Definizione 1. Si dice pentagonale, e si indica con N 5, un reticolo

Definizione 1. Si dice pentagonale, e si indica con N5 , un reticolo ordinato (R, ≤),
dove R = {b
0, a, b, c, b
1} e “ ≤ ” si definisce semplicemente con la condizione b ≤ c (questa
condizione è sufficiente a descrivere il reticolo perchè la relazione è d’ordine e quindi
riflessiva e inoltre si è già visto che b
0 è il più piccolo elemento di R, b
1 è il più grande
elemento di R).
Il diagramma di Hasse di N5 è:
b
1
•
l
ll c
•
a •
S
•b
S
,
S ,
S•,
b
0
Si osserva che a ha due complementi che sono b e c. Pertanto il reticolo non può essere
distributivo (cf. Proposizione 4). Ad ulteriore conferma:
b ∨ (a ∧ c) = b ∨ b
1=b
1
(b ∨ a) ∧ (b ∨ c) = b
1 ∧ c = c.
Definizione 2. Si dice trirettangolo, e si indica con M3 , un reticolo ordinato (R, ≤),
dove R = {b
0, a, b, c, b
1}, senza ulteriori condizioni su “ ≤ ”.
Il diagramma di Hasse del reticolo trirettangolo è il seguente:
b
1
•
S
S
S
a •
• b S•
S
S
S S•
c
b
0
Si osservi che a ha due complementi, ovvero b e c; b ha due complementi, ovvero a e c;
c ha due complementi, ovvero a e d. Quindi, come nel caso di N5 , il reticolo non può
essere distributivo: e infatti si ha:
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ b
1=a
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = b
0∨b
0=b
0.
Nota Bene Se si deve provare che un reticolo finito è distributivo e non lo si può fare
con tre generici suoi elementi, non è consigliabile verificare tutti i possibili casi. Infatti
c’è il seguente criterio.
Teorema 1. Un reticolo finito (R, ∧, ∨) è distributivo se e soltanto se non ammette
sottoreticoli di tipo N5 o M3 .
Osservazione 1. Per vedere se un tale sottoreticolo esiste, si utilizzano i diagrammi di
Hasse, come nei seguenti esempi.
1
2
Esempio 1. Il reticolo rappresentato dal seguente diagramma di Hasse, non è distribu•
tivo:
h
@
@
@
@ @•
e• @
@
@•
c•
b •
f•
g
d
a•
Infatti {b, d, c, e, f } formano un sottoreticolo di tipo N5 .
Esempio 2. Analogo discorso vale per il reticolo individuato dal diagramma di Hasse:
•f
d
%e
ee•
%
e
%
e• b
%
•
c
l
• l
l
l
l•
a
poichè {a, c, d, e, f } formano un sottoreticolo di tipo N5 .
Esempio 3. Il reticolo il cui diagramma di Hasse è:
•g
f
Q
Q
• • e Q• d
QQ
Q•
c
•
b
•
a
non è distributivo, in quanto {c, d, e, f, g} è un sottoreticolo di tipo M3 .
Esercizio 1. Nell’esempio precedente {a, b, c, f, g} non forma un sottoreticolo: perchè?
Definizione 3. Si dice che un anello (A, +, ·) è di Boole se
∀a ∈ A a2 = a
Proposizione 1. Sia (A, +, ·) un anello di Boole. Allora
1) ∀a ∈ A 2a = a + a = 0
2) ∀a, b ∈ A ab = ba ovvero (A, +, ·) è commutativo.
Dimostrazione. Sia a ∈ A, allora
a + a = (a + a)2 = a2 + a2 + a2 + a2 = a + a + a + a.
Per le leggi di cancellazione nel gruppo (A, +), a + a = 0, per cui 1) è provata. Si osservi
che 1) implica che ∀a ∈ A − a = a. Per dimostrare 2) si procede in modo analogo: siano
a, b ∈ A, allora
a + b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b.
Ancora per le leggi di cancellazione nel gruppo (A, +), ab + ba = 0, per cui, usando 1),
ab = −ba = ba.
3
Esempio 4. È facile osservare che (Z2 , +, ·) è anello di Boole.
Osservazione 2. Siano (A1 , +, ·), . . . , (An , +, ·) anelli e sia A = A1 × · · · × An . Si può
munire A della struttura di anello ponendo ∀(a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ A
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn )
(a1 , . . . , an ) · (b1 , . . . , bn ) = (a1 · b1 , . . . , an · bn ).
n
n
In particolare, se (B, +, ·) è un anello, si può considerare l’anello (B , +, ·), dove B =
B × · · · × B.
Esempio 5. È facile osservare che se (B, +, ·) è un anello di Boole, allora anche l’anello
n
∗
n
(B , +, ·) definito nell’Osservazione 2 è di Boole. Quindi per ogni n ∈ N , (Z2 , +, ·) è
un anello di Boole.
Teorema 2. Sia (A, +, ·) un anello di Boole. Posto ∀a, b ∈ A
a ∧ b = a · b,
a ∨ b = a + b + a · b,
si ottiene un reticolo di Boole (A, ∧, ∨). Viceversa se (R, ∧, ∨) è un reticolo di Boole,
allora le due leggi di composizione ”+” e ”·” cosı̀ definite: ∀x, y ∈ R
x + y = (x ∧ y 0 ) ∨ (x0 ∧ y)
x·y =x∧y
conferiscono a R la struttura di anello di Boole.
Esempio 6. Dato X insieme, (P(X), ∩, ∪) è un reticolo di Boole. Allora, come suggerisce il Teorema 2, si pone per ogni A, B ∈ P(X)
A + B = (A ∩ {X (B)) ∪ ({X (A) ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A) = A∆B
che si chiama anche differenza simmetrica di A e B,
A · B = A ∩ B.
Quindi (P(X), ∆, ·) è un anello di Boole.
Definizione 4. Si dice che due anelli (A1 , +, ·) e (B, +.·) sono isomorfi se esiste un’applicazione bigettiva f : A → B tale che:
• ∀a, a0 ∈ A f (a + a0 ) = f (a) + f (a0 )
• ∀a, a0 ∈ A f (a · a0 ) = f (a) · f (a0 )
• f (1A ) = 1B .
In tal caso f si dice isomorfismo di anelli.
Osservazione 3. Si può provare che per un isomorfismo di anelli risulta f (0A ) = 0B .
∗
Teorema 3. Sia (A, +, ·) anello di Boole finito. Allora esiste n ∈ N tale che (A, +, ·)
n
sia isomorfo all’anello di Boole (Z2 , +, ·).
∗
Osservazione 4. Sia (A, +, ·) anello di Boole finito. Allora esiste n ∈ N tale che
|A| = 2n . In altri termini un anello di Boole finito ha cardinalità uguale ad una potenza
di 2. Quindi se un anello ha cardinalità diversa da una potenza di 2, sicuramente non è
di Boole. Inoltre, dal Teorema 2 si sa che ogni reticolo di Boole si può riguardare come
un anello di Boole e dunque un reticolo di Boole finito ha cardinalità uguale ad una
potenza di 2. In conclusione: se un reticolo non ha cardinalità uguale ad una potenza
di 2 non è di Boole, ma attenzione: non è vero che se un reticolo ha cardinalità uguale
ad una potenza di 2 allora è un reticolo di Boole (vedi Es.1)!