Storia della matematica
Lezione 6
Enrico
Rogora
Lezione 6
Enrico Rogora
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Geometria
dei triangoli
Modello di
Beltrami
Geometria
sferica
I primi
quattro
postulati
Teoria delle
parallele
Università di Roma
13 Marzo 2017 - Roma
Enrico Rogora (UniRoma)
Lezione 6
Teoria dell’equivalenza
Il teorema di
Pitagora
13 Marzo 2017
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Geometria dei triangoli, senza assioma delle parallele
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Enrico
Rogora
L’angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni opposti
(Proposizione 16)
Due angoli di un triangolo sono [complessivamente] minori di due
angoli retti, comunque vengano presi (Proposizione 17)
Qualora due triangoli abbiano due lati rispettivamente uguali tra loro
ma l’angolo compreso tra le rette uguali uno maggiore dell’altro,
avranno anche una base maggiore dell’altra (Proposizione 24)
Secondo criterio di congruenza dei triangoli: qualora due triangoli
abbiano due angoli rispettivamente uguali e uguale o il lato compreso
fra gli angoli uguali o un lato che è opposto a uno degli angoli uguali,
avranno uguali anche i lati e l’angolo restanti (Proposizione 25)
Se una retta incidente su altre due forma angoli interni uguali tra
loro, le rette saranno parallele (Proposizione 27)
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dei triangoli
Modello di
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Il teorema di
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Proposizione 16
Lezione 6
Prolungato un lato di ogni triangolo, l’angolo esterno è
maggiore di ciascuno degli angoli interni e opposti
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Proposizione 17
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Due angoli di ogni triangolo sono complessivamente minori di
due angoli retti, comunque vengano presi
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postulati
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Il teorema di
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d + CBD
d + CAB.
[ > (Prop. I.16) > CBA
[
2 retti = CBA
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La geometria iperbolica nel modello di Beltrami
(Poincaré)
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Punti: all’interno di un cerchio ∆;
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Retta (segmento) per due punti A e B: l’intersezione di ∆
con la circonferenza per A, B e i punti A0 e B 0 ottenuti per
inversione circolare di A e B rispetto al bordo di ∆.
Angolo iperbolico tra due curve che si intersecano in un
punto è l’angolo euclideo tra le rispettive tangenti.
Cerchio iperbolico dei centro P e raggio PQ: si costruisce
l’asse iperbolico del segmento intersecando il cerchio per il
punto P 0 inverso di P rispetto a ∆ per i punti di tangenza
delle rette tangenti condotte da P 0 a ∆; si prende l’inverso
Q 0 di Q rispetto all’asse, si inverte rispetto all’asse il
cerchio di centro O passante per Q 0
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Modello di
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Geometria
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postulati
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Retta iperbolica
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Triangoli iperbolici
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Cerchio iperbolico
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La geometria sferica
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Punti: punti sulla superficie di una sfera Σ);
Retta (segmento) per due punti A e B: l’intersezione di Σ
con il piano π pasante per A, B e il centro O della sfera
(per due punti un segmento, ma non uno solo).
Angolo sferico tra due curve che si intersecano in un punto
è l’angolo euclideo tra le rispettive tangenti.
Cerchio sferico dei centro P e raggio PQ: intersezione di Σ
con il piano per Q, ortogonale a OP.
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quattro
postulati
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Segmento sferico
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postulati
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Triangolo Sferico
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postulati
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Cerchio sferico
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postulati
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I primi quattro postulati
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In questa forma (cfr. [R4]) valgono per la geometria euclidea,
iperbolica ed ellittica.
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Si richieda di poter condurre una linea retta da qualsiasi punto a
ogni altro punto
Si richieda di poter prolungare ogni retta per dritto e con
continuità
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Geometria
sferica
I primi
quattro
postulati
E di descrivere un cerchio con qualunque centro e raggio
1
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2
Si richieda che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
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parallele
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Il teorema di
Pitagora
1
Un angolo piano è l’inclinazione di due linee che si incontrano
reciprocamente in un piano e non giacciono sulla stessa retta.
2
Quando una linea retta innalzata su un’altra linea retta forma angoli
adiacente uguali tra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto.
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Un lacuna nella dimostrazione della proposizioni 16
La proposizione 16, che dovrebbe dipendere dai soli postulati
1-4 (e dai postulati inespressi relativi alle proposizioni 1, 4 e 8)
dovrebbe quindi valere anche nella geometria sferica.
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Controesempio
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quattro
postulati
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parallele
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Qual è la ragione?
Rifacendo la dimostrazione di I.16 si vede che sulla sfera la retta
CF può essere esterna all’angolo ECD.
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Controesempio
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Ricapitoliamo
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I primi quattro postulati valgono nelle geometria euclidea,
sferica e iperbolica.
La proposizione I.16 vale nella geometria euclidea e in
quella ellittica.
Dalla I.16 segue: la I.17; la somma degli angoli di un
triangolo è minore o uguale a due retti; la retta per due
punti è unica.
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La somma degli angoli di un triangolo è minore o
uguale a due retti
I triangoli ABF e AFC hanno somma totale degli angoli uguale a quella di
ABC. ma almeno uno dei due ha angolo in B minore o uguale alla metà
dell’angolo in B del triangolo originale.
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Iterando il procedimento riusciamo a produrre triangoli con l’angolo in B
arbitrariamente piccolo e tali da avere la somma totale degli angoli uguale
a quella del triangolo iniziale. Per il Teorema I.17 allora la somma totale
degli angoli deve essere minore o uguale a due retti.
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La retta per due punti è unica
Supponiamo per assurdo che A e B possano essere congiunti da due diverse
rette. Sia P un punto appartenente solo alla prima e non alla seconda retta
e Q un punto appartenente solo alla seconda e non alla prima retta.
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postulati
Teoria delle
parallele
[ AQP,
[ QPB
[ e QBP
[ dovrebbe valere
La somma dei quattro angoli APQ
quattro retti per la proposizione 13 (Qualora una retta innalzata su
un’[altra] retta formi degli angoli, o formerà due angoli retti o angoli
[complessivamente] uguali a due angoli retti).
Ma questa somma deve anche essere minore a quattro retti per la Prop. 17
(valida in geom. euclidea e iperbolica), da cui l’assurdo.
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Teoria dell’equivalenza
Il teorema di
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18 / 25
Teoria delle parallele
Sono rette parallele quelle che essendo nello stesso piano e prolungate
all’infinito da entrambe le parti, in nessuna di esse si incontrano.
Proposizione 27: Qualora una retta incidente su altre due rette formi
angoli alterni uguali tra loro, le rette sono parallele.
Postulato quinto: [Si richieda che] qualora una retta incidente su
[altre] due rette formi gli angoli interni dalla stessa parte
[complessivamente minori di due angoli retti, le due rette prolungate
all’infinito si incontrano dalla parte in cui ci sono gli angoli minori di
due retti.
Proposizione 29: Una retta incidente su rette parallele forma gli
angoli alterni uguali, l’angolo esterno uguale all’angolo interno e
opposto e gli angoli interni [che si trovano] dalla stessa parte
[complessivamente] uguali a due angoli retti.
Proposizione 31: costruzione della parallela a una retta per un punto
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parallele
Teoria dell’equivalenza
Il teorema di
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Proposizione 32: prolungato uno dei lati di ogni triangolo, l’angolo
esterno è uguale alla somma dei due angoli interni opposti e i tre
angoli interni del triangolo sono complessivamente uguali a due retti.
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Osservazioni
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Il quinto postulato vale anche per la geometria sulla sfera.
L’esistenza di parallele fa uso dell proposizione (postulato)
16 e vale quindi anche in geometria iperbolica.
L’assioma di Playfair (già presente in Proclo) recita: Data
una qualunque retta e un punto P esterna ad essa, esiste
una e una sola retta passante per P e parallela alla retta
data. A differenza di quello di Euclide non vale sulla sfera.
La proposizione 32 necessita sia dell’esistenza che
dell’unicità. Con la sola esistenza si ha che la somma deve
essere minore o uguali a due retti. Con la sola unicità (cioè
senza esistenza) si ha che la somma deve essere maggiore o
uguale a due retti.
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Teoria dell’equivalenza
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Parallelogrammi che siano posti su basi uguali e fra le stesse
parallele sono uguali tra loro (proposizione 36).
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Il teorema di Pitagora
Proposizione 46 (Costruzione del quadrato), Proposizione 47
(Teorema di Pitagora), Proposizione 48 (Inverso del teorema di
Pitagora)
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Il teorema di Pitagora iperbolico e sferico
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Pitagora sferico Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con
ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il
coseno dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti:
cos(a/k) = cos(b/k) · cos(c/k) (k costante opportuna).
Pitagora iperbolico Se ABC è un triangolo iperbolico retto in A
e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il
coseno iperbolico dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni
iperbolici dei cateti: cosh(a/k) = cosh(b/k) · cosh(c/k) (k
costante opportuna).
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parallele
Teoria dell’equivalenza
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Pitagora
23 / 25
La rete delle dipendenze per arrivare alla
dimostrazioni
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24 / 25
Esercizio
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Prendere una dimostrazione del teorema di Pitagora e
determinare la rete di dipendenza necessarie per giungere alla
dimostrazione.
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