Capitolo 8
Interazione debole
La teoria di Fermi del decadimento β nucleare è modellata sulla interazione elettromagnetica. Consideriamo
lo scattering elettrone-protone. La hamiltoniana classica ha la forma corrente⊗corrente. Al limite quasi
statico:
"
#
Z
0)
0)
~
~
ρ
(~
r
)ρ
(~
r
j
(~
r
)
·
j
(~
r
1
p
e
p
e
0
Hem
= d3 rd3 r0
− 2
|~r − ~r0 |
c
|~r − ~r0 |
nel sistema di unità di Gauss. In notazione quadridimensionale la parentesi quadrata nell’espressione
dell’hamiltoniana è il prodotto scalare delle quadricorrenti jpα = (cρp , ~jp ) e jeα = (cρe , ~je ) diviso per c2 :
0
Hem
1
= 2
c
Z
d3 rd3 r0
jp (~r) · je (~r0 )
|~r − ~r0 |
da cui il termine ’interazione corrente-corrente’. Nel caso nucleare il termine spaziale è trascurabile perchè
le velocità sono piccole rispetto a c (per la parte convettiva di ~jp vale la relazione ~jp = ~vp ρp ) e ci si può
limitare al termine coulombiano di interazione ρp · ρe , che per particelle puntiformi (ρp (~r) = eδ 3 (~r − ~rp ),
ρe (~r) = −eδ 3 (~r − ~re )) dà:
e2
0
Hem
=−
|~rp − ~re |
Nel passaggio alla meccanica quantistica non relativistica, che vale per il protone alle energie tipiche della
fisica nucleare (E 1GeV ) ma non per l’elettrone, ρp (~r) diventa l’operatore ρ̂p (~r) di cui bisogna calcolare
l’elemento di matrice tra lo stato iniziale ψα (~rp ) del protone e lo stato finale ψβ (~rp ) del protone:
Z
cl.
ρp (~r) → d3 rp ψβ∗ (~rp )ρ̂p (~r)ψα (~rp ) = eψβ∗ (~r)ψα (~r)
La densità di probabilità |ψ(~r)|2 del caso stazionario è diventata la densità di probabilità di transizione
ψβ∗ (~r)ψα (~r). L’elettrone deve essere trattato relativisticamente ma il risultato è lo stesso:
ρcl.
r) → −eψδ∗ (~r)ψγ (~r)
e (~
Se |γi e |δi sono gli stati iniziale e finale dell’elettrone. Se si tiene conto anche dello spin, ψ ∗ diventa ψ † .
1
Consideriamo ora lo scattering elettrone-nucleo. La densità di carica del nucleo X che contiene Z protoni
è
Z
X
ρX (~r) =
i=1
A
(i)
X
1 + τ3 3
eδ (~r − ~ri ) =
δ (~r − ~ri )
e
2
3
i=1
Il proiettore sullo stato di protone permette di estendere la somma su tutti i nucleoni A. La funzione d’onda
dello stato iniziale α e finale β del nucleo ha la forma:
~
~
eikα ·R
0
)
ψα (~r1 , ..., ~rA ) = √ φ(~r10 , ..., ~rA
V
Il termine di onda piana descrive il moto del centro di massa nucleare ed è normalizzato nella scatola di
volume V . Le coordinate dei nucleoni rispetto al centro di massa non sono tutte indipendenti perchè:
A
X
~ = 1
~ri
R
A
i=1
~ ⇒
~ri0 = ~ri − R
A
X
~ri0 = 0
i=1
Quindi
A
0 3
dr = d3 r1 ...d3 rA = d3 Rd3 r10 ...d3 rA
δ (
1 X 0
~ri ) = d3 Rdr0
A
i=1
L’elemento di matrice di ρ̂X (~r) diventa:
Z
hβ|ρ̂X (~r)|αi = e
drψβ∗ (~r1 , ...)
A
(i)
X
1+τ
3
i=1
Z
e
2
δ 3 (~r − ~ri )ψα (~r1 , ...) =
A
~ ~
~
(i)
i~kα ·R
X
1 + τ3 3
e i k α ·R
~ − ~ri0 ) e√ φα (~r10 , ...) =
δ (~r − R
dr0 d3 R √ φ∗β (~r10 , ...)
2
V
V
i=1
~
=e
~
ei(kα −kβ )·~r
V
Z
dr0 φ∗β (~r10 , ...)
A
(i)
X
1+τ
3
i=1
2
~
~
0
e−i(kα −kβ )·~ri φα (~r10 , ...)
~ − ~r0 ) per integrare su d3 R. Ovviamente lo stesso fattore
avendo usato la δ 3 (~r − R
i
nell’elemento di matrice di ρ̂p :
hβ|ρ̂p (~r)|αi = eψβ∗ (~r)ψα (~r)
1 i(~kα −~kβ )·~
r
Ve
compare
Prima di considerare il decadimento β del neutrone e di un generico nucleo conviene vedere lo scattering
debole νe + n → e + p che è più simmetrico. L’elemento di matrice dell’hamiltoniano debole secondo Fermi
è:
Z
Z
1
1
0
3 3 0
0
3
0
hep|Ĥw |νe ni = 2 d rd r (jνe e (~r ) · jnp (~r))δ (~r − ~r ) = 2 d3 r(jνe e (~r) · jnp (~r)) =
c
c
Z
1~
3
~
= d r ρνe (~r)ρnp (~r) − 2 jνe (~r) · jnp (~r)
c
2
Figura 8.1: Scattering debole
ρnp (~r) = hp|gδ 3 (~r − ~rN )|ni = ghN 0 |t+ δ 3 (~r − ~rN )|N i
dove g è la carica di interazione debole del nucleone. Il formalismo di isospin permette di descrivere il
cambiamento di stato (da neutrone a protone) del nucleone nell’interazione. L’operatore t− serve per il
cambiamento da protone a neutrone. Indicando con α, β lo stato iniziale e finale del nucleon:
~
~
ei(kα −kβ )·~r †
=g
ρnp (~r) =
χ 1 m0 η †1 ν 0 t+ χ 1 m η 1 ν
2
2
V
2
2
χ 1 m è lo spinore, η 1 ν l’isospinore del nucleone nello stato α; χ 1 m0 è lo spinore, η 1 ν 0 l’isospinore del nucleone
2
2
2
2
nello stato finale β. Per la densità di corrente debole leptonica ρνe (~r) si ottiene l’espressione analoga:
gψβ∗ (~r)t+ ψα (~r)
0e
i(~kν −~ke )·~
r
χ†e χν
V
La carica debole lepronica g 0 è sperimentalmente maggiore (di poco) della carica debole adronica g. Nel
decadimento β nucleare compare sempre il loro prodotto gg 0 = Gβ , che è detta la costante di Fermi. Nel
caso di scattering ν + X → e + Y , la parte leptonica non cambia, quella adronica diventa:
Z
Z
A
A
~
~
X
X
ei(kX −kY )·~r
~
~
(i) 3
(i)
∗
ρXY (~r) = drψY (~r1 , ...)
t+ δ (~r−~ri )ψX (~r1 , ...) = g
dr0 φ∗Y (~r10 , ...)
t+ e−i(kX −kY )·r φX (~r10 , ...)
V
ρνe (~r) = g
0
ψe∗ (~r)ψν (~r)
=g
i=1
i=1
Passiamo al decadimento β: Non ci sono cambiamenti per la parte adronica se non una semplificazione
Figura 8.2: Decadimento β
dovuta al fatto che il Q-valore di decadimento è dell’ordine dei M eV nella maggioranza dei casi. Gli impulsi
R
sono dell’ordine del MceV e quindi (~kX − ~kY ) · ~ri0 in ρXY è piccolo rispetto a 1 (' M~ceV · R ' 200f
m ; R è il
~
~
0
raggio nucleare) e si può porre e−i(kX −kY )·~ri = 1. Si parla allora di transizioni permesse per le quali:
Z
A
~
~
X
ei(kX −kY )·~r
(i)
ρXY (~r) = g
dr0 φ∗Y (~r10 , ...)
t+ φX (~r10 , ...)
V
i=1
3
Per la parte leptonica il cambiamento è notevole:
he|ρ̂(~r)|νi ⇒ heν̄|ρ̂(~r)|0i
Occorrerebbe saper calcolare l’elemento di matrice dell’operatore densità ρ̂(~r) tra il vuoto e lo stato di due
leptoni, che non sappiamo fare. Possiamo però intuire che sarà:
~
heν|ρ̂(~r)|0i = g 0 ψe∗ (~r)ψν̄∗ (~r) = g 0
~
e−i(ke +kν̄ )·~r
...
V
dove i puntini stanno per la parte spinoriale (che non ci interessa). In conclusione abbiamo trovato per le
transizioni permesse di Fermi il risultato:
heν̄Y |Ĥw0 |Xi = Gβ
Z
~
~
~
~
Gβ
ei(kX −kY −ke −kν̄ )·~r
Mf i d3 = 2 V δ~k3 ,~k +~k +~k Mf i
2
ν̄
e
X Y
V
V
Z
Mf i = hY |T+ |Xi =
dr0 φ∗Y T+ φX
T+ =
A
X
(i)
t+
i=1
N.B.: Mf i è un elemento di matrice intrinseco, cioè nel sistema del centro di massa nucleare.
4
