Problemi sul lavoro
Problema 1
Un corpo di massa 50 kg viene trascinato a velocità costante per 10 m lungo un piano orizzontale da una
forza inclinata di 45° rispetto all’orizzontale, come in figura. Sapendo che il coefficiente di attrito è 0,40
calcolare l’intensità della forza e il lavoro speso. [198 N; 1,4 103 J]
Soluzione:
Fx F cos 45 FA Fy F sin 45
Dato che velocità costante la forza d’attrito è pari alla forza Fx.
FA kFprem k (mg F sin 45) da cui k (mg F sin 45) F cos 45
0, 4(490 0,7 F ) 0,7 F 196 0,98F F
196
200 N L Fs cos 45 200 10 cos 45 1414 J
0,98
Problema 2
Un corpo di massa 40 kg viene trascinato per 20 m a velocità costante su per un piano inclinato di 30°
rispetto all’orizzontale da una forza diretta parallelamente al piano. Sapendo che il coefficiente di attrito è
0,40, calcolare la forza richiesta, il lavoro compiuto da tale forza e il lavoro compiuto dalla forza d’attrito.
[366 N; 7315 J; -3395J]
Soluzione: Dato che il corpo si muove verso l’alto a velocità costante, le forze verso il basso sono pari alla
forza di spinta. F// mg sin 30 196 FA kmg cos30 135,8 F F// FA 196 135,8 331.8 N
Problema 3
Una cassa avente la massa di 20 kg viene trascinata per una distanza di 5,0 m sopra una superficie
orizzontale con coefficiente di attrito 0,40 da una forza costante di 200 N nella direzione del moto.
Calcolare il lavoro compiuto dalla forza applicata e dalla forza di attrito. Calcolare inoltre la velocità finale
della cassa nell’ipotesi che la velocità iniziale sia nulla. . [103 J;-392J; 7,8m/s]
F 200 N
L Fs 200 5 1000 J
FA kmg 78, 4 N
LA Fs 78, 4 5 392 J
Ltot 1000 392 608 J
1216
1
1
1
7,8m / s
Ltot mv22 mv12 608 mv22 v
Applico il teorema dell’energia cinetica.
20
2
2
2
Problema 4
Calcolare il lavoro necessario per disporre in una pila 5 casse identiche di altezza 20 cm e di massa 5 Kg,
appoggiate sopra un pavimento orizzontale. [98 J]
L0 mgh 0 L1 mgh L2 mg 2h L3 mg 3h
L4 mg 4h
L L0 L1 L2 L3 L4 mgh(1 2 3 4) 5 9,8 0, 20 10 98J
Problema 5
Un locomotore di massa 3000 kg passa dalla velocità di 15 m/s alla velocità di 35 m/s in 30 s. Calcolare la
potenza sviluppata dal motore. . [50 kW]
L 1,5 10 6 J
1
1
1
50000W 50 Kw
L mv22 mv12 3000(1225 225) 1,5 106 J P
t
30
2
2
2
Problema 6
Un treno viaggia su un binario orizzontale alla velocità di 36 Km/h. Supponendo che la locomotiva sviluppi
una potenza di 200 KW per mantenere una velocità costante., determinare la forza dovuta agli attriti e alla
resistenza dell’aria che si oppone al moto. [2 104 N]
Soluzione:
sfruttando la formula P
F
L F s
F v e portando le grandezze nel S.I.
t
t
P 200000
20000 2 104 N
v
10
Energia e Conservazione dell’energia
Problema 7
Una pietra viene lanciata con una velocità iniziale di 20 m/s contro un fanale altro 5 m rispetto al punto di
lancio. Trascurando ogni resistenza, calcolare la velocità della pietra quando urta il fanale. [17,4 m/s]
1 2
1
mv1 mgh2 mv22
2
2
1 2
1
1
v1 gh2 v22 200 49 v22 v2 17, 4
2
2
2
Problema 8
Un corpo di massa 20 kg, inizialmente fermo , viene tirato su per un piano inclinato di 30° per un tratto di
3,6 m da una forza parallela al piano d’intensità 198N. Calcolare la velocità acquistata dal corpo al termine
dello spostamento. [6 m/s]
Ftot F mg sin 30 100 N atot
F
5m / s 2 v 2 v02 2as v 2as 2 5 3,6 6
m
Problema 9
Un corpo scivola lungo un piano inclinato di un angolo di 60°, prima di fermarsi sopra un piano
Orizzontale avente lo stesso coefficiente di attrito k=0,4. Se il corpo scende da un altezza di 12 m, calcolare
lo spazio percorso sopra il piano orizzontale. [23,1 m]
Tratto AB: trovo la lunghezza del piano inclinato,
trovo l’accelazione, provocata da forza parallela me
no attrito. E trovo infine la velocità nel punto B
l
h
12
13,86
sin 60 sin 60
Soluzione:
a g sin 60 kg cos60 g sin 60 0,4 g cos60 8,48 1.96 6,52 m/ s 2
vB2 vA2 2as vB 2as 2 6,52 18,63 13, 44
Tratto BD:
uso la stessa formula (o il teorema dell’energia meccanica)
a
v 2 vB2 180,63
Fattrito kmg
23m
kg 3,92 s D
2a
2 3,92
m
m
Oppure con il lavoro solo nel Tratto BD:
1
1
L mv 2 20 13, 442 1806,33J
2
2
v 2as 2 5 3,6 6
s
L 1806,33 1806,33
23m v 2 v02 2as
F
kmg
78, 4
Problema 10
Una pallina di massa 2 kg legata ad un sottile filo fissato in O viene sollevata dalla posizione di equilibrio in
modo da formare un angolo α=60°. Calcolare la tensione del filo quando la pallina, dopo essere stata
lasciata libera, passa per la posizione di equilibrio. [19,6N]
Soluzione: Il filo ha una tensione pari al peso. P mg 19,6
Problema 11
Un corpo di massa m=1 kg viene lasciato andare, con velocità iniziale nulla nel punto A di una superficie
avente la forma di un quadrante di cerchio, di raggio r=1,3m, come mostrato in figura. Esso scivola lungo la
curva e raggiunge il punto B con una velocità v0=3,7m/s. A partire dal punto B scivola su una superficie
piana, arrestandosi infine nel punto C, che dista da B di d=2,8 m.
a) Quale è il coefficiente di attrito della superficie piana?
b) Quale lavoro viene compiuto contro le forze d’attrito mentre il corpo scivola lungo la sagoma
circolare da A a B? [0,25; 5,9J]
Soluzione:
L
1 2
mv 6,845 J
2
F
F
L
2,5
2, 44 N k
mg
s
1
1
EPot _ A ECin _ A Lattrito mgh mv 2 Lattrito Lattrito mgh mv 2 12,74 6,85 5,9 J
2
2
Problema 12
Una molla di costante elastica 30 N/m, fissata a un sostegno, porta attaccata all’altra estremità una massa
di 1000 g. La massa viene spostata di 20 cm dalla posizione di equilibrio e poi è lasciata libera di oscillare.
Calcolare la massima velocità, la massima energia elastica e il periodo del moto oscillatorio.
[1,09m/s;4,16J; 1,15J]
Felastica P
kxB mg
xB
mg
0,33m
k
h 0,33 0, 2 0,53m
Massima lunghezza molla
Massima energia potenziale molla è
Eel _ max
1 2
kh 4, 2 J
2
Ponendo l’energia potenziale 0 alla molla a riposo sia per la forza elastica che per la forza peso ho che:
1) Conservazione dell’energia nei punti B e C
1
1
1
kxC 2 mgxC kxB 2 mgxB mvB 2
2
2
2
vB R
'
1
4, 2 5, 2 1, 6 3, 2 vB 2
2
vB 1,09
2 vB 1,09
5, 45 T
1,15 s
R 0, 20
R 0, 20
vB 1, 2 1,09m / s
Problema 12
Una sfera pesante poggiata sopra una molla elastica produce una compressione statica di 10 cm. Calcolare
la massima compressione della molla se la sfera cade sopra la molla dall’altezza di 120 cm. [60 cm]
Soluzione:
La prima azione ci dice che il sistema sta in equilibrio che il peso è uguale alla forza elastica
kxstatico mg
k
mg
0,1
Applico il principio della conservazione della energia. Il corpo sta a 120 cm dalla molla riposo, quando la
molla si comprime il corpo scende ancora di una lunghezza x. Allora il corpo dall’inizio ha una distanza
120+x.
E peso Emolla
1 2
kx
2
1 mg 2
mg (h x)
x
2 0,1
1 2
h x
x
0, 2
1 2
1, 2 x
x
0, 2
x2 0, 2 x 0, 24 0
mg (h x)
x
0, 2 0, 04 0,96 0, 2 1
0, 6m
2
2
Problema 13
Una pallottola di massa m 10g, sparata contro un blocco di massa 990 g, poggiato sopra una superficie
orizzontale e fissato a una molla di costante elastica 100 N/m., viene incorporata dal blocco. Se in seguito
all’urto la molla subisce una compressione massima di 10 cm, calcolare l’energia potenziale massima della
molla e la velocità del blocco subito dopo l’urto. [0,5J; 1 m/s]
Soluzione:
m 0,01 0,99 1kg
EP
1 2 1
kx 100 0,12 0,5 J
2
2
Per la conservazione dell’energia
1 2 1 2
kx mv v k x 1m / s
2
2
