Prova scritta di Matematica Discreta del 15/2/2005 1. a. Quante

Prova scritta di Matematica Discreta del 15/2/2005
1. a. Quante parole di 6 lettere si possono formare con un alfabeto contenente 25 lettere?
b. Quante se sono proibite le doppie (ossia lettere uguali consecutive)?
c. Quanti alfabeti di 21 lettere si possono ottenere da quello di 25?
2. Sia X = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 18} = {1, 2, 3, . . . , 18} e sia Y = P(X) \ {∅}. Si consideri la
funzione f : X → Y definita come f (a) = {x ∈ X | x ≤ a}.
a. Dire, motivando la risposta, se f è iniettiva, suriettiva, biunivoca.
b. Determinare g ◦ f essendo g : Y → X l’applicazione data da g(A) = mA , dove mA è
il massimo del sottoinsieme A di X rispetto all’ordine per grandezza ≤.
È vero che g è l’inversa di f ?
3. a. Trovare il MCD di 5644 e 4565 ed esplicitare l’identità di Bézout.
b. Trovare tutte le soluzioni del sistema di congruenze:
(
2x ≡ 4 mod 9
4x ≡ 2 mod 15
c. Determinare le ultime due cifre di 82117082 .
4. Nell’insieme Q dei numeri razionali si consideri la seguente relazione:
x∼y
se e solo se
2(x − y) ∈ Z.
a. Verificare che si tratta di una relazione di equivalenza.
b. Determinare le seguenti classi di equivalenza: [0], [1/3] e [3/2].
c. Dimostrare che è ben definita l’operazione nell’insieme quoziente Q/∼ data da:
[a] ∗ [b] = [a + b].
d. Anche l’operazione [a] · [b] = [ab] in Q/∼ è ben definita?
5. Sia C il campo dei numeri complessi:
a. Determinare parte reale e coefficiente dell’immaginario di
−2(i3 )
.
2−i
b. Determinare i numeri complessi z tali che (z + i)4 = −1.
c. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme dei numeri complessi z = (ρ, θ) tali che
1 ≤ ρ ≤ 3 e − π4 ≤ θ ≤ π4 .
d. Determinare tutti i polinomi di grado 3 in R[X] che ammettono tra le loro radici
X = 2 e X = 5 − i. In C[X] esistono altri polinomi di grado 3 che ammettono tra
le loro radici X = 2 e X = 5 − i oltre a quelli appartenenti a R[X] (eventualmente
moltiplicati per un numero complesso)?
6. Sia p un numero primo. Provare che 0 è l’unica soluzione dell’equazione X 3 = 0 in Zp .
1
Prova scritta di Matematica Discreta del 25/2/2005
1. Sia f : N → Z l’applicazione definita come f (n) = n2 +3n−5 se n è pari e f (n) = −1−4n
se n è dispari.
a.
b.
c.
d.
Trovare f (1) e f (2).
Determinare f −1 (−5) e f −1 (Z− ), dove Z− = {n ∈ Z | n < 0}.
Dire, motivando la risposta, se f è iniettiva e/o suriettiva.
Provare che Imf ∩ 2Z = ∅, dove 2Z = {numeri interi pari}.
2. a. Trovare il MCD di 1452 e 605 ed esplicitare l’identità di Bézout.
b. Trovare tutte le soluzioni del sistema di congruenze:
(
18x ≡ 6 mod 20
7x ≡ 14 mod 15
c. Determinare la scrittura posizionale in base 8 del numero (che in base 10 si scrive)
3121 e la scrittura posizionale in base 10 del numero (453)7 , dove l’indice indica la
base utilizzata.
3. Sia g : Z7 → Z14 l’applicazione definita come g([a]7 ) = [2a2 ]14 .
a. Verificare che la funzione g è ben definita.
b. Dire se esiste un intero a tale che [a]7 e g([a]7 ) siano entrambi invertibili in Z7 e Z14
rispettivamente.
4. Sia C il campo dei numeri complessi:
a.
b.
c.
d.
Determinare parte reale e coefficiente dell’immaginario di w = (3 + i)(2 − 2i)−1 .
Calcolare le radici terze del numero complesso z = −27i.
Disegnare nel piano di Gauss l’insieme dei numeri complessi z tali che |z −3| ≤ |z +i|.
Scomporre il polinomio F (X) = X 4 − 1 nel prodotto di fattori irriducibili sia in
R[X] che in C[X].
5. a. Si consideri l’insieme I = {m ∈ N | m ≥ 2}. Per ogni n ∈ I, sia dato l’insieme
An =
S {k ∈ N | MCD(k, n) = 1}. DimostrareTche risulta An 6= N per ogni n ∈ I e
che n∈I An = N \ {0}. Determinare inoltre n∈I An .
b. Verificare che la relazione σ in C definita come
x6 = y 6
⇔
xσy
è una relazione di equivalenza. Determinare quindi le classi di equivalenza [0] e [1].
c. Verificare che la relazione ρ in C definita come
(a + ib) ρ (c + id)
⇔
a≤c e b≤d
è una relazione d’ordine. Si tratta di un ordine totale? Dire inoltre, motivando
la risposta, se l’insieme {z ∈ C | |z| ≤ 1} ammette minimo e/o massimo rispetto
all’ordine ρ.
6. Quanti sono i monomi, con coefficiente 1, di grado n nelle variabili x, y e z?
2
Prova scritta di Matematica Discreta del 28/6/2005
1. a. Trovare il MCD di 4240 e 1219 ed esplicitare l’identità di Bézout.
b. Trovare tutte le soluzioni dei seguenti sistemi di congruenze:
(
(
3x ≡ 2 mod 4
5x ≡ 8 mod 9
5x ≡ 3 mod 6
7x ≡ 4 mod 10
c. Determinare la scrittura posizionale in base 5 del numero (che in base 10 si scrive)
324 e la scrittura posizionale in base 10 del numero (237)8 , dove l’indice indica la
base utilizzata.
2. a. Sia data l’applicazione f : Z → N definita come f (n) = n(n + 1)/2 se n ≥ 0 e
f (n) = −n − 1 se n < 0. Dire se f è iniettiva e/o suriettiva ed inoltre determinare
f −1 (1), f −1 (2) e f (E), dove E = {m ∈ Z | m < 0}.
b. Verificare se l’applicazione g : Z9 → Z18 data da g([a]9 ) = [2a]18 è ben definita
oppure no.
3. Nel campo dei numeri complessi C:
a. Calcolare parte reale e coefficiente dell’immaginario dei numeri complessi
√2 √2 97
−i + 3
, z2 = −
+
i .
z1 =
1 + 2i
2
2
b. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme
n
πo
Y = z = (ρ, θ) ∈ C | ρ2 ≤ 2 , −π ≤ θ ≤
.
2
c. Scrivere tutte le soluzioni complesse dell’equazione F (X) = 0, dove F (X) = X 6 − 1.
d. Quante radici reali ha il polinomio F (X)?
e. Provare che per ogni q ∈ Q \ Z, il resto della divisione di F (X) per X − q non è mai
nullo.
4. a. Calcolare quante sono le scelte dei numeri a, b, c interi ≥ 0 tali che 710 = 7a · 7b · 7c .
b. Posto:
111 55 X
X
111
111
e t=
s=
k
k
k=56
k=0
dire quale delle relazioni s < t, s = t, s > t è quella vera e perché.
5. Si consideri l’insieme A = N × N.
a. Verificare che la relazione in A data da:
(n1 , m1 ) ∼ (n2 , m2 ) se n1 − n2 ∈ 2Z e m1 − m2 ∈ 2Z
è una relazione di equivalenza.
b. Determinare tutti gli elementi della classe di equivalenza di (1, 2).
c. Quanti elementi ha A/∼ ?
d. Sia σ la relazione in A data da:
√
(n, m) σ (a, b) se n − a = 3(b − m).
Dire se σ è una relazione d’ordine in A. In caso affermativo dire se è un ordine
totale.
3
Prova scritta di Matematica Discreta del 12/7/2005
1. a. Trovare il MCD di 9139 e 4477 ed esplicitare l’identità di Bézout.
b. Trovare tutte le soluzioni dei seguenti sistemi di congruenze:
(
(
7x ≡ 7 mod 9
x ≡ 1 mod 4
6x ≡ 2 mod 10
x ≡ 2 mod 6
c. Determinare la scrittura posizionale in base 4 del numero (che in base 10 si scrive)
193 e la scrittura posizionale in base 10 del numero (110101)2 , dove l’indice indica
la base utilizzata.
2. Sia data l’applicazione f : Z → Z definita come f (n) = 3n + 1 se n è pari e f (n) = 2n
se n è dispari.
a. Dire se f è iniettiva e/o suriettiva (motivando la risposta).
b. Determinare f −1 (0) e f −1 (A), dove A = {−5, −2, 2, 5}.
c. Determinare esplicitamente f 2 = f ◦ f .
3. Dimostrare, mediante l’induzione, che per ogni numero naturale n ≥ 0 vale la disuguaglianza 3n > n.
4. Sia S = Z \ 5Z.
a. Verificare che 1 ∈ S e che per ogni s, t ∈ S risulta st ∈ S.
b. Verificare che la relazione in Z × S data da:
(n, s) ∼ (m, t)
⇔
nt = ms (in Z)
è una relazione di equivalenza.
c. Sia Q l’insieme quoziente di Z × S rispetto alla relazione di equivalenza ∼ del punto
precedente. Determinare tutti gli elementi della classe di equivalenza di (1, 1).
d. Dire se l’operazione in Q definita come
[(n, s)] · [(m, t)] = [(nm, st)]
per ogni [(n, s)], [(m, t)] ∈ Q, è ben definita oppure no.
5. a. Calcolare parte reale e coefficiente dell’immaginario del numero complesso
z=
i65
1+i
b. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme
n
π
3π o
E = z = (ρ, θ) ∈ C | 1 ≤ ρ ≤ 3,
≤θ≤
.
4
4
c. Determinare tutti i numeri complessi che verificano l’equazione (X + 2)3 = i.
d. Determinare tutte le radici razionali del polinomio F (X) = 3X 4 −X 3 +12X 2 −X −1.
e. Siano z1 e z2 due numeri complessi tali che
Re(z1 ) = Im(z2 ), Im(z1 ) = Re(z2 ), |z1 | = 1.
Dimostrare che risulta z1 · z2 = i.
4
Prova scritta di Matematica Discreta del 14/9/2005
1. Si considerino le applicazioni f, g : Z → Z date rispettivamente da f (x) = x2 − x − 2 e
da g(n) = n + 1 se n è pari e g(n) = 2n se n è dispari.
a. Calcolare f −1 (−2) e f −1 (N).
b. Determinare le funzioni composte g ◦ f e f ◦ g.
c. Dire se g ammette inversa e in caso affermativo determinarla.
2. Si considerino gli intervalli aperti della retta reale: An = (2−n , 2n ) dove n ∈ N.
S
a. Provare che n∈N An = (0, +∞).
T
b. Determinare n∈N An .
c. Scrivere le tre condizioni affinché una famiglia di sottoinsiemi di un insieme X sia
una partizione e provare che gli insiemi An non soddisfano nessuna di esse (per
X = R).
3. Si considerino le congruenze del tipo ax ≡ b mod c.
a. Quante sono le congruenze di questo tipo se a, b, c ∈ {3, 6, 4}?
b. Quante sono le congruenze se si suppone che {a, b, c} = {3, 6, 4}? Quante tra queste
ammettono soluzioni?
c. Determinare tutte le soluzioni in Z dei seguenti sistemi di congruenze:
(
(
3x ≡ 1 mod 5
3x ≡ 1 mod 5
4x ≡ 1 mod 10
3x ≡ 6 mod 10
4. a. Determinare il numero degli elementi invertibili e quello degli zero-divisori nell’anello
Z180 delle classi di resto modulo 180.
b. Verificare che l’applicazione h : Z6 → Z18 data da x 7→ [3x2 − 3x] è ben definita.
c. Determinare Im(h) e dire se h è iniettiva e/o suriettiva.
d. È vero che h rispetta la somma, ossia che h(x1 + x2 ) = h(x1 ) + h(x2 )?
5. Nel campo dei numeri complessi C:
a. Calcolare l’inverso di z1 = 3 − 7i e l’inverso di z2 = (ρ = 3, θ = − π7 ).
7
b. Dire se è corretta l’uguaglianza z 3 = z 0 dove in coordinate polari z = (2, − 13
π) e
8
0
z = (8, − 13 π).
c. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme {z ∈ C | |z − 2| ≤ 2 , |z − i| ≤ 1}.
5
Prova scritta di Matematica Discreta del 23/11/2005
1. Sia σ la relazione in N × N data da (n1 , m1 ) σ (n2 , m2 ) se n1 ≤ n2 e m1 ≤ m2 .
a. Verificare che σ è una relazione d’ordine in N × N. È un ordine totale?
b. Verificare che (0, 0) è il minimo di N × N rispetto a tale ordinamento.
c. Provare che invece N × N \ {(0, 0)} non ammette né minimo né massimo.
2. Sia f : Z → N la funzione data da f (n) = 2n − 2 se n > 0 e da f (n) = 1 − n se n ≤ 0.
a. Dire (motivando la risposta) se f è iniettiva e/o suriettiva.
b. Determinare f −1 (1), f −1 (4), f (D) e f −1 (D) dove D = {n ∈ N | n dispari}.
c. Determinare f ◦g, dove g : N → Z è la funzione g(k) = 1 −k. È vero che g è l’inversa
di f ?
3. Indichiamo con a la classe di un numero intero a nell’anello Z28 delle classi di resto
modulo 28.
a. Determinare il numero degli elementi invertibili e quello degli zero-divisori di Z28 .
b. Verificare che l’applicazione f : Z28 → Z28 data da f (a) = a2 è ben definita.
c. È ben definita la relazione ρ in Z28 :
aρb
⇐⇒
a ≤ b.
d. Determinare tutte le soluzioni in Z dei seguenti sistemi di congruenze:
(
(
2x ≡ 3 mod 5
2x ≡ 6 mod 12
x ≡ 7 mod 8
4x ≡ 3 mod 9
4. Sia A l’insieme delle soluzioni complesse dell’equazione F (X) = 0 dove F (X) è il
polinomio X 7 − X 5 − 5X 3 − 3X.
a. Verificare che i è una radice di F (X) e determinare la sua molteplicità.
b. Determinare tutti gli elementi di A.
c. Determinare una decomposizione di F (X) in fattori irriducibili in C[X] e poi una
decomposizione in fattori irriducibili in R[X].
d. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme E = {z ∈ C | 1 ≤ Re(z + 2i) ≤ 2}.
5. Dimostrare per induzione che per ogni numero naturale n ≥ 1 vale la seguente formula:
2
n
1
1
+ + ··· +
=1−
.
2! 3!
(n + 1)!
(n + 1)!
6
Prova scritta di Matematica Discreta del 7/2/2006
1. Si consideri la funzione ϕ : N × N × N → N definita come ϕ((a, b, c)) = abc.
a. Determinare ϕ−1 (2).
b. Quanti e quali sono gli elementi n ∈ N tali che ϕ−1 (n) è un insieme infinito?
c. Provare che ϕ è iniettiva oppure esibire un controesempio.
d. Provare che ϕ è suriettiva.
e. Determinare esplicitamente ϕ−1 (D), dove D è l’insieme dei numeri naturali dispari.
2. Indichiamo con [a] la classe di un numero intero a nell’anello Z28 delle classi di resto
modulo 28.
a. Determinare il numero degli elementi invertibili e quello degli zero-divisori di Z28 .
b. Verificare che l’applicazione f : Z28 → Z28 data da f ([a]) = [a2 ] è ben definita.
c. È ben definita la relazione ρ in Z28 data da:
[a] ρ [b] ⇐⇒ a ≤ b.
3. Nell’anello dei numeri interi Z:
a. Determinare le soluzioni dei seguenti sistemi di congruenze lineari:
(
(
2x ≡ 3 mod 5
2x ≡ 6 mod 12
x ≡ 7 mod 8
4x ≡ 3 mod 9
b. Determinare la scrittura posizionale in base 8 del numero (che in base 10 si scrive)
1732 e la scrittura posizionale in base 10 del numero (1322)5 , dove l’indice indica la
base utilizzata.
c. Dire, motivando la risposta, se il numero intero m = 19941996 + 1994 è divisibile
oppure no per 9.
d. Dimostrare mediante induzione che per ogni n ≥ 4 vale la seguente disuguaglianza
2n − 1 < 2n−1 .
4. a. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme dei numeri complessi
A = {z ∈ C | |z| ≤ 4 e |z + 2| ≥ |z − 4i|}.
b. Calcolare le radici quarte del numero complesso z = −16 e disegnarle nel piano di
Gauss.
c. Verificare che i è radice del polinomio F (X) = 2X 4 + 2X 3 + 4X 2 + 2X + 2 e
determinare la scomposizione in fattori irriducibili di F (X) in R[X].
d. Provare che l’insieme E = {a + ib ∈ C | a, b ∈ Z} è numerabile.
5. Determinare:
a. il numero di anagrammi (anche privi di senso) della parola TETTO,
b. il numero di anagrammi (anche privi di senso) della parola STUDENTE che iniziano
per TE.
Giustificare adeguatamente le risposte.
7
Prova scritta di Matematica Discreta del 28/2/2006
1. a. Trovare il MCD di 3248 e 1421 ed esplicitare l’identità di Bézout.
b. Determinare l’insieme V = {(x, y) ∈ Z × Z | 0 ≤ 3248 x + 1421 y ≤ 70}.
c. Determinare la scrittura posizionale in base 11 del numero (che in base 10 si scrive)
3836 e la scrittura posizionale in base 10 del numero (2544)7 , dove l’indice indica la
base utilizzata.
d. Determinare tutte le soluzioni in Z dei seguenti sistemi di congruenze:

(

2x ≡ 11 mod 13
2x ≡ 8 mod 12
5x ≡ −3 mod 9

6x ≡ 10 mod 16

5x ≡ −3 mod 7
2. Si consideri l’anello Z36 delle classi di resto modulo 36.
a. Elencare gli elementi invertibili e gli zero-divisori di Z36 , spiegando perché sono tali.
b. Quanto vale la funzione di Eulero φ(36)?
c. Dire se sono ben definite le applicazioni f : Z36 → Z9 e g : Z36 → Z32 date rispettivamente da f ([a]36 ) = [a2 ]9 e da g([a]36 ) = [a2 ]32 .
d. Sia ϕ : Z36 → Z36 la funzione data da ϕ([x]) = [2x]. Dire se ϕ è iniettiva e/o
suriettiva.
e. Sia βm,q : Z36 → Z36 la funzione data da βm,q ([x]) = [mx + q] dove m e q sono degli
interi fissati (ad esempio l’applicazione ϕ del punto precedente risulta essere β2,0 ).
Provare che se l’applicazione βm,q è biunivoca allora la sua inversa è ancora del tipo
βm0 ,q0 , per opportuni interi m0 e q 0 .
3. a. Determinare
la parte
√ reale e il coefficiente dell’immaginario del numero complesso
√
α = ( 3 − i)(2 + 3i)−1 .
b. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme dei numeri complessi
A = {z ∈ C | 0 ≤ Im(z) ≤ 3 e |z − 4| ≤ 3}.
c. Calcolare le radici terze del numero complesso z = 8i.
d. Trovare le radici razionali del polinomio F (X) = 3X 4 + 6X 3 + X 2 + 3X + 2 e
determinare la scomposizione in fattori irriducibili di F (X) in Q[X].
e. Il polinomio F (X) del punto precedente possiede almeno una radice irrazionale?
(NON si richiede di determinare esplicitamente tale radice, se esiste, ma di giustificare rigorosamente la sua esistenza o spiegare perché non esiste.)
4. In quanti modi si possono colorare 4 oggetti con 7 colori
a. se gli oggetti sono tra loro distinti e ogni oggetto deve essere colorato con un colore
diverso?
b. se gli oggetti sono tra loro distinti e più oggetti possono essere colorati con lo stesso
colore?
c. se gli oggetti sono tra loro indistinguibili e ogni oggetto deve essere colorato con un
colore diverso?
Motivare adeguatamente le risposte.
8
Prova scritta di Matematica Discreta del 19/4/2006
1. Sia f : Z → Q la funzione data da f (k) =
dispari.
1
k2 +1
se k è pari e f (k) =
2
k2 +1
se k è
a. Determinare f −1 ( 15 ).
b. Dire se f è iniettiva e/o suriettiva.
c. Determinare Im(f ) ∩ Z.
2. Sia ∼ la relazione in X = R2 \ {(0, 0)} data da:
0
0
(a, b) ∼ (a , b )
se
(
a0 = λa
∃ λ ∈ R, λ > 0, tale che
.
b0 = λb
a. Verificare che ∼ una relazione di equivalenza in X.
b. Indicata con [a, b] la classe di (a, b) in X/∼ , determinare esplicitamente [2, −4].
È vero che (1, −2) ∈ [2, −4]? È vero che (−1, 2) ∈ [2, −4]?
c. Dire quali delle seguenti formule definiscono effettivamente una funzione X/∼ → R:
1.
2.
3.
φ : [a, b] 7→
ψ : [a, b] 7→
χ : [a, b] 7→
a
a2 +b2
a
b
a
|a|+|b| .
3. Provare mediante l’induzione che la somma dei primi n cubi dei numeri interi positivi è
n(n + 1) 2
.
2
4. a. Risolvere i seguenti sistemi di congruenze:

(

2x ≡ 3 mod 7
2x ≡ 8
3x ≡ 2 mod 5

3x ≡ 15

4x ≡ 1 mod 9
mod 18
mod 18
b. Calcolare MCD(396, 417) e la relativa identità di Bézout.
3
c. Sia p un numero intero dispari. Calcolare il resto della divisione per p di n = 2p .
Scrivendo n in base p, quale è la cifra delle unità?
√
√
5. Sia F (X) = (X − i)(X + i)(X − i 2)(X + i 2)(X 2 + 2).
a. Determinare tutte le radici complesse di F , specificando per ciascuna la molteplicità
e scrivere la decomposizione di F (X) in fattori irriducibili in C[X]
b. È vero che F (X) ∈ Q[X]? In caso affermativo scrivere la decomposizione di F (X)
in fattori irriducibili in Q[X].
c. Scrivere esplicitamente il polinomio coniugato F (X) di F (X) e trovare tutte le sue
radici reali e complesse.
d. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme:
{z ∈ C tali che |z − 1| ≤ 2 , Re(z) ≥ 0}.
9
Prova scritta di Matematica Discreta del 28/6/2006
1. Siano A e B due insiemi non vuoti e X il loro prodotto cartesiano A × B. Si considerino
in X le relazioni σ e τ date rispettivamente da:
(a1 , b1 ) σ (a2 , b2 ) se a1 = a2 oppure b1 = b2 ,
(a1 , b1 ) τ (a2 , b2 ) se a1 = a2 .
a. Dire se σ è una relazione di equivalenza e/o una relazione d’ordine (o nessuna delle
due) motivando adeguatamente la risposta.
b. Verificare che τ è una relazione di equivalenza e caratterizare gli elementi del quoziente X/τ (ossia le classi di equivalenza) come sottoinsiemi di A × B.
c. Dire se sono ben definite le applicazioni:
π1 : X/τ → A data da π1 ( (a, b) ) = a,
π2 : X/τ → B data da π2 ( (a, b) ) = b
e in caso affermativo studiare iniettività e suriettività.
2. a. Determinare tutte le soluzioni in Z dei seguenti sistemi di congruenze:

(

3x ≡ 11 mod 12
2x ≡ 8 mod 16
5x ≡ −2 mod 7

6x ≡ 9 mod 24

5x ≡ −2 mod 9
b. Determinare il numero degli elementi invertibili e quello degli zero-divisori nell’anello
Z48 delle classi di resto modulo 48.
c. Provare che 11 (la classe di 11) in Z48 è invertibile e determinare esplicitamente un
rappresentante della classe (11)−1
d. Verificare che l’applicazione f : Z48 → Z48 data da f (a) = 11a è biunivoca determinando esplicitamente la funzione inversa.
e. Verificare che per ogni numero intero dispari n si ha n2 ≡ 1 mod 8. Verificare che
per ogni numero primo p si ha m2 ≡ 1 mod p se e soltanto se m ≡ ±1 mod p.
3. Sia I5 l’insieme dei numeri interi da 1 a 5 e sia poi F l’insieme i cui elementi sono le
applicazioni h : I5 → I5
a. Qual è la cardinalità di F?
b. Quante applicazioni in F sono suriettive? Quante iniettive? Quante biunivoche?
c. In quanti modi si possono formare permutazioni di I5 in cui il numero 2 non si trovi
nella posizione immediatamente successiva al numero 1?
4. Nel campo dei numeri complessi C:
a. Calcolare (1 + i)37 .
b. Trovare la parte reale e il coefficiente dell’immaginario di
(2 − i)(2i − 1)
.
(5 − 2i)
c. Determinare tutti i numeri la cui quarta potenza è −9.
d. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme:
√
D = {z = (ρ, θ) | ρ = 3 , 4θ = kπ con k intero dispari}.
10
Prova scritta di Matematica Discreta del 18/7/2006
1. a. Determinare tutte le soluzioni in Z dei seguenti sistemi di congruenze:
(
(
2x ≡ 12 mod 10
5x ≡ −2 mod 7
6x ≡ 8 mod 14
5x ≡ −4 mod 9
b. Trovare il MCD di 4239 e 1836 ed esplicitare l’identità di Bézout.
c. Determinare la scrittura posizionale in base 7 del numero (che in base 10 si scrive)
1877 e la scrittura posizionale in base 10 del numero (2222)3 , dove l’indice indica la
base utilizzata.
d. Dire se la seguente è, oppure no, una applicazione ben definita: ϕ : Z24 → Z36 dove
ϕ([x]24 ) = [3x]36 .
2. Sia f : Z → N la funzione definita come f (n) = 2n se n > 0 e f (n) = −3n se n ≤ 0.
a. Dire se f è iniettiva e/o suriettiva.
b. Determinare f −1 (0), f −1 (1) e f −1 (2).
c. Sia g : Z → Z la funzione data da g(m) = m + 1 se m ≥ 0 e g(m) = m − 1 se m < 0.
Determinare esplicitamente l’applicazione composta f ◦ g.
3. a. Determinare la parte reale e il coefficiente dell’immaginario del numero complesso
w=
i35 · (1 + 2i)
.
3+i
b. Calcolare le radici terze del numero complesso z = −8.
c. Determinare la scomposizione in fattori irriducibili del polinomio F (X) = 3X 3 + 24
in Q[X], R[X] e C[X].
d. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme dei numeri complessi
A = {x + iy ∈ C | x2 + y 2 ≤ 16 e x ≥ 1}.
4. Giovanni, un bambino di 11 anni, ha disegnato 4 figure geometriche piane su di un foglio
da disegno, per la precisione un triangolo, un rettangolo, un cerchio e un rombo, inoltre
ha a disposizione 6 pennarelli di colori diversi.
a. In quanti modi diversi può colorare le 4 figure con i colori che ha a disposizione?
b. In quanti modi diversi può colorare le 4 figure se decide che ciascuna deve essere
colorata con un colore diverso?
c. In quanti modi può scegliere 4 dei 6 pennarelli in suo possesso?
d. Una volta scelti 4 dei 6 pennarelli, in quanti modi diversi può colorare le 4 figure?
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Prova scritta di Matematica Discreta del 12/9/2006
1. Si considerino gli insiemi X = {3, 5, 7, 11} e Y = {0, 1}. Per ogni sottoinsieme A di
X sia hA : X → Y la sua funzione caratteristica definita come hA (x) = 0 se x ∈
/ Ae
hA (x) = 1 se x ∈ A.
a. Determinare gli eventuali sottoinsiemi A di X per i quali hA risulti essere iniettiva
oppure suriettiva.
b. Determinare gli eventuali sottoinsiemi A di X per i quali hA risulti essere una
funzione costante.
c. È vero che per ogni funzione g : X → Y esiste un sottoinsieme A di X tale che
g = hA ?
d. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, dimostrare che è corretta per tutti i sottoinsiemi A e B di X oppure mostrare mediante un controesempio che è errata:
i) hA∩B = hA · hB
ii) hA∪B = hA + hB
(le operazioni tra funzioni sono definite “punto per punto” (f +g)(x) = f (x)+g(x).)
2. Sia fn la successione di Fibonacci data da f0 = 1, f1 = 1 e poi, per ogni n ≥ 2, da
fn = fn−1 + fn−2 . Provare mediante l’induzione che per ogni n ≥ 7 si ha fn ≥ 3n.
3. Indichiamo con cn la scrittura posizionale del numero c rispetto alla base n.
a. Determinare la scrittura posizionale in base 10 del numero a la cui scrittura in base
11 (con cifre 0, 1, . . . , 9, ∗) è a11 = 2 ∗ ∗
b. Determinare la scrittura posizionale in base 11 del numero b10 = 4135.
4. Determinare tutte le soluzioni in Z dei seguenti sistemi di congruenze:
(
(
7x ≡ 3 mod 10
3x ≡ 6 mod 12
x ≡ 7 mod 9
5x ≡ 3 mod 8
5. Si consideri l’anello Z58 delle classi di resto modulo 58.
a. Quanto vale la funzione di Eulero φ(58)? Quanti sono gli zero-divisori in Z58 ?
b. Verificare che la classe di 17 è invertibile in Z58 e determinarne esplicitamente
l’inverso.
c. Dire se le applicazioni f, g : Z29 → Z58 date da f (a) = a2 e g([a]) = [2a + 11] sono
ben definite e in caso affermativo dire se sono iniettive e/o suriettive.
6. Nel campo dei numeri complessi C:
a. Calcolare parte reale e coefficiente dell’immaginario del numero complesso u−1 dove
u = (2 − 3i)(3 − 2i).
b. Determinare le radici terze di −1 + i, ossia le soluzioni dell’equazione X 3 = −1 + i.
c. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme {z ∈ C | Im(z) = 1} ∩ {z ∈ C | z · z ≤ 3}.
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