monomi e polinomi - 2B Liceo Ceccano

CALCOLO LETTERALE
In matematica, si dice calcolo letterale quell'insieme di operazioni algebriche che siano
espresse sia con termini numerici, sia con termini letterali.
In altre parole, un'espressione viene definita letterale quando alcuni suoi termini sono
espressi mediante lettere dell'alfabeto, generalmente di quello latino.
L’uso delle lettere al posto dei numeri si utilizza per scrivere proprietà e regole
dandone una valenza più generale rispetto a un restrittivo esempio numerico.
L’uso delle lettere è ad esempio utilizzato in geometria per scrivere formule valide per
la generalità delle figure.
Area Rettangolo = b * h
Le lettere rappresentano di volta in volta il caso particolare e il valore di
un’espressione letterale dipende, quindi, dal valore assegnato alle sue lettere.
Il calcolo letterale impone, però, di far di conto con le lettere proprio come fossero
numeri per ottenere forme compatte di espressioni letterali altrimenti complesse.
ESPRESSIONI LETTERALI
Una ESPRESSIONE LETTERALE O ALGEBRICA è un’espressione in cui alcuni
numeri sono espressi mediante lettere. Questa definizione consente la risoluzione
generalizzata di un dato problema.
Esempio:
𝑎2 + 𝑏 3
rappresenta la somma del quadrato del numero relativo generico a con il cubo di un
altro qualsiasi numero relativo b.
Tale valore cambierà al cambiare dei valori che diamo alle lettere a e b.
Il valore numerico di una espressione algebrica varia con il variare dei valori numerici
attribuiti alle lettere.
Esempi di espressioni letterali
Per moltiplicare un numero a per la somma ( b + c + d ) basta moltiplicare quel numero
per ciascun addendo della somma e poi sommare i prodotti parziali ottenuti:
a *( b + c + d ) = ab + ac + ad
Per moltiplicare una somma algebrica per una altra somma, basta moltiplicare ciascun
termine della prima per ciascuno della seconda e poi addizionare i prodotti ottenuti:
( a + b + c ) *( x + y ) = ax + ay + bx + by + cx + cy
In una stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano numeri reali uguali.
Per calcolare il valore di un’espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e
si calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta (per sostituzione).
Esempio:
calcoliamo il valore di
6a – 2b supponendo che a valga +2 e b valga -3
6a – 2b = 6 * ( +2 ) – 2 * ( -3 ) = 12 + 6 = 18
1
calcoliamo il valore di –4a + ( -3b ) – ( -5a ) + ( +7b ) supponendo che a valga -1 e b valga +2
–4 *( -1 ) + [ -3 *( +2 ) ] – [ -5 *( -1 ) ] + [ +7 *( +2 ) ] = 4 – 6 – 5 + 14 = 7
Si dice che un’espressione algebrica perde significato, cioè che non è possibile risolverla, nei
seguenti casi:

quando il denominatore è 0, in quanto non ha senso dividere per 0 ;

per valori che rendono negativa un’espressione sotto radice con indice pari.
RICORDA:

un numero diviso per 0 è un’operazione impossibile;

0 diviso per 0 è un’operazione indeterminata;

0 diviso un numero diverso da 0 vale 0 ;
un numero positivo sotto una radice pari vale ± la radice estratta, es. √4 = ±2;

un numero negativo sotto una radice pari è un’operazione impossibile;
MONOMI

MONOMIO: espressione letterale scritta come prodotto (moltiplicazione) tra un
numero e alcune lettere. Il numero si dice coefficiente del monomio, le lettere
costituiscono la parte letterale.
Esempi : -2a3b4x6 ;
Non sono monomi:
3
xyt ;
5
a3b2c
3xy+2y (c'è una somma);
3 xy
(c'è una divisione tra lettere);
2a
2𝑥𝑦 −1 (l'esponente negativo mi dice che la y sta al denominatore quindi si tratta di una
divisione).
Da specificare che anche un solo numero (intero, frazione) rappresenta un monomio.

MONOMIO NULLO : è il monomio di coefficiente 0

MONOMIO RIDOTTO IN FORMA NORMALE : è scritto come prodotto di un numero e
di una o più lettere tutte diverse tra loro .
Esempio : -2a3b4x6
è ridotto in forma normale
10 ab3a3b2c
non è ridotto in forma normale

GRADO DI UN MONOMIO: è la somma degli esponenti di tutte le lettere
compaiono nel monomio
Esempio : 4 a3b2c è un monomio di grado 6 , perché 3+2+1 = 6
che

GRADO DI UN MONOMIO RISPETTO AD UNA LETTERA : è l’esponente al quale è
elevata la lettera considerata, purché il monomio sia scritto in forma normale
Esempio :
-7x3y2t
rispetto alla lettera x ha grado 3 ;
rispetto alla lettera y ha grado 2 ;
2
rispetto alla lettera t ha grado 1 .

MONOMI SIMILI : due o più monomi sono simili quando hanno la stessa parte
letterale
Esempio : 2ab ; - 3ab ; 5ba
3x2 y; -4x2y
 MONOMI OPPOSTI : SONO DUE MONOMI SIMILI , MA CON COEFFICIENTI OPPOSTI
Esempio : - 2ab e + 2ab
La somma di 2 monomi opposti è il monomio 0
OPERAZIONI TRA MONOMI
a) ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI MONOMI
L’addizione e sottrazione tra monomi si può eseguire solo tra monomi simili.
Il risultato è un monomio simile , avente la stessa parte letterale e come coefficiente
la somma algebrica dei coefficienti
Esempio : -3ac + 5ac – 6a + 2a = ( -3 + 5) ac + (- 6 + 2 ) a = 2ac – 4°
b) MOLTIPLICAZIONE DI MONOMI
Il prodotto tra 2 o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei
coefficienti e come parte letterale il prodotto delle lettere
NB per il prodotto delle lettere uguali applicare la proprietà delle potenze con ugual
base ( addizione degli esponenti delle lettere uguali)
per il prodotto dei coefficienti ricordare le regole del segno del prodotto di 2
numeri relativi.
Esempio : 2ax3. ( -3x2y4) .(
5 5
5 6 5 4
a )=axy
12
2
c) DIVISIONE DI MONOMI
Il quoziente tra 2 monomi è un monomio avente per coefficiente il quoziente dei
coefficienti e come parte letterale il quoziente delle lettere
NB per il quoziente delle lettere uguali applicare la proprietà delle potenze con ugual
base ( sottrazione degli esponenti delle lettere uguali)
per il quoziente dei coefficienti ricordare le regole del segno del quoziente di 2
numeri relativi.
5 1-0 3-2 0-4
5 1 1 -4
5ax
a x y
= a x y
= 2
2
2y4
NB Se in un monomio qualche lettera compare al denominatore , tale monomio
si dice FRATTO.
Esempio : 5ax3: ( -2x2y4) = -
d) POTENZA DI UN
MONOMIO : per elevare a potenza un monomio , basta
elevare a quella potenza sia il coefficiente che tutte le lettere della parte
letterale.
Esempio : ( - 3a2b3xy5 ) 2 = ( - 3 ) 2 (a2 ) 2( b3 ) 2(x ) 2( y5 ) 2 = 9a4b6x2y10
M.C.D. e m.c.m.
TRA
MONOMI
a) Il M.C.D. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :
 per coefficiente il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono
tutti numeri interi ,
3

altrimenti il coefficiente è sempre + 1
per parte letterale solo le lettere comuni con l’esponente minore
b) b) Il m.c.m. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :
 per coefficiente il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono
tutti numeri interi ,
altrimenti il coefficiente è sempre + 1
 per parte letterale tutte le lettere, comuni e non comuni , prese una sola
volta , con
l’esponente maggiore
POLINOMI

POLINOMIO : somma algebrica di 2 o più monomi non simili ( i monomi che
compaiono in un polinomio si dicono TERMINI del polinomio )
Esempio : 2a + 3b ; 4axy – 3x + 5 a ;

GRADO COMPLESSIVO DI UN POLINOMIO : è il grado del suo monomio di grado
maggiore
Esempio : il polinomio ( 3a4xy5 – 2x) ha grado complessivo 10 , perché tra i 2
monomi che formano il polinomio , il 1° monomio ha grado maggiore e vale 10

GRADO DI UN POLINOMIO RISPETTO AD UNA LETTERA è il massimo esponente con
cui compare quella lettera
Esempio : il polinomio -
è
è
è
è
è
5 2 3 4 5 3
a bc  xy z
7
9
un polinomio di grado complessivo 9
di 1° grado rispetto alle lettere b e x
di 2° grado rispetto alla lettera a
di 3° grado rispetto alle lettere c e z
di 5° grado rispetto alle lettere y

POLINOMIO ORDINATO IN MODO CRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA : se i suoi
termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in
ordine crescente
Esempio : 8x5y – 5x6y2 + 7 x8 è ordinato secondo potenze crescenti di x

POLINOMIO ORDINATO IN MODO DECRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA : se i suoi
termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in
ordine decrescente
Esempio : 8x6y3 – 5x2y2 + 7 xy1

POLINOMIO COMPLETO RISPETTO AD UNA LETTERA : se per tale lettera si
presentano tutte le potenze dal grado massimo fino al grado 0
Esempio : 2a3 + a2 – 7a + 8
 POLINOMIO OMOGENEO : se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado
Esempio : 2a3 + a2b – 7ab2 + 8 b3
OPERAZIONI TRA POLINOMI
4
a) ADDIZIONE E SOTTRAZIONE TRA POLINOMI
Per addizionare o sottrarre 2 o più polinomi si scrivono uno di seguito all’altro
eliminando le parentesi e sommando i termini simili
Per eliminare le parentesi si applicano le regole già note:
 se la parentesi è preceduta da un segno + , i termini in essa
contenuti non cambiano segno
 se la parentesi è preceduta da un segno - , i termini in essa
contenuti cambiano segno
b) MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione , moltiplicando ogni
termine del polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della moltiplicazione
tra potenze di lettere uguali ……)
Esempio : ( 3a - b + 5ab ) . ( - 3a2b ) = - 9 a2b + 3 a2 b2 – 15 a3 b2
c)
DIVISIONE
DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della divisione, dividendo ogni termine del
polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della divisione tra potenze di
lettere uguali ……)
Es1)
(12a2 – 9ab + 6a ) : ( - 3 a ) = - 4 a + 3b – 2
Es2)
( x + 3y – 4 ) : 2x =
1
3y
2
+
2
2x
x
c) MOLTIPLICAZIONE TRA DUE POLINOMI
Basta moltiplicare ogni termine del primo polinomio , per ogni termine del secondo
polinomio
Esempio : ( 2a - 3b ) . ( -3ab + 5ax + 1 ) = - 6a2b + 10 a2x + 2a + 9ab2- 15abx –
3b
DIVISIONE
TRA DUE
POLINOMI
Dati due polinomi A e B , il loro quoziente Q , è quel polinomio per cui si ha
A:B=Q
se
Q.B=A
 Q è il quoziente esatto della divisione tra 2
polinomi
Se Q non è il quoziente esatto della divisione tra i polinomi A e B , allora :
Q. B +
R
=
A  dividendo
divisore resto
Esempio ( 2 a3 – 1 + 3a – 5a2 + a4 ) : ( 3 – 2a+ a2 )
Per calcolare il quoziente Q si deve :
a) ordinare in modo decrescente i polinomi A e B
b) dividere il 1° termine di A per il 1° termine di B  si ottiene il 1° termine del
quoziente
c) moltiplicare il quoziente ottenuto per ogni termine del divisore B , scrivendo il
risultato del prodotto , cambiato di segno , sotto il dividendo e si esegue la somma
d) dividere il 1° termine del 1° resto parziale ( + 4a 3 ) per il 1° termine del divisore (
a2 ) e si ottiene il 2° termine del quoziente
e) procedere come nel punto c)
NB: la divisione finisce quando il grado del resto parziale è minore del grado del
polinomio divisore.
5
VERIFICA del risultato ottenuto :
se Q . B + R = A
allora il risultato è esatto.
DIVISIONE TRA POLINOMI CON REGOLA DI RUFFINI
Serve per risolvere più rapidamente la divisione tra polinomi , quando il polinomio
divisore è un BINOMIO DI 1° GRADO del tipo ( x + k ) o ( x – k ) , con k  R
Esempio
( 2 x4 – 3x3 + 5x2 – x + 1 ) : ( x – 4 )
a) si predispone uno schema come questo , in cui si sistemano solo i coefficienti
del dividendo , separati dal termine noto del dividendo
2
+4
.
-3
2
5
-1
1
8
5
b) in basso a sinistra si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno ,
quindi + 4
c) si abbassa il 1° coefficiente del dividendo , lo si moltiplica per il numero scritto
in basso a sinistra e si scrive il loro prodotto sotto il 2° coefficiente del
dividendo
d) si esegue la somma tra i due termini che occupano il 2° posto , si ottiene 5
che si scrive in colonna
e) si moltiplica l’ultimo risultato 5 per il numero in basso a sinistra ( + 4) , si
scrive il prodotto sotto il 3° coefficiente de dividendo e si esegue la somma ,
ottenendo 25
f) si prosegue sempre così , fino ad arrivare all’ultima somma del termine noto.
Dallo schema finale si ricavano i coefficienti del Quoziente e il resto della
divisione.
Il grado del quoziente è ( 4 – 1 ) = 3 , pertanto il quoziente è : Q = 2x3 + 5x2
+25x +99 R = 397
PRODOTTI NOTEVOLI
Nel calcolo algebrico si presentano particolari moltiplicazioni tra due polinomi i cui
risultati si possono ottenere rapidamente applicando determinate regole .
Questi prodotti vengono detti PRODOTTI NOTEVOLI.
SCHEMA
RIEPILOGATIVO
PRODOTTI NOTEVOLI
Tipo di prodotto
Risultato
Prodotto della somma di 2 monomi (A + B)(A – (A2 – B2)
per la loro differenza
B)
Quadrato di un binomio
(A+B)2
(A2 +2AB+B2)
(A - B)2
(A2 -2AB+B2)
Cubo di un binomio
(A+B)3
(A3 +3A2B+3AB2+B3)
(A - B)3
(A3 -3A2B+3AB2-B3)
2
Quadrato di un trinomio
(A+B+C)
(A2
+B2++C2+2AB+2AC+2BC)
6
SCHEDA
POLINOMI
DI
RIEPILOGO
SULLA
SCOMPOSIZIONE
DI
Suggerimenti utili per la scomposizione dei polinomi .
a) Controllare sempre se è possibile applicare il raccoglimento a fattor comune
!!!!!
ab + ac + a = a .( b + c + 1)
b) Sulla base del numero dei termini che figurano nel polinomio da scomporre
, dopo che è stato fatto l’eventuale raccoglimento a fattor comune , si
possono seguire le indicazioni riportate nella seguente tabella :
il polinomio può essere ricondotto a :
da
scomporre
ha :
2
(binomio)
a
termini b
c
d
3
termini
(trinomio )
e
4 termini
6 termini
Differenza di 2 quadrati
Differenza di 2 cubi
Somma di 2 cubi
Quadrato di un binomio
a2 – b2 = (a – b) . (a + b)
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab
+ b2 )
a3 + b3 = (a + b) . (a2 –
ab + b2)
a2  2ab + b2 = ( a  b)
2
Trinomio di 2° grado del
tipo:
x2 + sx + p
(falso
quadrato)
Cubo di un binomio
x2 + sx + p = (x + n1 ).(x
+ n2)
Ove s = n1 + n2 ; p = n1.
n2
f
a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3=
(a + b) 3
a3 - 3a2 b + 3a b2 - b3= (a
- b) 3
g Differenza tra 2 quadrati a2  2ab + b2 – c2 =
( 3 termini sono il (a  b) 2 – c2
quadrato di un binomio
)
h Raccoglimento Parziale ax+ay+bx+by = a(x+y) +
a2a2
b(x+y) = (x + y).(a + b)
i
Quadrato di un trinomio a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
2bc =
( a + b + c )2
ax + ay + ab + 2x + 2y +
m Raccoglimento Parziale 2b =
a3a3
a(x + y+ b) + 2(x + y +
b) =
( x + y + b) . (a + 2)
7
SCOMPOSIZIONE MEDIANTE LA REGOLA DI RUFFINI
Quando nessuna delle regole viste per la scomposizione di un polinomio si può
applicare , si può ricorrere alla regola di Ruffini , procedendo come spiegato nel
seguente esempio.
Supponiamo di dover scomporre il polinomio 2a3 + a2 – 25a + 12

Si cercano i divisori del termine noto (+ 12 ) , essi sono :  1 ;  2 ;
 3 ;  4 ;  6 ;  12

Per tentativi si determina quel divisore che sostituito ad a , nel
polinomio lo rende uguale a 0 ;

Si prova a sostituire -1  P(-1) = 2.(-1)3 + (-1)2 - 25.(-1) + 12 = 36 0

Si prova a sostituire 1  P(1) = 2.(1)3 + (1)2 - 25.1 + 12 = -10 0

Si prova a sostituire -2 P(-2) = 2.(-2)3 + (-2)2 - 25.(-2) + 12 = 50 0

Si prova a sostituire 2  P(2) = 2.(2 )3 + (2)2 - 25.(2) + 12 = -18 0

Si prova a sostituire +3  P(3) = 2.(3)3 + (3)2 - 25. (3) + 12 = 54 + 9 –
75 +12 = 0
Il numero cercato è +3 ; allora il polinomio 2a3 + a2 – 25a + 12 è divisibile per a
– ( +3) = a – 3.
A questo punto si esegue la divisione tra il polinomio dato ed il binomio ( a – 3 ) ,
con il metodo di Ruffini .
E il polinomio risulta così scomposto : ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = ( a – 3 ) (2a 2
+7a–4)
Anche il polinomio (2a 2 + 7 a – 4 ) si può ulteriormente scomporre applicando
ancora la regola di Ruffini , perché si trova il numero – 4 , che sostituito alla a nel
polinomio (2a 2 + 7 a – 4 ) , lo rende uguale a zero.
 P(- 4) = 32 – 28 – 4 = 0
(2a 2 + 7 a – 4 ) è divisibile per ( a + 4 ) , e dalla divisione con il metodo di
Ruffini , risulta :
(2a 2 + 7 a – 4 ) = ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )
Alla fine avremo : ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = ( a – 3) ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )
Seguendo le indicazioni date , scomponi i seguenti polinomi :
1.
5m4x – 5x =
Raccoglimento totale
Differenza di 2 quadrati
2.
4a2 – 24ax + 36x2
Raccoglimento totale
Quadrato di binomio
3.
m2 +4n2+ 4mn - 4m Quadrato di trinomio
-8n +4
4.
2 3
16 3
y +
z
3
3
Raccoglimento totale
Somma di 2 cubi
8
5.
x6y6 – 1
Differenza di 2 quadrati
Somma di 2 cubi e differenza di 2 cubi
6.
x6y6 – 1
Differenza di 2 cubi
Differenza di 2 quadrati
7.
x7- x5 – x3 + x
Raccoglimento parziale a 2 a 2
Differenza di 2 quadrati
8.
x2 – 5ax – 14 a2
Falso quadrato
9.
x6 – 9x3 + 20
Somma e prodotto
10. 3x2 – 15 x + 12
Raccoglimento totale
Falso quadrato
9