Note su tensioni e correnti alternate.

Note su tensioni e correnti alternate.
Corso di Metodi di Trattamento del Segnale
A.A. 2006-2007
Edoardo Milotti
Edoardo Milotti – Tensioni e correnti alternate – Corso di Metodi di Trattamento del Segnale – A.A. 2006-2007
In elettronica si manipolano segnali che variano nel tempo, e per questo motivo è importante
conoscere bene il formalismo delle serie e delle trasformate di Fourier (e più avanti anche le
trasformate di Laplace). In questo formalismo i segnali vengono decomposti in somme di segnali
sinusoidali, e quindi a ciascuna componente sinusoidale si può applicare il formalismo delle
tensioni e correnti alternate.
Quando ci sono tensioni e correnti variabili, diventano importanti anche altri fenomeni oltre alla
dissipazione resistiva. In particolare acquistano importanza le energie accumulate nei campi elettrici
dei condensatori e nei campi magnetici delle induttanze. A proposito di questi componenti
ricordiamo soltanto i due seguenti risultati:
- la tensione V ai capi di un condensatore è correlata alla carica accumulata Q dalla relazione
dQ
dV
Q=CV, e C è una costante detta capacità del condensatore. Quindi la corrente è I =
. Il
=C
dt
dt
simbolo circuitale della capacità è il seguente:
- la tensione V ai capi di un'induttanza è legata alla variazione di corrente nell'induttanza dalla
dI
relazione V = L , dove L è una costante detta induttanza. Il simbolo circuitale dell'induttanza è il
dt
seguente:
Le equazioni di Kirchhoff continuano a mantenere la loro validità, almeno fintantoché la velocità di
variazione della tensione non è troppo elevata1. Consideriamo ad esempio il seguente circuito:
Il generatore GEN produce una tensione V=V(t), allora applicando la legge di Kirchhoff per le
tensioni, si ottiene l'equazione differenziale
V (t) = L
dI
dt
Le equazioni di Kirchhoff continuano ad essere valide fino a quando la lunghezza d’onda = c ,
dove è la più alta frequenza contenuta nel segnale, è maggiore delle dimensioni fisiche del
circuito. Quando ciò non è più vero allora diventano importanti gli effetti di irraggiamento
elettromagnetico. In questo caso si possono continuare ad utilizzare le leggi di Kirchhoff se si
introducono delle capacità e delle induttanze fittizie che tengono conto degli effetti radiativi.
2
1
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e quindi, integrando
t
I(t) = I(0) +
1
V (t ')dt '
L 0
La soluzione non è sempre così semplice: poiché in generale ci sono anche delle capacità, le
dV
equazioni di Kirchhoff contengono sia dei termini del tipo I = C
, sia dei termini del
dt
dI
tipo V = L . Derivando ancora una volta rispetto al tempo i termini di tipo capacitivo, si ottiene
dt
1
d 2V 1 dI
=
V . Così, in generale, si passa da un insieme di 2n
qualcosa di questo tipo: 2 =
C dt LC
dt
equazioni differenziali di primo ordine per 2n variabili, ad un insieme di n equazioni differenziali di
secondo ordine per n variabili.
Il circuito RC.
Si consideri ora il circuito mostrato qui sotto:
Il generatore di tensione GEN produce una tensione variabile nel tempo V=V(t), e così l'equazione
di Kirchhoff relativa alla sola maglia che c'è è
V (t) =
Poiché I =
Q
+ RI
C
dQ
dt
V (t) =
Q
dQ
+R
C
dt
e questa è un'equazione differenziale ordinaria di primo ordine, lineare e non-omogenea. Noi qui
non discutiamo il caso più generale possibile, ma prendiamo una tensione
V0
V (t) = 0
se t 0
se t < 0
e supponiamo che il condensatore abbia una carica iniziale (al tempo t=0) Q0. L'equazione
omogenea associata, che in questo caso è
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R
dQ Q
+ =0
dt C
si risolve facilmente riscrivendola nella forma
dt
dQ
=
RC
Q
e da questa si vede immediatamente che la soluzione generale dell'equazione omogenea è
Q(t) = Aet / RC (A è una costante di integrazione da determinare). È facile inoltre vedere che una
soluzione particolare dell'equazione non omogenea è Q = CV0, e quindi la soluzione generale
dell'equazione differenziale non-omogenea è
Q(t) = Aet / RC + CV0
e se la carica inizialmente presente sul condensatore è Q0, allora A=Q0 - CV0, così che
Q(t) = (Q0 CV0 )et / RC + CV0
Da quest'ultima equazione si trova l'andamento della corrente:
0
dQ I(t) =
=
dt CV0 Q0 t / RC
e
RC
se t<0
se t 0
e perciò se il condensatore è inizialmente scarico, e t > 0
(
Q(t) = CV0 1 et / RC
V0 t / RC
I(t) = e
R
)
e le figure seguenti mostrano il comportamento di carica e corrente in quest'ultimo caso (nel caso
della carica viene mostrato anche il livello a cui la curva tende asintoticamente):
4
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Circuiti e reti in AC: soluzioni asintotiche e formalismo complesso
In generale i circuiti che contengono elementi lineari come resistenze, induttanze e capacità
vengono descritti da equazioni differenziali del tipo
N
an
n=0
dny
= V (t)
dt n
dove y(t) è una delle tensioni interne, o una corrente, o una carica, e V(t) è un termine forzante, che
corrisponde di solito ad una tensione.
Adesso introduciamo la trasformata di Fourier V ( ) del termine forzante
V (t) =
1
2
+
V ( )e
i t
d
i t
d
e la trasformata di y(t)
y(t) =
5
1
2
+
Y ( )e
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Abbiamo visto sopra che dal punto di vista fisico quello che conta è la parte reale di queste
espansioni, in altre parole se consideriamo una certa frequenza ben definita, il contributo di questa
componente al segnale fisicamente osservato è
Re V ( )ei t = Re V ( ) ei ei t = V ( ) cos ( t + )
Sostituendo nell’equazione differenziale troviamo
N
a
n
n=0
1
2
+
n
i t
(i ) Y ( )e d =
1
2
+
V ( )e
i t
d
da cui si trova
N
a (i ) Y ( ) = V ( )
n
n
n=0
e quindi
Y ( ) =
V ( )
N
a (i )
n
n
n=0
Infine dalla soluzione appena trovata si ottiene la funzione y(t):
y(t) =
1
2
+
i t
Y ( )e d =
1
2
+
V ( )
N
a (i )
ei t d
n
n
n=0
La soluzione
Y ( ) =
V ( )
N
a (i )
n
n
n=0
trovata nel caso di una singola componente di Fourier è la base del formalismo delle correnti e delle
tensioni alternate: consideriamo ad esempio il circuito RC studiato in precedenza, in quel caso
avevamo trovato
Q
dQ
V (t) = + R
C
dt
quindi, sulla base di quanto appena visto
Q( ) =
V ( )
1
+ i R
C
Possiamo trasformare le osservazioni che abbiamo appena fatto in una ricetta utile e pratica notando
che conosciamo già che le leggi che regolano il comportamento di induttanze e capacità:
indichiamo con il segno ˆ le ampiezze complesse e proviamo a vedere che accade se le tensioni e le
correnti sono, rispettivamente, V̂0 ei t e Iˆ0 ei t :
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I =C
dV
dt
Iˆ0 ei t = C iV̂0 ei t
V̂0 =
1 ˆ
I0
i C
V=L
dI
dt
V̂0 ei t = L i Iˆ0 ei t
V̂0 = i L Iˆ0
Dunque, utilizzando il formalismo di Fourier, troviamo che per capacità e induttanze vale una
relazione lineare che è formalmente identica alla legge di Ohm
V̂0 = Z Iˆ0
e che per questo si chiama legge di Ohm generalizzata. La quantità Z che compare nella formula
1
si chiama impedenza e vale Z =
nel caso delle capacità e Z = i L nel caso delle induttanze.
i C
Ovviamente nel caso delle resistenze vale ancora la legge di Ohm:
V = RI
V̂0 ei t = R Iˆ0 ei t
V̂0 = R Iˆ0
e quindi per una resistenza Z = R . Poiché le leggi di Kirchhoff valgono ancora (se la frequenza non
è troppo elevata ...) questo significa che se è presente un solo termine forzante proporzionale a ei t
allora possiamo trovare le soluzioni asintotiche semplicemente applicando le leggi di Kirchhoff e la
legge di Ohm generalizzata, senza mai risolvere esplicitamente le equazioni differenziali che
descrivono il circuito.
Introduciamo infine un pò di nomenclatura di uso corrente: l'inverso della resistenza si chiama
conduttanza e si indica di solito con la lettera G e l'inverso dell'impedenza si chiama ammettenza. e
si indica di solito con la lettera Y. L'impedenza complessa viene spesso scomposta in due parti, una
puramente reale, la resistenza, e una puramente complessa, la reattanza X, e questo si scrive di
solito nella forma Z = R + iX .
Potenza media dissipata, valori efficaci e fattore di potenza
Si ricordi ora che la potenza è data dal prodotto V·I, e quindi in un circuito in corrente alternata la
potenza istantanea è data dalla formula
W (t) = V (t) I(t)
Se prendiamo una tensione che varia sinusoidalmente V (t) = V0 cos t , allora la corrente si esprime
con un termine che ha la stessa frequenza più un certo sfasamento: I(t) = I 0 cos( t + ) . Quindi
W (t) = V0 I 0 cos t cos( t + )
VI
= 0 0 ( cos(2 t + ) + cos )
2
7
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In generale si preferisce prendere il valore medio che è dato da
W =
V0 I 0
cos = Veff I eff cos 2
dove sono state introdotte la tensione e la corrente efficaci Veff =
V0
I
e I eff = 0 . La quantità cos 2
2
è detta fattore di potenza.
Circuiti RC e comportamento nel dominio delle frequenze
Come esempio del formalismo complesso consideriamo nuovamente il circuito RC
e supponiamo che il generatore di tensione GEN produca una differenza di
potenziale V (t) = V0 cos t , allora l'estensione complessa di questa differenza di potenziale è
V (t) = V̂0 ei t con V̂0 = V0 .
Come abbiamo visto, l'equazione differenziale che descrive il circuito è
dI
dV I
= +R
dt
dt C
iV̂0 ei t =
Iˆ0 ei t
+ R i Iˆ0 ei t
C
V̂0 =
Iˆ0
1
+ RIˆ0 = + R Iˆ0
i C
i C
1
+ R . Perciò
e quindi l'impedenza equivalente di capacità e resistenza in serie è proprio Z = i C
la corrente fornita dal generatore è data dall'espressione
i CV̂0
V̂
V̂0
=
Iˆ0 = 0 =
1
(1 + i RC )
Z + R
i C
e quindi, tornando alla parte reale,
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V̂ ei t 0
I(t) = Re 1
+ R
i C
i CV0 ei t = Re (1 + i RC ) .
CV0 ei t ei( /2 arctan RC ) = Re 1 + 2 R 2C 2
CV0
cos t + arctan RC =
2 2 2
2
1+ R C
Possiamo allora calcolare altre due quantità:
- la tensione ai capi del condensatore è
V̂C =
1
1
Iˆ0
=
V̂0 =
V̂0 ei arctan RC
2 2 2
i C (1 + i RC )
1+ R C
La figura che segue mostra l'andamento della funzione
1
1 + 2 R 2C 2
in funzione della variabile
adimensionale RC (che però è proporzionale alla frequenza):
- la tensione ai capi della resistenza è
V̂R = RIˆ0 =
i RC
RC
V̂0 =
V̂ ei(arctan RC /2)
2 2 2 0
(1 + i RC )
1+ R C
La figura che segue mostra l'andamento della funzione
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RC
1 + 2 R 2C 2
in funzione di RC :
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È particolarmente importante notare che la corrente che passa nel circuito è sfasata rispetto alla
tensione prodotta dal generatore, e che lo sfasamento è espresso dal termine
esponenziale ei( /2 arctan RC ) . Anche le altre tensioni che abbiamo analizzato sono sfasate rispetto alla
tensione del generatore. Questa è una caratteristica importante del formalismo complesso: non basta
l'intensità a caratterizzare il comportamento di una quantità, è necessario anche lo sfasamento.
Circuito LRC in serie e Q-valore.
Si consideri ora il circuito LRC in serie mostrato nella figura seguente:
Il generatore di tensione GEN produce una tensione variabile nel tempo V=V(t), e così l'equazione
di Kirchhoff relativa alla sola maglia che c'è è
V (t) =
Q
dI
+ RI + L
C
dt
o meglio
L
d 2Q
dQ Q
+R
+ = V (t)
dt C
dt 2
e questa è un'equazione differenziale ordinaria di primo ordine, lineare e non-omogenea.
L'equazione omogenea associata in questo caso è
L
10
d 2Q
dQ Q
+R
+ =0
2
dt C
dt
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e si vede subito che essa coincide formalmente con l'equazione del moto di un oscillatore armonico
smorzato, e in particolare si può introdurre una corrispondenza diretta tra quantità elettriche e
quantità meccaniche. Nel caso dell'oscillatore armonico smorzato di tipo meccanico, l'equazione
differenziale per l'ampiezza delle oscillazioni è:
m
d2x
dx
= kx ,
2
dt
dt
dove m è la massa dell'oscillatore, k è la costante elastica della molla e è il coefficiente di attrito;
si può facilmente stabilire una corrispondenza tra quantità meccaniche e quantità elettriche
k 1/C,
R,
m L.
Soluzione nel dominio del tempo
Funzioni esponenziali del tipo Q = et costituiscono una base di soluzioni per equazioni
differenziali lineari, perciò sostituendo una funzione di questo tipo nell’equazione differenziale del
circuito si trova
1
+ R + 2L = 0
C
e dunque si ottengono le due soluzioni
=
Adesso scriviamo 0 =
R
R2
1
±
2
2L
LC
4L
1
R
e , allora
L
LC
=
2
±
02
2
4
Sono possibili 3 casi:
a.
2
02 > 0
4
caso sovrasmorzato: i due valori di sono entrambi reali e negativi;
b.
2
02 = 0
4
caso smorzato criticamente: c'è un solo , ed è reale e negativo;
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c.
2
02 < 0
4
caso sottosmorzato: i due valori di sono complessi coniugati, la
parte reale di è sempre negativa;
e in questi tre casi la soluzione generale dell'equazione differenziale è:
a.
2
2
A exp +
02 t + B exp 02 t 4
4
2
2
b.
e
t
2
(A + Bt)
c.
e
t
2
it
Ae
02 2
4
+ Be
it 02 2
4
t 2 2 2
2
+
i(A
B)sin
t
= e 2 (A + B)cos t 0 0
4 4 Dobbiamo trovare ancora una soluzione particolare dell'equazione non-omogenea.
Soluzione nel dominio della frequenza
Se la tensione del generatore varia sinusoidalmente, allora è possibile utilizzare il formalismo delle
tensioni e correnti complesse. Il circuito è descritto da un'unica equazione di Kirchhoff:
1 ˆ
V̂ = R + i L +
I
i C e dunque la corrente che passa nella maglia è
Iˆ =
V̂
1 R + i L C Come al solito Iˆ e V̂ sono ampiezze complesse; V̂ è dato, e troviamo dunque modulo e fase di Iˆ :
| Iˆ |=
| V̂ |
1 R2 + L C 2
| V̂ |
=
R 1+
( 2 02 )2
2 2
1 L 2
2
C = Arg(V̂ ) arctan 0 Arg( Iˆ ) = Arg(V̂ ) arctan R
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Da queste due formule si vede che la corrente ha ampiezza massima e sfasamento nullo rispetto la
1
tensione in corrispondenza alla frequenza di risonanza 0 =
.
LC
Le due figure che seguono mostrano come variano - in funzione della frequenza - l'ampiezza della
corrente e il suo sfasamento rispetto la tensione.
Ampiezza e fase della corrente nel circuito risonante in serie in funzione della frequenza.
La curva di risonanza
Calcoliamo ora la potenza assorbita dal generatore:
W =
dove il fattore di potenza è
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| V̂ | | Iˆ |
| V̂ |2
cos =
2
2R
cos 1+
( 2 02 )2
2 2
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2 02 =
cos = cos arctan 1
2 02 1+ 2
e perciò la potenza media assorbita è data dall'espressione
W =
| V̂ |2
2 2
.
2 2
2R + ( 2 02 )2
La funzione
f ( ; 0 , ) =
2 2
2 2 + ( 2 02 )2
descrive la curva di risonanza del circuito. Per frequenze vicine alla curva di risonanza si preferisce
approssimarla come segue:
f ( ; 0 , ) =
La funzione
2 4
2 2
02 2
=
2 2 + ( 0 )2 ( + 0 )2 02 2 + 4 02 ( 0 )2 2 4 + ( 0 )2
2 4
compare in molti settori della Fisica con nomi diversi, curva
2 4 + ( 0 )2
Lorentziana, distribuzione di Breit e Wigner e in teoria della probabilità, densità di probabilità di
Cauchy.
Curva di risonanza calcolata con
0 = 10
e
= 1 (in unità di frequenza arbitrarie).
Si noti che la curva di risonanza ha un valore corrispondente a metà di quello di picco quando
2 4 = ( 0 )2 cioè quando = ± / 2 , e quindi è la larghezza a metà altezza della curva di
risonanza.
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Energia di un oscillatore forzato e Q-valore
Per tempi molto lunghi rispetto alla durata dei transienti, un oscillatore forzato da una forza
periodica raggiunge uno stato di equilibrio dinamico nel quale l'energia che viene dissipata è uguale
a quella fornita dalla forza esterna.
Ovviamente questo è vero solo in media, infatti l'attrito è proporzionale alla velocità e quindi è
massimo quando l'energia cinetica è massima. D'altra parte l'oscillatore immagazzina energia sia
sotto forma di energia cinetica sia sotto forma di energia potenziale, e quindi l'attrito non è
proporzionale, istante per istante, all'energia totale immagazzinata nell'oscillatore. Inoltre abbiamo
appena visto che in generale c'è un certo sfasamento tra ampiezza dell'oscillazione e termine
forzante, e queste considerazioni mostrano che non ha molto senso effettuare un confronto
istantaneo. Però è facile fare un confronto ciclo per ciclo, definiamo dunque due quantità medie,
l'energia media immagazzinata e la potenza media assorbita nel caso di un oscillatore meccanico
forzato da F = F0 cos( t + ) :
E = Energia cinetica + Energia potenziale =
(
1
m x 2 + m 02 x 2
2
) = m2 (
2
+ 02 ) x 2
W = F x = (m
x + mx + m 02 ) x = m x 2 = m 02 x 2
(esercizio: giustificare i passaggi). Durante ogni periodo T l'oscillatore perde una certa frazione
f dell'energia totale immagazzinata, e riceve altrettanta energia dall'esterno, perciò deve valere
l'uguaglianza
f E =T W
e quindi
E
1
2 + 02
=
=
f T W
2 02 T
Quando ci si trova sulla risonanza si introduce il Q-valore o fattore di qualità dell'oscillatore o
fattore di merito, e si scrive:
Q=
E
2
= 0
= 0.
f
W
Il Q-valore è legato al tempo di decadimento dell'oscillazione, e questo si vede subito notando che
se si elimina la forza esterna allora la variazione in un periodo dell'energia immagazzinata è
E =f E =
e quindi,
15
2
E
Q
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E
d E
0 E = E
dt
T
Q
e questa eq. differenziale si integra immediatamente e si trova E = E 0 e t . Perciò = 1 è il
tempo di decadimento dell'oscillazione, e Q = 0 .
16