Le principali proprietà dei neutroni
annuncio pubblicitario
Le principali proprietà dei neutroni Interazione nucleare a corto raggio (~10-13 cm) pseudo VFermi ∝ b δ (r − R ) ° b ~ 5 × 10 −13 cm = 5 × 10 −5 A << λ neutroni termici Neutroni termici hanno E ~ 25 meV Neutroni termici hanno λ ~ 2 Å b = b (Z, isotopo) b = b (σ σ, I) b = bcoh + binc I (I + 1) σ⋅I b Anticipando qualcosa sullo scattering coerente e incoerente G (r , t ) = Gd (r , t ) + Gs (r , t ) 1 S (Q ,ω ) = 2π ∫ ∫ d t e− i ω t dr e iQ⋅r [G (r , t ) − ρ ] 3 S (Q ,ω ) = S d (Q ,ω ) + Ss (Q ,ω ) − ρ (2π ) δ (Q )δ (ω ) Lo scattering incoerente sonda esclusivamente la parte self di S(Q,ω) Quello coerente è invece proporzionale alla S(Q,ω) complessiva. Ciò è generalmente un problema, a meno che una delle due componenti nello scattering (coh o incoh) non sia dominante. Esempi: Campione monoisotopico ma con I = 0 (come 36Ar, 86Kr…) è TOTALMENTE coerente L’idrogeno (ma non il deuterio!) ha bcoh << binc ed è quindi PREVALENTEMENTE incoerente Lo scattering incoerente è una peculiarità dei neutroni e in certi casi rappresenta un vantaggio perché permette di misurare Ss(Q,ω). Ci sono poi metodi che consentono di accedere separatamente ai due contributi di S(Q,ω): sostituzione isotopica; neutroni polarizzati incoerente sample coerente Vantaggi/svantaggi dei neutroni 6) Self structure-related properties are accessible (kinetic properties: momentum distribution, velocity correlations,…) Il confronto con altre sonde (I) Neutroni Grandezza E (meV) T (K) λ (Å) k (Å-1) v (m s-1) X Freddi Termici Caldi Epitermici 1 12 9.0 0.7 440 25 290 1.8 3.5 2200 150 1740 0.7 9 5400 1000 12000 0.29 22 14000 2 Luce (vis.) 12400000 2480 1 6.3 5000 0.00126 2 hk 1 2 E= mv = 2 2m E= λ = 2π k = h hc λ = 2π k = E 2mE hc λ = hck Il confronto con altre sonde (II) (as with neutrons) 0) Intrinsic unsuitability to studies on excitations (few tens of meV) in matter, overcome by new X-HRS X-rays High Resolution Spectrometers ∆E ~ 3 ÷ 5 meV ∆E / E ~ 10-6 – 10-7 5) NULL possibility of measuring Self structure-related properties La tipica geometria dello scattering k1 k0 θ La sonda scambia, in generale, sia energia che impulso con il campione. Conservazione dell’energia Conservazione dell’impulso E = E0 – E1 = h2 = k02 − k12 2m ( ) energia scambiata Q = k0 – k1 vettore d’onda scambiato Scattering anelastico e elastico Un evento di scattering caratterizzato da scambio di energia (E ≠ 0) e impulso è detto ANELASTICO. Ciò significa che il vettore d’onda k del neutrone cambia sia in modulo che in direzione, a seguito del processo di diffusione. Q k1 k1 θ θ k0 k0 k0 > k1 ⇒ E0 > E1 ⇒ E > 0 il neutrone CEDE energia al campione Q k0 < k1 ⇒ E0 < E1 ⇒ E < 0 il neutrone ACQUISTA energia dal campione Nel caso particolare in cui k cambia solo in direzione ma non in modulo (cioè k0 = k1), l’energia scambiata è zero (E = 0) e l’evento è detto ELASTICO. k1 Qel θ θ Qel = 2 k0 sin 2 k0 Regione cinematica accessibile 2 2 0 2 1 Q = k0 – k1 ⇒ Q = k + k − 2 k1 k0 cosθ ⇒ Q = k0 ω 1 + 1 − − 2 cosθ ω0 E E Limitazione matematica e fisica , ω 0 = 0 e, dalla h h ω 2 2 conservazione dell’energia, k1 = k 0 1 − . ω0 dove ω = Diversamente, per un’onda elettromagnetica (fotoni: luce, raggi X ⇒E = h c k, ω = c k) : ω ω0 ω < ω0 !! 180° Q k0 ω k1 = k 0 1 − ω0 Q = k0 1− 30° 2 ω − 2 cosθ 1 + 1 − ω0 ω 1 − ω0 Come prima, ω < ω0 … ma solo per una limitazione fisica. ω ω0 A ciascun angolo di scattering θ è associato un set di valori di Q e ω determinato dalla relazione scritta sopra. Definizione fenomenologica delle sezioni d’urto differenziali In generale, in un esperimento di scattering anelastico in cui un fascio di neutroni caratterizzato da un flusso Φ uniforme incide su un campione di N atomi identici, l’intensità (numero di conteggi nell’unità di tempo) misurata nell’intervallo di frequenza ∆ω da un rivelatore di efficienza ε che sottende l’angolo solido ∆Ω intorno alla direzione Ω(θ,ϕ) è, di fatto, proporzionale alle quantità menzionate. rivelatore La costante di proporzionalità è la sezione d’urto differenziale doppia ed è una proprietà del campione in studio: d 2σ I (θ ,ω ) (θ ,ω ) = d Ωdω Φ N ε ∆Ω∆ω neutroni diffusi k1 k0 neutroni incidenti campione neutroni trasmessi N Il suo integrale su tutti i possibili valori di ω, ad un k0 fissato e per un angolo θ fissato, è la sezione d’urto differenziale: dσ (θ ) = dΩ ω0 ∫ −∞ d σ I (θ ) ≈ dΩ dω Φ N ε ∆Ω 2 dω θ =cos tan te La sezione d’urto di scattering totale è σs = ∫ dσ dΩ = dΩ ∫∫ d 2σ d Ω dω d Ωdω La sezione d’urto totale è σt = σs +σa scattering assorbimento Connessione fra sezioni d’urto differenziali e proprietà strutturali (I) La sezione d’urto differenziale doppia misura la probabilità (per unità di tempo) di un qualsiasi processo di scattering in cui il vettore d’onda neutronico subisce la transizione k0 → k1, indipendentemente da Φ, dallo stato del sistema atomico e dallo stato di spin del neutrone, rispettando la conservazione dell’energia. Dalla teoria delle perturbazioni al primo ordine, si trova: d σ 1 m = 2 d Ωd E k 0 → k 1 N 2π h 2 2 k1 k0 ∑p λ0 ps0 λ0 s0 ∑ 2 k1 s1 λ 1 V k 0 s 0 λ 0 [ × δ E + Eλ 0 − Eλ1 ] λ1 s1 Potenziale di interazione neutrone-nucleo (a corto range ~ 10-13 cm) pseudo ∝ Inserendo allora lo pseudopotenziale di Fermi per un sistema di N atomi [ VFermi ∑b α δ (r − Rα ) ], α usando la rappresentazione integrale della δ e facendo il cambiamento di variabile E = hω , si arriva a scrivere: 2 k1 d σ 1 = dΩdω 2π N k 0 +∞ ∫ −∞ dt e −iω t ∑ bα∗ bβ e −iQ⋅Rα (0 ) e i Q ⋅ Rβ (t ) α ,β ∑p λ 0 ,s0 λ0 ps0 λ 0 s0 bα∗ bβ e −iQ⋅ Rα (0 )e iQ ⋅ R β (t ) λ 0 s0 Connessione fra sezioni d’urto differenziali e proprietà strutturali (II) Avevamo trovato dalla teoria delle funzioni di correlazione 1 1 1 1 − i ω t F (Q ,t ) ≈ −iω t ( ) ( ) ρ ρ t = 0 t t , ω S (Q ) = d e d e d t e− i ω t −Q Q N 2π 2π 2π N ∫ ∫ ∫ ∑ e −iQ⋅Rα (0 ) e iQ⋅ Rβ (t ) α ,β Adesso, dalla teoria dello scattering di neutroni, abbiamo: 1 k1 d 2σ = dΩdω 2π N k 0 +∞ ∫ dt e −iω t −∞ ∑ bα∗ bβ e −iQ⋅Rα (0 ) e α ,β Si somigliano molto!! k ~ d 2σ = 1 S (Q ,ω ) dΩ dω k 0 ~ S (Q ,ω ) = 1 2π N +∞ ∫ −∞ dt e −iω t ∑ bα∗ bβ e −iQ⋅Rα (0 ) e i Q⋅ Rβ (t ) α ,β Se la sonda che sto utilizzando (neutroni) non apparisse esplicitamente attraverso le lunghezze di scattering, questo sarebbe il fattore di struttura dinamico i Q ⋅ Rβ (t ) Connessione fra sezioni d’urto differenziali e proprietà strutturali (III) Avevamo trovato dalla teoria delle funzioni di correlazione nel caso statico: S (Q ) ≈ 1 ρ −Q ρ Q N = 1 N ∑ e −iQ⋅Rα (0 ) e iQ⋅Rβ ( 0 ) = α ,β ∫ dω S (Q ,ω ) Q cos tan te Adesso, dalla teoria dello scattering di neutroni, abbiamo: dσ = dΩ ω0 ∫ ω0 2 d σ dω dΩ dω −∞ θ =cos tan te = ∫ k ~ dω 1 S (Q ,ω ) ≠ k0 −∞ θ =cos tan te +∞ 1 ~ dω S (Q ,ω ) = N −∞ ∫ ∑ α ,β Q =cos tan te dσ ~ ≠ S (Q ) dΩ 1 ~ S (Q ) = N ∑ bα∗ bβ e −iQ⋅Rα (0 ) e i Q ⋅ Rβ ( 0 ) α ,β Se la sonda che sto utilizzando (neutroni) non apparisse esplicitamente attraverso le lunghezze di scattering, questo sarebbe il fattore di struttura statico bα∗ bβ e −iQ⋅Rα (0 ) e i Q⋅ Rβ (0 ) Al di là delle ulteriori difficoltà che si incontrano nel caso statico per ottenere la relazione fra sezioni d’urto misurate e quantità strutturali, sia nel caso statico che in quello dinamico si presenta il problema ~ S comune di trovare la relazione che intercorre fra eS. Si ricorda che le lunghezze di scattering b dipendono dall’orientazione relativa fra lo spin del nucleo e quello del binc neutrone, e dal particolare isotopo. b = bcoh + I (I + 1) σ⋅I Si assume: • bα∗ bβ e −iQ⋅Rα (0 ) e iQ⋅Rβ (0 ) ≈ bα∗ bβ e −iQ⋅Rα (0 ) e iQ⋅Rβ (K) • che i possibili diversi valori delle lunghezze di scattering (a causa dello stato di spin e/o della specie isotopica) siano distribuiti in modo casuale fra i vari atomi Si assume, di fatto, di avere a che fare con una distribuzione casuale di spin e isotopi (assenza di correlazione fra le lunghezze di scattering associate a siti diversi) e di utilizzare neutroni non polarizzati. 2 α≠β = bα* bβ = b * b = b 2 = bcoh + binc I (I + 1) σ⋅I 2 = bcoh * bα bβ = α=β * 2 = bα bα bβ = b 2 2 Parte uguale per tutti gli atomi. Hanno importanza, allora, solo le relazioni di fase fra le onde scatterate (posizioni degli atomi) e quindi la struttura. Per questo è detta coerente. 2 = b = binc bcoh + σ⋅I I (I + 1) 2 + δ αβ b − b 2 2 2 = bcoh + binc = b 2 + δ b 2 αβ inc coh L’incoerente nasce dalle fluttuazioni della lunghezza di scattering attorno al valor medio. Tali fluttuazioni sono dovute sia alla distribuzione degli isotopi (incoerenza isotopica), sia alla orientazione degli spin nucleari rispetto allo spin del neutrone (incoerenza di spin), e sono distribuite casualmente. Non porta informazioni strutturali Connessione fra sezioni d’urto differenziali e proprietà strutturali (IV) ~ 2 S (Q ,ω ) = bcoh +∞ dt e −iω t 2π N −∞ β ,α ≠ β 1 ~ S (Q ,ω ) = 1 2π N ∑ ∫ bα∗ bβ α ≠β e −iQ⋅Rα (0 ) e i Q ⋅ Rβ (t ) −∞ ∑ bα 2 α +∞ ∫ + e −iQ⋅ Rα (0 ) e iQ⋅ Rα (t ) +∞ dt e −iω t ∑ e −iQ⋅Rα (0 ) e i Q ⋅ Rβ (t ) ( 2 2 + bcoh + binc α ,β ≠α ) 2π1N ∫ dt e Sd(Q,ω) −∞ −iω t ∑ e −iQ⋅Rα (0 ) e iQ⋅Rα (t ) α Ss(Q,ω) Alternativamente, dato che S(Q,ω) = Sd(Q,ω) + Ss(Q,ω), si ha: 2 2 ~ b + b , ω , ω S (Q ) = coh S (Q ) inc S s (Q ,ω ) Da cui anche: 2 2 ~ b + b S (Q ) = coh S (Q ) inc Entrambi i contributi, coerente e incoerente, possono portare informazioni di interesse. L’unica componente di interesse è lo scattering coerente Il problema del caso statico dσ = dΩ ω0 ∫ ω0 2 d σ dω dΩ dω −∞ θ =cos tan te = ∫ k ~ dω 1 S (Q ,ω ) ≠ k0 −∞ θ =cos tan te +∞ ∫ ~ ~ 2 2 dω S (Q ,ω ) ≡ S (Q ) = bcoh S (Q ) + binc −∞ Q =cos tan te dσ ~ ≠ S (Q ) perché dipende dalla dinamica del sistema, seppur attraverso un integrale. dΩ Per ciascun angolo di scattering θ, eventi di scattering con tutti i possibili valori dell’energia scambiata contribuiscono al valore di dσ / dΩ ⇒ gli eventi anelastici influenzano la sezione d’urto differenziale misurata. Se fosse ω << ω0, si avrebbe Q = k0 ω 1 + 1 − ω0 − 2 cosθ ω θ 1− → 2k 0 sin = Qel 2 ω0 ω → k 02 k12 = k 02 1 − ω0 Da cui: dσ = d Ω ω << ω0 ∫ ω0 k1 ~ S (Q ,ω ) dω k0 −∞ Q cos tan te =Qel ∫ ω0 ~ −∞ θ cos tan te ∫ +∞ −∞ Q cos tan te = Qel k1 = k 0 ~ = S (Q ) Caso ideale in cui gli eventi di scattering sono tutti ELASTICI Il problema del caso statico: correzione anelastica Nel caso ideale in cui tutti gli eventi fossero, di fatto, elastici avremmo relazione diretta fra sezione d’urto misurata e fattore di struttura statico. Ma lo scattering da liquidi è in generale anelastico. Si deve allora trovare un modo per estrarre dalla dσ / dΩ effettivamente misurata (e affetta dai processi anelastici) il comportamento limite (legato a S(Q)) che si avrebbe se lo scattering fosse elastico. Tale procedura è nota come correzione anelastica. Si può individuare immediatamente una correzione anelastica additiva come quella quantità per cui la dσ / dΩ misurata differisce da (dσ / dΩ)ω << ω0, cioè: Viene calcolata tramite l’uso di modelli, ad esempio il gas perfetto dσ dσ dσ ~ (Q ) P= − = − S dΩ dΩ ω << ω 0 dΩ di modo che: dσ ~ = S (Q ) + P dΩ 1 dσ ⇒ S (Q ) = 2 bcoh dΩ exp 2 inc − P −b calcolata Pg . p . ω0 d 2σ ~ dσ = − S (Q ) = dω dΩ dω dΩ g . p. −∞ θ = cos tan te = k1 ~ ~ S (Q ,ω )g . p . dω − S (Q ) g . p . k0 −∞ θ cos tan te ∫ ∫ ~ − S (Q ) = g . p. ω0 2 Mβ 1 Mβ hQ 2 2 2 2 2 ~ ω − exp − S (Q ,ω )g . p . = bcoh + binc Ss (Q ,ω )g . p . = bcoh + binc 2 Q 2π 2 M 2 Q ( ) σs 2 2 ~ S (Q )g . p . = bcoh + binc = 4π ( ) ( )
