Metodi analitici e geometrici in problemi di calcolo delle

Progetto di ricerca dipartimentale
Metodi analitici e geometrici in problemi di calcolo delle
variazioni ed equazioni differenziali
Durata: 01/07/2013-31/10/2014
Responsabile: Carlo Sbordone
Partecipanti: A. Alvino, P. Baldi, A. Barbagallo, M. Barchiesi, M. Berti, B. Brandolini, P. Buonocore, F.
Chiacchio, V. Coti Zelati, U. De Maio, V. Ferone, N. Fusco, F. Giannetti, E. Giarrusso, L. Greco, C. Leone,
B. Lignola, L. Mallozzi, A. Mercaldo, G. Moscariello, C. Nitsch, A. Passarelli, M.R. Posteraro, T. Ricciardi,
B. Stroffolini, L. Toscano, C. Trombetti, A. Verde, R. Volpicelli, G. Zecca.
Obiettivi
Si prenderanno in esame alcuni problemi di calcolo delle variazioni ed equazioni alle derivate parziali
secondo un approccio che utilizzi metodi analitici e geometrici. Particolare riguardo sarà dato alle questioni
che provengono da modelli matematici legati alla fisica, alla biologia, all’ingegneria e all’economia.
Le ricerche che si intende sviluppare riguardano in particolare:
1) Esistenza, unicità e regolarità di soluzioni di problemi al bordo per equazioni o sistemi di equazioni alle
derivate parziali; esistenza, regolarità e stabilità di soluzioni periodiche e quasi-periodiche nel tempo per
equazioni alle derivate parziali Hamiltoniane.
2) Problemi del calcolo delle variazioni ed ottimizzazione, disequazioni variazionali; questioni di teoria
geometrica della misura.
Prerequisiti
L’interazione tra le equazioni a derivate parziali e la teoria delle mappe ha una lunga tradizione, come
mostra ad esempio il caso delle equazioni di Cauchy-Riemann e delle trasformazioni conformi. Recentemente,
tale interazione ha portato a concetti più generali di soluzione di un’equazione (soluzioni deboli e molto
deboli) e ha portato alla considerazione di nuove classi di mappe (quasi-conformi, a distorsione finita e biSobolev) di grande interesse. È stato quindi necessario introdurre tecniche sempre più raffinate di teoria
geometrica della misura e di analisi armonica.
Diversi afferenti al progetto hanno già ottenuto risultati significativi con adeguata collocazione internazionale e si avviano a continuare l’attività su problematiche assai promettenti.
Una tematica particolarmente coltivata è quella dello studio del comportamento asintotico delle soluzioni
di problemi di esatta controllabilità per equazioni iperboliche in domini con frontiera oscillante, e del controllo
ottimo nei coefficienti.
Un altro aspetto della ricerca riguarda varie questioni di ottimizzazione per problemi variazionali intesi in senso ampio (min-max, equilibrio di Nash, disequazioni variazionali, teoria dei giochi). Come applicazione viene anche considerata la localizzazione di servizi, sia nell’ottica di minimizzazione dei costi
che nell’ottimizzazione dei servizi. Un approccio che si rivela promettente è quello dell’uso di tecniche di
trasporto ottimo alla Monge-Kantorovich.
Descrizione
1. Equazioni alle derivate parziali e sistemi dinamici.
Questo programma di ricerca intende affrontare vari aspetti della teoria delle equazioni alle derivate
parziali, lineari e non lineari, di tipo ellittico, parabolico o delle cosiddette equazioni Hamiltoniane. Le
equazioni alle derivate parziali saranno studiate da vari punti di vista e sotto vari aspetti. Un tipo di approccio
fa ricorso ai metodi geometrici che si basano su diseguaglianze isoperimetriche e metodi di simmetrizzazione
ad esse associati, facendo riferimento ai metodi classici introdotti in letteratura da Talenti. Tali metodi
permettono di ottenere stime a priori per soluzioni di problemi al bordo relativi a equazioni ellittiche, che sono
da considerarsi il punto di partenza per provare esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni. Il caso in cui le
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equazioni contengono solo dati sommabili, misure o dati con sommabilità “limite” sarà studiato considerando
equazioni non lineari di vario tipo: equazioni che contengono termini del primo ordine, equazioni in cui
compare un termine che degenera rispetto alla funzione incognita o che presentano nella parte principale un
peso di tipo gaussiano, equazioni anisotrope. Anche il caso di problemi al bordo con funzioni che divergono
sulla frontiera sarà oggetto di studio: per le soluzioni di siffatti problemi si intende studiare l’ esistenza,
l’unicità, nonché il comportamento asintotico sulla frontiera confrontandolo con una conveniente funzione
della distanza, che dipende dai dati del problema.
Equazioni di tipo parabolico possono essere trattate con i suddetti metodi; si intende focalizzare
l’attenzione sulle versioni evolutive dei problemi ellittici descritti sopra e su problemi parabolici che presentano pesi singolari.
I metodi di simmetrizzazione bene si adattano anche al caso di equazioni totalmente non lineari, come
le cosiddette equazioni di Monge-Ampère, o equazioni che contengono il laplaciano frazionario. Essi inoltre
permettono lo studio delle proprietà di simmetria di soluzioni di problemi sovradeterminati, come i problemi
al contorno per equazioni Hessiane, che coinvolgono le curvature del dominio. Nel caso dell’operatore di
Monge-Ampère si prevede che tali problemi possono avere soluzioni solo in domini dotati di particolare
simmetria, quali gli ellissoidi.
Si prenderanno in esame anche problemi di ottimizzazione di forme per diseguaglianze geometricofunzionali. Tipicamente si tratta di determinare domini che forniscono le migliori costanti in alcune diseguaglianze che spesso sono collegate ad opportuni problemi agli autovalori. In questo contesto ricadono ben note
congetture come quella che stabilisce che le sfere rendono massimo l’autovalore del laplaciano con condizioni
al contorno di Steklov tra gli insiemi con misura fissata.
Nell’ordine di idee dei classici risultati dovuti a Gallouet e Morell, si intende anche indagare sui legami
tra diversi tipi di capacità; da essi si possono poi dedurre risultati di esistenza e non esistenza per alcune
classi di equazioni ellittiche con termini di ordine inferiore e con dati misure.
Si intende affrontare lo studio di una classe di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico semilineare,
a nonlinearità di tipo esponenziale, definite su varietà bidimensionali, note in letteratura come “mean field
equations”. Come descritto in una rassegna di Lin, l’interesse verso tali equazioni nasce da problemi della
geometria differenziale, dalla biologia e dalla fisica. Esse presentano una formulazione variazionale che
coinvolge i cosiddetti funzionali di Moser-Trudinger; si studierà l’esistenza di estremali per la diseguaglianza
di Moser-Trudinger associata, in un caso limite.
Uno spazio particolare sarà riservato allo studio della regolarità delle soluzioni di sistemi di equazioni
ellittiche o paraboliche, ovvero di sistemi di disequazioni variazionali. L’interesse è rivolto a quella letteratura
che negli ultimi anni ha fornito risultati di regolarità. Da un lato si intende studiare la regolarità delle
soluzioni in dipendenza dalla regolarità dei coefficienti del sistema, dall’altro si intende continuare a studiare
il flusso di calore per i cosiddetti H-sistemi. Per tali sistemi si è recentemente ottenuto un risultato di
esistenza per tutti i tempi; è naturale pertanto affrontare lo studio della regolarità delle soluzioni. In
particolare ci si aspetta di dimostrare che sotto opportune ipotesi di regolarità della funzione H, le soluzioni
siano regolari dappertutto e fin sul bordo. Si intende affrontare anche il caso stazionario, indagando sulla
regolarità delle soluzioni del sistema nell’ipotesi che H sia solo lipschitziana. I soli risultati in tale direzione,
presenti in letteratura, sono dovuti a Bethuel in due dimensioni; il caso della dimensione più alta è ancora
completamente aperto e sarà oggetto di studio.
Verrà inoltre affrontato lo studio della regolarità (parziale) delle soluzioni di un sistema non-lineare
parabolico del secondo ordine con crescita polinomiale utilizzando il metodo della cosiddetta approssimazione
A-calorica, con l’idea di generalizzare al contesto parabolico il metodo dell’approssimazione di De Giorgi usato
per la regolarità delle superfici minime.
Un ulteriore interesse è costituito dalle equazioni alle derivate parziali Hamiltoniane, trattate nell’ambito
della cosiddetta teoria KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser). Come è noto tale teoria si occupa di equazioni
alle derivate parziali, tipicamente non lineari, di evoluzione e studia l’esistenza, la regolarità e la stabilità di
soluzioni periodiche e quasi-periodiche nel tempo. Si intende estendere lo studio già noto per le equazioni
delle onde o equazioni di Schrodinger al caso di equazioni quasi-lineari e completamente nonlineari, cioè
di equazioni con termini nonlineari contenenti derivate di ordine massimo, quali sono le equazioni della
fluidodinamica e i loro modelli approssimati, come, ad esempio, i modelli KdV, NLS o Benjamin-Ono.
Un altro filone di ricerca riguarda lo studio di alcuni problemi nell’ambito della meccanica quanti2
√
stica relativistica che coinvolgono l’operatore pseudo differenziale non locale del tipo −∆ + 1 dato dalla
Hamiltoniana quantistica della particella libera relativistica. In particolare, viene esaminata l’equazione
pseudo-relativistica con nonlinearità di tipo Hartree introdotta come equazione di campo medio per le stelle
di bosoni [Lieb-Yau ’87]. A tale scopo, vengono utilizzati metodi variazionali per il problema ellittico√con condizione di Neumann nonlineare corrispondente, in quanto si può identificare l’operatore non locale −∆ + 1
con l’operatore “Dirichlet to Neumann”. Più recentemente questo approccio è adoperato per studiare alcuni problemi legati all’operatore di Dirac con potenziale di Coulomb. Infatti, tramite una trasformazione
unitaria che diagonallizza l’operatore di Dirac si può trasformare l’equazione agli autovalori nel problema ellittico con condizione di Neumann (lineare) sul semispazio 4-dim, ottenendo cosı̀ una nuova caratterizzazione
variazionale degli autovalori e autofunzioni nello spirito dei lavori di Dolbeaut, Esteban, Seré.
2. Calcolo delle variazioni e applicazioni.
Trasformazioni tra spazi euclidei.
Recentemente ha avuto notevole interesse lo studio di omeomorfismi tra aperti di RN , di classe BV o
appartenenti a spazi di Sobolev. Questione fondamentale è quella di trovare condizioni generali che assicurino
che anche l’inverso di un siffatto omeomorfismo appartenga ad uno spazio di Sobolev, o sia almeno di
classe BV. Risultati in questa direzione sono stati provati in particolare da Csörnyei, Hencl, Koskela e
Malý, mediante l’uso di delicati strumenti di teoria geometrica della misura, quali versioni opportune della
formula dell’area o della chain rule per funzioni BV. Si intende approfondire questo aspetto della teoria.
Alcuni risultati già ottenuti al riguardo sono i seguenti. Recentemente sono stati perfezionati risultati sugli
omeomorfismi BV attraverso la dimostrazione di identità tra variazione totale di una mappa e della sua
inversa. È stata inoltre introdotta la nozione di mappa bi-Sobolev tra aperti di Rn . Si è visto che per n = 2
tali mappe sono alquanto regolari, mentre per n ≥ 3 possono essere estremamente irregolari.
In dimensione n = 2 non esistono mappe bi-Sobolev il cui determinante jacobiano si annulli q.o., mentre
per n ≥ 3 è stato dato un esempio di omeomorfismo bi-Sobolev f per il quale si annulla q.o. il determinante
di f e dell’inverso f −1 .
Si intende pure esaminare le proprietà del limite di successioni convergenti di omeomorfismi di Sobolev.
Stabilità di disuguaglianze geometriche e funzionali.
Si pensa di studiare (a) la stabilità della disuguaglianza di Pòlya-Szegö e (b) la stabilità della disuguaglianza isoperimetrica per il perimetro frazionario.
(a) Nel primo caso si cercherà di dimostrare che per funzioni concave o log-concave non-negative a
supporto compatto in Rn la differenza fra l’integrale di |∇u|p e l’integrale di |∇u∗|p , dove u∗ è il riordinamento
sferico decrescente di u, controlla la distanza in Lp fra u∗ e un’opportuna traslata di u. L’obbiettivo è quello di
ottenere una disuguaglianza in cui, a differenza di quanto già provato per funzioni qualunque, non compaiano
termini che dipendono dalla misura delle zone in cui il gradiente di u è zero o piccolo.
(b) Per quanto riguarda il secondo problema, per il quale è stato provato che la palla è sempre l’insieme
isoperimetrico, si proverà a migliorare una stima già ottenuta cercando di provare una disuguaglianza con lo
stesso esponente ottimale del caso euclideo.
Problemi variazionali a due livelli.
Un problema variazionale a due livelli consiste nel ricercare le soluzioni di un problema variazionale,
detto di livello superiore, dipendente da due variabili, una delle quali è a sua volta soluzione di un problema
variazionale parametrizzato, detto di livello inferiore. In generale non è garantito un buon comportamento
asintotico delle soluzioni e dei valori, in alcuni casi nemmeno l’esistenza di soluzioni. Si cercherà, perciò,
attraverso nuove tecniche di regolarizzazione, di definire opportuni modelli approssimanti che consentano di
ottenere un buon comportamento asintotico delle soluzioni, dei valori e delle derivate dei valori rispetto a
parametri di perturbazione, per varie classi di problemi con dati eventualmente discontinui.
Localizzazione di servizi.
Risultati di esistenza della localizzazione ottimale dei servizi e relativi algoritmi per il calcolo sono stati
ottenuti in letteratura, come pure l’esistenza della partizione ottimale degli utenti, fissate le posizioni dei
servizi, utilizzando tecniche di Ottimizzazione vincolata su regioni del piano, reti o grafi, e anche di Teoria
dei Giochi.
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Con tecniche di trasporto ottimo di Monge-Kantorovich si cercherà di dare risultati di esistenza delle
soluzioni per il problema di localizzazione opportunamente formulato, utilizzando anche concetti di soluzioni
della Teoria dei Giochi, con l’intento di determinare sia la posizione ottimale dei centri di servizio sia la
relativa distribuzione degli utenti.
Problemi di esatta controllabilità e di controllo ottimo.
Le questioni che saranno esaminate riguardano essenzialmente lo studio del comportamento asintotico
delle soluzioni di problemi di esatta controllabilità per equazioni iperboliche in un dominio con frontiera
fortemente oscillante, con condizioni al bordo di tipo Neumann e lo studio di problemi di controllo ottimo
nei quali il controllo è posto sulla matrice di coefficienti della parte principale di un operatore ellittico.
Il problema dell’esatta controllabilità, in domini con frontiera fortemente oscillante, è stato affrontato
solo nel caso di condizioni al bordo di tipo Dirichlet utilizzando la tecnica del Hilbert Uniqueness Method.
Mentre lo studio di problemi di controllo ottimo nei coefficienti è stato affrontato nel caso in cui la matrice
di controllo era in L∞ .
Lo scopo di questa ricerca è quello di estendere alcuni dei risultati annunciati nei lavori sopra indicati,
in particolare, l’esatta controllabilità per un problema iperbolico con condizioni di Neumann in un dominio
con frontiera fortemente oscillante e il controllo ottimo nei coefficienti nel caso in cui la matrice di controllo
è in L2 .
Disequazioni variazionali.
Ci si propone di ottenere nuovi risultati di risolubilità per una vasta classe di sistemi di disequazioni variazionali dipendenti da parametri e con operatori non monotoni in spazi di Banach riflessivi con applicazioni
a problemi di Dirichlet e Neumann relativi a sistemi ellittici non lineari. Si cercherà di ottenere ulteriori
teoremi di esistenza nel caso omogeneo, usando i moltiplicatori di Lagrange ed il metodo del Fibering.
Problemi di equilibrio.
L’attività di ricerca sarà dedicata allo studio dei problemi di equilibrio provenienti dall’economia e
dall’ingegneria. La formulazione matematica delle condizioni di equilibrio conduce normalmente ad una
disequazione variazionale o quasi-variazionale. Esempi di tali problemi sono quello dell’equilibrio del traffico,
quello finanziario con la ricerca della legge di Bilancio, della formula del Deficit e dell’equilibrio delle passività,
quello dei mercati oligopolistici, quello delle vaccinazioni e, di notevole importanza, quello dell’equilibrio di
Nash-Pareto. Specifica caratteristica del programma di ricerca è studiare questi problemi dal punto di vista
evolutivo, al fine di considerare la presenza di un termine di memoria che tenga conto dei precedenti stati
di equilibrio. Per tali modelli generali, per i quali un’appropriata teoria non è ancora disponibile, si intende
sviluppare nuovi teoremi di esistenza, nei quali il ruolo della monotonia, della continuità e della coercitività
generalizzate è precisato e indebolito.
Risorse finanziarie
Il progetto della durata di 15 mesi, richiede una cifra di 25000 euro. I costi possono essere suddivisi per
grandi linee nella maniera seguente:
Materiale inventariabile 4000 euro;
Organizzazione convegni 10000 euro;
Seminari, inviti 4000 euro;
Borse di studio 7000 euro.
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