segnale originario
senza finestra
Ampiezza [dB]
Ipotesi FFT
senza finestra
Finestra
Frequenza [Hz]
Ipotesi FFT
con finestra
con finestra
Finestratura (Windowing)
Senza uso della finestra
Con uso della finestra
Segnali auto-finestranti
 Non è opportuno usare la finestratura per segnali la cui
evoluzione temporale è completamente contenuta nel
time record.
Segnale impulsivo
Oscillazione smorzata
Burst sinusoidale
Rumore
FUNZIONI FINESTRA
(Caratteristiche)
Principali funzioni finestra
(dominio del tempo)
HANNING
w(n)  0.5  0.5 cos(
2  n
) n  0,..., N  1
N
BLACKMAN
w(n)  0.42  0.5 cos(
2  n
4  n
)  0.08 cos(
) n  0,..., N  1
N
N
FLAT-TOP
w(n)  0.2395  0.4481 cos(
2  n
4  n
6  n
)  0.2585  cos(
)  0.0439  cos(
) n  0,..., N  1
N
N
N
Principali funzioni finestre
(dominio della frequenza)
Principali parametri
(dominio della frequenza)
Velocità decadimento
lobi laterali (roll-off)
Ampiezza [dB]
- 3 dB
- 6 dB
Banda
Larghezza lobo
principale
Ampiezza lobo
secondario
Frequenza
Principali parametri
(dominio della frequenza)
Finestra
Banda -3 dB
(D f )
Larghezza lobo Ampiezza lobo
prin. -6 dB (D f ) second. (dB)
roll - off
(dB/decade)
Uniforme
0.88
1.21
- 13
20
Hanning
1.44
2.00
- 32
60
Hamming
1.30
1.81
- 43
20
BlackmanHarris
1.62
2.27
- 71
20
Blackman
1.68
2.35
- 58
60
Flat Top
2.94
3.56
-44
20
Scelta della finestra in relazione
alla tipologia di segnale
Segnale da analizzare
Finestra ottimale
Segnale sinusoidale
Combinazione di segnali sinusoidali
Hanning
Segnale sinusoidale
(misurazione di ampiezza)
Flat-Top
Segnale a banda stretta
(vibrazioni)
Hanning
Rumore a banda larga
(rumore bianco)
Uniforme
Componenti spettrali ravvicinate
Uniforme, Hanning
Incognito
Hanning
FUNZIONI FINESTRA
(Ricadute positive sulle misure)
Finestratura: errori di misura
(campionamento coerente)
Ampiezza [dB]
Bin di riferimento
Frequenza [Hz]
 Si ottengono i valori attesi di ampiezza e frequenza
qualunque sia la finestra usata.
Finestratura: errori di misura
(campionamento non coerente)
Ampiezza [dB]
Bin di riferimento
Frequenza [Hz]
 L’errore di ampiezza viene mitigato con finestre dal lobo
principale più ampio.
 L’errore in frequenza rimane invariato.
Ampiezza [dB]
Spectral Leakage: errori di misura
Frequenza
 Un uso appropriato delle funzioni finestre consente anche
di risolvere toni vicini con ampiezze differenti.