Compiti di Esame di Fisica Generale I – NO . CdL Ingegneria Civile

Compiti di Esame di Fisica Generale I – NO . C.d.L. Ingegneria Civile
Compito di Fisica I Nuovo Ordinamento 14/11/2001. (Ingegneria Civile -Edile).
Un sistema è costituito da un disco omogeneo di centro O, di massa m= 1.3 Kg e raggio r
= 10 cm, e da un'asta omogenea di estremi A-B, di massa m e lunghezza 4r, saldata
rigidamente in A al bordo del disco in modo che i tre punti OAB siano allineati lungo una
stessa direzione radiale. Il sistema è vincolato a mantenersi in un piano verticale e
l'estremo inferiore del disco poggia su un piano orizzontale scabro. Si indichi con f
l'angolo che l'asta forma con la verticale ascendente.
1) Il sistema è mantenuto in equilibrio, in una configurazione in cui l'asta forma con la
verticale un angolo f= 30º, da una forza orizzontale T applicata nel punto più alto del
disco. Si determini il valore di T.
2) Determinare il momento d'inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale
(perpendicolare al piano verticale in cui è vincolato il sistema) passante per O .
3) Determinare la relazione che intercorre, per un generico angolo f, fra il modulo della
velocità vG del centro di massa G e la velocità angolare w del sistema nel caso in cui
il disco compia un moto di puro rotolamento sul piano orizzontale. Si calcoli
numericamente il rapporto vG /w per f =90º.
4) Il sistema trasla verso sinistra spinto da una forza orizzontale F, applicata nel centro
di massa G, in modo tale che l'angolo f si mantenga costante durante il moto e pari a
b =30º.
a) Determinare il coefficiente di attrito dinamico m fra disco e piano.
b) Determinare l'energia meccanica dissipata in un metro di spostamento del sistema.
5) Al sistema, fermo con l'asta diretta lungo la verticale, viene applicato un impulso J
(di durata molto breve) diretto lungo l'orizzontale passante per O di modulo J = 145
Ns. Determinare la velocità angolare w e la velocità del centro di massa G alla fine
dell'impulso.
6) Nel caso in cui il sistema sia incernierato nel centro O , e non poggi su alcun piano
orizzontale,determinare l'accelerazione angolare massima a cui esso è soggetto
sapendo che parte da una posizione corrispondente ad un angolo f piccolo, ma non
nullo, e che non agiscono altre forze oltre le reazioni vincolari e le forze peso.
7) Lo zampillo di una fontana, di sezione s= 1 cm2, lancia un getto d'acqua in alto, lungo
la verticale, fino ad un'altezza h= 15m. Determinare la portata dello zampillo e la
pressione di lavoro della pompa, che a livello dello zampillo spinge l'acqua nel
circuito, esercitata sulla superficie libera del liquido contenuto in un serbatoio, a
chiusura ermetica, di sezione S=0.1 m2.
8) L'acqua che riempie interamente un serbatoio cilindrico, a chiusura ermetica, di
raggio a=30 cm viene posta in rotazione attorno all'asse del sistema (verticale) con
velocità angolare w= 150 rad s-1. Si determini la differenza di pressione esistente fra
un punto sull'asse del sistema ed un punto sulle pareti del cilindro alla stessa quota.
B
T
f
A
O
Risultati Compito di Fisica Generale I del 14/11/2001
1)
T=3mg/4
T= 9.56 N
2)
Io= 65mr2/6
Io = 0.14 Kgm2
3)
vG=wr[13/4 +3cosf]0.5
4)
a)
b)
5)
vG = J/2m
w= 9J/38mr
6)
a= 18g/65r
7)
F= s[2gh]0.5
p= pA + rv2/2
8)
Dp= rw2a2/2
vG /w=0.18 m
m = 3senb/(2+3cosb) m= 0.326
| DE|= 2mmgDs
|DE|= 8.31 J
vG = 55.77 m/s
w= 264 rad/s
a= 27.16 rad/s2
F= 1.715 10-3 m3/s
p = 2.47 105 pa
Dp= 1.01 106 pa
Esame di Fisica Generale I N.O. (CdL Ingegneria Civile ed Edile) - 13/02/02.
Su un piano inclinato AB che forma un angolob = 30º con l'orizzontale è posta
una ruota di raggio r = 5 cm e centro O costituita da un anello sottile di massa m =0.6
Kg e da sei raggi di massa m/6. L'asse di rotazione della ruota ,passante per O, è
opportunamente collegato tramite una molla ideale di costante elastica k = 22 N/m ad un
supporto posto nell'estremo superiore A del piano inclinato in modo tale che la molla
risulti parallela ad AB.
1) Calcolare il momento d'inerzia della ruota rispetto ad un asse passante per O.
2)Nel caso in cui non vi sia attrito fra il piano e la ruota calcolare la massima
elongazione della molla quando la ruota viene abbandonata, da ferma, nella posizione
in cui la molla non è deformata.
3)Determinare nella posizione di equilibrio, supposto non nullo l'attrito fra il piano e
la ruota, l'elongazione della molla ed il valore della forza di attrito.
4)Nel caso in cui sia assicurato il puro rotolamento durante tutte le fasi del moto, si
determini il periodo T del moto oscillatorio
5)Determinare, nel caso di puro rotolamento, il valore che ha la forza di attrito
nell'istante in cui la velocità di O è massima.
6)Nel caso in cui il sistema venga abbandonato da fermo in una posizione
corrispondente ad un'elongazione D,= 53.4 cm dopo aver bloccato l'asse della ruota di
modo che essa possa solo strisciare, determinare l'elongazione d della molla nel
punto di arresto immediatamente successivo per un coefficiente di attrito µ = 0.25
7)Nel caso in cui, durante il moto di puro rotolamento, la ruota urti un ostacolo piano
liscio, fisso e perpendicolare ad AB e di altezza maggiore di r, in un istante in cui la
velocità di O, rivolta verso il basso, vale w= 0.44 m/s si determini la velocità di O e
la velocità angolare del sistema subito dopo l'urto supponendo quest'ultimo
perfettamente elastico.
8)Dell'acqua esce da un rubinetto di sezione circolare di raggio a = 1 cm con un
flusso F = 3 litri/minuto. Supposto che essa cada esattamente lungo la verticale
determinare il raggio del getto ad una quota h = 50 cm al disotto del rubinetto.
9)Un circuito idraulico, contenente olio di densità r = 920 Kg/m3, è costituito di due
rami di sezione A= 1 m2 e B= 0.15 m2. La sezione A è chiusa da un pistone, a tenuta e
di massa trascurabile, su cui è posto un peso M= 70 Kg.; sulla sezione B , chiusa
anch'essa da un pistone di caratteristiche uguali, e' posta una massa m in modo tale
che i due pistoni si trovino alla stessa altezza. Determinare il dislivello Dh che si
produce fra i due pistoni se la massa posta sul pistone A viene triplicata (si suppone
costante la massa di liquido contenuta nel circuito).
A
O
B
b
Soluzioni
1)
I = 4mr2/3
I= 0.002 Kg m2
2)
DM = 4mgsin(b)/k
DM = 0.534 m
3)
De = 2mgsin(b)/k
De = 0.267 m
fa = 0
4)
T = 2π(10m/3k)0.5
5)
fa = 0
6)
d = 4mg[mcos(b)+sin(b)]/k
7)
v=w
8)
r = a(1+ 2π2gha4/F2)0.25
9)
Dh = 2M/Ar
w = w/r
T = 1.89 s
d = 0.231 m
v= 0.44 m/s
w = 8.8 rad/s
r = 0.225 cm
Dh = 0.152 m
Prova scritta di Fisica Generale I - N.O. (C.d.L. Ing. Civile -Edile) 18/04/02.
Due aste uguali OA e A'B rigide ed omogenee, di massa m = 0.6 Kg e lunghezza l,= 40
cm sono incernierate nell'estremo comune A≡ A' e vincolate a muoversi in un piano
verticale. Le due aste formano una V rovesciata con l'estremo O della prima asta
incernierato ad un asse orizzontale e l'estremo B della seconda vincolato a scorrere su una
guida orizzontale passante per O. Tutti i vincoli sono ideali. Si indica con f l'angolo che
l'asta OA forma con la verticale ascendente, misurato positivamente in verso orario.
1)Il sistema è mantenuto in equilibrio da una opportuna forza orizzontale F applicata in B
in una configurazione in cui l'angolo fra l'asta OA e la verticale vale b = π/6 Determinare
la reazione vincolare di appoggio N applicata in B.
2) Il sistema , in quiete, si trova inizialmente in una configurazione in cui le due aste
OA e AB sono disposte lungo la verticale. Se l'angolo f differisce per un
infinitesimo da 0 il sistema inizia a muoversi. Determinare la velocità angolare w
dell'asta OA quando il sistema raggiunge la configurazione orizzontale , con le
due aste allineate, corrispondente ad un l'angolo f = π/2.
3)
Il sistema nell'istante in cui l' asta OA, ruotando in verso orario, forma con la
verticale un angolo g = π/4 ha una energia cinetica To = 3 J. Nello stesso istante
all'estremo B è applicata una forza orizzontale costante F diretta da B ad O.
Determinare il modulo di F tale che risulti nulla l'energia cinetica del sistema quando
esso si trova a passare per l'orizzontale (f = π/2).
4)
Il sistema delle due aste è in movimento e il perno in A si rompe nell'istante in cui
l'angolo f = d. = π/6 e la velocità angolare vale w0 = 4.0 rad/s. Il sistema si divide
nelle due aste OA e A'B. Determinare la velocità di B l'istante immediatamente
successivo alla rottura del perno e nell'istante in cui la sbarra A'B , che continua a
muoversi, risulta orizzontale.
5)
Il sistema delle due aste è in movimento e il perno in A si rompe nell'istante in cui
l'angolo f = d. = π/6 e la velocità angolare vale w0 = 4.0 rad/s. Il sistema si divide
nelle due aste OA e A'B. Determinare la componente verticale Ry della reazione
vincolare applicata alla sbarra OA dal perno in O quando essa passa per la posizione
orizzontale .
6)
Nell'istante in cui la sbarra A'B (sganciata dalla sbarra OA) si trova nella
posizione orizzontale ha una velocità angolare w0 = 8.41 rad/s e il suo estremo B una
velocità v0 = 2.77 m/s. In quello stesso istante B urta contro un ostacolo fisso ed il
sistema subisce un urto perfettamente elastico. Determinare la velocità angolare e la
velocità del centro di massa della sbarra immediatamente dopo l'urto.
7)
Un dispositivo per la misura delle densità dei liquidi è costituito da un corpo, di
forma regolare ed omogeneo, recante una scala graduata che consente di misurare la
percentuale del suo volume immersa in un liquido. Quando esso viene immerso in
acqua emerge dal pelo dell'acqua il 9% del suo volume. Esso viene successivamente
immerso in un liquido, di densita incognita rx, posto in un recipiente chiuso nella cui
parte superiore vi è aria a pressione atmosferica e si osserva che il 15% del suo
volume emerge dalla superficie libera del liquido. a) Determinare la densità rx del
liquido. b) Sapendo che la densità dell'aria a pressione atmosferica è ra = 1.29 Kg/
m3, determinare la frazione del volume del dispositivo emergente dall'acqua quando
la pressione all'interno del recipiente viene aumentata di 100 volte ( e quindi varia di
100 volte la densità dell'aria ).
8)
Un serbatoio cilindrico, di sezione S= 1.5 m2, è riepito fino ad un'altezza H= 1.7
m di acqua. Sul fondo si trova un foro, per lo svuotamento, di sezione A= 5 cm2 . a)
determinare la portata iniziale dello scarico. b) Volendo mantenere costante la portata
dello scarico si deve applicare una sovrappressione alla superficie libera del liquido
nel recipiente. Determinare come questa deve variare in funzione dell'altezza h del
liquido nel recipiente. c) Nel caso in cui agisca sempre la pressione atmosferica la
portata dello scarico varia nel corso del tempo. Si determini il tempo necessario
all'abbassamento di 1 cm del livello del liquido nel serbatoio quando questo vale h
=1.7 m ( riempimento inioziale ) e quando vale h = 5 cm.
A
f
O
B
Soluzioni Compito del 18/04/02 N.O.
1)
N = mg
N = 5.88 N
2)
w90 = ( 3g/l )0.5
3)
F = ( T0 + mgl cosg )/2l(1 - sing )
w90= 8.58 rad/s
F = 19.9 N
4)
vB(d) = 2lw9cosd
vB(90) = 3lw9cosd /2
vB(d) =2.77 m/s
vB(90) = 2.08 m/s
5)
Ry = mg/4
6)
v = - v0
7)
X1 = 0.09
X2 = 0.15
a)
rx = r ( 1 - X1 )/( 1 - X2)
b)
X3 = X2 rx /( rx - ra )
8)
Ry = 1.47 N
w = w0
a)
Q = A (2gH)0.5
b) Dp = rg( H - h)
c) T0 = (S/A) (2gH)-0.510-2
T = T0 (H/h)0.5
r = 1000 Kg/m3 ra = 129 Kg/m3
rx = 1070 Kg/m3
X3 = 0.17
Q = 2.89 litri/s
T0 = 5.2 s
T = 30.3 s
Prova scritta di Fisica Generale I N.O. del 03/07/02 - C.d.L. in Ing. Civile ed Edile
Un corpo rigido è costituito da tre aste omogenee, ciascuna di lunghezza l = 30 cm e
massa m = 0.65 Kg, unite fra di loro negli estremi a formare un triangolo equilatero
AOB. Questo è imperniato liberamente nel suo vertice O ad un asse di rotazione
orizzontale in modo da ruotare in un piano verticale. Il centro di massa del corpo è
indicato con G. Si indichi con f l'angolo che OG forma con la verticale
discendente,misurato positivamente in verso antiorario.
1) Determinare la posizione del centro di massa e il momento d'inerzia rispetto
all'asse di rotazione passante per O
2) Il triangolo è mantenuto in equilibrio in una configurazione in cui f = b = p/3 da
una forza F applicata nel vertice A. Si determini modulo, direzione e verso della
minima forza necessaria ad assicurare l'equilibrio e , corrispondentemente, della
rezione vincolare in O.
3) Determinare per il corpo in oggetto il periodo delle piccole oscillazioni.
4) Il triangolo viene abbandonato a sé stesso dalla configurazione in cui l'asta OA è
orizzontale. Determinare modulo direzione e verso della reazione vincolare del
perno in O quando G passa per la verticale.
5) Il triangolo viene abbandonato a sé stesso dalla configurazione in cui l'asta OA è
orizzontale. Al termine della prima semi-oscillazione l'asta OB , a causa
dell'attrito del perno, non si trova ad essere orizzontale ma forma rispetto ad essa
un angolo g = p/6. Supposto che il momento delle forze di attrito del perno sia
costante in modulo ( e sempre opposto alla velocità angolare) se ne determini il
valore.
6) Il triangolo, fermo nella configurazione in cui f = 0, viene urtato in A da una
massa m che si muove in direzione orizzontale con velocità v0 = 1.6 m/s. L'urto è
completamente anelastico. a) si determini la velocità angolare del sistema subito
dopo l'urto. b) la minima energia cinetica della massa m necessaria affinchè il
sistema compia dopo l'urto un giro completo attorno ad O.
7) Un cilindro di plastica di raggio r = 2 cm ed altezza l= 11cm quando è posto in
acqua galleggia mantenendo immerso un quarto del suo volume. Esso viene
utilizzato, mediante opportuno sistema di guida, per chiudere la parte terminale di
un tubo verticale di sezione s = 1cm2 che immette acqua in un serbatoio. a)Nel
caso in cui il cilindro , che chiude il tubo, sia immerso in acqua per 4/5 del suo
volume determinare di quanto la pressione che si trova all'uscita del tubo può
superare la pressione atmosferica senza che esso cessi di esercitare la sua funzione
di tappo. b) Dire, giustificandolo, se cambia il risultato nel caso che il "tappo"
abbia una forma diversa da quella specificata (per es. sia sferico) ma abbia lo
stesso volume e valgano le stesse condizioni di funzionamento.
8) Una lancia dei pompieri con un ugello di sezione pari a 1.24 cm2, è collegata
tramite una manichetta di raggio r = 3.5 cm all'autopompa. Essa produce un getto
d'acqua, con un angolo di q = 30 gradi rispetto al suolo, che va a colpire, nel
punto più alto, una fiamma ad un' altezza h = 12m. a)Determinare la portata della
lancia. b) Determinare la pressione di lavoro dell' autopompa corrispondente
all'incirca alla pressione che si trova all'interno della manichetta. c) Nel caso in
cui la pressione di lavoro dell'autopompa venga dimezzata dire se e' ancora
possibile raggiungere col getto d'acqua la fiamma.
Soluzioni prova scritta Fisica Generale I N.O. del 03/07/02
1)
OG = l/√3
Io = 3ml2/2
OG = 0.173 m
Io = 8.775 10-2 Kgm2
2)
F = 3mg/2 perp. ad OA
N = 3mg/2
F= 9.56 N
N= 9.56 N
3)
T = 2p(√3l/2g)0.5
4)
N = 5mg
N= 31.9 N
5)
M = mgl(3-√3)/π
M = 0.77 Nm
6)
a) w= vo√3/5l
b) Tmin= mgl10√3
w= 1.85 rad/s
Tmin = 33.13 J
7)
a) pmax= 11plr2gr/20s
pmax = 7.45 Kpa
b)stessi risultati (a meno di effetti di ordine superiore)
8)
a) F= 2s (2gh)0.5
F = 3.8 10-3 m3/s
b) p ≈ pat + 4rgh
p = 572200 pa
2
c) si - per q = p/2 vL =4gh-pat/r > 2gh
T = 1.02 s
Prova scritta di Fisica Generale I N.O. 10/09/02 - C.d.L. Ingegneria Civile ed Edile.
Un'asta AO omogenea, di lunghezza l = 30 cm e massa m =1.25 Kg, è incernierata
nell'estremo O ad un asse di rotazione orizzontale in modo da ruotare liberamente nel
piano verticale. Un filo elastico, di costante elastica k = 40 N/m e lunghezza a riposo pari
ad l, collega la cerniera in O all'estremo A passando per un punto B , fisso, posto sopra ad
O a distanza l lungo la verticale. Si indichi con f l'angolo che l'asta OA forma con OB,
misurato positivamente in verso orario; il sistema è realizzato in modo tale che l'angolo f
possa assumere indifferentemente valori positivi e negativi. Una guida semicircolare
PBQ di centro O e raggio l, con il diametro PQ orizzontale, consente, senza interferire
con la rotazione della sbarra, di collegare l'estremo A ad un a funicella ideale, che corre
lungo la guida da A a Q e di lunghezza maggiore di 4l, dal cui estremo pende liberamente
una massa M = 200 gr.
1) Determinare il valore b dell'angolo f nella configurazione di equilibrio del
sistema e la componente perpendicolare ad AO della reazione vincolare
applicata alla sbarra in O .
2) Dalla posizione in cui l'asta OA forma un angolo g = -p/3 con la verticale il
sistema viene abbandonato, da fermo. Determinare la velocità angolare w dell'asta
quando passa per la verticale.
3) Determinare, con il sistema in movimento, la tensione della funicella quando
l'asta OA si trova a passare per la verticale.
4) Con l'asta OA ferma in posizione verticale (f = 0) la massa M viene sollevata,
lungo la verticale, di un tratto h = 31.8 cm e quindi lasciata cadere. La massa M
nell'istante in cui la funicella si tende applica , tramite essa, una forza di carattere
impulsivo all'asta. In questa ipotesi determinare la velocità angolare dell'asta
un'istante dopo la fine dell'impulso della funicella.Si suppone che la funicella sia
sufficientemente resistente da non rompersi.
5) Il sistema viene abbandonato da fermo dalla configurazione in cui f = -p/2
applicando all'estremo A una forza frenante F perpendicolare all'asta e di modulo
costante. Determinare il minimo valore di F per cui l'asta non raggiunge la
posizione verticale.
6) Nel caso in cui la massa M non sia collegata all'estremo A determinare il periodo
delle piccole oscillazioni della sbarra attorno alla posizione verticale.
7) Un tubo di sezione S = 2.54 cm2 si dirama in due tubi , posti alla sua stessa quota
e di uguale sezione s = 1.13 cm2, al termine dei quali si trovano due rubinetti.
Con entrambi i rubinetti aperti si ha una portata da ciascuno di essi di 10 litri al
minuto.a) calcolare la pressione nel tubo di sezione S. b) se uno dei due rubinetti
viene chiuso, supponendo che la pressione di esercizio all'interno della conduttura
di sezione S rimanga inalterata, determinare la portata dell'altro rubinetto. c) se
uno dei due rubinetti viene chiuso determinare la pressione di esercizio nella
conduttura di sezione S quando si mantenga inalterata la portata dell'altro
rubinetto.
8) Un barcone per il trasporto di materiali viene schematizzato come un guscio a
forma di parallelepipedo di base S= 60 m2 ed altezza l = 2 m il cui centro di
massa coincide con il suo centro geometrico. La linea di galleggiamento, quando
esso è scarico, si trova ad una quota ho = 40 cm, rispetto al fondo
dell'imbarcazione. Successivamente essa viene zavorrata ponendo sul suo fondo,
in modo uniforme, delle lastre di piombo, che supponiamo di spessore
trascurabile, di massa M = 36 tonnellate. a) determinare la massa del barcone
scarico. b) determinare, quando è scarico la quota del centro di spinta e stabilire se
l'imbarcazione è stabile nei confronti di un movimento di rollio. c) determinare
l'innalzamento della linea di galleggiamento conseguente all'immissione della
zavorra. d) determinare se la zavorra è sufficiente a stabilizzare l'imbarcazione .
B
A
f
P
O
Q
Soluzioni compito Fisica I N.O. del 10/09/02
1) a) sinb = Mg/(kl-mg/2)
b) Nt = mgsinb/2
2) w = [( 6kl+4Mgp-3mg)/2l(m+3M)]0.5
b = 0.34 rad (19º 53)
Nt = 2.05 N
w = 7.34 rad/s
3) T = Mmg/(m+3M)
T= 1.325 N
4) w = 3M(2gh)0.5/l(m+3M)
w = 2.70 rad/s
5) F = Mg[2/(psinb) + 1]
F = 5.70 N
6) T = 2p[ 2ml/3(2kl-mg)]0.5
T = 0.916 s
7)
a) p = pA + rQ2/2 (1/s2 - 4/S2)
b) Q' = Q [(S2-4s2)/(S2-s2)]0.5
c) p' = pA + rQ2/2 (1/s2 - 1/S2)
8) a) m = rSh0
b) hs= h0/2
c) h' = (M+m)/rS
p = pA + 0.224 Kp
Q' = 5.1 l/min = 8.5 10-5 m3/s
p'= pA + 0.86 Kp
m = 24 103 kg
hs = 0.2m
h' = 1.00 m
d) hcm = ml/2(M+m) < h'/2
hcm = 0.4 m < h'/2 = 0.5m
Prova scritta di Fisica Generale I del 29/01/03 - C.d.L. in Ing. Civile ed Edile.
Un disco rigido omogeneo di massa 2m = 3 Kg e raggio R = 12 cm è imperniato attorno
ad un asse orizzontale passante per il suo centro O ed è libero di ruotare attorno ad esso
nel piano verticale. Sul bordo del disco, a distanza R da O, è saldato un punto materiale P
di massa pari a m/5. La configurazione del sistema è individuata mediante l’angolo q ,
misurato positivamente in verso antiorario, che il raggio OP forma con la verticale
discendente.
1) Il sistema è mantenuto in equilibrio in una configurazione in cui q = b da una
coppia di forze di momento assiale M = 0.27 Nm. Determinare il valore di b e le
componenti della reazione vincolare del perno in O.
2) Determinare la posizione del centro di massa G del sistema e il suo momento
d’inerzia rispetto all’asse di rotazione in O.
3) Il sistema viene fatto oscillare attorno alla posizione di equilibrio (q = 0)
facendolo partire da un angolo q = -g = - p/10. Determinare le componenti della
reazione vincolare del perno in O nell’istante in cui il sistema raggiunge l’estremo
opposto di oscillazione q = g .
4) Nell’istante in cui il sistema sta ruotando con velocità angolare w0= 50 rad/s viene
colpito da un corpo puntiforme di massa pari a m/5 avente la velocità diretta
radialmente verso O. Nell’urto, completamente anelastico, il corpo si salda al
bordo del disco. Determinare la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto.
5) Il sistema viene abbandonato, da fermo, da una configurazione in cui l’angolo q
differisce per un infinitesimo da p. A partire dall’istante in cui q = d = p/2 si
applica al sistema un momento frenante costante M. Determinare il valore di M
per cui il sistema si ferma in una configurazione corrispondente a q = l = - p/6.
6) Il sistema viene lanciato dalla posizione corrispondente a q = 0 con una velocità
angolare w0. Determinare il minimo valore di w0 per cui P raggiunge la posizione
diametralmente opposta a quella di partenza.
7) Un palloncino di massa m = 37 gr e volume V = 4 10-5 m3 si trova immerso in
equilibrio in un liquido, contenuto in un serbatoio, di densità r ad una profondità
h = 3 m rispetto alla superficie libera del liquido su cui agisce una pressione
uguale a quella atmosferica (nota: per un palloncino a pareti non rigide esiste una
precisa relazione fra la pressione esterna ed il suo volume che fa sì che la
situazione di equilibrio sia possible solo ad una determinata quota). a) determinare
la densità del liquido. b) determinare la pressione che agisce sul palloncino. c) ad
un istante successivo si osserva che il palloncino, con lo stesso volume, si trova in
equilibrio ad una profondità h’= 2.2 m; determinare la variazione di pressione che
si è prodotta sul fondo del recipiente.
8) Su una conduttura orizzontale di raggio R = 1.27 cm, in cui scorre dell’acqua, si
trova un ugello di raggio r = 2 mm ; esso produce uno zampillo verticale che
raggiunge un’altezza di 6 m . a) determinare la velocità di efflusso dall’ugello. b)
determinare il raggio dello zampillo ad un’altezza h’ = 5.8 m dall’ugello. c)
determinare la pressione di esercizio nella tubatura.
Soluzioni compito Fisica generale I del 29/01/03
1)
sinb = 5M/mgR
Sx = 0 Sy = 11mg/5
b = 0.87 rad = 49°86
Sy = 32.4 N
2)
OG = R/11
IO = 6mR2/5
OG = 1.09 cm
IO = 2.59 10-2 Kgm2
3)
Sr = 11mgcosg/5
St = 13mgsing/6
Sr = 30.8 N
St = 9.85 N
4)
w = 2wO /3
w = 33.3 rad/s
5)
M = 3mgR(1+cosl)/10p
M = 0.315 Nm
6)
wO > (2g/3R)0.5
7)
a) r = m/V
b) p = p0+rgh
c) Dp = p’0- p0 = rg(h-h’)
r = 973.6 Kg/m3
p = 172312 pa
Dp = -7641 pa
8)
a) v = (2gh)0.5
b) r’ = (d/2)(h/(h-h’))0.25
c) r = (p - pA)/gh(1-(r/R)4)
v = 7.67 m/s
r’ = 1.96 mm
r = 975.2 Kg/m3
wO > 7.38 rad/s
Soluzioni del compito di Fisica generale I del 29/01/03. C.d.L Ing. Civile ed Edile
1) Indicata con S la reazione vincolare del perno in O si ha dalla I Eq. Cardinale
della statica (la coppia di forze è a risultante nulla):
S + 2mg + mg/5 = 0
(1.1)
La II Eq. Cardinale della statica , scelto O come polo, stabilisce che :
M – mgRsinb/5 = 0
Da queste eq. risulta:
sinb = 5M/mgR
sinb = 0.764
b = 0.87 rad = 49°86
e proiettando l’eq. (1.1) lungo la direzione orizzontale (x) e verticale (y)
Sx = 0
Sy = 11mg/5
Sy = 32.4 N
2) Il centro di massa G del sistema si trova lungo il raggio OP ad una distanza d da
O data dalla relazione che definisce il centro di massa:
d = (mR/5)/(2m + m/5) = R/11
d = 1.09 cm
Il momento d’inerzia del sistema, rispetto ad O, si ottiene immediatamente
sommando a quello del disco il contributo della massa sul suo bordo.
I = (2m)R2/2 + m R2/5 = 6m R2/5
I = 2.59 10-2 Kgm2
3) La reazione vincolare S del perno è determinata dalla I Eq. cardinale della
dinamica:
S + 11mg/5 = 11maG/5
(4.1)
dove a G è l’accelerazione del centro di massa. Proiettando l’Eq. (4.1) lungo la
direzione radiale e tangenziale , indicate col pedice r e t le componenti radiali e
tangenziali di S e aG , si ha:
-Sr + 11mgcosq/5 = 11maGrr/5 = -m w2R/5
(4.2)
St - 11mgsinq/5 = 11maGt/5 = mRa/5
(4.3)
dove w e a sono rispettivamente la velocità e l’accelerazione angolare. Nell’estremo di
oscillazione in cui q = g risulta w = 0 mentre a è data dalla II Eq. cardinale della
dinamica. Scelto O come polo si ha:
Ia = -mgRsinq/5
da cui per q = g :
a = - gsing/6R
Sostituendo i valori di w e a nelle (4.2-3) si ottiene:
Sr = 11mgcosg/5
Sr = 30.8 N
St = 13mgsing/6
St = 9.85 N
4)
L’insieme della massa urtante e del sistema è soggetto durante l’urto alla sola
forza esterna impulsiva costituita dalla reazione vincolare del perno (le forze
impulsive che si esplicano fra la massa urtante ed il disco sono forze interne).
Poichè durante l’urto il momento risultante delle forze impulsive rispetto ad O è
nullo vale la conservazione del momento angolare rispetto ad O. Un istante prima
dell’urto il momento angolare del sistema è dato da Iw0 mentre il momento della
quantità di moto della massa urtante è nullo essendo la sua velocità diretta
radialmente (quindi la sua retta d’azione passando per O). Un istante dopo l’urto,
anelastico, il momento angolare del sistema sarà dato da I’w dove I’ è il momento
d’inerzia del sistema a cui è stato aggiunto il contributo della massa urtante
saldatasi al bordo. Quindi:
Iw0 = I’w = (I + 3mR2/5) w
da cui
w = 2w0/3
w = 33.3 rad/s
5) Il sistema parte da fermo dalla configurazione in cui q = q0 = p e si ferma, avendo
applicato il momento frenante di modulo M a partire dall’angolo q = , d , nella
configurazione in cui q = l.Essendo nelle configurazioni iniziale e finale l’energia
cinetica nulla, il teorema delle forze vive stabilisce che la corrispondente variazione di
energia potenziale è uguale al lavoro compiuto dal momento frenante. Quindi:
mgR(cosq0 – cosl)/5 = -M(d - l)
da cui:
M = 3mgR(1 + 30.5/2)/10p
M = 0.315 Nm
6) La minima velocità angolare iniziale corrisponde a quella che consente al sistema
di arrivare nella posizione in cui f = p con velocità angolare nulla. Essendo le
forze agenti sul sistema conservative si ha immediatamente, dalla conservazione
dell’energia, che l’energia cinetica iniziale deve essere maggiore della variazione
dell’energia potenziale del sistema:
Iw02/2 > 2mgR/5
da cui
w02> 2g/3R
w0 > 7.38 rad/s
7) a) Essendo il palloncino in equilibrio la risultante delle forze applicate deve essere
nulla, quindi la spinta di Archimede risulta uguale ed opposta alla forza peso:
rVg = mg ovvero
r = m/V
r = 973.6 Kg/m3
dove r è la densità del liquido.
b) Detta0 la
p pressione alla superficie libera del liquido si ha dalla legge di
Stevino:
p = p0 + rgh
p = 172312 pa
(7.1)
c) Essendovi un preciso legame fra volume del palloncino e pressione, ed essendo
quest’ultimo invariato, ne deriva che adesso abbiamo la stessa pressione p ,
determinata in b), ad una profondità h’. Di conseguenza deve essere variata la
pressione alla superficie libera del liquido e si ha, detto p’0il nuovo valore:
p = p’0 + rgh’
(7.2)
Uguagliando (7.1) e (7.2) si ottiene:
Dp0 = p’0 - p0 = rg(h – h’)
Dp = -7641 pa
In base al principio di Pascal la stessa variazione di pressione si ha in tutti i punti del
liquido e quindi anche sul fondo del recipiente.
8) a) La velocità v0 di efflusso dell’acqua dall’ugello, che poniamo a quota 0, è
determinate dal teorema di Bernouilli. Nel punto più alto dello zampillo, a quota h, la
velocità si annulla per cui, agendo nei due punti la stessa pressione (atmosferica) pA,
si ha:
r v02/2 = rgh
e quindi:
v0 = (2gh)0.5
v = 7.67 m/s
b) Sempre dal teorema di Bernouilli e dalla legge di costanza della portata, indicato con r’
il raggio dello zampillo a quota h’, si ha:
v0p(d/2)2 = v’pr’2
r v02/2 = rgh’ + r v’2/2 = rgh
Ricavando r’ dale due equazioni si ottiene:
r’ = (d/2)[h/(h-h’)]0.25
r’ = 1.96 mm
c) Applicando il teorema di Bernouilli e la legge di costanza della portata ad una sezione
generica della conduttura ed all’ugello, alla stessa quota, si ha:
v0p(d/2)2 = vpR2
pA+r v02/2 = p + r v2/2
da cui:
p = pA+r v02[1-(d/2R)4]/2 = pA+rgh[1-(d/2R)4]
ed infine:
r = (p - pA)/gh[1-(d/2R)4]
r = 975.2 Kg/m3
Prova scritta di Fisica Generale I del 23/04/03 - C.d.L. in Ing. Civile ed Edile
Un’asta omogenea AO di massa M = 0.45 Kg e lunghezza l = 40 cm è poggiata con l’estremo O
su un piano orizzontale scabro; il coefficiente di attrito è indicato con m = 0.75. Si indichi con f
l’angolo che l’asta OA forma con la verticale ascendente, misurato positivamente in verso
antiorario, con x l’asse orizzontale e con y l’asse verticale. Si suppone che il moto dell’asta
avvenga nel piano xy in cui giace.
1) L’asta è mantenuta in equilibrio da una forza orizzontale F , diretta nel verso positivo
dell’asse x, applicata nell’estremo A. Si determini il valore di F per f = b = p/6 e il
valore massimo s dell’angolo f per cui è possibile l’equilibrio.
2) Mentre l’asta è in equilibrio in una posizione in cui f = b = p/6 (sotto l’azione di una
forza F applicata in A) una massa puntiforme m = 120 gr va ad urtare l’estremo O con
velocità v0 = 2.2 m/s diretta orizzontalmente nel verso positivo dell’asse x. Sapendo che
la massa m al termine dell’urto è ferma, e non collegata all’asta, calcolare la velocità
angolare e la velocità del centro di massa dell’asta immediatamente dopo l’urto
nell’ipotesi che le forze impulsive che si esercitano fra m e l’asta siano dirette lungo
l’asse delle x.
3) Nel caso in cui l’asta si muova di moto traslatorio, nel verso delle x positive, con
l’estremo O a contatto con il piano orizzontale e con un angolo f = g = p/3 , si calcoli
l’accelerazione corrispondente.
4) L’estremo O dell’asta è adesso incernierato senza attrito ad un asse orizzontale
perpendicolare al piano xy . L’estremo A viene spinto nel verso delle x positive da una
forza orizzontale costante F = 2.3 N applicata all’asta, inizialmente ferma, nella posizione
in cui f = b = p/6. Determinare la velocità angolare dell’asta quando passa per la
posizione verticale.
5) L’estremo O dell’asta è adesso incernierato senza attrito ad un asse orizzontale
perpendicolare al piano xy. L’estremo A viene spinto nel verso delle x positive da una
forza orizzontale costante F = 12 N. Nell’istante in cui essa passa per la posizione
verticale, corrispondente a f = 0 ha una velocità angolare w = 14 rad/s. Determinare in
questa posizione le componenti orizzontale e verticale della reazione vincolare in O.
6) L’asta viene lanciata con velocità di pura traslazione v0 = 3 m/s nel verso delle x positive,
con l’estremo O a contatto con un piano orizzontale privo di attrito, e con un angolo
f = g = p/3. Determinare le componenti della velocità dell’estremo A quando l’asta
raggiunge la posizione orizzontale.
7) Due tubi ad U , uno dei quali contiene acqua e l’altro un liquido di densità incognita,
vengono collegati con uno dei rami ad uno stessa conduttura connessa ad una pompa
mentre gli altri due rami sono esposti all’aria. Riducendo la pressione nei rami collegati si
osserva che il dislivello fra i due rami del tubo ad U contenente acqua è Dh = 20 cm ,
mentre nell’altro tubo è DH = 21.5 cm. a) calcolare la densità incognita del liquido. b)
calcolare la differenza di pressione fra la conduttura e l’aria. c) determinare la frazione di
volume immerso nei due differenti liquidi di una sferetta di raggio r = 0.5 cm e massa m
= 0.5 gr.
8) Un sifone, di sezione costante s = 3 cm2, collega un serbatoio, di grande sezione, ad uno
scarico posto ad una quota h = 0.5 m al disotto della superficie libera dell’acqua nel
serbatoio , esposta all’aria. a) Determinare la portata. b) Determinare la quota H, rispetto
alla superficie libera del liquido nel serbatoio, del punto più alto del sifone B per cui la
pressione in B si annulla. c) Nel caso in cui H = 50 cm ed il sifone sia vuoto determinare
la sovrappressione che si deve applicare alla superficie libera del liquido nel serbatoio
per innescare il flusso attraverso il sifone
y
A
F
f
x
O
B
H
DH
h
Dh
A
Soluzioni del compito di Fisica I del 23/04/03. - C.d.L. Ing. Civile ed Edile.
1)
F = Mgtgb /2
tgfmax = 2 m
F = 1.27 N
fmax = 0.98 rad = 56°30
2)
vG= mv0/M
w = 6mv0cosb/Ml
vG =0.586 m/s
w = 7.62 rad/s
3)
aG = g( tgg – 2m )
aG = 2.28 m/s2
4)
w2 = 6Fsinb /Ml - 3g(1 – cosb )/l
w = 5.34 rad/s
5)
T = F/2
N = Mg - Mw2l/2
T=6N
N = 13.22 N
6)
vAx= vGx= v0
vAy= vGy- wl/2= - wl=- (3gl/2)0.5
vAx= 3 m/s
vAy= - 2.42 m/s
7) a) r’ = r Dh/DH
b) Dp = pA - p = grDh
c) rgV = mg R = 3V/4pr3
r'gV’ = mg R’ = 3V’/4pr3
r’ = 930 Kg/m3
Dp = 1962 pa
R = 0.956
R’ > 1
8) a) Q = sv v = (2gh)0.5
b) H = pA /rg – h
c) Dp = p - pA = grH
Q = 9.4 10-4 m3/s
H = 9.82 m
Dp = 4.9 Kpa
Soluzione estesa del compito di Fisica I del 23/04/03. - C.d.L. Ing. Civile ed Edile.
1) La prima equazione cardinale (EQ I) della satatica impone che:
F + Mg + N + fa = 0
Da cui proiettando lungo gli assi x ed y:
F = fa
N = Mg
La seconda equazione cardinale della statica (EQ II), scelto O come polo, impone:
Flcosf – Mglsinf /2 = 0
da cui
F = Mgtgf /2
Per f = b si ottiene F = 1.27 N
La condizione fa < mN impone un valore massimo per l’angolo f dato dalla relazione:
Mgtgf /2 < mMg
da cui:
tgfmax = 2 m
fmax = 0.98 rad = 56°30
2) Durante l’urto le uniche forze rilevanti sono quelle impulsive che si esercitano fra
la massa m e la sbarra in O, tutte le altre forze possono essere trascurate (N.B. l’ipotesi,
realizzata in particolari condizioni, che le forze di interazione fra punto materiale e sbarra
siano orizzontali implica che il vincolo rappresentato dal piano orizzontale non sia sollecitato
durante l’urto e che quindi non si sviluppino reazioni vincolari di tipo impulsivo). Essendo le
forze impulsive forze interne al sistema sbarra + massa m, dalla conservazione della quantità
di moto si ha:
MvG = mv0
dove vG è la velocità, orizzontale, del centro di massa G della sbarra; la componente verticale
della velocità di G è nulla. Dalla conservazione del momento angolare , scelto G come polo,
si ha:
IGw= mv0lcosb /2
IG= Ml2/12
Quindi si ha:
vG= mv0/M
vG =0.586 m/s
w = 6mv0cosb/Ml
w = 7.62 rad/s
3) Nel caso in cui l’asta compia un moto di pura traslazione si ha dalla EQI :
F + Mg + N + fa = M aG
da cui proiettando lungo gli assi x e y
F - fa = M aG
N -Mg = 0
Essendovi strisciamento del punto O si ha inoltre: fa = mN = mMg.
Dalla EQII, scelto G come polo, essendo la velocità e l’accelerazione angolare nulle, si ha:
Flcosg /2 + falcosg /2 – Nlsing /2 = 0
Risolvendo otteniamo
aG = g( tgg – 2m )
aG = 2.28 m/s2
4) Essendo i vincoli ideali si ha dal teorema delle forze vive:
I0w2/2 = Flsinb - Mgl(1 – cosb )/2
I0= Ml2/3
dove I0 è il momento d’inerzia della sbarra rispetto ad O. Risolvendo si ha:
w2 = 6Fsinb /Ml - 3g(1 – cosb )/l
w = 5.34 rad/s
5) Dalla EQI si ha:
F + Mg + N + T= M aG
Dove T e N sono rispettivamente le componenti tangenziale e normale della reazione
vincolare in O. Proiettando lungo la direzione radiale e tangenziale si ha per f = 0:
F + T = - Mla/2
N – Mg = -Mw2l/2
dove a è l’accelerazione angolare. Dalla EQII , scelto O come polo, si ha:
I0a= -Fl
I0= Ml2/3
Risolvendo per T ed N si ha:
T = F/2
T=6N
N = Mg - Mw2l/2
N = 13.22 N
6) Le forze agenti ( forza peso e reazione vincolare di appoggio) sono conservative e dirette
lungo la verticale. Quindi vale la conservazione dell’energia e, essendo nulla la risultante
delle forze esterne lungo l’orizzontale, la conservazione della quantità di moto lungo
l’asse x. Questo comporta che la componente orizzontale della velocità del centro di
massa G è costante durante il moto ovvero che vGx= v0 . Dalla conservazione dell’energia
si ha:
IGw2/2 + MvG 2/2 + Mglcosf /2 = Mv0 2/2 + Mglcosg /2
IG= Ml2/12
Tenendo conto che vGx= v0 e che yG = lcosf /2 da cui
vGy = -wlsinf /2
si ha per f = p/2:
(Ml2/12)w2/2 + M(wlsinf /2) 2/2 = Mglcosg /2
da cui infine
w2 = 3g/2l
Per le componenti della velocità di A si ha quindi:
vAx= vGx= v0
vAx= 3 m/s
vAy= vGy- wl/2= - wl=- (3gl/2)0.5
vAy= - 2.42 m/s
7) a) Detta r’ la densità incognita del liquido p la pressione nel condotto commune e pA la
pressione atmosferica si ottiene dalla legge di Stevino:
p + grDh = pA = p + gr'DH
da cui
r’ = r Dh/DH
r’ = 930 Kg/m3
b) Dalle precedenti relazioni si ha:
Dp = pA - p = grDh
Dp = 1962 pa
c) Detto V il volume della sferetta immerso in acqua, e V’ quello nell’altro liquido, si
ha:
rgV = mg
R = 3V/4pr3
R = 0.956
3
r'gV’ = mg
R’ = 3V’/4pr
R’ > 1
8) a) Facendo riferimento alla superficie libera dell’acqua nel serbatoio (si considera
trascurabile la velocità dell’acqua su questa sezione) e alla
sezione terminale del sifone si ha dal teorema di Bernouilli:
Q = sv v = (2gh)0.5
Q = 9.4 10-4 m3/s
b) Essendo il sifone di sezione costante risulta uguale la velocità nel punto più alto B e
nel punto terminale ( N. B. Questa in realtà è un’approssimazione ). Quindi si ottiene
dal teorema di Bernouilli (semplificando in entrambi i membri il termine cinetico
uguale):
pB + gr(H + h) = pA
dove pA è la pressione atmosferica; imponendo pb = 0 si ricava:
H = pA /rg – h
H = 9.82 m
c) La sovrappressione che si deve applicare alla superficie libera del liquido
corrisponde a quella necessaria a far arrivare l’acqua nel punto B in cui agisce, a
sifone vuoto, la pressione atmosferica , quindi :
Dp = p - pA = grH
Dp = 4.9 Kpa
Prova scritta di Fisica Generale I – 15/07/03 - C.d.L. Ing. Civile ed Edile
Un sistema è costituito da un’asta sottile, omogenea, di massa m = 800 g e lunghezza 2l =
30 cm imperniata liberamente nel suo centro su un’asse orizzontale passante per il centro
O di un blocchetto cubico, omogeneo, di lato b = 10 cm e massa M = 1.6 Kg che può
scorrere su un’opportuna guida orizzontale liscia. Ad una delle estremità dell’asta viene
saldato un punto materiale P di massa mP = m/3. Si indichi con f l’angolo che il
segmento OP forma con la verticale discendente , misurato positivamente in verso
antiorario.
1) Un piolo orizzontale B, di dimensioni tracurabili, posto ad un’altezza b dalla
guida orizzontale obbliga l’asta in una posizione in cui f = b = 25°. Determinare
la forza orizzontale F che deve essere applicata al blocchetto per mantenere il
sistema in equilibrio in questa configurazione. Si suppone che fra piolo ed asta
non vi sia attrito.
2) Avendo bloccato lo scorrimento del cubo sulla guida orizzontale , si fa oscillare
liberamente l’asta attorno al perno O. Determinare il periodo delle piccole
oscillazioni.
3) Avendo bloccato lo scorrimento del cubo sulla guida orizzontale, si osserva che
nell’istante in cui l’asta, ruotando attorno al perno O, passa per la configurazione
corrispondente a f = 0° con velocità angolare w0 = 2.7 rad/s la massa P si stacca.
Determinare l’angolo da cui è stata abbandonata, da ferma, l’asta; determinare
inoltre la velocità di P e la velocità angolare dell’asta subito dopo il distacco.
4) Avendo bloccato lo scorrimento del cubo sulla guida orizzontale, si mette in
rotazione la sbarra attorno al perno O. Determinare la minima velocità angolare
che deve avere la sbarra nella configurazione verticale corrispondente a f = 180°
perchè il blocchetto si sollevi dalla guida orizzontale ed il valore della
componente orizzontale della reazione vincolare agente sul blocchetto.
5) Con il blocchetto libero di scorrere sulla guida orizzontale si abbandona a sè
stesso il sistema inizialmente fermo nella configurazione in cui l’asta è
orizzontale, corrispondente a f = 90°. Sapendo che, quando l’asta passa per la
posizione verticale, corrispondente a f = 0°, il blocchetto ha una velocità Vo =
0.062 m/s determinare lo spostamento subito dal blocchetto fra questi due istanti e
la velocità angolare dell’asta nella posizione verticale.
6) Il sistema è fermo con l’asta nella posizione verticale f = 0 ed il blocchetto libero
di scorrere sulla guida orizzontale. Un secondo punto materiale Z, di massa mP =
m/3 urtando, con velocità orizzontale v0 = 25 m/s, l’altro estremo dell’asta,
opposto a P, si salda ad essa. Determinare la velocità del blocchetto e la velocità
angolare dell’asta subito dopo l’urto.
7) Un serbatoio a forma tronco conica ha altezza H = 2 m, raggio della sezione
superiore R = 80 cm e raggio della sezione inferiore r = 2 cm; dal fondo, in
corrispondenza della sezione inferiore A, parte una conduttura a forma di L, con
sezione circolare di raggio r, il cui tratto verticale ha altezza h = 1.2 m. Il fondo
del serbatoio è chiuso da una pallina di gomma di raggio r’ = 2.1 cm, leggermente
più grande di r, ed il serbatoio è riempito fino all’orlo di acqua. a) calcolare la
risultante delle forze di pressione agenti sulla pallina quando nella conduttura ad
L vi è aria (si consideri la pressione sulla superficie di ciascun emisfero costante).
b) riempiendo opportunamente di acqua la conduttura ad L si osserva che la
pallina si distacca dal fondo senza che l’acqua trabocchi dal serbatoio.
Determinare il valore massimo che può avere la massa m della pallina perchè
questo accada. Determinare in corrispondenza la differenza di pressione media
che deve esistere fra la superficie superiore ed inferiore della pallina perchè
avvenga il distacco. c) Determinare la forza che deve essere esercitata sul pistone
B che chiude il tratto orizzontale della conduttura ad L per ottenere la pressione
che agisce sulla superficie inferiore della pallina nelle condizioni del punto b).
8) Un tubo a sezione circolare di raggio a = 1 cm termina con una flangia circolare di
raggio b = 10 cm ; affacciato ad essa, ad una distanza l = 1 cm, si trova un disco
di raggio b. Nel tubo viene prodotto un flusso di aria F = 85 lt/s. a) Calcolare la
velocità dell’aria nell’intercapedine fra la flangia ed il disco in funzione della
distanza r dall’asse del tubo e del sistema. b) Considerando il fluido come perfetto
calcolare la pressione nell’intercapedine fra la flangia ed il disco in funzione della
distanza r dall’asse del tubo e del sistema e calcolarne il valore numerico per r =
a. c) Calcolare modulo, direzione e verso della risultante delle forze di pressione
agenti sul disco. ( N.B. in tutte le domande si trascuri la regione di spazio
corrispondenti a valori di r < a; densità dell’aria r = 1.29 Kgm-3).
B
O
O
b
P
f
P
l
H
b
a
A
h
B
Soluzioni del compito di Fisica I del 15/07/03 – C.d.L. Ing. Civile ed Edile.
1) F = 2mglcos2bsinb /3b
F = 2.72 N
2) T = 2p(2l/g)0.5
T = 1.1 s
3) cosf0 = 1 – w2l/g
w’= w vP = lw
f0 = 0.476 rad = 27°31
vP = 0.40 m/s
4) w2 > (3M + 4m)g/ml ; Nx = 0
w > 25.56 rad/s
5) x = ml /(3M + 4m)
w = -V0(3M + 4m)/ml
x = 1.5 cm
w = -4.13 rad/s
6) v = mv0/(5m + 3M)
w = v0/3l
v = 2.27 m/s
w = 55.3 rad/s
7) a)
b)
c)
8) a)
b)
c)
F = rgHpr’2
m = r4pr’3/3
Dp = gr4r’/3
F = [pA + rg(H + h)]pr’2
F = 27.2 N
m = 38.8 g
Dp = 275 pa
F = 166 N
v = F/ 2prl
p = pA + r(F/pl)2(1/b2 – 1/r2)/8
F = r(F/l)2[(b2 – a2)/2b2– ln(b/a)]/4p
p = (pA - 52) pa
F = 0.30 N
Compito di Fisica Generale I del 14/11/03 – C.d.L. Ing. Civile.
Un’asta OA, sottile ed omogenea, di lunghezza 2l e massa M = 0.85 Kg è imperniata
nell’estremo O ad un asse orizzontale , a distanza l = 60 cm dal suolo, e può ruotare
liberamente in un piano verticale. Essa poggia su un supporto B, di massa m = 50 gr e
dimensioni trascurabili, opportunamente vincolato a scorrere lungo una guida verticale a
distanza l da O. Il supporto B è collegato ad una molla di costante elastica k e lunghezza
a riposo pari a 2l , opportunamente collocata lungo la guida verticale e con l’altro
estremo fissato al suolo. Tutti i vincoli sono ideali ed in particolare non vi è attrito fra il
supporto B e l’asta. Si indica con f l’angolo che l’asta OA forma con l’orizzontale
misurato positivamente in verso anti-orario.
1) Il sistema si trova in equilibrio in una configurazione in cui f = b = p/6.
Determinare il corrispondente valore della costante elastica k della molla.
2) Quando il sistema passa per la posizione corrispondente a f = g = 0.46 rad il
supporto B ha una velocità v = 0.5 m/s ed una accelerazione a = 1.8 m/s2 dirette
verso il basso. Determinare i corrispondenti valori della velocità e
dell’accelerazione angolare dell’asta.
3) Durante il moto del sistema l’asta raggiunge la massima velocità angolare per
f = b = p/6. Determinare nel corrispondente istante la reazione vincolare, della
guida verticale, agente su B.
Nelle domande successive il valore della costante elastica della molla è fissata a k= 14.7
N/m.
4) L’estremo A della sbarra è poggiato sul suolo e la molla , a cui è collegato B, è
compressa di una quantità pari al 90% della sua lunghezza a riposo. Rilasciata la
molla B va ad urtare l’asta e questa inizia a muoversi mentre B si ferma.
Calcolare l’impulso esercitato da B sull’asta durante l’urto e la velocità angolare
dell’asta subito dopo l’urto.
5) Il sistema, inizialmente fermo nella configurazione in cui l’estremo A poggia sul
suolo, viene abbadonato a sè stesso. Determinare la velocità angolare dell’asta
quando questa passa per la posizione corrispondente a f = 0 considerando
trascurabile la massa di B (m = 0).
6) Per il sistema in oggetto determinare il periodo delle piccole oscillazioni attorno
alla posizione di equilibrio f = 0 considerando trascurabile la massa di B (m = 0).
7) Un serbatoio di grande sezione è riempito con acqua fino ad una quota H = 1,8
m. Al suo fondo è connessa una conduttura orizzontale costituita da tre tratti di
sezione decrescente s1 = 12 cm2, s2 = 6 cm2e s3 = 3 cm2. a) Determinare il flusso
in uscita dalla conduttura al termine del terzo tratto di tubo. b) In ognuno dei tre
tratti di conduttura è collocato un tubo verticale di controllo di lunghezza
maggiore di H. Determinare l’altezza della colonna di liquido in ciascuno dei tre
tubi verticali. c) Ad un determinato istante il dislivello fra le colonne di liquido
nei tubi di controllo 2 e 3 è pari a Dh = 15 cm. Calcolare la differenza di
pressione fra i due tratti di conduttura e l’altezza H’ del liquido nel serbatoio.
8) Un galleggiante costituito di materiale con densità r = 180 Kg/m3 ha la forma di
un prisma retto. I suoi cateti hanno lunghezza a = 23 cm e la sua altezza è l = 50
cm. Esso è completamente immerso in acqua, nella configurazione indicata in
figura, ed ancorato al fondo da un cavo attaccato ad esso nel punto B. a) Calcolare
la tensione del cavo. b) Se il punto B si trova ad una profondità h = 4 m calcolare
la forza di pressione agente sulla faccia orizzontale del prisma . c) Nelle
condizioni della domanda b) calcolare la forza media di pressione agente su
ciascuna delle due facce a 45° rispetto alla verticale.
A
B
f
O
l
l
H
1
2
3
h
a
B
Soluzioni del compito di Fisica generale I del 14/11/03.
1) k = (Mgcos3b + mg)/l(1 – tgb)
k = 23.3 N/m
2) w = -v/l(1 + tg2g)
a = -a/l(1 + tg2g) – 2w2tgg
w = - 0.67 rad/s
a = -2.85 rad/s2
3) R = Mgcos2bsinb
R = 3.13 N
4) d = -p/6 v2 = kl2[ 4(0.9)2 – (1 – tgd)2]/m – 2gl(0.8 - √3/3)
J = mv/cosd
J = 0.515 Ns
w = 3J/4Mlcosd
w = 0.874 rad/s
5) w2 = 3gsind/2l + 3k[(1 – tgd)2 -1]/4M
w = 2.66 rad/s
6) T = 2p(4M/3k)0.5
T = 1.74 s
7) a) F = s3(2gH)0.5
b) hi = H[ 1 – (s3/si)2]
c) Dp = rgDh
H’ = Dh/[ 1 – (s3/s2)2]
8)
V= a2l/2
a) T = gV(rH2O – r)
b) F = √2 al(p + ghrH2O)
c) F’ = ( F – gVrH2O )/√2
F = 1.78 lt/s
h1 = 1.687 m h2 = 1.35 m
Dp = 1.47 Kpa
H’ = 20 cm
T = 106 N
F = 2.289 104 N
F’= 1.608 104 N
h3 = 0. m