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Serie
1. Studiare il carattere delle seguenti serie:
1)
2)
+∞
X
e−n
n
n=0 n + e
+∞
X
µ
n=4
n
n−3
¶n2
+∞
X
3)
n2n
n
2
n=1 e
4)
sin 1
√ n
n log n
n=2
+∞
X
1
+∞
X
en
5)
2
n=1 n
6)
+∞
X
µ
n=0
7)
+∞
X
2 + sin n
4
√
n+1−
¶n
√
n
n=0
8)
9)
+∞
X
| log λ|n
, λ>0
n
n=1
+∞
X
1
sin(sin )
n
n=1
10)
11)
+∞
X
n!
n
n=1 n
+∞
X
(−1)
n=1
n sin
2
n
n2
+∞
X
λn
12)
, λ∈R
n=1 n
13)
+∞
X
cos(nπ)
n
n=1
1
2. Stabilire per quali valori del parametro reale λ converge la serie
+∞
X
(λ2 −1)n .
n=0
Per i valori trovati calcolarne la somma.
3. Scrivere la successione delle somme parziali della serie
+∞
X
(λn+1 − λn ).
n=0
Determinarne il carattere e la somma.
4. Stabilire, al variare del parametro reale positivo λ, il carattere di
+∞
X
n=0
1
(2λ)n
+ nλ
+∞
X
5. Stabilire per quali valori del parametro reale a converge la serie
(n + 1 −
n=0
√
n2 + 2n)a .
6. Stabilire il carattere di
+∞
X
log n
.
2
n=2 n
7. Stabilire, al variare del parametro reale a, il carattere di
8. Stabilire il carattere di
+∞
X
µ
n=0
sin n + cos n
2
+∞
X
n!na
.
n
n=1 n
¶n
.
9. Stabilire, al variare del parametro reale λ, il carattere di
+∞
X
n=1
10. Stabilire il carattere di
+∞
X
(−1)n
n=2
√
n + log n
sin n.
n2 + λn
log n
.
n
cos( π2 n)
11. Stabilire il carattere di
.
n
n=2
+∞
X
12. Dopo aver stabilito la convergenza delle seguenti serie, calcolarne la
somma:
+∞
X (−1)n
1)
2n
n=0 2
+∞
X
2n
2)
n+1
n=1 3
2
.
3)
4)
+∞
X
2n
2n
n=0 e
+∞
X
n=1
n3
2
+ 3n2 + 2n
Traccia delle soluzioni.
1.
1) Serie a termini positivi,
µ
e−n
1
∼
n + en
e2
µ
n
n−3
2) Serie a termini positivi,
¶n2
¶n
, converge.
3n2
∼ e n−3 9 0, diverge.
Ã
n2n
2
3) Serie a termini positivi, n = n √
e
e2
!n
9 0, diverge.
sin 1
1
1
4) Serie e termini positivi, √ n ∼ 3
≤ 3 definitivamente (∀n ≥
n log n
n 2 log n
n2
3), converge.
1
en
1
5) Serie a termini positivi, 2 ∼ 2 , converge.
n
n
µ
¶
µ ¶n
2 + sin n n
3
6) Serie a termini positivi,
, converge.
≤
4
4
√
√
1
1
7) Serie a termini positivi, n + 1 − n = √
√ ∼ √ , diverge.
2 n
n+1+ n
s
| log λ|n
| log λ|
1
= √
→ | log λ|, quindi se < λ < e
n
n
n
e
1
converge per il criterio della radice; se λ = e, − diverge (è l’armonica), negli
e
altri casi la serie diverge per il criterio della radice.
8) Serie a termini positivi,
n
1
1
1
9) Serie a termini positivi (N.B. 0 < sin < 1 ⇒ sin(sin ) > 0), sin(sin ) ∼
n
n
n
1
, diverge.
n
µ
¶
(n + 1)!
n!
nn
1
n + 1 −n
10) Serie a termini positivi,
: n =
=
→ ,
n+1
n
(n + 1)
n
(n + 1)
n
e
la serie converge per il criterio del rapporto.
3
¯
¯
2 ¯
¯
1
¯
n sin n ¯
¯ ≤ 2 , converge assoluta11) Serie a termini di segno variabile, ¯(−1)
2
¯
¯
n
n
mente, quindi anche semplicemente.
v¯
u
¯
¯ λn ¯
u
λn
¯
n ¯
12) Serie a termini di segno variabile,
→ 0 se e solo se |λ| ≤ 1; t
¯ ¯ =
¯n¯
n
|λ|
√
→ |λ|, dunque, per il criterio della radice, se |λ| < 1 la serie converge
n
n
assolutamente e quindi anche semplicemente; se λ = 1 la serie diverge (è
l’armonica), se λ = −1 la serie converge per il criterio di Leibniz; se |λ| > 1 la
serie non converge perché il termine generale non tende a zero.
+∞
X
+∞
X (−1)n
cos(nπ)
13) Serie a termini di segno variabile,
=
, converge per
n
n
n=1
n=1
il criterio di Leibniz.
√
√
2. Serie geometrica, converge se |λ2 − 1| < 1, cioé per − 2 < λ < 2, λ 6= 0
1
e ha per somma
.
2 − λ2
3. Serie telescopica, Sn = λn+1 − 1; la serie converge se −1 < λ ≤ 1 e ha per
somma -1 se λ 6= 1, 0 se λ = 1; diverge se λ > 1; è irregolare se λ ≤ −1.
4. Serie a termini positivi, se λ >
1
1
1
,
∼
, converge; se λ ≤
n
λ
2 (2λ) + n
(2λ)n
1
1
1
,
∼ λ , diverge (serie armonica generalizzata) .
n
λ
2 (2λ) + n
n
5. Serie a termini positivi: n+1 ≥
√
n2
1
, la serie quindi converge se a > 1.
2n
√
(n + 1)2 − (n2 + 2n)
2
√
+ 2n. n+1− n + 2n =
∼
n + 1 + n2 + 2n
√
n n log n
6. Serie a termini positivi, poiché lim
= 0, definitivamente si ha
n→+∞
n2
√
n n log n
log n
1
≤ 1, cioè
≤ √ , la serie allora converge per il criterio
che
2
2
n
n
n n
del confronto.
7. Serie a termini positivi,
(1 + n1 )a
(n + 1)a nn
(n + 1)!(n + 1)a n!na
:
=
=
→
(n + 1)n+1
nn
(n + 1)n na
(1 + n1 )n
1
, la serie converge per ogni valore di a, per il criterio del rapporto.
e
4
8. Serie a termini di segno variabile, consideriamo la funzione
+¯
¯µ f (x) = sin x ¶
¯ sin n + cos n n ¯
√
¯
¯
cos x, derivando si trova che il massimo di f (x) vale 2; allora ¯
¯≤
¯
¯
2
√
Ã
!n
2
, che è il termine generale di una serie geometrica convergente. La se2
rie data converge assolutamente, per il teorema del confronto, e dunque anche
semplicemente.
¯√
¯√
¯
¯
¯ n + log n
¯ n + log n ¯
¯
1
¯
¯
¯
¯
9. Serie a termini di segno variabile, ¯ 2
¯∼ 3,
sin n¯ ≤ ¯ 2
¯ n + λn
¯ n + λn ¯
¯
n2
converge assolutamente, quindi anche semplicemente per ogni λ.
Ã
!
log n
1
10. Serie a termini di segno variabile. La serie diverge assolutamente
≥ se n ≥ 3 ;
n
n
log n
è
per studiare la convergenza semplice applichiamo il criterio di Leibniz,
n
log x
definitivamente decrescente, infatti la funzione y =
ha derivata negativa
x
per ogni x > e, quindi la serie converge semplicemente.
π
11. Serie a termini di segno variabile. Se n è pari, n = 2k, cos n = cos kπ =
2
+∞
+∞
X cos π n
X (−1)k
π
2
(−1)k ; se n è dispari cos n = 0. Dunque
=
; la serie
2
n
n=2
k=1 2k
converge per il criterio di Leibniz.
12. 1) Serie geometrica, =
+∞
X
µ
n=0
−1
4
¶n
=
µ ¶n
X 2
1 +∞
2) Serie geometrica, =
3 n=0 3
3) Serie geometrica, =
+∞
X
n=0
µ
2
e2
−
¶n
=
4
5
1
2
=
3
3
e2
e2 − 2
1
1
−
, la successione delle somme
n(n + 1) (n + 1)(n + 2
1 1
1 1
1
1
1
1
parziali è Sn = ( − )+( − )+( − )+...+(
−
);
2 6
6 12
12 20
n(n + 1) (n + 1)(n + 2
1
la serie converge a
2
4) serie telescopica, an =
5