Elementi di Meccanica

Manuali
Didattica e Ricerca
Enrico Ciulli
Elementi di Meccanica
Ciulli, Enrico
Elementi di meccanica / Enrico Ciulli. - Pisa : Pisa university press, 2013. (Didattica e ricerca. Manuali)
621.811 (22.)
1. Meccanica applicata alle macchine
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ISBN 978-88-6741-158-0
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INDICE
Prefazione .................................................................................................................. 7
Cap. 1 MACCHINE E MECCANISMI.................................................................... 9
1.1 Introduzione ....................................................................................................... 9
1.2 Generalità sulle macchine .............................................................................. 10
1.3 Collegamenti fra elementi di un meccanismo ............................................... 11
1.4 Gradi di libertà di meccanismi nel piano e nello spazio ............................... 17
1.5 Rendimento di una macchina ......................................................................... 20
1.5.1 Moto retrogrado...................................................................................... 24
1.5.2 Rendimento di macchine in serie ed in parallelo ................................. 25
Cap. 2 CINEMATICA.............................................................................................. 27
2.1 Generalità sul moto piano di un corpo rigido ................................................ 27
2.2 Velocità ............................................................................................................. 28
2.3 Accelerazione.................................................................................................... 33
2.4 Traiettorie ........................................................................................................ 36
2.5 Il manovellismo di spinta................................................................................ 43
2.6 Il quadrilatero articolato................................................................................. 49
Cap. 3 MECCANICA DEI CONTATTI ................................................................ 57
3.1 Generalità sull’attrito...................................................................................... 57
3.2 Attrito statico................................................................................................... 60
3.3 Attrito di strisciamento ................................................................................... 62
3.4 Attrito di rotolamento ..................................................................................... 64
3.5 Applicazioni delle relazioni d’attrito .............................................................. 69
3.5.1 Coppia prismatica .................................................................................. 69
3.5.2 Coppia rotoidale ..................................................................................... 75
3.5.3 Coppia elicoidale .................................................................................... 77
4
Indice
3.5.4 Manovellismo di spinta con attrito ....................................................... 79
3.5.5 Cuscinetti volventi e ruote di un veicolo in movimento ...................... 80
3.5.6 Problemi di ribaltamento e di impuntamento...................................... 85
3.6 Usura ................................................................................................................ 91
3.7 Determinazione della pressione di contatto fra solidi in moto relativo ....... 94
3.7.1 Coppia rotoidale di spinta ..................................................................... 94
3.7.2 Coppia rotoidale portante...................................................................... 96
Cap. 4 CONTATTI LUBRIFICATI....................................................................... 99
4.1 Generalità su lubrificazione e lubrificanti..................................................... 99
4.2 Teoria elementare della lubrificazione......................................................... 104
4.2.1 Equazioni di equilibrio......................................................................... 104
4.2.2 Equazione di continuità....................................................................... 108
4.2.3 Equazione di Reynolds......................................................................... 109
4.2.4 Esempi di soluzione dell’equazione di Reynolds nel caso piano........ 112
4.3 Verifica di una corretta lubrificazione ......................................................... 121
4.4 Cuscinetti lubrificati...................................................................................... 125
4.4.1 Cuscinetti idrodinamici ....................................................................... 126
4.4.2 Cuscinetti idrostatici............................................................................ 138
4.5 Elementi essenziali di ulteriori aspetti della lubrificazione....................... 141
4.5.1 Lubrificazione elastoidrodinamica...................................................... 141
4.5.2 Lubrificazione a bassissimo attrito..................................................... 143
4.5.3 Lubrificazione a grasso e con lubrificanti solidi................................. 144
4.6 Criteri di scelta del tipo di cuscinetto .......................................................... 144
Cap. 5 TRASMISSIONI MECCANICHE........................................................... 147
5.1 Generalità sulle ruote dentate...................................................................... 147
5.2 Ruote dentate cilindriche a denti diritti ...................................................... 149
5.2.1 Generazione del profilo ad evolvente .................................................. 150
5.2.2 Definizioni e proporzionamento .......................................................... 153
5.2.3 Contatto fra denti, interferenza e correzione..................................... 158
5.2.4 Rendimento........................................................................................... 164
5.3 Altri tipi di ruote dentate.............................................................................. 168
5.3.1 Ruote cilindriche a denti elicoidali...................................................... 168
5.3.2 Ruote coniche........................................................................................ 172
Indice
5
5.4 Rotismi ........................................................................................................... 175
5.4.1 Rotismi ordinari ................................................................................... 175
5.4.2 Rotismi epicicloidali ............................................................................. 178
5.5 Camme............................................................................................................ 184
5.6 Giunti.............................................................................................................. 188
5.7 Organi flessibili.............................................................................................. 192
5.7.1 Trasmissione del moto con organi flessibili........................................ 193
5.7.2 Freni a nastro ....................................................................................... 199
5.7.3 Macchine per il sollevamento .............................................................. 201
Cap. 6 DINAMICA DELLE MACCHINE .......................................................... 205
6.1 Azioni inerziali su un corpo rigido................................................................ 205
6.2 Energia cinetica di un corpo rigido............................................................... 211
6.3 Equazioni fondamentali della dinamica delle macchine ............................ 213
6.4 Equivalenza dinamica ................................................................................... 217
6.5 Equilibrio dinamico del manovellismo di spinta ......................................... 220
6.5.1 Soluzione grafica mediante equazioni di d’Alembert ........................ 221
6.5.2 Equilibratura delle forze d’inerzia ...................................................... 224
6.5.3 Soluzione analitica mediante equazioni di d’Alembert ..................... 227
6.5.4 Soluzione mediante equazione di bilancio energetico........................ 228
6.5.5 Soluzione mediante riduzione del sistema ......................................... 229
6.6 Energia cinetica di una macchina alternativa ............................................ 230
6.7 Impianti funzionanti in regime periodico .................................................... 231
Cap. 7 DINAMICA DEI SISTEMI VIBRANTI ................................................. 235
7.1 Generalità sui sistemi con elementi deformabili......................................... 235
7.2 Vibrazioni libere di sistemi ad un grado di libertà ..................................... 238
7.2.1 Oscillazioni con smorzamento superiore a quello critico................... 240
7.2.2 Oscillazioni con smorzamento inferiore a quello critico .................... 242
7.2.3 Oscillazioni con smorzamento critico.................................................. 244
7.2.4 Oscillazioni torsionali .......................................................................... 244
7.3 Vibrazioni forzate di sistemi ad un grado di libertà ................................... 246
7.4 Isolamento delle vibrazioni ........................................................................... 251
7.4.1 Limitazione della forza trasmessa ad una struttura......................... 253
6
Indice
7.4.2 Limitazione delle vibrazioni causate da oscillazioni della base........ 255
7.4.3 Proporzionamento della sospensione di un compressore
alternativo monocilindrico ................................................................... 259
7.5 Sistemi a più gradi di libertà ........................................................................ 262
7.6 Introduzione alla diagnostica industriale .................................................... 265
BIBLIOGRAFIA..................................................................................................... 267
VOCABOLARIO ESSENZIALE.......................................................................... 269
INDICE ANALITICO ............................................................................................ 271
Prefazione
Questo libro è in particolar modo indirizzato agli studenti del corso di laurea in
Ingegneria Gestionale che si trovano a dover approfondire o affrontare per la
prima volta le tematiche della Meccanica in un unico corso da sei crediti, ma può
essere utilizzato anche da studenti di altri corsi di laurea.
Il testo è stato scritto con l’intenzione di fornire elementi di base ma anche di
fare una panoramica sufficientemente ampia di vari argomenti di carattere
meccanico che il futuro laureato potrebbe dover affrontare. Questo testo si
propone pertanto l’obiettivo di essere adeguato ad un corso da mezza annualità,
ma al tempo stesso di trattare i vari argomenti in maniera sufficientemente
esauriente. Conoscenze degli elementi fondamentali dei corsi di Matematica e
Fisica costituiscono una base necessaria per una proficua comprensione del testo.
Particolare importanza è data alla comprensione del fenomeno fisico; vengono
tuttavia fornite anche formule ed equazioni fondamentali, messe in evidenza nel
testo tramite riquadratura; una sottolineatura contraddistingue altre espressioni
importanti. Gli argomenti più complessi sono chiariti anche mediante alcuni
esercizi significativi. Esercizi e note sono contrassegnati nel testo da un carattere
leggermente più piccolo.
Per risolvere problemi complessi è necessario fare delle schematizzazioni e
semplificazioni. Le numerose schematizzazioni comunemente compiute in
meccanica forniscono risultati utili, ma in alcuni casi è necessario passare ad un
livello di dettaglio superiore. Alcuni esempi dovrebbero mettere lo studente in
grado di capire come schematizzare il caso pratico che si trova ad affrontare.
Data l’importanza della lingua inglese per un ingegnere, alcuni termini di uso
comune in meccanica sono riportati per comodità dello studente.
Benché siano stati presi spunti da numerosi testi di Meccanica e da manuali
riguardanti argomenti specifici, sono volutamente riportati soltanto alcuni
riferimenti bibliografici, relativi a testi facilmente reperibili nella biblioteca della
Facoltà di Ingegneria, per eventuali approfondimenti di singoli argomenti.
L’autore desidera ringraziare coloro che hanno letto le bozze dei vari capitoli,
fornendo utili indicazioni, e i docenti e gli studenti che hanno segnalato errori nel
testo uscito presso la SEU nel Maggio 2002, successivamente rivisto e corretto
nelle edizioni Plus 2003 e 2008. In questa edizione, ulteriormente rivista, è stato
aggiunto l’indice analitico. L’autore sarà grato a tutti coloro che vorranno
segnalargli omissioni, errori e inesattezze di ogni genere.
Enrico Ciulli
CAPITOLO 1
MACCHINE E MECCANISMI
In questo capitolo sono descritti brevemente gli argomenti trattati nel testo e
sono introdotti alcuni concetti fondamentali legati a macchine e meccanismi.
Le possibilità di movimento di un meccanismo, dipendenti da come i vari
elementi che lo costituiscono sono fra loro collegati, portano a parlare di coppie
cinematiche e di gradi di libertà. Altro aspetto importante nel funzionamento di
una macchina è quello delle perdite energetiche che sono legate al concetto di
rendimento.
1.1 INTRODUZIONE
In questo testo sono riportati elementi essenziali per comprendere importanti
aspetti del funzionamento delle macchine, cercando di fornire i fondamenti della
meccanica sia dal punto di vista teorico sia da quello applicativo. Di seguito sono
sommariamente decritti gli argomenti trattati, in modo da avere una visione
globale del contenuto del libro.
Nel funzionamento di ogni macchina (machine) sono importanti i movimenti
dei vari elementi che la compongono e le forze che essi scambiano fra loro e con
l’esterno. È quindi opportuno descrivere in primo luogo le più comuni possibilità
di accoppiamento fra gli elementi. I concetti di movimento e forza sono poi
collegati a quello di lavoro e potenza, e quindi a quello di rendimento.
Durante il moto di un meccanismo (mechanism) i vari punti degli elementi
che lo compongono percorrono determinate traiettorie con determinate velocità
ed accelerazioni. Spesso è importante avere informazioni su queste grandezze in
relazione al moto di certi punti. La parte della meccanica (mechanics) che
studia il movimento indipendentemente dalle cause che lo generano è la
cinematica (kinematics). Alcuni concetti basilari di cinematica, riguardanti
traiettorie, velocità ed accelerazioni sono introdotti nel secondo capitolo in cui
sono anche mostrate applicazioni a meccanismi di comune impiego.
Negli accoppiamenti fra gli elementi di una macchina c’è attrito e in certe
condizioni possono anche presentarsi fenomeni di usura delle parti; i problemi di
attrito ed usura sono argomenti propri della meccanica dei contatti (contact
10
1. Macchine e meccanismi
mechanics)trattata nel terzo capitolo. Le perdite energetiche legate all’attrito
possono essere ridotte sostituendo gli accoppiamenti di strisciamento con quelli di
rotolamento. Anche la presenza di un lubrificante interposto fra i solidi a contatto
porta ad una riduzione dell’attrito; i principi base della lubrificazione
(lubrication) sono quindi riportati nel quarto capitolo.
Molto importante è sapere come sia possibile trasmettere il moto da un
elemento all’altro di una stessa macchina o fra due elementi di macchine diverse.
Esempi comuni di trasmissioni sono quelle con ruote dentate, camme, giunti e
organi flessibili descritti nel quinto capitolo.
Movimenti e forze sono strettamente connessi. La parte della meccanica che
studia il moto in relazione alle cause che lo hanno prodotto è la dinamica
(dynamics). In molte macchine si può prescindere dalla deformabilità degli
elementi che le compongono rispetto ai movimenti che sono in gioco, e quindi ci si
può ridurre allo studio del moto di corpi rigidi, come mostrato nel sesto capitolo.
In altri casi invece ci sono parti della macchina che sono estremamente più
deformabili di altre (ad esempio le molle) e si possono innescare fenomeni
vibratori. Le vibrazioni di sistemi, in particolare ad un grado di libertà,
costituiscono l’argomento del settimo ed ultimo capitolo.
1.2 GENERALITÀ SULLE MACCHINE
Col termine macchina si può definire un qualsiasi sistema in grado di
trasformare dell’energia. In genere sono presenti dell’energia entrante e
dell’energia uscente che possono essere di diverso tipo (meccanica, termica,
chimica, ecc.). Sono di interesse per la meccanica quelle macchine in cui almeno
una di queste energie è di tipo meccanico.
Una classica suddivisione è quella fra macchine motrici, in cui l’energia
uscente è di tipo meccanico (motore elettrico, turbina, motore a combustione
interna), e macchine operatrici, in cui è l’energia entrante ad essere di tipo
meccanico (pompa, compressore). Molto comuni sono anche quelle macchine in
cui sia l’energia entrante sia quella uscente sono di tipo meccanico (riduttore,
argano). Alcuni esempi di macchine sono mostrati in Fig.1.1.
Le macchine di interesse per la meccanica sono in grado di assorbire e/o di
produrre un certo lavoro (in relazione ad un certo intervallo di tempo). Il concetto
di lavoro è associato a quelli di spostamento e di forza (o di momento, in relazione
a spostamenti angolari). Una macchina sarà quindi composta da organi (anche
detti elementi o membri) collegati in modo da permettere dei movimenti relativi e
da trasmettersi delle forze e/o dei momenti.
Il modo con cui possono essere accoppiati fra loro vari organi di un
meccanismo, lasciando ben definite possibilità di movimento, è descritto nel
paragrafo seguente. Si noti che si parla più spesso di meccanismo, piuttosto che
di macchina, quando si considera l’aspetto cinematico, ovvero del movimento
indipendentemente dalle cause che lo producono.
1.2 Generalità sulle macchine
11
a
b
c
d
Figura 1.1 - Esempi di macchine. Motore elettrico (a), turbina (b), compressore (c),
riduttore (d).
Nei vari accoppiamenti fra elementi di macchina può essere presente attrito, e
questo causa una perdita di energia. Di particolare importanza è in questo
ambito il concetto di rendimento di una macchina che verrà trattato nell’ultimo
paragrafo di questo capitolo.
1.3 COLLEGAMENTI FRA ELEMENTI DI UN MECCANISMO
Due membri di un meccanismo collegati fra loro possono essere a contatto su
porzioni di superfici più o meno ampie, al limite riconducibili teoricamente ad un
punto o a un segmento, come ad esempio nel caso rispettivamente di una sfera e
di un cilindro a contatto con un piano, Fig.1.2. Come sarà mostrato in seguito,
sotto l’azione delle forze che si scambiano i due elementi, il contatto avviene in
realtà su delle superfici, dal contorno rispettivamente circolare e rettangolare per
i due casi di Fig.1.2a e Fig.1.2b, le cui dimensioni in molti casi pratici possono
comunque essere trascurate rispetto a quelle dei due elementi. Del resto, anche
quando invece si consideri il contatto fra una sfera ed una sede sferica e quello
fra un cilindro ed una sede cilindrica, il contatto non avviene in realtà su tutta la
superficie sferica o cilindrica, come indicato in Fig.1.2c e Fig.1.2d, ma su una porzione di essa. Infatti, in assenza di un pur minimo gioco, costruttivamente necessario fra i due elementi a contatto per permettere un moto relativo, questi sarebbero bloccati l’uno rispetto all’altro e costituirebbero in pratica un unico membro.
1. Macchine e meccanismi
12
a
b
c
d
Figura 1.2 - Esempi di accoppiamenti fra elementi e relative zone di contatto. Sfera su
piano (a), cilindro su piano (b), sfera entro sede sferica (c), cilindro entro sede cilindrica
(d).
In molti casi pratici due elementi vengono a contatto in zone abbastanza
limitate rispetto alle dimensioni dei membri stessi e la schematizzazione che ne
viene fatta è più che sufficiente per lo studio del meccanismo. L’insieme delle
parti dei membri nella zona del contatto reciproco prende comunemente il nome
di coppia cinematica. Ciò che contraddistingue i diversi tipi di coppie
cinematiche è la possibilità di moto relativo fra i due elementi.
Come noto, un corpo rigido non vincolato ha nel piano tre gradi di libertà e sei
gradi di libertà nello spazio. Ciò significa che occorre fissare tre coordinate per
determinarne la posizione rispetto al piano considerato fisso, e sei rispetto allo
spazio. Ad esempio nel piano è sufficiente individuare la posizione di un punto P
fornendo le sue coordinate (xp, yp) e l’angolo di rotazione θ del corpo, Fig.1.3a,
mentre nello spazio possono essere usate tre coordinate per individuare un punto
(xp, yp, zp) e tre angoli (θx, θy, θz). In Fig.1.3a il corpo è stato schematizzato
semplicemente con un rettangolo nel piano ed è stato preso come punto di
riferimento il punto P su uno spigolo. A volte viene usata una rappresentazione
ulteriormente semplificata indicando il corpo come un segmento; ciò non
costituisce una limitazione in quanto l’elemento rappresentato è comunque
solidale al corpo rigido di cui fa parte. Infatti, per individuare la posizione del
corpo di Fig.1.3b, costituito da una generica porzione del piano, una volta
individuata la posizione del punto P, è sufficiente conoscere l’angolo di cui è
ruotato rispetto ad un riferimento (ad esempio la retta orizzontale in figura) il
segmento PS che congiunge P ad un altro generico punto S del corpo.
1.3 Collegamenti fra elementi di un meccanismo
13
a
Figura 1.3 - Determinazione della posizione di un corpo rigido
Schematizzazione con un rettangolo (a) e rappresentazione generica (b).
b
nel
piano.
Una coppia cinematica può quindi vincolare al più due gradi di libertà nel
piano e cinque nello spazio, altrimenti si avrebbe un collegamento rigido. I
movimenti possibili vanno valutati rispetto ad un piano o ad uno spazio fisso se
l’accoppiamento è fra un elemento ed il cosiddetto telaio; altrimenti, se ad essere
accoppiati sono due membri entrambi capaci di muoversi, bisogna considerare il
moto di uno rispetto all’altro (cioè considerando in pratica un sistema di
riferimento solidale con uno dei due).
Come già accennato, ciò che contraddistingue un tipo di coppia da un’altra è la
possibilità di movimenti relativi permessi piuttosto che la forma delle superfici a
contatto. Una coppia che lascia due gradi di libertà è la coppia costituita da un
cilindro entro cavità cilindrica di Fig.1.2d; sono infatti possibili la rotazione
attorno all’asse e lo spostamento nella direzione dell’asse. Ma consentono ad
esempio la stessa capacità di moti relativi, e costituiscono quindi in pratica la
stessa coppia cinematica, i due dispositivi di Fig.1.4, in cui un cilindro è vincolato
da quattro contatti localizzati (schematizzati con altrettante frecce) non tutti
allineati, oppure da un supporto con scanalatura a V.
Figura 1.4 - Esempi di coppie equivalenti alla coppia cilindro entro sede cilindrica.
14
1. Macchine e meccanismi
Si noti che in meccanica, quando non diversamente specificato, i contatti sono
da intendersi bilaterali, ovvero tali da impedire un distacco dei due elementi,
anche se dalla schematizzazione ciò a volte non è evidente.
Esistono diversi tipi di coppie cinematiche e possono essere classificati secondo
vari punti di vista. Ad esempio si può fare una suddivisione fra coppie rigide (in
cui entrambi i membri sono rigidi) e non rigide (nelle quali almeno uno dei due
elementi è flessibile), e fra coppie combacianti (quando la superficie di contatto
fra i due elementi è sufficientemente ampia, come nel caso di Fig.1.2c e Fig.1.2d)
e non combacianti (superficie teoricamente ridotta ad un unico punto o segmento,
Fig.1.2a e Fig.1.2b).
Le coppie rigide e combacianti prendono il nome di coppie elementari (lower
pair). Di larghissimo impiego sono le tre coppie elementari che lasciano un solo
grado di libertà: la coppia rotoidale, la coppia prismatica e la coppia elicoidale. In
Fig.1.5 sono mostrate queste coppie a diverso grado di schematizzazione.
a
b
c
Figura 1.5 - Coppie elementari che lasciano un grado di libertà. Diversi livelli di
schematizzazione per coppia rotoidale (a), coppia prismatica (b), coppia elicoidale (c).
1.3 Collegamenti fra elementi di un meccanismo
15
La coppia rotoidale consente soltanto una rotazione relativa fra i due
elementi, ma può consentire anche un movimento in direzione assiale, nel qual
caso lascerebbe due gradi di libertà (Fig.1.2d), se non opportunamente vincolata
come mostrato in Fig.1.5a. Analogamente la coppia prismatica permette solo
una traslazione (quando ne sia impedita la rotazione, ad esempio con una
linguetta come indicato in Fig.1.5b). La coppia elicoidale consente rotazione e
traslazione, ma i due moti sono legati fra loro (ad ogni giro della vite, o della
madrevite, si ha un avanzamento pari al passo) e quindi il grado di libertà è
unico. Si noti che quando uno dei due elementi funge da telaio, il fatto che sia
fisso viene spesso evidenziato nella schematizzazione più elementare (colonna di
destra in Fig.1.5) tramite dei trattini paralleli. Comunemente la coppia rotoidale
accoppiata al telaio viene anche indicata annerendo due quadranti del cerchietto
che la rappresenta.
Un altro esempio di coppia elementare è la coppia sfera entro sede sferica di
Fig.1.2c, che consente tre gradi di libertà (tre rotazioni).
Nel caso delle due coppie rotoidale e prismatica, fissato uno dei due membri,
tutti i punti dell’altro che stanno su particolari piani si mantengono sempre su di
essi durante il movimento (si pensi ad una sezione fatta con un piano
perpendicolare all’asse di rotazione della coppia rotoidale o ad una con un piano
parallelo alla direzione di traslazione della coppia prismatica). Le coppie di
questo tipo vengono anche chiamate coppie piane.
Molti meccanismi comuni hanno moti paralleli a dei piani, e quindi possono
essere semplicemente schematizzati e studiati come meccanismi piani. È questo
ad esempio il caso del manovellismo di spinta, un meccanismo molto usato (per
esempio nei motori a combustione interna (internal combustion engine), Fig.1.6).
Figura 1.6 - Motore a combustione interna con dettaglio del sistema pistone-biellamanovella e relativa schematizzazione del manovellismo di spinta centrato.
1. Macchine e meccanismi
16
La maggior parte dei meccanismi riportati in questo testo è di tipo piano. Il
passaggio a meccanismi nello spazio comporta, in genere, solo complicazioni
analitiche, ma non concettuali.
Le coppie non elementari, in quanto non rigide e/o non combacianti, sono
anche dette coppie superiori (higher pair). Tre esempi di tali coppie sono
mostrati in Fig.1.7. L’accoppiamento fra cinghia e puleggia di Fig.1.7a non è
rigido, mentre i contatti fra camma e piattello di Fig.1.7b e fra denti di ruote
dentate di Fig.1.7c sono non conformi (ovvero non combacianti).
a
b
c
Figura 1.7 - Esempi di coppie superiori. Cinghia e puleggia (a), camma e piattello (b)
denti di ruote dentate (c).
Si noti che anche nel caso di coppie non conformi, benché il contatto fra i due
elementi si sposti in genere sia rispetto all’uno che all’altro, esso deve comunque
persistere durante il moto, perché altrimenti i due elementi perderebbero la
caratteristica di coppia cinematica. Le due linee che delimitano gli elementi piani
nelle zone dove avvengono i contatti prendono il nome di profili coniugati. La
velocità relativa dei due profili coniugati nel punto di contatto P non può avere
una componente ortogonale alla tangente comune t, Fig.1.8, altrimenti si avrebbe
distacco (nel caso di allontanamento) o urto (nel caso di avvicinamento). Nello
spazio, devono essere considerati il piano tangente comune e la normale nel
punto di contatto a tale piano.
Figura 1.8 - Profili coniugati.
1.3 Collegamenti fra elementi di un meccanismo
17
Coppie piane come quelle di Fig.1.7b e Fig.1.7c lasciano due possibilità di
movimento relativo: uno strisciamento ed una rotazione relativi. Se il contatto del
caso camma piattello fosse considerato nello spazio (contatto schematizzabile
come cilindro contro piano, Fig.1.2b), i gradi di libertà sarebbero però quattro:
due rotazioni, attorno all’asse del cilindro e ad un asse perpendicolare al piano, e
due traslazioni sul piano (non sarebbero possibili la rotazione attorno all’asse
parallelo al piano ed ortogonale a quello del cilindro e la traslazione in direzione
ortogonale al piano stesso, perché in entrambi i casi il cilindro si staccherebbe dal
piano). Nel caso di contatto puntiforme nello spazio, Fig.1.2a, i gradi di libertà
sono addirittura 5: sono possibili le tre rotazioni e due traslazioni (è esclusa la
terza, ortogonale al piano).
Una volta introdotto il concetto di gradi di libertà in relazione alle più comuni
coppie cinematiche, è possibile valutare il numero dei gradi di libertà di un
meccanismo.
1.4 GRADI DI LIBERTÀ DI MECCANISMI NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Come già spiegato precedentemente, un corpo rigido soggetto a moto piano ha
tre gradi di libertà e le coppie cinematiche piane possono quindi al più vincolare
due gradi di libertà. Un meccanismo composto da m membri avrebbe in totale 3m
gradi di libertà se, per assurdo, i suoi elementi non fossero vincolati fra loro. In
genere uno dei membri è fisso, ovvero funge da telaio, quindi nel computo dei
gradi di libertà totali del meccanismo ne vanno tolti 3. Ogni coppia potrà poi
togliere uno o due gradi di libertà; se indichiamo con ni il numero di coppie
presenti nel meccanismo che tolgono i gradi di libertà, una formula utilizzabile
per calcolare i gradi di libertà, N, del meccanismo è :
N ≥ 3 (m − 1) − 2 n2 − 1 n1
(1.1)
Il valore calcolato a secondo membro fornisce il numero minimo di gradi di
libertà del meccanismo. Spesso vale il segno di uguaglianza, come nel caso dei
meccanismi piani riportati in Fig.1.9 (alcuni elementi sono stati schematizzati
con aste per semplicità); per ognuno di essi sono indicati i valori dei termini che
compaiono nella formula (1.1) ed il numero dei gradi di libertà calcolato. Esistono
però meccanismi, ad esempio quelli con alcuni vincoli superflui in quanto
ripetizione di altri, per i quali, come sarà mostrato in seguito, il numero di gradi
di libertà effettivo è superiore a quello fornito dal secondo membro della (1.1).
Il numero dei gradi di libertà di un meccanismo può comunque essere verificato valutando quante coordinate sono da fissare per determinare la posizione del
meccanismo stesso. Negli esempi di Fig.1.9 si nota subito che il meccanismo di
Fig.1.9b non può muoversi (a rigore, non è un vero e proprio meccanismo) e
quindi è N=0. Per tutti gli altri basta fissare la posizione di un membro mediante
un’unica coordinata e la posizione di tutti gli altri elementi risulta determinata;
ad esempio per il quadrilatero articolato (Fig.1.9c) ed il manovellismo di spinta
(Fig.1.9d) è sufficiente fissare la rotazione θ indicata in figura.
1. Macchine e meccanismi
18
m=2
n2=1
n1=0
N=3·(2−1)−2·1−1·0=1
a
m=3
n2=3
n1=0
N=3·(3−1)−2·3−1·0=0
b
m=4
n2=4
n1=0
N=3·(4−1)−2·4−1·0=1
c
m=4
n2=4
n1=0
N=3·(4−1)−2·4−1·0=1
d
m=3
n2=2
n1=1
N=3·(3−1)−2·2−1·1=1
e
m=4
n2=4
n1=0
N=3·(4−1)−2·4−1·0=1
f
Figura 1.9 - Esempi di meccanismi piani. Asta collegata al telaio con coppia rotoidale,
ovvero due aste di cui una funge da telaio (a); coppia di aste collegate fra loro ed al telaio
con coppie rotoidali, ovvero tre aste di cui una funge da telaio (b); tre aste collegate fra
loro ed al telaio con coppie rotoidali, ovvero quattro aste di cui una funge da telaio (quadrilatero articolato) (c); due aste collegate fra loro, al telaio e ad un corsoio (elemento traslante) con coppie rotoidali e corsoio accoppiato a telaio con coppia prismatica (manovellismo di spinta) (d); camma accoppiata a telaio con coppia rotoidale e a piattello con
coppia superiore e piattello accoppiato prismaticamente a telaio (e); asta accoppiata
rotoidalmente a due corsoi accoppiati al telaio con coppie prismatiche (glifo a croce) (f).
Con questo tipo di considerazioni aggiuntive è possibile stimare il numero di
gradi di libertà effettivo di un meccanismo.
Un esempio di meccanismo il cui numero di gradi di libertà è maggiore di
quello fornito dal secondo membro della (1.1) è il glifo a croce (Fig.1.9f) con
un’ulteriore asta accoppiata rotoidalmente al telaio in O ed all’asta nel suo punto
1.4 Gradi di libertà di meccanismi nel piano e nello spazio
19
centrale M, come indicato in Fig.1.10. Infatti, come verrà dimostrato nel
paragrafo 2.4, il punto centrale dell’asta del meccanismo di Fig.1.9f e Fig.1.10
percorre una circonferenza con centro nel centro della croce. L’introduzione
dell’asta aggiuntiva non comporta quindi ulteriori vincoli per il meccanismo che
continua ad avere un grado di libertà, mentre il calcolo fornisce un valore nullo a
secondo membro della (1.1), come mostrato in figura.
m=5
n2=6
n1=0
N3·(5−1)−2·6−1·0=0
Figura 1.10 - Glifo a croce con vincolo ridondante.
L’estensione della formula (1.1) al caso di meccanismo nello spazio è
immediata quando si ricordi che un corpo rigido nello spazio ha sei gradi di
libertà e che le coppie cinematiche possono quindi al più vincolare cinque gradi di
libertà:
N ≥ 6 (m − 1) − 5 n5 − 4 n4 − 3 n3 − 2 n2 − 1 n1
(1.2)
Anche in questo caso il numero effettivo dei gradi di libertà deve essere
valutato con considerazioni aggiuntive, come chiarito dall’esempio seguente.
Si pensi ad un quadrilatero articolato nel piano che ha un grado di libertà
(Fig.1.9c). Supponiamo di considerarlo nello spazio semplicemente dandogli
spessore in direzione ortogonale al piano. Poiché nel meccanismo piano i
movimenti sono gli stessi in tutti i piani paralleli a quello su cui si può studiare il
moto, è evidente che il meccanismo continua ad avere un grado di libertà. Se si
applica la formula (1.2), si ottiene:
m=4
n5=4
n4=n3=n2=n1=0
N 6· (4−1)−5 · 4 = −2
Nel caso in cui valesse l’uguaglianza, il meccanismo sarebbe ipervincolato e
quindi ogni movimento sarebbe impossibile. Sarebbe effettivamente così se le
coppie rotoidali del quadrilatero nello spazio non avessero gli assi paralleli, come
ipotizzato con l’estrapolazione fatta partendo dal caso piano. Nel caso più
generale di assi non paralleli il moto è invece effettivamente impossibile, a meno
1. Macchine e meccanismi
20
che non vengano sostituite alcune delle coppie usate con altre che consentano un
maggior numero di gradi di libertà. Ad esempio potrebbero essere introdotte una
coppia sferica (3 gradi di libertà) ed una rotoidale che consenta lo spostamento
assiale (lascia due gradi di libertà) ottenendo:
n5=2
n4=n3=1
n2=n1=0
N=6· (4−1)−5· 2−4· 1−3· 1=1
Oppure potrebbe essere mantenuto il vincolo di spostamento assiale solo su
una delle quattro coppie rotoidali, come mostrato in Fig.1.11, ottenendo:
n5=1
n4=3
n3=n2=n1=0
N=6· (4−1)−5· 1−4· 3=1
Figura 1.11 - Quadrilatero articolato nello spazio.
1.5 RENDIMENTO DI UNA MACCHINA
Nel suo funzionamento una macchina si muove sotto l’azione di forze e/o
coppie motrici e di forze e/o coppie resistenti. Le prime agiscono a favore del
movimento della macchina stessa, le seconde vi si oppongono. In un certo intervallo di tempo, le prime compiono lavoro positivo, le seconde negativo. Le forze e/o
coppie resistenti possono essere ulteriormente suddivise in resistenti utili e
resistenti passive, queste ultime in genere legate alla presenza di attrito.
Si considerino per esempio le due semplici macchine di Fig.1.12. In Fig.1.12a
una carrucola è accoppiata ad un telaio mediante coppia rotoidale con attrito (che
1.5 Rendimento di una macchina
21
origina una coppia resistente M) e ad una fune considerata ideale (sarà mostrato
in seguito come siano associabili perdite anche ad elementi flessibili) con cui
viene sollevato un peso Q grazie all’azione di una forza P applicata all’altro ramo
della fune. In Fig.1.12b un peso Q viene fatto salire sopra un piano inclinato fisso
con cui è accoppiato prismaticamente, in presenza di attrito che origina una forza
resistente T, mediante l’azione di una forza motrice P.*
a
b
Figura 1.12 - Rappresentazione schematica di due macchine semplici (le frecce sottili
indicano il verso del moto).
Nei disegni schematici di figura sono riportate solo le forze che durante il moto
della carrucola o del corpo sul piano inclinato compiono lavoro non nullo. In
realtà, come sarà mostrato in seguito, sono presenti anche una forza che il telaio
esercita sulla puleggia tramite la coppia rotoidale nel caso di Fig.1.12a, ed una
componente della reazione del piano sul corpo ortogonale al piano stesso nel caso
di Fig.1.12b; entrambe le forze compiono però lavoro nullo, la prima perché il suo
punto di applicazione non si muove, la seconda in quanto ortogonale allo
spostamento.
Con riferimento ad un certo intervallo di tempo, in cui si ha un certo
spostamento dei pesi Q, si possono definire tre diversi tipi di lavoro:
•
il lavoro motore Lm, compiuto dalla forza motrice P, valutabile tramite il
prodotto scalare di P per lo spostamento del suo punto di applicazione;
Si noti che M, P, Q e T sono grandezze vettoriali. Come noto i vettori sono grandezze
caratterizzate, oltre che da un modulo, anche da una direzione ed un verso. I vettori
possono essere indicati in vario modo in letteratura.
& Ad esempio una forza individuata
&
con la lettera “F” può essere indicata con F, F o F , una velocità (“v”) con v, v o v . In
questo testo è usato il primo tipo di rappresentazione (impiego di caratteri in neretto).
La stessa lettera non in neretto è invece usata per indicare il modulo del vettore
( F = F ⋅ F ≥ 0 , avendo indicato col punto il prodotto scalare).
*
1. Macchine e meccanismi
22
•
il lavoro resistente utile Lr, compiuto dalla forza resistente Q, valutabile
tramite il prodotto scalare di Q per lo spostamento del suo punto di
applicazione; è evidente che questo lavoro è negativo poiché la componente
della forza Q nella direzione del moto ha verso opposto al moto stesso;
•
il lavoro resistente passivo Lp, compiuto dalla coppia resistente M nel primo
caso (quindi prodotto di M per la rotazione della puleggia in corrispondenza
del prefissato spostamento di Q) e dalla forza d’attrito T nel secondo caso;
anche tale lavoro è evidentemente negativo.
Una qualsiasi macchina può essere schematizzata come un singolo blocco,
indicando con frecce entranti ed uscenti rispettivamente i lavori in ingresso
(motore) ed in uscita (resistenti utile e passivo), Fig.1.13.
Figura 1.13 - Rappresentazione schematica di una macchina.
Il prevalere delle azioni motrici su quelle resistenti porta ad un incremento
della velocità della macchina, il caso opposto ad un rallentamento. Ciò è espresso
dall’equazione di bilancio energetico, che può essere scritta, riferendosi ad
un intervallo di tempo finito:
Lm + Lr + L p = ΔE
(1.3)
ovvero, considerando il segno dei singoli lavori:
Lm − Lr − L p = ΔE
(1.4)
Riferendosi invece ad un intervallo infinitesimo dt, si ha:
dLm + dLr + dL p = dE
(1.5)
Nelle espressioni precedenti è stata indicata con E l’energia cinetica della
macchina (in alcuni testi e manuali si trova anche spesso indicata con T o con K).
Il rendimento (efficiency di una macchina è un indice della sua capacità di
trasformare il lavoro motore in lavoro utile. Esso è indicato comunemente con η,
ed è espresso dalla relazione:
η=
Lr
Lm
(1.6)
1.5 Rendimento di una macchina
23
Comunemente il rendimento di una macchina viene valutato nelle cosiddette
condizioni di regime in cui non si hanno variazioni di velocità e quindi
l’energia cinetica rimane costante (in caso contrario, fra i lavori sarebbero da
considerare anche quelli prodotti dalle azioni d’inerzia, che, come sarà mostrato
nell’ambito della dinamica, sono legati a variazioni di E). Se le condizioni della
macchina rimangono invariate durante il suo funzionamento, si parla di regime
assoluto; se esse variano ad intervalli di tempo costanti, si parla di regime
periodico e tale intervallo di tempo è detto periodo.
Considerando un qualsiasi intervallo di tempo nel caso di regime assoluto, o un
periodo (o un suo multiplo) nel caso di regime periodico, la (1.4) diventa:
Lm − Lr − L p = 0
(1.7)
Ricavando Lr dalla (1.7) e sostituendone l’espressione nella (1.6), è facile
ricavare anche la relazione:
η=
Lm − L p
Lm
=1−
Lp
Lm
(1.8)
da cui è evidente, se ancora non lo fosse, che η≤1, con l’uguaglianza valida solo
nel caso ideale di assenza di perdite, ovvero quando Lp=0.
Basandosi sulle relazioni che legano il lavori nel caso ideale, è anche possibile
trovare un’espressione del rendimento contenente forze o momenti, anziché
lavori. Il lavoro motore necessario per produrre un certo lavoro resistente utile,
ad esempio per spostare di una certa quantità il peso Q di Fig.1.12, è ovviamente
minore in assenza di attrito. Se viene indicato con Lm0 tale lavoro, in condizioni
ideali vale la relazione:
Lm0 − Lr = 0
(1.9)
Sostituendo il valore di Lr ricavabile dalla (1.9) nella (1.6), si ottiene:
η=
Lm0
Lm
(1.10)
Il lavoro Lm0 è compiuto da una forza motrice con intensità ridotta (sia P0<P il
suo modulo). Per un determinato spostamento di Q, P e P0 si spostano di una
stessa quantità s. Dalla (1.10), essendo Lm0 = P0·s e Lm = P·s (col punto è stato
indicato il prodotto scalare), si ricava quindi che il rapporto fra i due lavori
coincide col rapporto fra i moduli delle due forze P0 e P:
η=
P0
P
(1.11)
1. Macchine e meccanismi
24
Quando al posto di una forza si ha una coppia motrice, analoghe considerazioni
basate sul momento motore necessario in presenza d’attrito, M, e nel caso ideale,
M0, permettono di ricavare la relazione:
η=
M0
M
(1.12)
Le espressioni (1.11) o (1.12) e le (1.6) o (1.10) possono fornire valori diversi nel
caso in cui la forza o il momento motore varino durante il periodo. In questo caso
possono essere definiti un rendimento medio, valutabile con la (1.6), che tiene
conto di ciò che avviene in tutto il periodo, ed un rendimento istantaneo,
mediante la (1.11) o (1.12), che dipende dall’istante considerato. Un esempio in
tal senso sarà mostrato nel caso di ruote dentate nel paragrafo 5.2.4.
Esempi di applicazioni delle formule per il calcolo del rendimento di semplici
macchine saranno mostrati nel terzo capitolo, dopo aver approfondito le
problematiche legate all’attrito.
1.5.1 Moto retrogrado
Il valore del rendimento può anche dare un’indicazione sulla possibilità che si
verifichi il moto retrogrado, ovvero il funzionamento della macchina in senso
opposto a quello normale, a causa di una riduzione delle azioni motrici (al limite
per il loro annullamento). Considerando le semplici macchine di Fig.1.12, se
riducendo la forza motrice P è possibile trovare un suo valore P '<P (al limite
nullo) per cui la macchina comincia a muoversi in senso inverso (con la forza
resistente Q che diventa quindi motrice), il moto retrogrado è possibile.
Viceversa, se anche annullando la forza motrice, il sistema rimane fermo, il moto
retrogrado non è possibile.
Intuitivamente si può capire che in genere il moto retrogrado è possibile in
presenza di piccole azioni legate all’attrito; un elevato attrito può invece
impedirlo. È possibile dimostrare questo concetto per via analitica.
Il rendimento del moto retrogrado, η', può essere espresso in diversi modi
tenendo presente che nel moto inverso è la forza resistente utile del moto diretto
a compiere il lavoro motore (L'm=|Lr|). Indicando con un apice le grandezze
relative al moto retrogrado e tenendo presenti le relazioni (1.6) e (1.9), si ottiene
facilmente:
η' =
L' r
L'm
=
L' r
Lr
=
L' r
Lm0
=
P'
P0
(1.13)
È evidentemente P '<P0<P, ed il moto retrogrado non sarebbe possibile
spontaneamente se P ' dovesse agire nello stesso verso del moto stesso, ovvero se
avesse verso opposto alla P del moto diretto (nel qual caso sarebbero da
considerare negativi sia P ' sia il rendimento η').
1.5 Rendimento di una macchina
25
È dimostrabile che la condizione di possibilità di moto retrogrado η'≥0 è
verificata quando il rendimento del moto diretto è maggiore del valore ricavabile
dalla relazione:
η≥
K
K +1
(1.14)
in cui è stato indicato con K il rapporto fra i lavori persi rispettivamente nel moto
retrogrado ed in quello diretto (K=L'p/Lp). Nelle macchine con elevato rendimento
è K≈1, e la (1.14) fornisce η≥0.5.
Una dimostrazione di come la (1.14) possa essere ottenuta è riportata di seguito.
η' =
L'r
L'm
=
L'm − L'p
ovvero η' =
L'm
=1−
η (1 + K ) − K
η
L'p
L'm
=1−
L'p
Lr
=1−
K Lp
Lr
=1− K
Lm − Lr
Lr
⎛1
= 1 − K ⎜⎜
⎝η
⎞
− 1 ⎟⎟
⎠
, dalla quale imponendo η'≥0 si ottiene facilmente la (1.14).
1.5.2 Rendimento di macchine in serie ed in parallelo
Quando più macchine sono collegate in serie o in parallelo, può essere utile
valutare il rendimento totale del loro insieme.
Considerando lo schema di Fig.1.14, in cui sono schematizzate più macchine
disposte in serie, si nota che il lavoro utile in uscita da ogni macchina coincide col
lavoro motore della successiva. Il rendimento totale è il rapporto fra il lavoro
utile in uscita dal gruppo ed il lavoro motore in ingresso, mentre il rendimento di
ogni singola macchina è il rapporto fra il lavoro utile in uscita e quello in
ingresso in essa.
Figura 1.14 - Macchine collegate in serie.
È facile dimostrare che il rendimento totale è il prodotto dei rendimenti delle
singole macchine:
η = η1 η2 η3 ⋅ ⋅ ⋅ ηn
(1.15)
Essendo infatti il rendimento totale pari al rapporto fra il lavoro resistente
utile in uscita dal gruppo e quello motore in ingresso (η=|Lrn|/Lm1), per ogni
1. Macchine e meccanismi
26
singola macchina ηi=|Lri|/Lmi e per una macchina e la successiva|Lri|=Lmi+1, si
verifica subito nel caso di n macchine disposte in serie:
η = η1 η 2 η 3 ⋅ ⋅ ⋅ η n =
Lr1
Lr2
Lr3
Lm1 Lm2 Lm3
⋅⋅⋅
Lrn
Lmn
=
Lrn
Lm1
Considerando infine lo schema di Fig.1.15, in cui sono schematizzate più
macchine in parallelo, è evidente che il lavoro utile in uscita è la somma dei
lavori utili di tutte le macchine e che il lavoro motore si ripartisce fra le varie
macchine. Il rendimento totale è :
η=
η1 Lm1 + η2 Lm2 + η3 Lm3 + ... + ηn Lmn
Lm
(1.16)
Nella (1.16) ogni termine della sommatoria al numeratore coincide con il lavoro
resistente utile in uscita da ogni macchina.
Figura 1.15 - Macchine collegate in parallelo.
Dal confronto fra i due casi risulta evidente che nel caso di macchine in serie il
rendimento di ogni singola macchina influisce in ugual misura su quello totale,
ovvero basta che una sola macchina della serie abbia un basso rendimento per
abbassare quello di tutto il sistema.
Nel caso di macchine in parallelo invece, il rendimento di ogni singola
macchina è pesato tramite la percentuale del lavoro totale che l’attraversa,
quindi una macchina con basso rendimento influisce poco sul rendimento totale
se percorsa da poca energia.
CAPITOLO 2
CINEMATICA
In questo capitolo sono approfonditi alcuni aspetti legati al movimento di
elementi di meccanismi in moto piano.
I vari punti dei membri di un meccanismo percorrono traiettorie, legate al tipo
di meccanismo, con determinate velocità e accelerazioni. Sono riportate le
relazioni fra velocità ed accelerazioni dei diversi punti di uno stesso corpo rigido
con applicazioni al moto dei più comuni meccanismi piani, in particolare del
manovellismo di spinta e del quadrilatero articolato.
2.1 GENERALITÀ SUL MOTO PIANO DI UN CORPO RIGIDO
I membri dei meccanismi che si muovono di moto piano sono dei corpi rigidi i
cui punti si muovono su piani paralleli e il cui moto può quindi essere studiato
nel piano. In genere interessa conoscere le traiettorie percorse dai vari punti, le
loro velocità e le loro accelerazioni, sia per analizzare il moto di un dato meccanismo (ad esempio per verificare che un punto del corpo non vada ad urtare contro
un ostacolo durante il moto del meccanismo, oppure che la sua velocità o accelerazione non superino i valori massimi ammissibili), sia per progettare un meccanismo con punti che si spostino secondo leggi desiderate (ad esempio per far sì
che un punto percorra una certa traiettoria o assuma nel tempo certe velocità).
La determinazione di traiettorie, velocità e accelerazioni può essere semplice
quando il singolo membro è accoppiato direttamente al telaio (come l’asta AB di
Fig.2.1a) ma più complesso quando è accoppiato ad altri membri in movimento
(come l’asta AB di Fig.2.1b). Evidentemente ogni punto dell’asta AB incernierata
al telaio in A si muoverà infatti di moto rotatorio attorno ad A con una velocità
tanto maggiore quanto maggiore è la distanza dal punto fisso A. Come noto infatti, la velocità di un punto che ruota ad una certa distanza da un punto fisso è
data dal prodotto della velocità angolare per la distanza. Nel caso di Fig.2.1b invece, è facile trovare la direzione ed il verso delle velocità dei punti A e B, in
quanto appartenenti anche alle due aste collegate al telaio, ma è più difficile trovare quelle degli altri punti.