Lezione 6 - Storia della Matematica
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Storia della matematica Lezione 6 Enrico Rogora Lezione 6 Enrico Rogora [email protected] Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Università di Roma 13 Marzo 2017 - Roma Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora 13 Marzo 2017 1 / 25 Geometria dei triangoli, senza assioma delle parallele Lezione 6 Enrico Rogora L’angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni opposti (Proposizione 16) Due angoli di un triangolo sono [complessivamente] minori di due angoli retti, comunque vengano presi (Proposizione 17) Qualora due triangoli abbiano due lati rispettivamente uguali tra loro ma l’angolo compreso tra le rette uguali uno maggiore dell’altro, avranno anche una base maggiore dell’altra (Proposizione 24) Secondo criterio di congruenza dei triangoli: qualora due triangoli abbiano due angoli rispettivamente uguali e uguale o il lato compreso fra gli angoli uguali o un lato che è opposto a uno degli angoli uguali, avranno uguali anche i lati e l’angolo restanti (Proposizione 25) Se una retta incidente su altre due forma angoli interni uguali tra loro, le rette saranno parallele (Proposizione 27) Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora 13 Marzo 2017 2 / 25 Proposizione 16 Lezione 6 Prolungato un lato di ogni triangolo, l’angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni e opposti Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 3 / 25 Proposizione 17 Lezione 6 Due angoli di ogni triangolo sono complessivamente minori di due angoli retti, comunque vengano presi Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora d + CBD d + CAB. [ > (Prop. I.16) > CBA [ 2 retti = CBA Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 4 / 25 La geometria iperbolica nel modello di Beltrami (Poincaré) Lezione 6 Punti: all’interno di un cerchio ∆; Enrico Rogora Retta (segmento) per due punti A e B: l’intersezione di ∆ con la circonferenza per A, B e i punti A0 e B 0 ottenuti per inversione circolare di A e B rispetto al bordo di ∆. Angolo iperbolico tra due curve che si intersecano in un punto è l’angolo euclideo tra le rispettive tangenti. Cerchio iperbolico dei centro P e raggio PQ: si costruisce l’asse iperbolico del segmento intersecando il cerchio per il punto P 0 inverso di P rispetto a ∆ per i punti di tangenza delle rette tangenti condotte da P 0 a ∆; si prende l’inverso Q 0 di Q rispetto all’asse, si inverte rispetto all’asse il cerchio di centro O passante per Q 0 Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora 13 Marzo 2017 5 / 25 Retta iperbolica Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 6 / 25 Triangoli iperbolici Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 7 / 25 Cerchio iperbolico Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 8 / 25 La geometria sferica Lezione 6 Enrico Rogora Punti: punti sulla superficie di una sfera Σ); Retta (segmento) per due punti A e B: l’intersezione di Σ con il piano π pasante per A, B e il centro O della sfera (per due punti un segmento, ma non uno solo). Angolo sferico tra due curve che si intersecano in un punto è l’angolo euclideo tra le rispettive tangenti. Cerchio sferico dei centro P e raggio PQ: intersezione di Σ con il piano per Q, ortogonale a OP. Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 9 / 25 Segmento sferico Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 10 / 25 Triangolo Sferico Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 11 / 25 Cerchio sferico Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 12 / 25 I primi quattro postulati Lezione 6 In questa forma (cfr. [R4]) valgono per la geometria euclidea, iperbolica ed ellittica. Enrico Rogora Si richieda di poter condurre una linea retta da qualsiasi punto a ogni altro punto Si richieda di poter prolungare ogni retta per dritto e con continuità Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati E di descrivere un cerchio con qualunque centro e raggio 1 Geometria dei triangoli 2 Si richieda che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora 1 Un angolo piano è l’inclinazione di due linee che si incontrano reciprocamente in un piano e non giacciono sulla stessa retta. 2 Quando una linea retta innalzata su un’altra linea retta forma angoli adiacente uguali tra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 13 / 25 Un lacuna nella dimostrazione della proposizioni 16 La proposizione 16, che dovrebbe dipendere dai soli postulati 1-4 (e dai postulati inespressi relativi alle proposizioni 1, 4 e 8) dovrebbe quindi valere anche nella geometria sferica. Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Controesempio Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 14 / 25 Qual è la ragione? Rifacendo la dimostrazione di I.16 si vede che sulla sfera la retta CF può essere esterna all’angolo ECD. Lezione 6 Enrico Rogora Controesempio Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 15 / 25 Ricapitoliamo Lezione 6 Enrico Rogora I primi quattro postulati valgono nelle geometria euclidea, sferica e iperbolica. La proposizione I.16 vale nella geometria euclidea e in quella ellittica. Dalla I.16 segue: la I.17; la somma degli angoli di un triangolo è minore o uguale a due retti; la retta per due punti è unica. Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 16 / 25 La somma degli angoli di un triangolo è minore o uguale a due retti I triangoli ABF e AFC hanno somma totale degli angoli uguale a quella di ABC. ma almeno uno dei due ha angolo in B minore o uguale alla metà dell’angolo in B del triangolo originale. Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica Iterando il procedimento riusciamo a produrre triangoli con l’angolo in B arbitrariamente piccolo e tali da avere la somma totale degli angoli uguale a quella del triangolo iniziale. Per il Teorema I.17 allora la somma totale degli angoli deve essere minore o uguale a due retti. I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 17 / 25 La retta per due punti è unica Supponiamo per assurdo che A e B possano essere congiunti da due diverse rette. Sia P un punto appartenente solo alla prima e non alla seconda retta e Q un punto appartenente solo alla seconda e non alla prima retta. Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele [ AQP, [ QPB [ e QBP [ dovrebbe valere La somma dei quattro angoli APQ quattro retti per la proposizione 13 (Qualora una retta innalzata su un’[altra] retta formi degli angoli, o formerà due angoli retti o angoli [complessivamente] uguali a due angoli retti). Ma questa somma deve anche essere minore a quattro retti per la Prop. 17 (valida in geom. euclidea e iperbolica), da cui l’assurdo. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora 18 / 25 Teoria delle parallele Sono rette parallele quelle che essendo nello stesso piano e prolungate all’infinito da entrambe le parti, in nessuna di esse si incontrano. Proposizione 27: Qualora una retta incidente su altre due rette formi angoli alterni uguali tra loro, le rette sono parallele. Postulato quinto: [Si richieda che] qualora una retta incidente su [altre] due rette formi gli angoli interni dalla stessa parte [complessivamente minori di due angoli retti, le due rette prolungate all’infinito si incontrano dalla parte in cui ci sono gli angoli minori di due retti. Proposizione 29: Una retta incidente su rette parallele forma gli angoli alterni uguali, l’angolo esterno uguale all’angolo interno e opposto e gli angoli interni [che si trovano] dalla stessa parte [complessivamente] uguali a due angoli retti. Proposizione 31: costruzione della parallela a una retta per un punto Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Proposizione 32: prolungato uno dei lati di ogni triangolo, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni opposti e i tre angoli interni del triangolo sono complessivamente uguali a due retti. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 19 / 25 Osservazioni Lezione 6 Il quinto postulato vale anche per la geometria sulla sfera. L’esistenza di parallele fa uso dell proposizione (postulato) 16 e vale quindi anche in geometria iperbolica. L’assioma di Playfair (già presente in Proclo) recita: Data una qualunque retta e un punto P esterna ad essa, esiste una e una sola retta passante per P e parallela alla retta data. A differenza di quello di Euclide non vale sulla sfera. La proposizione 32 necessita sia dell’esistenza che dell’unicità. Con la sola esistenza si ha che la somma deve essere minore o uguali a due retti. Con la sola unicità (cioè senza esistenza) si ha che la somma deve essere maggiore o uguale a due retti. Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora 20 / 25 Teoria dell’equivalenza Lezione 6 Enrico Rogora Parallelogrammi che siano posti su basi uguali e fra le stesse parallele sono uguali tra loro (proposizione 36). Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 21 / 25 Il teorema di Pitagora Proposizione 46 (Costruzione del quadrato), Proposizione 47 (Teorema di Pitagora), Proposizione 48 (Inverso del teorema di Pitagora) Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 22 / 25 Il teorema di Pitagora iperbolico e sferico Lezione 6 Enrico Rogora Pitagora sferico Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti: cos(a/k) = cos(b/k) · cos(c/k) (k costante opportuna). Pitagora iperbolico Se ABC è un triangolo iperbolico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno iperbolico dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni iperbolici dei cateti: cosh(a/k) = cosh(b/k) · cosh(c/k) (k costante opportuna). Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora 23 / 25 La rete delle dipendenze per arrivare alla dimostrazioni Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 24 / 25 Esercizio Lezione 6 Enrico Rogora Geometria dei triangoli Prendere una dimostrazione del teorema di Pitagora e determinare la rete di dipendenza necessarie per giungere alla dimostrazione. Modello di Beltrami Geometria sferica I primi quattro postulati Teoria delle parallele Teoria dell’equivalenza Il teorema di Pitagora Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 6 13 Marzo 2017 25 / 25
