Distribuzioni derivate dalla gaussiana

Distribuzioni derivate dalla gaussiana
• X ed Y abbiano entrambe densità normale standardizzata e
siano indipendenti. La funzione di densità di U = X
Y è detta
di Cauchy :
1 1
f U (u) =
u∈R
2
πu + 1
– La forma della funzione di densità è simile a quella della
N (0, 1), con una maggiore dispersione attorno al valore
medio
– Gli integrali che definiscono i momenti ordinari di una variabile aleatoria con densità di Cauchy non esistono finiti,
tale variabile aleatoria non risulta dotata dei momenti
• Sia Z una variabile aleatoria continua con densità normale
standardizzata. La funzione di densità di X = Z 2 è una chi
quadrato con g = 1 gradi di libertà
• Considerata l’additività della densità gamma, la somma dei
quadrati di g variabili aleatorie indipendenti e aventi densità
normale standardizzata ha densità chi quadrato con g gradi
di libertà
• Siano X una variabile aleatoria con densità N (0, 1) e Y una
variabile aleatoria con densità χ2
g indipendenti. La funzione
di densità di U = qXY è una t di Student con g gradi di libertà:
g
g+1
Γ 2
1
f U (u) = √
g+1
2
πgΓ 2g u
1+ g 2
u∈R
– Media e varianza della distribuzione t di Student:
E (U ) = 0
Var (U ) = g/ (g − 2)
se g > 2
– Forma distributiva simile a quella della N (0, 1) con maggiore dispersione attorno al valore medio. Tende ad essa
all’aumentare dei gradi di libertà
– Funzione di ripartizione tabulata
• Siano X una variabile aleatoria con densità χ2
g e Y una variabile aleatoria con densità χ2
h indipendenti. La funzione di
densità di U =
libertà:
X
g
Y
h
è detta F di Fisher con g ed h gradi di
g
g+h
g
Γ 2
2
g 2
u −1
f U (u ) = g h g+h
h
Γ 2 Γ 2
g
2
u
+
1
h
u ∈ R+
– Media e varianza della distribuzione F di Fisher:
h
E (U ) =
se h > 2
h−2
h
Var (U ) =
2h2 (g + h − 2)
i
g (h − 2)2 (h − 4)
– Funzione di ripartizione tabulata
se h > 4