IV Appello di Analisi Stocastica
Laurea Magistrale in Matematica
22 settembre 2009
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Nella risoluzione degli esercizi è possibile utilizzare tutti i risultati enunciati a lezione, anche
quelli non dimostrati.
Esercizio 1. Sia {Bt }t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità
(Ω, F, P). Per t0 , ε ∈ (0, ∞) definiamo gli eventi
At0 ,ε := {Bt0 +h ≤ Bt0 , ∀h ∈ [0, ε]} ,
Mt0 := {t0 è un punto di massimo locale di B} .
S
(a) Si spieghi perché vale l’inclusione di eventi Mt0 ⊆ n∈N At0 ,1/n .
(b) Si mostri che P(At0 ,ε ) = 0, per ogni t0 , ε ∈ (0, ∞).
[Sugg.: si sfrutti opportunamente la legge del logaritmo iterato.]
(c) Si deduca che P(Mt0 ) = 0, per ogni t0 ∈ (0, ∞).
(d) Si mostri che P(nessun punto di Q ∩ (0, ∞) è un punto di massimo locale di B) = 1.
(e) (*) Si mostri che P(nessun punto di (0, ∞) è un punto di massimo locale di B) = 0, cioè
per q.o. ω ∈ Ω esiste (almeno) un punto t0 (ω) ∈ (0, ∞) di massimo locale per B.
Soluzione 1. (a) Se ω ∈ Mt0 significa che t0 è un punto di massimo locale per la funzione
t 7→ Bt (ω), cioè esiste ε > 0 tale che Bt0 (ω) ≥ Bt (ω) per ogni t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]. Scegliendo
n ∈ N tale che 1/n < ε, si ha in particolare che Bt0 +h (ω) ≤ Bt0 (ω) per ogni
S h ∈ [0, 1/n],
il che equivale a dire che ω ∈ At0 ,1/n . Questo mostra l’inclusione Mt0 ⊆ n∈N At0 ,1/n .
(b) Se ω ∈ At0 ,ε si ha per definizione Bt0 +h (ω) ≤ Bt0 (ω) per ogni h ∈ [0, ε]: in particolare,
B +h (ω)−Bt0 (ω)
lim suph↓0 √t0√
≤ 0. Questo mostra che vale l’inclusione di eventi
h 2 log log(1/h)
Bt0 +h − Bt0
At0 ,ε ⊆ lim sup √ q
≤0 .
h↓0
h 2 log log 1
h
Per la legge del logaritmo iterato, l’evento nel membro destro ha probabilità nulla, da cui
segue che P(At0 ,ε ) = 0.
P
(c) Dai due punti precedenti segue che P(Mt0 ) ≤ n∈N P(At0 ,1/n ) = 0.
(d) L’evento
{nessun punto di Q ∩ (0, ∞) è un punto di massimo locale di B} coincide con
T
c
c
t0 ∈Q∩(0,∞) Mt0 . Dato che P(Mt0 ) = 1, la conclusione segue dal fatto che l’intersezione
numerabile di eventi di probabilità 1 ha probabilità 1.
(e) Sappiamo che q.c. il moto browniano cambia segno infinite volte in ogni intorno destro
di zero: in particolare, per q.o. ω ∈ Ω esiste t1 (ω) ∈ (0, ∞) tale che Bt1 (ω) (ω) < 0. Dato
che il moto browniano ha traiettorie q.c. continue, per q.o. ω ∈ Ω la funzione t 7→ Bt (ω)
ammette massimo nell’intervallo [0, t1 (ω)] e tale massimo è strettamente positivo. Se t0 (ω)
denota un (qualunque) punto di massimo, chiaramente t0 (ω) ∈ (0, t1 (ω)) (perché il valore
del massimo assunto è strettamente positivo) e dunque t0 (ω) è un punto di massimo locale.
Esercizio 2. Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica:
1
sin(Xt )
1
dX =
dt
dBt +
+
t
2 + cos(Xt )
2 + cos(Xt )
2(2 + cos(Xt ))3
X0 = 0
.
(a) Si mostri che per l’equazione c’è esistenza di soluzioni forti e unicità per traiettorie.
Fissiamo ora uno spazio filtrato standard (Ω, F, {Ft }t∈[0,∞) , P) su cui è definito un {Ft }t∈[0,∞) moto browniano reale B = {Bt }t∈[0,∞) . Indichiamo con X = {Xt }t∈[0,∞) l’unico (a meno di
indistinguibilità) processo continuo e adattato definito su Ω che risolve l’equazione data.
(b) Si mostri che, per ogni γ ∈ R, il processo Y = {Yt }t∈[0,∞) definito da
Yt := Xt +
1
sin(Xt ) − γ t
2
(1)
è un processo di Itô e se ne determini il differenziale stocastico.
(c) Si determini il valore di γ ∈ R per cui il processo Y è una {Ft }t∈[0,∞) -martingala locale e
si mostri che, per il valore di γ trovato, si ha in effetti Yt = 21 Bt .
(d) Sfruttando opportunamente la relazione (1), si mostri che q.c. limt→+∞
Soluzione 2.
Xt
t
= 12 .
(a) Entrambe le funzioni
ϕ(x) :=
1
,
2 + cos(x)
ψ(x) :=
1
sin(x)
+
,
2 + cos(x) 2(2 + cos(x))3
sono ben definite su tutto R, poiché 2 + cos(x) ≥ 1 per ogni x ∈ R, sono derivabili
con continuità su tutto R (in effetti sono C ∞ ) e sono periodiche (di periodo 2π). In
particolare, le funzioni ϕ, ϕ0 , ψ, ψ 0 sono limitate, in quanto continue e periodiche: esiste
cioè M ∈ (0, ∞) tale che
|ϕ(x)| ≤ M ,
|ψ(x)| ≤ M ,
|ϕ0 (x)| ≤ M ,
|ψ 0 (x)| ≤ M ,
Per il teorema di Lagrange segue dunque che, per y ≥ x,
Z y
Z y
Z
0 0
|ϕ(y) − ϕ(x)| = ϕ (z) dz ≤
ϕ (z) dz ≤
x
x
∀x ∈ R .
y
M dz = M |y − x| ,
x
e analogamente per y ≤ x. Lo stesso vale per ψ, quindi entrambe le funzioni ϕ, ψ sono
globalmente lipschitziane. Sono dunque soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza
di soluzioni forti e di unicità per traiettorie.
(b) Y è un processo di Itô in quanto è funzione C 2 (in realtà C ∞ ) di (t, Xt ). Applicando la
formula di Itô si ottiene
1
1
dYt = dXt + cos(Xt )dXt − sin(Xt ) dhXit − γ dt
2
4
1
1 + 2 cos(Xt )
sin(Xt )
1
1
=
dBt + 1 + cos(Xt )
+
dt
2 + cos(Xt )
2
2 + cos(Xt )
2(2 + cos(Xt ))3
sin(Xt )
dt − γ dt
−
4(2 + cos(Xt ))2
1
1
= dBt +
− γ dt .
2
2
(c) Ill termine a variazione finita nel differenziale stocastico di Y si annulla se e solo se γ = 12 .
In questo caso si ha dYt = 12 dBt e dato che Y0 = 0 si ottiene Yt = 21 Bt .
(d) Per la legge dei grandi numeri per il moto browniano si ha Bt /t → 0 q.c. per t → ∞
(come segue anche dalla legge del logaritmo iterato). Consideriamo ora la relazione (1)
per γ = 12 : dividendo ambo i membri di per t e prendendo il limite t → ∞, dal momento
che Yt = 12 Bt si ottiene q.c.
!
Xt + 12 sin(Xt )
1
Yt
Xt
1
−
0 = lim
= lim
= lim
− ,
t→∞ t
t→∞
t→∞ t
t
2
2
cioè limt→∞
Xt
t
=
1
2
q.c..
