FACOLT`A DI SCIENZE MM.FF.NN. MATEMATICA

FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN.
MATEMATICA
BIOTECNOLOGIE
SCIENZE BIOLOGICHE
Si indichino con chiarezza il nome, il numero di matricola e il Corso di Laurea.
Si giustifichino, seppur brevemente, i passaggi. Ognuno dei quattro esercizı̂ vale
8 punti. Tempo a disposizione 3 ore. Gli studenti di Scienze Biologiche che non
abbiano svolto la probabilità nel loro corso possono sostituire l’esercizio 5 con il 4.
1.
Si studii la funzione ϕ(x) := x3 e−x .
Si ha ϕ(0) = 0; inoltre x = 0 è l’unico zero di ϕ.
Ovviamente ϕ(x) > 0 se, e solo se, x > 0 e ϕ(x) < 0 se, e solo se, x < 0.
Si può usare il teorema di de l’Hôpital per avere
lim ϕ(x) = 0 .
x→+∞
Pertanto la retta y = 0 è un asintoto orizzontale per il grafico di ϕ.
Inoltre
lim ϕ(x) = −∞ ,
x→−∞
e
ϕ(x)
= lim x2 e−x = −∞ ,
x→−∞
x
sicché y = 0 è l’unico asintoto.
La derivata prima di ϕ è
lim
x→−∞
ϕ0 (x) = 3x2 e−x − x3 e−x = x2 e−x (3 − x) ,
che si annulla in x = 0 e in x = 3. Poiché il segno di ϕ0 nell’origine è lo stesso
in prossimità dell’origine, questa non è né un punto di massimo né un punto di
minimo per ϕ. Invece, poiché x2 e−x ,si ha
ϕ0 (x) > 0
per 3 − x > 0, cioè per x < 3,
e
ϕ0 (x) < 0 per 3 − x < 0, cioè per x > 3,
sicché in x = 3 vi è un punto di massimo globale per ϕ.
Lo studio della derivate seconda ϕ00 dà
ϕ00 (x) = 2x e−x (3 − x) − x2 e−x (3 − x) − x2 e−x
= x e−x 6 − 2x − 3x + x2 − x = x e−x (x2 − 6x + 6) .
√
Dato che l’equazione x2 − 6x + 6 = 0 ha le soluzioni 3 ± 3, risulta
i
h
√ h i
√
ϕ00 (x) > 0 per x ∈ 0, 3 − 3 ∪ 3 + 3, +∞ ,
i
√
√ h
ϕ00 (x) < 0 per x ∈ ]−∞, 0[ ∪ 3, − 3, 3 + 3 .
1
2
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√ √
√
Pertanto il grafico di ϕ è convesso in 0, 3 − 3 ∪ 3 + 3, +∞ e x = 0, 3 − 3
√
e 3 + 3. Si hanno ora tutti gli elementi utili a disegnare il grafico di ϕ.
2.
Si studii il seguente problema di Cauchy per y > 2:
(
y0 = y2 − 4 ,
y(0) = 3 .
L’equazione differenziale y 0 = y 2 − 4 è a variabili separate
dy
= dx ,
−4
y2
che dà
Z
x+k =
dy
.
−4
y2
Si cerchi la decomposizione
y2
A
B
1
=
+
.
−4
y−2 y+2
Riducendo allo stesso denominatore si ha l’eguaglianza tra polinomı̂
1 = Ay + 2A + By − 2B ,
che porta al sistema nelle incognite A e B
(
2 (A − B) = 1
B = −A ;
questo ha soluzione
A=
1
4
e
1
B=− .
4
Pertanto
Z
Z
dy
1
dy
1
dy
1
y−2
=
−
= ln
,
2
y −4
4
y−2 4
y+2
4
y+2
sicché la soluzion generale dell’equazione differenziale è
Z
c e4x =
y−2
.
y+2
La consizionen iniziale y(0) = 3 dà
1
.
5
L’unica soluzione del problema di Cauchy dato è perciò
c=
1 4x
y−2
e =
,
5
y+2
ovvero
y=
2 e4x + 10
.
5 − e4x
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3. Si studii per quali valori reali di α il seguente sistema lineare ammetta soluzione
e, per quei valori lo si risolva


x + α y + z = 4 ,
αx + y + z = 2,


x + y + z = 1.
Il determinante
1 α
α 1
1 1
dei coefficienti delle incognite è
1
1 = 1 + 2α − 1 − α2 − 1 = −(α2 − 2α + 1) = −(α − 1)2 .
1
Il sistema ammete soluzioni se t 6= 1. Per tali valori di α la soluzione del sistema è
4 α 1
1
2 1 1 = − 4 + α + 2 − 1 − 2α − 1 = 1 − α = 1 ,
x=−
2
(α − 1) (α − 1)2
(α − 1)2
α−1
1 1 1
1 4 1
1
α 2 1 = − 2 + 4 + α − 2 − 4α − 1 = − 3 − 3α = 3 ,
y=−
2
(α − 1) (α − 1)2
(α − 1)2
α−1
1 1 1
1 α 4
2
2
1
α 1 2 = − 1 + 2α + 4α − 4 − α − 2 = α − 6α + 5
z=−
(α − 1)2 (α − 1)2
(α − 1)2
1 1 1
=
(α − 1) (α − 5)
α−5
=
.
(α − 1)2
α−1
Si osservi che per α = 1 le tre equazioni del sistema sono incompatibili.
4. Un’urna contiene 10 palline numerate da 0 a 9. Si estraggano, con o senza
restituzione, tre palline. Mettendo i numeri l’uno accanto all’altro nell’ordine nel
quale sono stati estratti, si forma un numero compreso tra 0(= 000) e 999. Qual è
la probabilità che il numero cosı́ formato sia divisibile per 39? (Lo zero è considerato
divisibile per 39).
Si consideri prima il caso dell’estrazione con restituzione. Dividendo 999 per 39
si ottiene 25, 62. I multipli di 39 sono quindi 25; a questi se ne deve aggungere uno
perché è detto che 0 è considerato un multiplo di 39. La probabilità richiesta è
26
.
1000
Nel caso dell’estrazione senza restituzione bisogna escludere dai 25 multipli di 39
quelli che abbiano almeno due cifre uguali. I multipli da escludere sono
pcr =
117 = 3 × 39,
585 = 15 × 39,
663 = 17 × 39,
858 = 22 × 39 .
Inoltre i numeri che si possono formare nell’estrazione senza restituzione sono 10 ×
9 × 8 = 720 e non 1000 come nel caso precedente (il piú grande numero ottenibile
è 987); in questo caso la probabilità richiesta è
psr =
25 − 4
21
26
=
>
.
720
720
1000
4
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5. (Per gli studenti di Biotecnologie e per gli studenti di Scienze Biologiche che nel loro anno non abbiano svolto la parte di Probabilità)
Si risolva l’integrale indefinito
Z
x2 cos x dx .
Si integri per parti
Z
Z
Z
x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx = x2 sin x + 2 x cos x − 2 cos x dx
= x2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + c .