Corso di Laurea Specialistica in Matematica
(classe 45/S)
1
2
3
4
scheda informativa
norme didattiche e propedeuticità
piano di studi
attività formative: contenuti/obiettivi specifici.
1
scheda informativa
Sede didattica:
Genova
Via Dodecaneso 35 (Valletta Puggia)
Classe delle lauree specialistiche in:
matematica (n. 45 S)
Presidente del Consiglio di Corso di Laurea
prof.ssa Maria Evelina Rossi
Durata
due anni (dopo la laurea)
Indirizzo web
http://www.dima.unige.it/didattica/matematica/
Esame per l'accesso
NO
Corso di laurea i cui crediti formativi universitari sono integralmente riconosciuti
per il corso di laurea specialistica
Corso di Laurea in Matematica dell'Università degli Studi di Genova
Finalità e obiettivi formativi
Lo studente che seguirà il corso di laurea specialistica in matematica avrà la
possibilità di acquisire un solido bagaglio culturale sulle tematiche più tradizionali di
questa disciplina, approfondendo gli argomenti di base incontrati nei tre anni della
Laurea in Matematica, e di spingerne le conoscenze verso le principali diramazioni o
verso le principali teorie maturate negli ultimi decenni.
Il corso si propone quindi di formare figure che
• abbiano una solida preparazione culturale nell’area della Matematica e dei metodi
propri della disciplina;
• abbiano conoscenze matematiche specialistiche, anche contestualizzate ad altre
scienze;
• abbiano la capacità di affrontare problemi avanzati in Matematica, pura o applicata;
• sappiano orientarsi nel complesso panorama bibliografico specialistico;
• siano in grado di utilizzare almeno una lingua comunitaria, preferibilmente quella
inglese, e siano in grado di comunicare attraverso essa con studiosi stranieri;
• possiedano competenze computazionali e informatiche;
• abbiano capacità relazionali e decisionali, e sappiano lavorare con autonomia,
anche assumendo responsabilità scientifiche e organizzative.
Lo studente che conseguirà la laurea specialistica sarà quindi in condizioni di inserirsi
nel mondo del lavoro al livello più elevato, perché le metodologie generali della
Matematica sono tali da dotarlo di buone capacità nell’organizzazione e nella
elaborazione di strategie per affrontare i problemi più diversi.
Queste capacità, nel matematico, non sono solo tecniche, ma sono congiunte a una
formazione umanistica più vasta che ne fanno un operatore culturalmente più completo.
Alcuni dei temi trattati nel corso di laurea specialistica introdurranno lo studente allo
studio di argomenti di ricerca correnti che potrà ulteriormente approfondire in attività
specialistiche ulteriori come il dottorato.
All'interno del corso di laurea specialistica sono istituiti tre curricula: Matematica
Generale; Matematica Applicata: orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”;
Insegnamento della Matematica.
Gli studenti che seguono il curriculum “Matematica Generale” approfondiscono le loro
conoscenze nel campo della matematica entrando in contatto con le problematiche e gli
strumenti della ricerca attuale. Corsi altamente specializzati saranno offerti nei vari
settori matematici che a Genova operano all'interno della ricerca internazionale.
È attivato, all’interno del curriculum “Matematica Applicata“, l’orientamento “Modelli e
Applicazioni Numeriche” che ha come obiettivo quello di formare laureati con
competenze in due campi fondamentali e strettamente interconnessi della matematica
applicata: la modellizzazione formale di fenomeni fisici e la soluzione numerica di
equazioni integrali e differenziali che da tale modellizzazione derivano.
Gli studenti che seguono il curriculum "Insegnamento della matematica" acquisiscono
competenze riguardanti la didattica, i fondamenti e la storia della matematica e
approfondiscono alcune conoscenze nel campo della matematica collegate ai contenuti
dell'insegnamento.
Ulteriori informazioni sui curricula si trovano al punto 2, alla voce "Didattica, curricula,
orientamenti e piani di studi".
Ai fini indicati, i curricula del corso di laurea specialistica comprendono
•
attività formative finalizzate all’acquisizione di buone conoscenze nei settori più
avanzati della Matematica;
•
attività formative che si caratterizzano per un elevato livello di astrazione, pur
legate a temi e fenomenologie dalle quali hanno tratto origine;
•
attività seminariali, anche con interventi di studiosi di altre sedi, italiane o straniere,
con un grado di coinvolgimento dello studente che va dall’ascolto alla
partecipazione più attiva;
•
attività di laboratorio computazionale e informatico, in particolare dedicato alla
conoscenza di applicazioni informatiche, ai linguaggi di programmazione e al
calcolo.
Verranno anche favoriti soggiorni di studio presso laboratori o altri Istituti universitari
italiani o stranieri.
Caratteristiche della prova finale
La prova finale consiste nella discussione di una tesi scritta su una attività, concordata
con lo studente, riguardante notevoli approfondimenti di argomenti trattati nei corsi o
nuove presentazioni di argomenti più avanzati eventualmente costituenti una ricerca
originale. Questa attività può essere integrata con stage e/o periodi di permanenza del
laureando presso enti di ricerca o aziende esterne interessate all’argomento della tesi.
La valutazione finale è espressa in centodecimi, e viene formulata tenendo conto della
media dei voti conseguiti agli esami, delle conoscenze acquisite sugli argomenti svolti
nella laurea triennale e sulla prova finale, nonché di ogni altro elemento ritenuto
rilevante.
Ambiti occupazionali previsti per i laureati
I laureati saranno in possesso della formazione intellettuale e culturale necessaria per
intraprendere una carriera scientifica in enti di ricerca pubblici o privati o per svolgere
attività di ricerca e sviluppo nel mondo del lavoro. In particolare la loro formazione li
metterà in grado di proseguire gli studi in un dottorato di ricerca presso un'università
italiana o straniera.
Potranno esercitare funzioni di elevata responsabilità nella costruzione e nello sviluppo
computazionale di modelli matematici di varia natura, in ambiti applicativi scientifici,
ambientali, sanitari, industriali, finanziari, di telecomunicazioni, nei servizi e nella
pubblica amministrazione.
Potranno inoltre esercitare funzioni di elevata responsabilità nei settori
dell’insegnamento e della divulgazione scientifica.
Requisiti d’accesso
Per accedere al corso di laurea specialistica e’ richiesto il possesso di una laurea
triennale o di altro titolo di studio equivalente.
Un qualunque curriculum consigliato della Laurea triennale in Matematica dell’Università
di Genova consente l'iscrizione alla laurea specialistica senza debiti formativi e con il
riconoscimento di tutti i 180 crediti.
Per quanto riguarda altri piani di studio di lauree triennali, compresi quelli seguiti nella
Laurea triennale in Matematica dell'Università di Genova, ma difformi da quelli
consigliati, il CCS si riserva di deliberare in merito al riconoscimento integrale e/o
all'esistenza di debiti formativi.
La struttura didattica responsabile può riconoscere attività formative presso altri corsi di
studio, anche di altre Università. I relativi crediti saranno attribuiti tenendo conto del
contributo dell’attività al raggiungimento degli obiettivi formativi del corso di laurea.
Organizzazione del corso di laurea
Per conseguire la laurea specialistica lo studente deve aver acquisito 300 crediti
formativi universitari (CFU), ivi compresi quelli già acquisiti dallo studente per
conseguire la laurea e riconosciuti validi per il corso di laurea specialistica. Per gli
studenti cui vengono riconosciuti interamente i 180 CFU della laurea, la durata prevista
della laurea specialistica è di due ulteriori anni. Il CFU misura il lavoro di apprendimento
richiesto ad uno studente nella attività formativa prevista dagli ordinamenti didattici e
corrisponde a 25 ore di attività formativa.
ATTIVITÀ FORMATIVE E RELATIVI CREDITI:
Le attività formative sono distinte come indicato nella seguente tabella:
Di base (a): discipline matematiche, fisiche ed informatiche
(46 CFU devono essere scelti nei settori MAT/02,03,05,06,07,08; 14
CFU nei settori FIS/01,02,08 e INF/01)
Caratterizzanti (b): discipline matematiche logico-fondazionali,
algebrico-geometriche ed analitiche
(da 0 a 4 CFU devono essere scelti nei settori MAT/01,04; da 50 a 54
CFU nei settori MAT/02,03; da 34 a 38 CFU nei settori MAT/05,06)
Affini o integrative (c): discipline matematiche modellistico-applicative
e conoscenze interdisciplinari e applicative
(da 23 a 27 CFU devono essere scelti nei settori MAT/07,08,09; da 6 a
10 CFU nei settori FIS/01,02,03,04,05,06,07,08 e INF/01)
A scelta dello studente (d)
Di Sede (o Curriculari) (s)
(da 0 a 57 CFU devono essere scelti nei settori MAT/01,04; da 0 a 57
CFU nei settori MAT/02,03; da 0 a 57 CFU nei settori MAT/05,06; da 0
a 57 CFU nei settori MAT/07,08,09; da 0 a 22 CFU nei settori
FIS/01,02,03,04,05,06,07,08 e INF/01)
Prova finale (e)
Conoscenza della lingua straniera (e)
Altro (f)
Ulteriori conoscenze linguistiche, abilità informatiche e relazionali,
tirocini, ecc.
Totale CFU
2
CFU 60
corso di laurea specialistica in MATEMATICA
(classe 45S)
norme didattiche e propedeuticità
Didattica, curricula, orientamenti e piani di studi
Il corso di laurea specialistica si articola in tre curricula:
• Matematica Generale;
• Matematica Applicata: orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”
• Insegnamento della Matematica
90
32
15
58
27
3
15
300
Tali offerte riflettono l’ordinamento didattico e dunque soddisfano i requisiti della tabella
ministeriale.
Gli obiettivi formativi del curriculum “Matematica Generale” sono:
- un approfondimento del metodo matematico-scientifico, il conseguimento di una solida
e ampia competenza nei settori di Algebra-Geometria, di Analisi Matematica e di Fisica
Matematica, e specificatamente in almeno uno dei settori della Matematica nominati
sopra un avviamento alla ricerca mediante lo studio di alcune problematiche della
ricerca attuale e l'acquisizione dei relativi strumenti e metodi di indagine
- la possibilità di acquisire alcune competenze approfondite in qualche settore della
Matematica applicata
- il conseguimento di una capacità di astrazione e al tempo stesso di una capacità di
modellizzazione anche in un contesto concreto.
L'acquisizione della Laurea Specialistica nel curriculum “Matematica Generale” darà
una preparazione adatta ad una eventuale prosecuzione degli studi per il
conseguimento del titolo di Dottore di Ricerca o del titolo di Master di secondo livello sia
in Italia che all'estero.
Darà inoltre la capacità di inserirsi con funzioni di elevata responsabilità in ambiti
lavorativi pubblici o privati che abbiano finalità anche di ricerca o di divulgazione
scientifica, che richiedano un uso approfondito e competente del metodo scientifico e
una mentalità flessibile, pronta all’apprendimento di metodologie innovative.
Gli obiettivi formativi del curriculum “Matematica Applicata“, orientamento “Modelli e
Applicazioni Numeriche”, sono
- il raggiungimento della capacità di elaborare modelli matematici del mondo reale e
sviluppare i metodi analitici, numerici e statistici per la loro risoluzione, con particolare
riguardo alla soluzione numerica di equazioni integrali e differenziali che da tali
modellizzazioni derivano
- il conseguimento di una solida e ampia formazione di base nell'area della Matematica,
particolarmente approfondita in alcuni settori e indirizzata verso le applicazioni in uno o
più campi specifici.
Tale orientamento rappresenta una risposta naturale dei matematici alle richieste, da
parte della società, di matematici capaci di affrontare i problemi applicativi posti dai
diversi settori della ricerca scientifica ed industriale, delle discipline scientifiche in
generale, della produzione industriale, dell'economia, della finanza, ecc. e potrà quindi
permettere un rapido ed efficace inserimento nel mondo del lavoro, consentendo di
accedere ad attività lavorative di alta qualificazione che richiedano un uso approfondito
e competente del metodo scientifico, di strumenti di calcolo, e una mentalità flessibile,
pronta all’apprendimento di metodologie innovative.
Il laureato specialista nell'orientamento “Modelli e Applicazioni Numeriche” avrà una
preparazione adeguata per una eventuale prosecuzione degli studi in Dottorati di
Ricerca o in corsi di Master di secondo livello in Italia e all'estero.
Gli obiettivi principali del curriculum "Insegnamento della matematica" sono quelli di
approfondire la conoscenza del metodo matematico-scientifico e della sua evoluzione
storica, sottolineandone gli aspetti culturali, e di sviluppare specifiche capacità per la
comunicazione di problemi e metodi matematici.
Tale curriculum rappresenta la risposta naturale alle richieste, da parte della società, sia
di matematici capaci di affrontare problemi complessi inserendoli in un ampio quadro
culturale (ad esempio in collegamento con le discipline fisiche ed informatiche), sia di
esperti nei vari aspetti della didattica della matematica.
Il laureato specialista nel curriculum "Insegnamento della matematica" sarà in grado di
svolgere ricerche nei temi trattati, e di assumere responsabilità scientifiche ed
organizzative sia nelle istituzioni scolastiche, sia in ambienti legati alla divulgazione
(giornalismo scientifico, musei della scienza, ecc.)
Avrà inoltre una preparazione adeguata per un'eventuale prosecuzione degli studi in
Dottorati di Ricerca o in corsi di Master di secondo livello in Italia e all'estero.
È comunque facoltà dello studente di presentare un piano di studi personalizzato che
sarà discusso da parte della struttura didattica responsabile.
La Laurea in Matematica e la Laurea Specialistica in Matematica, unite al Dottorato di
Ricerca in Matematica e Applicazioni, attivo a Genova da anni, costituiscono un’offerta
didattica completa nel settore della matematica.
Dall’anno accademico 2005/06, sono attivati entrambi i due anni della laurea
specialistica in Matematica.
La didattica del Corso di Laurea Specialistica in Matematica è articolata in semestri. Di
norma, il primo semestre inizia a settembre e termina a febbraio mentre il secondo
semestre inizia a fine febbraio e termina a luglio. Gli orari delle lezioni sono affissi
presso il Dipartimento di Matematica. Nella formazione dell’orario delle lezioni si
garantisce la non sovrapposizione delle lezioni degli insegnamenti previsti, in ciascun
anno di corso, nei diversi percorsi formativi.
Nell’anno accademico 2005/2006, salvo che per i corsi mutuati o riconosciuti da altri
CdS, i corsi del 1° semestre iniziano il 3 ottobre e terminano il 23 dicembre 2005; i
corsi del 2° semestre iniziano il 27 febbraio e terminano il 26 maggio 2006.
Le tipologie delle attività formative di base, caratterizzanti, affini e quelle scelte dallo
studente comprendono corsi di insegnamento frontale, corsi di laboratorio, esercitazioni,
seminari o attività di stage.
La frequenza ai corsi ed alle altre attività didattiche è fortemente consigliata, ma non è
obbligatoria, ad eccezione di specifiche attività; queste vengono precisate, ogni anno,
all'inizio dei corsi.
Gli studenti devono presentare un piano di studio, relativo al solo anno 2005/06, entro il
14 Ottobre 2005.
Esami di profitto e propedeuticità
La valutazione della prova di esame degli insegnamenti avviene in trentesimi. Al voto
d’esame finale possono contribuire i voti conseguiti nelle prove in itinere; in tal caso gli
studenti dovranno essere informati, all’inizio del corso, sulle modalità di tali prove e su
come contribuiranno al voto finale.
Per le attività di tirocinio e per le ulteriori attività non riconducibili ad insegnamenti,
l'avvenuto superamento della prova è certificato dal tutore e da un’apposita
commissione mediante un giudizio di idoneità.
La sessione invernale d'esame si svolge nei mesi di gennaio e febbraio; la sessione
estiva si svolge nei mesi di giugno e luglio; è prevista una sessione autunnale di
recupero nei primi 20 giorni di settembre. Nelle sessioni invernali ed estive sono
previste almeno 2 prove d'esame per ciascun corso dell'anno accademico. Nella
sessione di settembre è prevista almeno una prova d'esame per ciascun corso.
Gli studenti sono invitati a sostenere gli esami dei vari insegnamenti seguendo l’ordine
proposto nei documenti del Consiglio di corso di Studi nonché le indicazioni sui
prerequisiti riportate nella sezione 4 “Contenuti/obiettivi specifici” o fornite dai docenti
del singolo insegnamento.
Crediti tipo F
I 15 crediti totali di tipo F (9 acquisibili nella Laurea Triennale e 6 negli ultimi due anni)
sono dedicati ad attività formative volte ad acquisire ulteriori abilità linguistiche, abilità
informatiche e telematiche, relazionali, o comunque volte ad agevolare le scelte
professionali mediante la conoscenza diretta del settore lavorativo.
Tutte le offerte formative crediti F sono eventualmente fruibili anche come crediti D
(crediti a scelta dello studente, anch’essi acquisibili nella misura di 9 nella Laurea
Triennale e 6 negli ultimi due anni).
Ogni studente potrà acquisire i crediti formativi in qualunque momento tramite l'offerta
didattica nelle seguenti tipologie:
• Attività di tirocinio (stage). Gli studenti che intendono fare uno stage dovranno
presentare una richiesta alla commissione tirocini (Proff. Del Prete, Repetto,
Dapueto) indicando eventuali preferenze sul tipo di attività. Uno stage deve
prevedere un lavoro continuativo a tempo pieno (25 ore settimanali) per almeno
un mese o un impegno equivalente, da svolgersi sotto la supervisione di un
Relatore interno. In casi eccezionali la durata può essere ridotta fino a due
settimane. Ogni settimana di stage a tempo pieno, od un impegno equivalente,
è valutata un credito. Un elenco di aziende, enti e scuole convenzionate a cui è
interessato il nostro corso di laurea è messo a conoscenza degli studenti
tramite le pagine web del Corso di Studi e periodicamente aggiornato, assieme
alle eventuali offerte di stages. Terminato lo stage, lo studente presenterà,
•
•
•
•
avvalendosi dell’aiuto del Relatore interno, una relazione sul lavoro svolto ad
un'apposita commissione che, anche sulla base di essa, deciderà sul numero di
crediti da assegnare.
Moduli professionalizzanti. Alcune offerte di stage sono precedute da un breve
ciclo di lezioni introduttive di contenuto matematico, tipicamente tenute da
personale dell’ente che ospita lo stage e spesso integrate da esercitazioni
guidate di laboratorio; in questo caso la frequenza a tali moduli viene
conteggiata, insieme allo stage, per il relativo riconoscimento dei crediti.
Corsi attivati per il CCS in Matematica (acquisizione dei crediti corrispondenti ai
corsi e il voto d'esame concorre alla media finale) o parti di essi, come
specificato nelle pagine web del CdS.
Ulteriori conoscenze linguistiche. È previsto il riconoscimento (da 1 a un
massimo di 3 crediti) per ulteriori abilità linguistiche sulla base di specifica
attestazione. Il riconoscimento è limitato alle lingue ufficiali della Comunità
Europea. Rimane comunque l'obbligo del superamento della prova d'inglese
interna. Per quanto riguarda la lingua inglese, l'acquisizione dei crediti è basata
sulla classificazione europea (PET, TOEFL, etc.). Si rimanda alle pagine web
del CdS per ulteriori dettagli.
Abilità informatiche e telematiche, relazionali. In questa tipologia ricadono
attività seminariali, mini-corsi di Informatica, attività di "Problem Posing",
secondo l’offerta specificata in dettaglio nelle pagine web del CdS. Più in
particolare, l'attività seminariale potrà riguardare un argomento in abbinamento
ad un insegnamento attivato oppure potrà essere indipendente. Saranno offerti
seminari a partire dal secondo anno di corso. Lo studente, seguito da un
docente, dovrà comprendere ed elaborare l'argomento assegnato. Il seminario
sarà tenuto dallo studente davanti ad una commissione istituita dal CCS. Il
superamento della prova prevede l'acquisizione di 2 cfu.
Le seguenti attività sono invece esclusivamente rivolte agli studenti degli ultimi 2 anni
della Specialistica:
• Corsi specializzati di contenuto matematico non presenti nel Manifesto del
Corso di Studi in Matematica (es: Dottorato). Per ciascuna richiesta il Consiglio
valuterà la coerenza con il percorso curricolare e la rispettiva valenza in crediti.
• Si riconoscono 4 crediti a studenti della Laurea Specialistica che svolgano
l’attività di tutorato per gli studenti di Matematica del primo anno (I semestre).
L’attività consta di 30 ore di tutorato (3 ore per 10 settimane) e di alcuni incontri
con i docenti per il coordinamento. Le domande, corredate dalla lista degli
esami superati con rispettiva votazione, saranno presentate al presidente del
CCS e poi esaminate da opportuna commissione. Le domande dovranno
pervenire alla Segreteria Didattica entro il 5 Settembre.
• Si riconoscono 5 crediti agli studenti della Laurea Specialistica che abbiano
seguito con valutazione positiva i corsi estivi organizzati dalla Scuola
Matematica Interuniversitaria (SMI) e dall'INDAM. Tali corsi prevedono circa 40
ore di lezione e un esame finale.
Per le attività non corrispondenti ad insegnamenti attivati a Manifesto, il superamento
dei relativi esami comporta l'acquisizione dei crediti e non prevede l'attribuzione di un
voto, ma solo il superamento o non superamento.
Si raccomanda di avvalersi della Commissione Piani di Studio (Proff. Aruffo, Di
Benedetto + consulenti per i curricula: Borga, Del Prete, Rosolini, Valla) sia per maggiori
dettagli sulle varie attività offerte, sia per la coerenza con il piano di studi.
I crediti di tipo F devono essere indicati nel piano di studio.
Riconoscimento dei crediti acquisiti in altri corsi di studio e di carriere pregresse.
Per quanto concerne le carriere pregresse il CcS si riserva la valutazione quantitativa
dei crediti relativi al curriculum presentato ai fini del riconoscimento.
3
corso di laurea specialistica in MATEMATICA
(classe 45S)
PIANI DI STUDIO
Le tabelle seguenti presentano i piani di studio standard previsti per il corso di laurea.
L'organizzazione dei piani di studio è intesa su un totale di 300 CFU, inclusi i CFU
acquisiti nel corso della laurea triennale.
Ogni corso si colloca in un semestre e può fare riferimento ad uno specifico anno di
corso.
Lo studente può scegliere fra tre curricula disponibili. Alcuni corsi sono comuni a tutti i
curricula, altri sono specifici per un determinato curriculum.
I piani di studio compilati secondo le tabelle seguenti saranno approvati dal CCS.
Eventuali piani di studio difformi da quanto previsto nelle tabelle seguenti verranno
esaminati e discussi dalla struttura competente. Nell’anno 2005-2006 si prevedono piani
di studio transitori per i curricula Matematica Applicata e Insegnamento della
Matematica.
SETTORI SCIENTIFICO DISCIPLINARI
Ciascun settore scientifico disciplinare include specifiche competenze ed ambiti di
ricerca. Per quanto riguarda l’area matematica:
MAT/01 corrisponde alla logica matematica, MAT/02 all’algebra, MAT/03 alla geometria,
MAT/04 alle matematiche complementari, MAT/05 all’analisi matematica, MAT/06 alla
probabilità e statistica matematica, MAT/07 alla fisica matematica, MAT/08 all’analisi
numerica, MAT/09 alla ricerca operativa.
Per l'assistenza nella compilazione dei piani di studio è attivata una Commissione
formata dai proff. Aruffo e Di Benedetto, che si avvale dei consulenti per i vari curricula,
proff. Borga, Del Prete, Rosolini, Valla.
Attività formative comuni a tutti i curricula
attività
formativa
e relativi
CFU
b
b
a
settore
scientifico
disciplinare
2a+2b
6a+2b
b
MAT/02
MAT/02
MAT/05
MAT/01
MAT/XX
MAT/05
MAT/03
a
a
b
b
b
a
b
c
MAT/06
FIS/XX
MAT/02
MAT/05
MAT/03
INF/01
MAT/05
FIS/XX
c
b
b
c
4a+2c
e
e
MAT/07
MAT/03
MAT/05
MAT/07
MAT/08
disciplina
Algebra 1
Algebra Lineare
Analisi Matematica 1
Laboratorio di Matematica
Analisi Matematica 2
Geometria Analitica
Calcolo delle Probabilità e
Statistica Matematica
Meccanica e Termodinamica
Algebra 2
Analisi Matematica 3
Geometria 1
Programmazione
Analisi Matematica 4
Elettromagnetismo e Ottica
Sistemi Dinamici e Meccanica
Analitica
Geometria 2
Istituzioni di Analisi Superiore 1
Istituzioni di Fisica Matematica 1
Fondamenti di Calcolo Numerico
Prova d’inglese
Prova Finale (Laurea Triennale)
CFU
TOT
sem.
anno
1
1
1
1
1
1
8
8
8
1/2
2
2
1
1
1
4
8
8
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
8
8
8
8
8
6
7
8
2
2
1
1
1
2
2
3
3
3
3
3
8
7
7
7
6
3
6
Completamento per il curriculum MATEMATICA GENERALE
attività
formativa
settore
scientifico
disciplinare
b
5s+2f
d
f
MAT/03
4a+3s
a
MAT/03
MAT/05
MAT/03
MAT/07
s
disciplina
Istituzioni di Geometria
Superiore 1
Corso da Tabella A
Scelta dello studente (*)
Altre attività (*)
Istituzioni di Geometria
Superiore 2
Istituzioni di Analisi Superiore 2
sem.
anno
CFU
1
2
2
2
3
3
3
3
7
7
9
8
1
1
4
4
7
7
Geometria Differenziale
1
4
Istituzioni di Logica Matematica
MAT/01
oppure
s
Logica Matematica 2 (se già
seguito Logica Matematica 1)
1
4
MAT/05
b
Analisi Superiore 1
2
4
Istituzioni di Fisica Matematica
MAT/07
2
a
2
4
s
Corso nel settore MAT/02 (**)
2
4
s
Corso nel settore MAT/03 (**)
2
4
Altre attività (eventualmente
corso da Tabella A usando altri
cfu del 5 anno) (**)
s
2
4
c
Corso nel settore MAT/07 (**)
1
5
3b+4s
Corso nel settore MAT/05 (**)
1
5
s
Corso da Tabella A
1
5
s
Corso da Tabella A
1
5
CFU necessari per arrivare a
300 scegliendo fra i corsi delle
tabelle A, B e eventualmente
altre attività (seminari,
tutorato, corsi estivi e/o di
dottorato) (**)
6d+5f
5
e
Prova Finale
5
(*) si consigliano corsi da tabelle A,B,C e attività seminariali
(**) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri e/o anni diversi.
TOTALE
7
7
7
7
7
7
4
7
7
7
7
11
21
300
Completamento per il curriculum MATEMATICA APPLICATA (a regime)
Orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”
attività
formativa
settore
scientifico
disciplinare
disciplina
sem
anno
Ricerca Operativa (oppure corso
del settore MAT/06)
1
3
MAT/08
Calcolo Numerico
2
3
Scelta dello studente
2
3
Stage oppure altre attività
2
3
Istituzioni di Geometria
Superiore 1
b
MAT/03
1
4
Modelli Sistemi Continui e
a
MAT/07
Applicazioni
1
4
b
MAT/05
Analisi di Fourier
1
4
4a+3b
MAT/05
Equazioni Differenziali
1
4
Trattamento Numerico di
s
MAT/08
Equazioni Differenziali
2
4
Metodi Numerici per l’algebra
MAT/08
s
lineare
2
4
s
Corso da Tabella D (*)
2
4
s
Corso da Tabella E (*)
2
4
d
Scelta dello studente (*)(**)
4
s
Corso da Tabella D (*)
5
MAT/08
s
Problemi inversi e applicazioni
1
5
Metodi Numerici per Equazioni
Differenziali alle Derivate
MAT/08
Parziali
c
1
5
s
Corso da Tabella D (*)
1
5
s
Corso da Tabella E (*)
1
5
f
Stage oppure altre attività (*)(**)
2
5
e
Prova Finale
5
(*) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri e/o anni diversi.
(**) eventualmente corso da tabelle D,E,F
6s+1f
a
d
f
TOTALE
CFU
7
7
9
8
7
7
7
7
6
6
7
7
6
6
6
7
7
7
6
21
300
curriculum MATEMATICA APPLICATA
Orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”
Fase Transitoria 2005-2006
Primo anno Laurea Specialistica
settore
attività
scientifico
disciplina
sem anno
cfu
formativa
disciplinare
a
MAT/07
Modelli Sistemi Continui e
1
4
7
Applicazioni
b
MAT/05
Analisi di Fourier
1
4
7
s
MAT/08
Metodi Numerici per l’algebra
1
4
6
lineare
s
Corso da Tabella D (*)
1
4
7
4a+3b
MAT/05
Equazioni Differenziali
2
4
7
s
MAT/08
Trattamento Numerico di
2
4
6
Equazioni Differenziali
s
Corso da Tabella D (*)
2
4
7
s
Corso da Tabella E (*)
2
4
7
d
Scelta dello studente (*)(**)
4
6
(*) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri e/o anni diversi.
(**) eventualmente corso da tabelle D,E,F
attività
formativa
s
s
c
s
s
f
e
curriculum MATEMATICA APPLICATA
Orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”
Fase Transitoria 2005-2006
Secondo anno Laurea Specialistica
settore
scientifico
disciplina
sem anno
cfu
disciplinare
Corso da Tabelle D o E (*)
1
5
6
MAT/08
Metodi Numerici per l’algebra
1
5
6
lineare
Metodi Numerici per Equazioni
MAT/08
Differenziali alle Derivate
Parziali
1
5
7
Corso da Tabelle D o E (*)
1
5
7
Corso da Tabella D o E (*)
1
5
7
Stage oppure altre attività (*)(**)
2
5
6
Prova Finale
5
21
(*) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri diversi.
(**) eventualmente corso da tabelle D,E,F
Completamento per il curriculum INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA
attività
formativa
settore
scientifico
disciplinare
a
b
b
9d+1f
MAT/03
MAT/01
MAT/04
s
s
MAT/04
FIS/XX
MAT/03
MAT/07
MAT/01
a
s
disciplina
sem
anno
cfu
Istituzioni di Geometria
Superiore 1
Logica Matematica 1
Didattica della Matematica 1
Scelta dello studente (*)
Complementi di Storia delle
Matematiche
Complementi di Fisica 1
1
2
2
2
3
3
3
3
7
7
7
10
1
1
4
4
7
7
Geometria Differenziale
1
4
7
Logica Matematica 2
1
4
7
Didattica della matematica 2
2
4
7
Matematiche Complementari 1
2
4
7
Complementi di fisica 2
2
4
7
Corso da Tabelle A,B,D
2
4
7
Altre attività
4
4
Matematiche Elementari da un
MAT/04
punto di vista superiore
s
(MEDPVS)
1
5
7
MAT/09
c
Matematica Finanziaria
1
5
7
MAT/05
4a+3s
Analisi di Fourier
1
5
7
s
Corso da Tabelle A,B,D
1
5
7
Laboratorio di Didattica della
MAT/04
f
Matematica
2
5
5
d
Scelta dello studente
5
6
e
Prova Finale
5
21
(*) si consiglia Istituzioni di Storia delle matematiche e attività seminariali o stage
5f+2s
3b+4s
s
s
f
TOTALE
MAT/04
MAT/04
FIS/XX
300
attività
formativa
s
s
4a+3s
a
f
d
e
curriculum INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA
Fase Transitoria 2005-2006
Secondo anno Laurea Specialistica
settore
scientifico
disciplina
sem
disciplinare
Matematiche Elementari da un
MAT/04
punto di vista superiore
(MEDPVS)
1
Logica Matematica 2 (*)
1
MAT/05
Analisi di Fourier
1
MAT/03
MAT/07
Geometria Differenziale
1
Laboratorio di Didattica della
MAT/04
Matematica
2
Scelta dello studente
Prova Finale
(*) se già seguito, sostituire con Matematica Finanziaria
TABELLA A
nome
Algebra Computazionale 1
Algebra Superiore 1
Algebra Superiore 2
Analisi di Fourier
Analisi Funzionale
Analisi Superiore 2
Crittografia e Teoria dei Codici
Equazioni Differenziali
Fisica Matematica 2
Geometria Algebrica 1
Geometria Algebrica 2
Geometria Superiore 1
Geometria Superiore 2
Istituzioni di Logica Matematica
Logica Matematica 1
Logica Matematica 2
Metodi Geometrici in Fisica
Matematica
Modelli di Sistemi Continui e
Applicazioni
Ottimizzazione
crediti - settore
7 - Mat/02
7 - Mat/02
7 - Mat/02
7 - Mat/05
7 - Mat/05
7 – Mat/05
7 - Mat/02
7 - Mat/05
7 – Mat/07
7 - Mat/03
7 - Mat/03
7 - Mat/03
7 - Mat/03
7 - Mat/01
7 - Mat/01
7 - Mat/01
7 – Mat/07
semestre
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
7 - Mat/07
1
7 - Mat/05
1
ann
o
CFU
5
5
5
7
7
7
5
7
5
5
5
5
6
21
note
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
anno 4/5
Teoria dei Numeri
Teoria dei Codici
Topologia Algebrica 1
TABELLA B
nome
Applicazioni della Matematica alla
Medicina
Calcolo Numerico
Complementi di Fisica 1
Complementi di Fisica 2
Complementi di Storia delle
Matematiche
Fondamenti Matematici della Teoria
dell’Apprendimento Statistico
Istituzioni di Storia delle
Matematiche
Matematica Finanziaria
Metodi Numerici per l’Algebra
Lineare
Trattamento Numerico di
Equazioni Differenziali
Metodi di Ottimizzazione
Probabilità e Processi Stocastici
Ricerca Operativa
Teoria dei Giochi 1
Teoria dei Giochi 2
7 - Mat/02
7 - Mat/02
7 - Mat/03
crediti - settore
6 – Mat/08
1
2
2
semestre
1
7 - Mat/08
7 - Fis/XX
7 - Fis/XX
7 - Mat/04
2
1
2
1
6 – Mat/08
2
6 - Mat/04
2
7 – Mat/09
6 – Mat/08
1
1
6 - Mat/08
2
6 – Mat/09
6 – Mat/06
7 - Mat/09
7 - Mat/09
7 - Mat/09
2
1
1
1
2
TABELLA C (solo crediti "d" e “f” del terzo anno)
nome
crediti - settore
Calcolo delle Probabilità 2
5 - Mat/06
Processi Stocastici
6 - Mat/06
Statistica Descrittiva 2
7 - Mat/06
Statistica e Verosimiglianza
5 - Mat/06
Statistica Inferenziale
7 - Mat/06
Teoria delle Decisioni
7 - Mat/09
semestre
2 (da SMID)
2 (da SMID)
2 (da SMID)
1 (da SMID)
1 (da SMID)
1 (da SMID)
TABELLA D
nome
Applicazioni della Matematica alla
Medicina
Fondamenti Matematici della Teoria
dell’Apprendimento Statistico
Matematica Finanziaria
Metodi di Ottimizzazione
Metodi Geometrici in Fisica
Matematica
Probabilità e Processi Stocastici
Ricerca Operativa
Teoria dei Giochi 1
Teoria dei Giochi 2
TABELLA E
nome
Algebra Computazionale 1
Analisi Superiore 1
Analisi Superiore 2
Geometria Differenziale
Istituzioni di Analisi Superiore 2
Ottimizzazione
Teoria dei Codici
crediti - settore
6 – Mat/08
semestre
1
6 – Mat/08
2
7 – Mat/09
6 – Mat/09
7 – Mat/07
1
2
1
6 – Mat/06
7 - Mat/09
7 - Mat/09
7 - Mat/09
1
1
1
2
crediti - settore
7 - Mat/02
7 - Mat/05
7 - Mat/05
7 – Mat/03,Mat/07
7 - Mat/05
7 - Mat/05
7 - Mat/02
semestre
2
2
1
1
1
1
2
TABELLA F (solo crediti "d" e “f” del curriculum MATEMATICA APPLICATA)
nome
crediti - settore semestre
note
Algoritmi e Strutture Dati
9 - Inf/01
2
Mutuato da Informatica
Applicazioni di Rete (*)
6 - Inf/01
1
Mutuato da Informatica
Basi di Dati
8 - Inf/01
2
Mutuato da SMID
Programmazione 2
8 - Inf/01
1
Mutuato da SMID
(*) Ha Basi di Dati come prerequisito
4
corso di laurea specialistica in MATEMATICA
(classe 45S)
attività formative: contenuti/obiettivi specifici
ATTIVITÀ
FORMATIVA
CONTENUTO/OBIETTIVI FORMATIVI/PREREQUISITI
Algebra 1
OBIETTIVI: Fornire parte del linguaggio algebrico di base.
A partire da strutture più concrete quali gli interi, i numeri
complessi e l'anello dei polinomi, introdurre le principali strutture
algebriche con particolare riferimento alla struttura di gruppo.
PREREQUISITI: Comuni nozioni trattate nei programmi di scuola
superiore.
PROGRAMMA
1. Insiemi e applicazioni:Operazioni tra insiemi. Applicazioni.
Operazioni binarie e proprietà. Applicazioni invertibili.
2. Cardinalità e combinatoria: Cardinalità di un insieme e insiemi
equipotenti. Insiemi numerabili. Permutazioni. Principio di
induzione. Binomio di Newton.
3. Relazioni di equivalenza: relazioni e relazioni di equivalenza,
insieme quoziente.
4. Interi e Algebra modulare: Algoritmo Euclideo e sue applicazioni.
Fattorizzazione. La struttura algebrica di Zn. Elementi invertibili di
Zn. Piccolo teorema di Fermat.
5. I numeri complessi: Proprietà algebriche di C. Radici n-esime di
un numero complesso. Enunciato del teorema fondamentale
dell'algebra.
6. K[X]: polinomi a coefficienti in un campo. Fattorizzazione.
Criteri di irriducibilità.
7. Gruppi. Definizione di gruppo. Sottogruppi. Gruppi ciclici.
Omomorfismi di gruppi.
TESTI CONSIGLIATI:
A. Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Bollati Boringhieri
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~rossim/
OBIETTIVI: In questo secondo corso di Algebra vengono
approfonditi i principali concetti di algebra astratta introdotti in
modo meno formale nel corso di Algebra 1.
PREREQUISITI: Algebra 1 e Algebra Lineare.
Algebra 2
Algebra
Computazionale
1
Algebra Lineare
PROGRAMMA: Gruppi e loro proprietà rilevanti. Omomorfismi di
gruppi. Gruppi quozienti. Gruppi lineari, gruppi di permutazioni,
gruppi finiti di ordine basso. Il teorema di struttura dei gruppi
abeliani finitamente generati. Anelli ed ideali. Anelli euclidei e
fattoriali. Anelli di polinomi. Campi e loro estensioni.
Testi consigliati:
M. Artin: Algebra, Bollati Boringhieri.
S. Bosch: Algebra , Springer
OBIETTIVI: Introdurre le basi di Groebner e, mediante esse, gli
algoritmi per la risoluzione e manipolazione simbolica di sistemi di
equazioni polinomiali e dei tipici problemi dell'algebra commutativa
computazionale come, per esempio, il problema dell'appartenenza
di un polinomio ad un ideale.
PREREQUISITI: Algebra 1, Algebra 2, Algebra lineare.
PROGRAMMA: Anelli e ideali, anelli Noetheriani e il teorema
della base di Hilbert. L'anello dei polinomi in più variabili. Ideali
monomiali. Basi di Groebner di un ideale. Proprietà delle basi di
Grobner, S-polinomi e algoritmo di Buchberger. Problema
dell'appartenenza di un polinomio ad un ideale. Sistemi di
equazioni polinomiali e teoria dell'eliminazione. Passaggio da
equazioni parametriche polinomiali o razionali a equazioni
cartesiane. Calcolo delle sizigie. Risultanti. Ideali delle varietà di
Segre, Veronese e Grassmanniane.
OBIETTIVI: Scopo del corso è presentare agli studenti i concetti di
base dell' Algebra Lineare, che saranno poi strumenti importanti
nei corsi successivi. Obiettivo non secondario, inoltre, è mostrare
agli studenti una teoria che e' fortemente motivata da problemi
reali, e che si può trattare in maniera esauriente e rigorosa.
PREREQUISITI: nessuno
PROGRAMMA:
1. Operazioni tra matrici: Le operazioni fondamentali e loro
proprietà. Trasposta di una matrice. Matrici invertibili. Matrici di
permutazione.
2. Eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari :
Matrici elementari. Matrici ridotte (per righe o colonne) e matrici
totalmente ridotte. Risoluzione di sistemi lineari. Caratterizzazione
delle matrici invertibili. Matrici equivalenti.
3. Determinanti e caratteristica di una matrice: Permutazioni e
trasposizioni. Determinante di una matrice quadrata e sue
proprietà. Teorema di Binet. I e II Teorema di Laplace. Teorema di
Cramer. Caratteristica di una matrice e Teorema di Kronecker.
Teorema di Rouché-Capelli.
4. Spazi vettoriali: Spazi vettoriali (su Q, R, C). Sottospazi
vettoriali. Intersezione di sottospazi e somma di sottospazi. Spazi
vettoriali finitamente generati: sistemi di generatori e basi,
Algebra
Superiore 1
Algebra
Superiore 2
equipotenza delle basi. Somma diretta di sottospazi vettoriali.
Formula di Grassmann.
5. Applicazioni lineari: definizione ed esempi. Nucleo e immagine.
Teorema di nullità. Matrici associate ad un omomorfismo.
Cambiamenti di base. Matrici di passaggio. Matrici simili. Lo spazio
vettoriale degli omomorfismi tra due spazi vettoriali (Homk(V,W)).
Spazio duale di uno spazio vettoriale.
6. Diagonalizzazione: Sottospazi invarianti per un endomorfismo.
Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Omomorfismi
diagonalizzabili. Criterio di diagonalizzabilità di una matrice.
7. Prodotto scalare in Rn: Matrici di rotazione in R2. Matrici
ortogonali. Prodotto scalare usuale in Rn. Insiemi ortogonali e
insiemi ortonormali. Basi ortogonali e ortonormali di spazi vettoriali
finitamente
generati.
Esistenza
di
basi
ortogonali.
Diagonalizzazione di matrici simmetriche reali. Accenno alle forme
quadratiche.
TESTI CONSIGLIATI:
dispense del corso
Marco Abate, "Algebra Lineare" , McGraw-Hill
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~denegri/
OBIETTIVI: Fornire le nozioni necessarie per lo studio dei moduli
graduati finitamente generati sull’anello dei polinomi. Tramite lo
studio della funzione di Hilbert, calcolare alcuni caratteri numerici
delle varietà proiettive.
PREREQUISITI: Corsi di base della laurea triennale di Algebra,
Analisi e Geometria.
PROGRAMMA
Moduli e omomorfismi di moduli. Sottomoduli e operazioni. Moduli
finitamente generati. Primi associati. Lunghezza di un modulo
finitamente generato e proprietà.
Funzione di Hilbert di un modulo graduato finitamente generato
sull’anello dei polinomi.
Serie di Hilbert. Teorema di Hilbert-Serre. Polinomio di Hilbert e
coefficienti di Hilbert. Teoria della dimensione di Krull di una kalgebra graduata standard. Proprietà della dimensione.
TESTI CONSIGLIATI:
M.F. Atiyah-I.G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra,
Addison-Wesley Pub. C., 1969
W.Bruns, J.Herzog, Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, UK, 1993
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~rossim/
OBIETTIVI: Introduzione ai metodi omologici in algebra
commutativa e geometria algebrica
PREREQUISITI: Algebra Superiore 1
Analisi
Matematica 1
Analisi
Matematica 2
PROGRAMMA:
Si introdurranno i funtori derivati con particolare enfasi ai funtori
Ext e Tor. Si applicheranno tali concetti nello studio delle
risoluzioni libere minimali delle algebre graduate standard. Si
studieranno gli anelli di Cohen-Macaulay e di Gorenstein.
TESTI CONSIGLIATI:
W.Bruns, J.Herzog, Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, UK, 1993
OBIETTIVI: Acquisizione delle basi necessarie allo sviluppo dei
concetti e degli strumenti dell’Analisi Matematica .
PREREQUISITI: Formazione da scuola secondaria superiore
PROGRAMMA:
- Introduzione assiomatica dei numeri reali. Numeri naturali, interi
e razionali. Principio di induzione.
- Prodotto cartesiano. Funzioni e rappresentazioni grafiche
- Intervalli reali. Estremo superiore e inferiore. Densità dei
razionali.
- Monotonia, iniettività, surgettività, funzioni inverse. Simmetrie di
funzioni. Funzioni composte. Costruzione delle funzioni elementari.
- Norma euclidea, intorni, aperti, punti di accumulazione.
- Limiti in una o più variabili. Successioni e limiti per successioni.
- Proprietà algebriche dei limiti, criteri di esistenza e valutazione.
Limiti notevoli. Limiti di funzioni monotone.
- Continuità, operazioni tra funzioni continue e loro inverse.
Immagini continue di intervalli.
TESTI CONSIGLIATI:
Dispense e raccolte di esercizi.
P.Marcellini-C.Sbordone “Analisi Matematica uno” – Ed.Liguori
T.Zolezzi : Dispense di Analisi Matematica I
OBIETTIVI: Formazione dei fondamentali concetti e strumenti
relativi allo studio di funzioni ed al calcolo differenziale ed integrale
PREREQUISITI: Analisi 1
PROGRAMMA:
- Differenziabilità e derivabilità in una variabile.
Regole di
derivazione. Derivate di funzioni elementari. Derivate parziali di
funzioni di più variabili. Derivate di ordine superiore.
- Estremi relativi e assoluti. Condizioni di primo ordine per estremi
relativi. Teorema di Weierstrass.
- Teoremi di Rolle e Lagrange. Conseguenti criteri per i limiti di
forme indeterminate. Ordine di infinito e infinitesimo. Sviluppo in
formula di Taylor-Peano e applicazioni a estremi relativi.
Convessità. Sviluppo di Taylor-Lagrange.
- Primitiva di una funzione. Integrazione di Riemann su intervalli in
più variabili. Condizioni di integrabilità. Funzioni integrali, teorema
e formula fondamentale. Integrale di funzioni composte.
Integrazione in senso improprio e criteri di convergenza.
Analisi
Matematica 3
Analisi
Matematica 4
TESTI CONSIGLIATI:
Dispense e raccolte di esercizi.
P.Marcellini-C.Sbordone “Analisi Matematica uno” – Ed.Liguori
T.Zolezzi: Dispense di Analisi Matematica I
OBIETTIVI: Proseguire lo studio dell'analisi classica (serie di
funzioni ed equazioni differenziali) ed introdurre lo studio della
teoria dell'integrazione secondo Lebesgue: si tratta di strumenti
fondamentali dell'analisi matematica, necessari per una
preparazione di base in matematica nonché per la comprensione
di corsi paralleli e successivi
PREREQUISITI: Analisi matematica 1-2
PROGRAMMA:
Serie di potenze. Equazioni differenziali: teoremi di esistenza e di
unicità, integrale generale per sistemi di equazioni lineari e
risoluzioni per quelli a coefficienti costanti; risoluzione di alcune
speciali equazioni differenziali ordinarie. Nozione di sigma-algebra
e misura. Integrale di Lebesgue e teoremi di passaggio al limite
sotto il segno di integrale. Estensione di Riesz dell'integrale di
Riemann per funzioni continue a supporto compatto. Insiemi
misurabili secondo Lebesgue e loro misura. Teorema di Fubini.
Criteri di sommabilità. Integrali dipendenti da parametro.
TESTI CONSIGLIATI:
J.P. Cecconi, G. Stampacchia - Analisi matematica I e II - Liguori
editore
W. Rudin - Analisi reale e complessa - Bollati Boringhieri
O. Caligaris, P. Oliva - Analisi matematica II - E.C.I.G.
T. Zolezzi - Dispense di Analisi matematica II - Opera universitaria
J.P. Cecconi, L. Piccinini, G. Stampacchia - Esercizi di Analisi
matematica II - Liguori editore
M. Chicco, F. Ferro - Esercizi di Analisi matematica II - E.C.I.G.
OBIETTIVI: Proseguire lo studio dell'analisi classica (funzioni
implicite, sottovarietà e forme differenziali): si tratta di strumenti
fondamentali dell'analisi matematica, necessari per una
preparazione di base in matematica nonché per la comprensione
di corsi paralleli e successivi
PREREQUISITI: Analisi matematica 1-3
PROGRAMMA:
Funzioni implicite, teorema di Dini, invertibilità locale, estremi
condizionati. Forme differenziali su un aperto e differenziale;
gradiente, divergenza, rotore; sottovarietà regolari, spazio
tangente, orientabilità, bordo; curve e superficie; area di
sottovarietà ed integrazione di forme differenziali su sottovarietà
orientate, teorema di Stokes, teorema di Gauss Green per domini
normali nel piano; cicli e bordi di un aperto, forme differenziali
chiuse ed esatte, semplice connessione.
TESTI CONSIGLIATI:
Analisi di
Fourier
Analisi
Funzionale
J.P. Cecconi, G. Stampacchia - Analisi matematica I e II - Liguori
editore
L. Schwartz - Cours d'Analyse - Hermann
O. Caligaris, P. Oliva - Analisi matematica II - E.C.I.G.
T. Zolezzi - Dispense di Analisi matematica II - Opera universitaria
J.P. Cecconi, L. Piccinini, G. Stampacchia - Esercizi di Analisi
matematica II - Liguori editore
M. Chicco, F. Ferro - Esercizi di Analisi matematica II - E.C.I.G.
OBIETTIVI: Scopo del corso è fornire una introduzione alle idee e
ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro, sulla retta e nel caso
discreto. Nel corso si porrà l'accento sulla potenza e flessibilità
della teoria e
sulla varietà delle sue applicazioni. Tra le
applicazioni considerate, si darà particolare rilievo a problemi e
tecniche dell'analisi
del segnale, come il teorema del
campionamento, la trasformata di Gabor.
PREREQUISITI: Istituzioni di Analisi Superiore 1 e Calcolo
Numerico (solo per gli studenti dell’Indirizzo Applicativo)
PROGRAMMA:
Serie di Fourier. Lo spazio delle funzioni periodiche di quadrato
sommabile. Teorema di Plancherel. Serie di Fourier. Fenomeno
di Gibbs. Spazi di Sobolev. Trasformata di Fourier di funzioni
periodiche assolutamente integrabili. Applicazioni:metodi spettrali
per le equazioni alle derivate parziali.
Integrale di Fourier. La trasformata di Fourier su R. Integrale di
Fourier di funzioni assolutamente integrabili su R. Convoluzione.
Le identità approssimate. Formule di inversione. Trasformata di
Fourier di funzioni di quadrato sommabile.
Formula di
sommazione di Poisson. Terorema di Paley Wiener. Trasformata
di Fourier in più dimensioni. Spazi di Sobolev.
La trasformata Discreta di Fourier. L’algoritmo della Fast Fourier
Transform. Trasformata coseno.
Analisi del segnale Trasformata di Hilbert. Principio di
indeterminazione di Heisemberg. Teorema del campionamento di
Shannon. Filtri .Trasformata di Gabor continua e discreta .
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO :
http://www.dima.unige.it/~delprete/APPLICATA/index.html
OBIETTIVI: Fornire le basi della teoria delle algebre di Banach e
delle algebre di operatori, avvicinando alla ricerca.
PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia; IAS
1. Consigliato: IAS 2
PROGRAMMA:
Algebre di Banach; spettro e raggio spettrale; algebre di Banach
commutative: la teoria di Gelfand; algebre C*; algebre C*
commutative; il calcolo funzionale continuo per un elemento
normale di un'algebra C*; operatori normali in spazi di Hilbert: il
teorema spettrale.
TESTI CONSIGLIATI:
A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd
edition
G. J. Murtphy: C*-algebras and operator theory
F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete normed algebras
Analisi
OBIETTIVI: fornire contenuti istituzionali dell'analisi (in teoria delle
Superiore 1
distribuzioni) che sono ritenuti fondamentali per gli studenti che
hanno intenzione di proseguire gli studi in un dottorato di ricerca o
che comunque desiderano acquisire una solida preparazione nei
settori di base della matematica
PREREQUISITI: Analisi matematica 1-4, Algebra lineare,
Geometria 1, Istituzioni di Analisi superiore 1-2
PROGRAMMA:
Premesse sugli spazi vettoriali topologici e sugli spazi vettoriali
topologici localmente convessi; metrizzabilità. Spazi di Frechet. Gli
spazi di funzioni test. Risultati di densità. Definizione di
distribuzione. Ordine di una distribuzione. Distribuzioni positive.
Distribuzioni a densità finita. Distribuzioni a supporto compatto.
Operazioni con le distribuzioni. Prodotto tensoriale di due
distribuzioni. Derivazione. Studio di alcune equazioni differenziali.
Topologia di D'. Convoluzione.
TESTI CONSIGLIATI:
Y. Choquet-Bruhat - Distributions, Theorie et problemes - Masson
1973
Analisi
OBIETTIVI: Lo scopo del corso è di fornire un’introduzione
Superiore 2
all’analisi armonica e ad alcune delle sue applicazioni.
PREREQUISITI: Istituzioni di Analisi Superiore 1 e 2.
PROGRAMMA: Analisi armonica in Rn: convoluzione, distribuzioni,
il teorema del nucleo di Schwartz, trasformata di Fourier.
Applicazioni della trasformata di Fourier allo studio degli operatori
che commutano con le traslazioni. Soluzioni fondamentali di alcune
delle equazioni classiche della Fisica Matematica.
Nella seconda parte del corso verranno trattati uno o due
argomenti a scelta tra: integrali singolari e teoria di CalderónZygmund, analisi armonica su gruppi compatti, analisi armonica sul
gruppo di Heisenberg, semigruppi fortemente continui in spazi di
Banach. La scelta dipenderà dagli interessi degli studenti e del
docente.
TESTI CONSIGLIATI:
Per la prima parte del corso:
L.
Hörmander, The Analysis of Linear partial Differential Operators; I,
W. Rudin, Functional Analysis; M. Reed, B. Simon, Methods of
Modern Mathematical Physics I.
Applicazioni
OBIETTIVI: Il corso intende descrivere la modellizzazione
della Matematica matematica di due problemi tomografici di grande interesse in
alla medicina
ambito medico: la tomografia a raggi X e la tomografia a
Calcolo
Probabilità e
Statistica
Matematica
microonde. In ambedue i casi, l’obiettivo della trattazione è duplice:
da una parte evidenziare come formalismi matematici sofisticati
sono indispensabili per la comprensione di due problemi di così
grande valenza applicativa; dall’altra, dotare gli studenti degli
strumenti numerici necessari all’elaborazione delle immagini
provenienti da queste modalità di acquisizione.
PREREQUISITI: 1) spazi di Hilbert e operatori lineari continui tra
spazi di Hilbert; 2) operatori compatti e decomposizione in valori
singolari; 3) elementi sugli spazi di Sobolev e sulle equazioni
differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico; 4) trasformata di
Fourier e trasformata di Fourier discreta; 5) elementi di teoria della
regolarizzazione per problemi inversi lineari
PROGRAMMA:
Tomografia a raggi X: 1) modellizzazione della tomografia a raggi
X come problema inverso lineare; 2) trasformata di Radon e sua
decomposizione in valori singolari; 3) Fourier Slice Theorem e
formula di inversione; 4) Filtered Back Projection e sua
implementazione; 5) metodi iterativi
Tomografia a microonde: 1) modellizzazione della tomografia a
microonde come problema inverso di scattering non-lineare; 2)
buona posizione del problema diretto; 3) problema inverso:
discussione dell’unicità; 4) approssimazioni di weak scattering; 5)
approcci lineari esatti: il linear sampling method
TESTI CONSIGLIATI:
Natterer F. And Wubbeling F 2001 Mathematical Methods in Image
Reconstruction (SIAM, Philadelphia)
Colton D and Kress R 1998 Inverse Acoustic and Electromagnetic
Scattering Theory (Springer, Berlin)
Bertero M and Boccacci P 1998 An Introduction to Linear Inverse
Problems in Imaging (IOP, Bristol)
OBIETTIVI: Scopo del corso è conferire i concetti di base per poter
costruire un modello probabilistico.
PREREQUISITI: Argomenti svolti in Analisi 1
PROGRAMMA:
Probabilità elementare, concetto di indipendenza, variabili aleatorie
discrete,
densità discrete notevoli (uniforme, di Bernoulli,
binomiale, di Poisson, geometrica, ipergeometrica, binomiale
negativa). Speranza matematica, varianza, disuguaglianza di
Chebycev, covarianza, coefficiente di correlazione (interpretazione
geometrica). Schema di Bernoulli. Variabili casuali continue
(uniforme, esponenziale, normale). Legge dei grandi numeri e
teorema del limite centrale. Cenni di Statistica inferenziale:
intervalli di confidenza, test d’ipotesi.
TESTI CONSIGLIATI:
P. Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
Calcolo
Numerico
Calcolo delle
Probabilità 2
Complementi di
Fisica 1
http://statprob.dima.unige.it
OBIETTIVI: Il corso riprende ed approfondisce alcuni argomenti già
introdotti nel corso di Fondamenti di Calcolo Numerico e ne
introduce di nuovi, preparando lo studente alle varie tematiche che
potrà incontrare in ambito applicativo. Parte integrante del corso
sono da considerarsi le esercitazioni di laboratorio dove si
sperimenta e si verifica la teoria fatta a lezione.
PREREQUISITI: Algebra lineare, Analisi 1 e 2, Fondamenti di
Calcolo Numerico
PROGRAMMA:
Metodi di decomposizione e metodi iterativi per sistemi lineari.
Soluzioni di equazioni non lineari. Interpolazione polinomiale.
Integrazione numerica: formule di quadratura di Newton-Cotes e
formule generalizzate dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.
Interpolazione con funzioni spline e funzioni trigonometriche.
Minimi quadrati nel continuo. Polinomi ortogonali e formule di
quadratura Gaussiana.
TESTI CONSIGLIATI:
- G. Monegato - Fondamenti di Calcolo Numerico - CLUT 1998
- D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici per l' Algebra
Lineare - Zanichelli 1988
- R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici
- Zanichelli 1992.
OBIETTIVI: Scopo del corso è approfondire e completare i concetti
probabilistici introdotti nel corso di Calcolo Probabilità e Statistica
Matematica, analizzando in maniera più dettagliata gli spazi
continui.
PREREQUISITI: Argomenti svolti in Calcolo delle Probabilità e
Statistica Matematica, Analisi 1 e 2.
PROGRAMMA:
Variabili casuali assolutamente continue e principali distribuzioni
(uniforme, gaussiana, esponenziale, gamma, chi quadro, ...);
variabili casuali multidimensionali (es. gaussiane multivariate).
Distribuzione condizionata. Trasformazioni di variabili casuali.
Calcolo di distribuzioni. Simulazione (generazione di campioni
casuali). Funzione caratteristica di una distribuzione di probabilità.
Convergenze, legge dei grandi numeri e teorema limite centrale.
OBIETTIVI: Delineare le idee alla base dei profondi mutamenti
della Fisica nel primo ‘900 nel contesto della crisi della Fisica
Classica.
PREREQUISITI: I corsi di Fisica del triennio
PROGRAMMA:
La fisica dell'irreversibile: Conduzione del calore, entropia, teoria
cinetica elementare, irreversibilità statistica.
La prima crisi della fisica classica: Note storiche, conseguenze
sperimentali delle trasformazioni di Lorentz, modelli atomici, corpo
nero, fotoni, indeterminazione.
Complementi di OBIETTIVI: Sviluppare alcune delle idee presentate nel modulo
Fisica 2
precedente evidenziando tanto gli elementi di continuità quanto
quelli di rottura rispetto alla Fisica Classica.
PREREQUISITI: i corsi di Fisica del triennio – Complementi di
Fisica 1
PROGRAMMA:
La seconda crisi della fisica classica:
Cenno storico, il nucleo atomico, energia di legame, proprietà delle
interazioni nucleari, fissione e fusione nucleari, particelle, quarks.
Dimostrazioni di laboratorio: alcune esperienze di ottica geometrica
ed ondulatoria.
Complementi di OBIETTIVI: Condurre gli studenti ad affrontare questioni di
Storia delle
sviluppo storico della Matematica attraverso una comprensione
Matematiche
maturata criticamente in modo personale.
PREREQUISITI: Nozioni di Algebra, Geometria analitica ed
Analisi, nonché il corso di Istituzioni di Storia delle Matematiche.
PROGRAMMA:
Il corso, intitolato “L’arte analitica da Viète a Descartes”, esporrà la
fondazione dell’Algebra simbolica e la sua applicazione alla
Geometria nell’ambito della metodologia di “analisi e sintesi”
proveniente dall’antichità e rivisitata nel secolo XVII.
Tra le nuove acquisizioni appare lo sviluppo graduale dei concetti
di curva, tangente, area che, attraverso la geometria cartesiana e il
calcolo differenziale, conducono alla prima sistemazione della
Matematica superiore.
TESTI CONSIGLIATI: Saranno distribuiti vari testi, in originale o in
traduzione, relativi ai temi trattati.
Crittografia e
PREREQUISITI: Algebra lineare, Algebra 1, Algebra 2.
Teoria dei Codici PROGRAMMA: Tecniche algebriche e di teoria dei numeri di
supporto alla crittografia e alla teoria dei codici: algoritmo euclideo;
teorema del resto cinese;
estensione algebriche; rappresentazione ed aritmetica dei corpi
finiti; polinomi ciclotomici; residui quadratici; test di primalità.
Crittografia a chiave pubblica: descrizione e stato dell'arte della
solidità del logaritmo discreto e di RSA; number field sieves;
devices di Shamir.
Teoria dei codici: codici lineari, codici ciclici; codici BCH; algoritmo
di Berlekamp-Massey.
Didattica della
Matematica 1
OBIETTIVI: L’obiettivo principale è introdurre gli studenti ad alcuni
problemi dell’insegnamento e dell’apprendimento della matematica
nelle scuole secondarie, fornendo loro strumenti (in campo
didattico, storico-epistemologico e psicologico) utili per affrontare
Didattica della
Matematica 2
tali problemi. Altri obiettivi sono: la revisione di alcuni contenuti di
base della matematica della scuola secondaria, in relazione alle
difficoltà del loro insegnamento e del loro apprendimento; e la
riflessione sul “fare matematica” in vista di un insegnamento della
matematica che a sua volta aiuti gli allievi a “fare matematica” in
prima persona.
PREREQUISITI: conoscenze di base di Analisi, Algebra,
Geometria Analitica, Probabilità.
PROGRAMMA:
L'insegnamento-apprendimento della matematica come oggetto di
studio della didattica della matematica: alcuni problemi di
insegnamento e difficoltà di apprendimento della matematica nella
scuola secondaria servono come spunto per l'approccio alla
didattica della matematica come disciplina in cui si integrano
strumenti e conoscenze dell'epistemologia, della storia della
matematica, della psicologia. Contenuti matematici particolari
trattati in tale prospettiva saranno: l’angolo; i numeri razionali (in
particolare, la loro rappresentazione decimale); il linguaggio
algebrico; il linguaggio dei grafici; la derivata; la dimostrazione
matematica (con attenzione ai vari tipi di dimostrazione).
TESTI CONSIGLIATI:
“Parole-chiave” e unità di lavoro dei Progetti SeT e MIUR-DIMA
consultabili nel sito http://didmat.dima.unige.it
OBIETTIVI: Il corso di Didattica della Matematica 2 ha carattere
professionalizzante essendo essenzialmente orientato a preparare
all’insegnamento della matematica nella scuola secondaria. Nello
stesso tempo può avviare gli studenti alla ricerca in didattica della
matematica e in storia dell’insegnamento della matematica. Con il
corso si vuole promuovere un atteggiamento di carattere
metacognitivo sull’insegnamento/ apprendimento della matematica
e sulla costruzione della razionalità nell’individuo. La formazione
che si intende dare può quindi portare a impieghi nel campo
dell’insegnamento e della ricerca, ma anche a applicazioni
nell’industria (formazione pre e in servizio), consulenze per le
agenzie preposte all’istruzione e alla formazione secondo il
modello dell’educational consultant anglosassone, consulenze per
l’editoria e la divulgazione, giornalismo scientifico.
PREREQUISITI: Conoscenze di base di Analisi Matematica,
Geometria, Algebra, Probabilità, Informatica, Logica Matematica e
Didattica della Matematica, affrontate nella laurea triennale e nel
primo anno di laurea specialistica.
PROGRAMMA:
I contenuti riguardano la costruzione degli oggetti matematici da
parte degli studenti. Questo tema include lo studio di problemi di
apprendimento e di tecniche di insegnamento nel campo cognitivo
Elettromagnetismo e Ottica
e affettivo. Gli aspetti di carattere cognitivo sono affrontati
nell’ambito dell’apprendimento dell’algebra e nel percorso degli
studenti verso la razionalità e sono anche discussi alla luce della
storia, con riflessioni sul tema della ricapitolazione. Nell’ambito
affettivo si richiamano i temi della creatività matematica nei lavori
classici dei matematici e i temi delle difficoltà legate alla
concezione della matematica e della persona. Questa parte avvia
all’uso di tecniche di indagine (questionari, protocolli, interviste,
analisi di video) sull’immagine della matematica e sui suoi rapporti
con la società e la cultura in generale.
Un tema laterale è quello della storia dell’insegnamento
matematico che è sviluppato con metodo storico sui materiali
presenti in dipartimento nella biblioteca Loria.
TESTI CONSIGLIATI:
Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (editors), Approaches to algebra.
Perspectives for research and teaching, Kluwer, Dordrech, 1537.
McLeod, D.B.: 1992, ‘Research on affect in mathematics
education: a reconceptualization’, in D.A. Grouws (ed.),
Handbook of research on mathematics learning and teaching,
Macmillan, New York, 127-146.
Schoenfeld, A.H.: 1983, ‘Beyond the purely cognitive: Beliefs
systems, social cognitions, and metacognitions as driving forces
in intellectual performance’, Cognitive Science, v.7, 329-363.
Schoenfeld, A.H.: 1992, ‘Learning to think mathematically: problem
solving, metacognition and sense making in mathematics’, in
D.A. Grows (ed.), Handbook of research in mathematics
learning and teaching, Macmillan, New York, 334-370.
Skemp, R.R.: 1976, ‘Relational understanding and instrumental
understanding’, Mathematics teaching, v. 77, 20-27.
Tall, D. & Vinner, S.: 1981, ‘Concept image and concept definition
with particular reference to limits and continuity’, Educational
studies in mathematics, v. 12, 151-169.
Tall, D.: 1989, Concept images, generic organizers, computers,
and curriculum change. For the Learning of Mathematics v.9,
n.3, 37-42.
OBIETTIVI: Comprensione, basata su considerazioni sperimentali,
delle leggi fondamentali dell'elettromagnetismo e dell'ottica e del
loro ruolo in altri settori della scienza e della tecnologia. Capacità
di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso.
PREREQUISITI: calcolo differenziale e integrale (anche a livello
elementare) per funzioni di più variabili; conoscenza dei metodi e
nozioni tipici della fisica classica (misura, grandezze scalari e
vettoriali, analisi dimensionale e sistemi di unità di misura) e dei
concetti e leggi fondamentali della meccanica classica
Equazioni
Differenziali
Fondamenti di
Calcolo
Numerico
PROGRAMMA:
Legge di Coulomb. Campo elettrico (legge di Gauss), potenziale.
Energia elettrostatica. Corrente elettrica, leggi di Ohm. Dielettrici.
Condensatori e capacità. Energia elettrostatica.
Circuiti in corrente continua e leggi di Kirchhoff. Effetto Joule.
Circuiti RC.
Magnetismo: forza di Lorentz. Forza su filo percorso da corrente.
La corrente elettrica come sorgente di campo magnetico. La legge
di Ampère. Induzione elettromagnetica. Campo elettromotore.
Legge di Gauss per il magnetismo. Cenni sul magnetismo nella
materia. Induttanza, circuiti LR. Densità di energia magnetica.
Cenni sulle correnti alternate.
Corrente di spostamento, equazioni di Maxwell ed emissione di
onde elettromagnetiche.
Elementi di ottica geometrica: riflessione, rifrazione. Principio di
Fermat. Specchi e lenti sottili. Ottica ondulatoria: interferenza,
diffrazione, reticoli. Polarizzazione, legge di Malus, birifrangenza,
lamine a quarto d'onda.
TESTI CONSIGLIATI: Halliday, Resnick, Krane: Fisica 2, Casa
Editrice Ambrosiana.
OBIETTIVI: Lo scopo del corso è di fornire un’introduzione alla
teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali.
PREREQUISITI: Analisi Matematica 1-4, Istituzioni di Analisi
Superiore 1.
PROGRAMMA:
Verranno studiate le equazioni del primo ordine quasi-lineari e
alcune equazioni lineari classiche della Fisica Matematica: le
equazioni di Laplace, di Poisson, l'equazione del calore e
l'equazione delle onde, discutendo principi generali (proprietà di
media, principio di massimo, stime dell'energia) e le loro
conseguenze. Verranno anche ricavate formule risolutive esplicite
per domini con geometria semplice. Infine verranno presentati
tecniche generali per ottenere formule esplicite come la
separazione di variabili, soluzioni per similarità, metodi basati sulle
trasformate, sviluppi in serie di potenze
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~mauceri/CORSI/elenco.html
OBIETTIVI: Il corso vuole offrire le nozioni matematiche e
metodologiche che stanno alla base delle tecniche del calcolo
scientifico. Parte integrante del corso sono da considerarsi le
esercitazioni di laboratorio dove lo studente sperimenta e verifica
la teoria fatta a lezione.
PREREQUISITI: Algebra lineare, Analisi 1 e 2
PROGRAMMA:
Teoria degli errori. Soluzione di sistemi lineari: condizionamento,
metodo di Gauss con strategia del pivoting, fattorizzazioni di
Fondamenti
Matematici della
Teoria
dell’Apprendimento Statistico
Geometria 1
matrici: LU e Cholesky e applicazioni. Autovalori di matrici: metodo
delle potenze e sue varianti, trasformazioni per similitudine e
trasformazioni di Householder: fattorizzazione QR, riduzione a
forma di Hessenberg o tridiagonale, cenni sul metodo QR.
Approssimazione di funzioni: minimi quadrati discreti: risoluzione
tramite le equazioni normali. Decomposizione ai valori singolari e
applicazioni al problema dei minimi quadrati discreti. Metodo di
Eulero per la soluzione numerica di equazioni differenziali.
TESTI CONSIGLIATI:
- G. Monegato - Fondamenti di Calcolo Numerico - CLUT 1998
- R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Introduzione
alla Matematica Computazionale - Zanichelli 1987
- R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici
- Zanichelli 1992
OBIETTIVI: Questo corso si propone di illustrare le basi teoriche
del problema dell'apprendimento statistico da esempi. Accanto
all'approccio tradizionale di tipo statistico combinatorio verrà
presentato un approccio che utilizza gli strumenti dell'analisi
funzionale. Il corso enfatizza le connessioni della teoria con la
teoria dei problemi inversi e con la teoria della regolarizzazione per
problemi mal posti e prevede un'attività di laboratorio legata
all'implementazione di alcuni algoritmi e una parte in cui verranno
illustrate applicazioni.
PREREQUISITI: 1) elementi di teoria della probabilità; 2) spazi di
Hilbert e operatori lineari continui tra spazi di Hilbert; 3)
interpolazione lineare; 4) elementi di teoria della regolarizzazione
per problemi inversi lineari
PROGRAMMA:
Si prevedono 24 lezioni di 2 ore l'una divise in 16 lezioni di teoria, 6
lezioni di analisi degli algoritmi e laboratorio e 2 lezioni di
applicazioni
Argomenti: teoria dell'apprendimento statistico (approccio
combinatorio e analitico-funzionale), teoria dei problemi mal posti e
della regolarizzazione, analisi e implementazione di algoritmi e
metodi per l'apprendimento da esempi, applicazioni (computer
vision, bioinformatica, etc.).
TESTI CONSIGLIATI:
V.N. Vapnik V. N. 1995 The Nature of Statistical Learning Theory
(Springer, Berlin)
Cucker F and Smale S 2002 On the mathematical foundations of
learning Bull. AMS 39 1-49
OBIETTIVI: Fondamenti di Topologia e cenni sulla geometria
differenziale di curve e superfici
PREREQUISITI: Geometria Analitica , Algebra Lineare
Geometria 2
Geometria
Algebrica 1
PROGRAMMA:
A Topologia generale.
Spazi euclidei, spazi metrici, spazi topologici. Sottospazi, prodotti,
quozienti. Proprietà topologiche: compattezza, connessione,
Hausdorff, Spazi metrici completi.
B. Curve e superficie dello spazio euclideo.
Curve
regolari, rappresentazioni
implicita e parametrica,
curvatura e torsione, le formule di Frenet. Superficie regolari,
rappresentazioni implicita e parametrica, vettori tangenti, piano
tangente, vettore normale, mappe differenziabili. Curvatura di
Gauss.
OBIETTIVI: Il corso fornisce conoscenze di base di geometria
proiettiva e topologia
algebrica, necessarie, oltre che per la laurea triennale, per i corsi di
contenuto algebrico-geometrico e topologico della laurea
specialistica.
PREREQUISITI: Contenuti dei Corsi di Algebra Lineare, Algebra
1, Algebra 2, Geometria Analitica, Geometria 1.
PROGRAMMA: Introduzione alla geometria proiettiva. Spazi
proiettivi e proiettività. Il teorema fondamentale delle proiettività.
Dualità. Classificazione proiettiva di coniche e quadriche. Polarità.
Curve algebriche. Esempi.
Gruppo fondamentale e rivestimenti.
Testi consigliati
M.C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati e G. Monti Bragadin,
Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Collana Nuova Didattica,
Bollati Boringhieri, Torino, 2003.
M.J. Greenberg e J.R. Harper Algebraic Topology--A First
Course, Mathematics Lecture Note Series, W.A. Benjamin, 1981.
Si segnala altresì l'importanza di metodi di geometria proiettiva ad
aspetti applicativi, quali per esempio la computer vision (si vedano
a questo proposito i testi di D. Marsh, Applied Geometry for
Computer Graphics and CAD, Springer Undergraduate
Mathematics Series, 2005 e di M.K. Agoston, Computer Graphics
and Geometric Modelling, Mathematics, Springer, 2005).
PREREQUISITI: I contenuti del corso di IGS 2. Sarebbe utile
Algebra Superiore 1.
OBIETTIVI: Mostrare casi concreti e significativi, esempi ed idee
rilevanti per lo studio moderno della geometria algebrica.
PROGRAMMA: ipersuperficie nello spazio proiettivo; morfismi fra
varietà quasi-proiettive, fascio strutturale di una varietà quasiproiettiva. Varietà speciali (Veronese, Segre, Grassmann); mappe
fra le varietà, proiezioni, mappe finite; ipersuperficie quadriche e
loro proprietà particolari; polarità; sistemi lineari di ipersuperficie e
loro mappe razionali associate; serie lineari su curve (Teorema di
Riemann-Roch e applicazioni).
Geometria
Algebrica 2
Geometria
analitica
Geometria
Differenziale
OBIETTIVI: Sviluppare il minimo necessario di fatti coomologici e
applicarli
PREREQUISITI: Geometria: i contenuti dei corsi IGS1, IGS2, e
Geometria Superiore 1. Algebra: i contenuti dei corsi di Algebra (di
laurea triennale) più quelli del corso di Algebra Superiore 1.
PROGRAMMA:
1. Teorema sulla dimensione delle fibre di un morfismo.
2. Applicazioni: rette sulle superficie di grado d nello spazio
proiettivo di dimensione 3.
3. Coomologia delle varietà algebriche. Coomologia di Cech
(riassunto).
4. Coomologia di Grothendieck, proprietà generali.
5. Caratterizazzione coomologica delle varietà affini.
6. Coomologia di dello spazio proiettivo P^n. Applicazioni.
7. Forme differenziali e classe canonica su una varietà algebrica
nonsingolare.
8. Fasci localmente triviali, fibrati vettoriali su una varietà algebrica.
9. Coomologia delle curve, teorema di Riemann-Roch, teorema di
dualità. Applicazioni.
TESTI CONSIGLIATI:
1. I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer, 1974
2. G. Kempf, Algebraic Varieties, Cambridge, 1993
OBIETTIVI: Fornire le conoscenze di base della geometria degli
spazi affini.
PREREQUISITI: Algebra Lineare e Algebra 1.
PROGRAMMA:
Spazi affini, proprietà generali, esempi. Sottospazi affini e le loro
equazioni. Insiemi di punti affinemente indipendenti. Automorfismi
affini e le loro equazioni. Teorema di dimensione per sottospazi
affini e applicazioni. Sottospazi affini paralleli. Prodotto scalare,
proprietà, esempi. Spazi vettoriali euclidei. Il procedimento di
Gram-Schmidt. Automorfismi vettoriali ortogonali. Classificazione.
Spazi affini euclidei. Distanza tra due punti. Angolo tra due rette.
Geometria degli spazi affini euclidei di dimensione 2 e 3. Isometrie.
Classificazione delle isometrie in dimensione 2 e 3. Coniche e
quadriche. Proprietà generali. Classificazione. Fasci di coniche.
Applicazioni.).
Testo consigliato: Geometria Analitica, di L. Badescu, E. Carletti e
G. Monti Bragadin che è in rete su
http://www.dima.unige.it/~badescu/
OBIETTIVI: Una introduzione elementare ai concetti e metodi di
Geometria Differenziale moderna.
PREREQUISITI: corsi di Geometria Analitica, Geometria I e II,
Analisi I e II.
PROGRAMMA:
Varietà topologiche; strutture differenziabili, vettori tangenti, mappe
Geometria
Superiore 1
Geometria
Superiore 2
indotte. Sottovarietà. Campi di tensori, forme differenziali, derivata
di Lie. Integrazione: teorema di Stokes. Varietà riemanniane.
Teorema di de Rham e applicazioni.
TESTI CONSIGLIATI:
1 W. Boothby: An Introduction to Differentiable Manifolds and
Riemannian Geometry, Academic Press (1975).
2. R. Bishop, R. Crittenden: Geometry of Manifolds, Academic
Press (1964).
3. F. Warner: Foundation of Differentiable Manifolds and Lie
Groups, Sprinter (1983).
OBIETTIVI: Obiettivo del corso è quello di fornire alcune
conoscenze di base riguardanti teoria dei fasci e coomologia, utili
per affrontare lo studio di argomenti di geometria algebrica.
PREREQUISITI: Contenuti del Corso di Istituzioni di Geometria
Superiore 2.
PROGRAMMA:
1. Teoria dei fasci. Prefasci e fasci. Morfismi di fasci (prefasci).
Sottofascio di un fascio (prefascio). Fasci di moduli. Fascio
quoziente. Composizione di morfismi.
Nucleo e immagine di un morfismo. Sequenze esatte. Incollamento
di fasci.
Operazioni tra fasci. Il gruppo ed il fascio degli omomorfismi.
Immagine diretta e immagine inversa topologica di fasci. Fasci (di
moduli) generati da sezioni. Fasci quasi coerenti. Fasci coerenti.
Proprietà della coerenza. Fasci di moduli localmente liberi e fasci
di moduli invertibili; il gruppo di Picard.
2. Coomologia di Čech a coefficienti in un fascio. Cocatene
alternanti di un ricoprimento a coefficienti in un prefascio.
Omomorfismo cobordo. Gruppi di coomologia di un ricoprimento a
valori in un prefascio. Raffinamento di un ricoprimento.
Coomologia di Čech.
Morfismo tra prefasci e morfismo indotto in coomologia. Sequenza
esatta di $q$-cocatene indotta da una sequenza esatta di prefasci.
Sequenza esatta di coomologia per prefasci.
3. Applicazioni al caso di fasci invertibili su varietà algebriche
complesse.
OBIETTIVI: Obiettivo
del corso, naturale
prosecuzione di
Geometria Superiore 1, è quello di fornire alcune conoscenze di
base utili per affrontare lo studio di argomenti di geometria
algebrica.
PREREQUISITI: I contenuti del Corso di Geometria Superiore 1
PROGRAMMA:
Un programma di massima (uno più dettagliato sarà disponibile più
avanti) comprende i seguenti argomenti.
1. Coomologia e forme differenziali su una varietà proiettiva.
Alcune proprietà degli aperti affini di una varietà proiettiva.
Istituzioni di
Analisi
Superiore 1
Istituzioni di
Analisi
Superiore 2
Coomologia di Cech e coomologia di Grothendieck. Coomologia
di varietà proiettive. Caratteristica di Eulero-Poincaré. Il genere
aritmetico di una varietà proiettiva. Il fascio dei germi di funzioni
razionali sulle varietà proiettive. Il fascio dei germi di funzioni
meromorfe. Funzioni razionali e funzioni meromorfe su una
varietà proiettiva irriducibile. Il fascio delle 1-forme differenziali.
Forme differenziali di grado maggiore di 1. Il fascio canonico.
Forme differenziali algebriche. Parametri uniformizzanti. Le pforme differenziali regolari. Il fascio canonico dello spazio
proiettivo. Comportamento delle 1-forme differenziali per
morfismi. Restrizione a una sottovarietà. Dualità di Serre. Fascio
dualizzante.
2. Il gruppo di Picard di una varietà proiettiva.
Divisori di Cartier sopra una varietà algebrica. Divisori principali.
Equivalenza lineare di divisori. Il gruppo delle classi di divisori. Il
fascio invertibile associato a un divisore di Cartier. Classi di
divisori e gruppo di Picard. Divisori di Weil. Sistemi lineari di
divisori. Immagine inversa di un divisore.
Restrizione di un divisore a una sottovarietà, sistema caratteristico
di un divisore. ll problema di Riemann e Roch. Il teorema di
Riemann-Roch per curve e superficie proiettive non singolari.
Applicazioni a problemi di fattorialità ed esempi.
OBIETTIVI: Fornire le basi dell'analisi funzionale e della teoria
delle funzioni di una variabile complessa.
PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia.
PROGRAMMA :
Teoria della misura; spazi Lp; spazi normati; spazi di Banach;
variabile complessa.
TESTI CONSIGLIATI:
A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd
edition
W. Rudin: Analisi reale e complessa
W. Rudin: Analisi funzionale
OBIETTIVI: Approfondire la teoria della misura. Proseguire lo
studio – iniziato con IAS 1 – dell’analisi funzionale, ricavando
anche ulteriori proprietà di spazi di Banach classici quali gli spazi
Lp e gli spazi di funzioni continue. Fornire elementi di teoria degli
operatori.
PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia; IAS
1.
PROGRAMMA :
Teoria della misura complessa; riflessività e caratterizzazioni dei
duali di alcuni spazi di Banach; funzioni a variazione limitata e
funzioni assolutamente continue; topologie deboli; compattezza in
spazi di funzioni continue: il teorema di Ascoli-Arzelà; elementi di
teoria degli operatori: spettro, operatore aggiunto, operatori
Istituzioni di
Fisica
Matematica 1
Istituzioni di
Fisica
Matematica 2
compatti.
TESTI CONSIGLIATI:
A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd
edition
W. Rudin: Analisi reale e complessa
W. Rudin: Analisi funzionale
OBIETTIVI: Fornire conoscenze di base per lo studio del moto dei
continui rigidi e dei continui deformabili, evidenziando il differente
ruolo dei principi fisici e degli strumenti matematici. In particolare si
esamina il procedimento di costruzione di alcuni problemi tipici
della fisica matematica e della matematica applicata (equazioni
alla derivate parziali con dati al contorno e/o iniziali).
PREREQUISITI: Contenuti dei corsi obbligatori dei primi due anni
della Laurea triennale in Matematica
PROGRAMMA
Meccanica del corpo rigido: vincolo di rigidità e fondamenti di
cinematica dei sistemi rigidi discreti e continui; quantità
meccaniche per il corpo rigido e tensore d'inerzia; dinamica del
corpo rigido libero e vincolato; esame di moti particolari.
Sistemi continui deformabili: deformazioni; moto;conservazione
della massa; bilancio di quantità di moto, momento angolare,
energia; disequazione entropica; equazione del calore in un mezzo
in quiete.
Fluidi perfetti: generalità sul modello; equazioni di moto; cenni di
idrostatica; flussi rotazionali e irrotazionali.
Fluidi viscosi: generalità sulla viscosità; equazioni di moto;
esempi di flussi; cenni di termodinamica dei fluidi viscosi.
TESTI CONSIGLIATI:
Sarà disponibile materiale fornito dal titolare del corso. Su richiesta
saranno indicati testi di approfondimento degli argomenti
presentati.
OBIETTIVI: creazione e utilizzo di strumenti di Geometria
Differenziale in Fisica Matematica. Applicazioni allo studio della
Teoria della Relatività.
PREREQUISITI: Conoscenza dei fondamenti del calcolo
tensoriale, della teoria delle varietà differenziabili, e dei principali
operatori differenziali sulle varietà stesse (derivata di Lie,
differenziale esterno). Utile, ma non indispensabile, una
conoscenza dei fondamenti fisici della Teoria della Relatività
Speciale.
PROGRAMMA:
Varietà Riemanniane. Teoria dell'integrazione su varietà, concetti
metrici, teorema di Stokes;
Fibrato dei riferimenti su una varietà. Teoria delle connessioni,
derivazione covariante. Connessione Riemanniana, tensore di
Riemann, identità di Bianchi. Elementi di geometria delle curve,
Istituzioni di
Geometria
Superiore 1
Istituzioni di
Geometria
Superiore 2
geodetiche, map esponenziale.
Lo spazio-tempo come varietà differenziabile; geometrizzazione
della cinematica. Principio di relatività, e struttura riemanniana
dello spazio tempo. Geometrizzazione della dinamica. Deviazione
geodetica, e significato fisico della curvatura.
Formulazione quadridimensionale della Relatività Speciale: spaziotempo di Minkowski, riferimenti inerziali, geometrizzazione delle
trasformazioni di Lorentz. Cinematica relativistica. Dinamica
relativistica. Elettrodinamica relativistica nel vuoto.
TESTI CONSIGLIATI:
Dispense del corso
OBIETTIVI: Dare agli studenti le nozioni principali riguardanti la
teoria delle estensioni dei campi, quella della risolubilità per radicali
delle equazioni algebriche e della costruibilità di figure geometriche
con riga e compasso.
PREREQUISITI:
I contenuti standard dei corsi di Algebra e di Algebra lineare e di
parte del corso di Analisi I.
PROGRAMMA:
Domini euclidei, principali, noetheriani, fattoriali.
Estensioni dei campi. Elementi algebrici e trascendenti, Estensioni
algebriche. Campo di decomposizione di un polinomio. Teorema
dell’elemento primitivo. Chiusura algebrica di un campo. Estensioni
normali. Trascendenza di R su Q.
2
Gruppi di permutazione. Teoremi di Sylov. Gruppi di ordini p, p ,
3
p , pq. Gruppi risolubili.
Gruppo di Galois di una estensione e di una equazione algebrica.
Corrispondenza di Galois. Equazioni risolubili per radicali.
Costruzioni geometriche con riga e compasso. Problemi classici.
Ciclotomia.
TESTI CONSIGLIATI:
Mimmo Arezzo – Dispense di Istituzioni di Geometria Superiore.
OBIETTIVI: Una introduzione elementare ai concetti e metodi di
Geometria Algebrica moderna.
PREREQUISITI: Corsi di Geometria Analitica, Geometria 1 e 2,
Algebra 1 e 2.
PROGRAMMA:
Insiemi algebrici nello spazio affine e proiettivo. Proprietà generali.
Teorema di Hilbert degli zeri (Hilbert Nullstellensatz). Applicazioni.
Curve affini e proiettive. Proprietà generali. Curve piane.
Teorema di Bezout per le curve piane proiettive. Teorema di
Riemann-Roch per le curve proiettive nonsingolari. Applicazioni. Il
concetto di genere.
TESTI CONSIGLIATI:
1. I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer 1974
2. M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London
Istituzioni di
Logica
Matematica
Istituzioni di
Storia delle
Matematiche
Mathematical Society Student Texts 12, 1990
3. M.C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin,
Letture su curve, superficie e varieta' proiettive speciali, Bollati
Boringheri, 2002
4. L. Badescu, Dispense del Corso di Geometria Superiore 2
(messe a disposizione degli studenti)
5. Le dispense che saranno in rete.
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~badescu
OBIETTIVI: Il corso di Istituzioni di Logica Matematica presenta
argomenti di carattere monografico che coinvolgono importanti
risultati di logica matematica, presentati utilizzando i metodi di
teoria delle categorie.
PREREQUISITI: Le nozioni di base che si ottengono in un corso
teorico di algebra, geometria o analisi: insiemi e funzioni, esempi di
strutture algebriche.
PROGRAMMA
Il corso di quest'anno affronta alcuni problemi fondamentali della
matematica del XX secolo: l'indipendenza dell'Assioma di Scelta
(AC) e dell'Ipotesi del Continuo (CH) dai postulati della Teoria
Elementare degli Insiemi. Nella prima parte, si riassume la teoria
elementare degli insiemi in modo assiomatico, presentando un
nuovo elenco di postulati, molto semplice, e soprattutto molto più
adatto alla pratica matematica di quanto non lo siano altri, come ad
esempio quelli della teoria ZF. Nella seconda parte, si affronta il
problema di costruire modelli per la teoria, producendo poi due
esempi che provano l'indipendenza di AC e CH.
TESTI CONSIGLIATI:
McLarty, Colin. Elementary categories, elementary toposes. Oxford
Logic Guides, 21. The Clarendon Press, Oxford University Press,
New York, 1992
MacLane, Saunders. Categories for the working mathematician.
Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5. Springer-Verlag, New
York-Berlin, 1971
Mac Lane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in geometry and
logic. A first introduction to topos theory. Universitext. SpringerVerlag, New York, 1994
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.disi.unige.it/person/RosoliniG/ILM/
OBIETTIVI: Presentare a grandi linee la nascita e lo sviluppo
storico delle principali discipline matematiche (Aritmetica, Algebra,
Geometria e Analisi) sottolineando in modo particolare la valenza
di questo approccio per la Didattica.
PREREQUISITI: Nozioni di Matematica elementare, di Geometria
Analitica e di Analisi.
Laboratorio di
Didattica della
Matematica
PROGRAMMA:
Il corso cercherà di tracciare un breve profilo storico della
Matematica inserita in un quadro cronologico delle varie epoche,
dai primordi della civiltà allo sviluppo della Scienza “moderna”.
Saranno delineati i vari passi della Aritmetica, dal calcolo degli
Egiziani alla teoria dei numeri. Particolare considerazione verrà
dedicata all’Algebra, dalle forme primitive e medioevali dell’arte
della “cosa” alla costituzione di una disciplina con simboli e
notazioni letterali proprie. Si passerà poi alla Geometria
elementare, costruita negli Elementi di Euclide, proseguendo poi
con i problemi più avanzati, punto di partenza della Geometria
analitica.
Sarà infine messo in rilievo come la riflessione sui metodi di
quadratura degli antichi abbia condotto, nel secolo XVII,
all’invenzione dei nuovi e potenti strumenti che sono culminati
nell’Analisi infinitesimale.
TESTI CONSIGLIATI: Il testo di riferimento è Storia della
Matematica di C.B. Boyer. Verrà inoltre distribuito materiale
consistente in Schemi cronologici e Appunti su argomenti specifici.
OBIETTIVI: Il corso si propone di:
- collegare alle attività osservate/partecipate nelle scuole riflessioni
sui contenuti matematici e sulle problematiche didattiche connesse
con il loro insegnamento al fine di superare alcuni stereotipi propri
della scuola; recuperare un significato di matematica come
strumento per modellizzare la realtà/fenomeni reali (che consente
“letture” storiche, anticipazioni, generalizzazioni, …
della
realtà/fenomeno in esame) oltre che come teoria (nei suoi aspetti
interni: linguaggio specifico, "regole", assiomi), …;
- approfondire alcune questioni inerenti lo sviluppo delle
competenze argomentative in campo matematico (anche con
attenzione all’avvio al pensiero teorico e alla dimostrazione), con
riferimento anche alle attività osservate/partecipate nelle scuole
- approfondire i problemi didattici e culturali inerenti l'uso di
strumenti di calcolo e di tecnologie informatiche nell'insegnamento
della matematica, con riferimento anche alle attività
osservate/partecipate nelle scuole.
PREREQUISITI: Analisi matematica: funzioni di una variabile,
calcolo integrale, equazioni differenziali. Didattica della
Matematica. Matematiche Elementari Da un Punto di Vista
Superiore (MEDPVS)
PROGRAMMA:
- analisi di elaborati/situazioni didattiche/strumenti di insegnamento
e di valutazione raccolti nelle scuole, con attenzione ai contenuti
matematici in gioco ed ai problemi di insegnamento e
apprendimento ad essi connessi;
- costruzione di itinerari didattici praticabili in classe (con
Laboratorio di
Matematica
particolare
attenzione
allo
sviluppo
delle
competenze
argomentative e all'avvio alla dimostrazione), anche in vista di
possibili attività in classe;
- analisi di software matematico, didattico e non, con attenzione ai
contenuti matematici in gioco ed ai problemi di insegnamento e
apprendimento ad essi connessi, anche in vista di possibili attività
in classe.
TESTI CONSIGLIATI:
1) dall'indirizzo http://didmat.dima.unige.it/
* il progetto Speciale per l'Educazione Scientifica e Tecnologica
(Progetto SeT) e in particolare
http://www5.indire.it:8080/set/set_linguaggi/UL/Q/lingQmat/pres.
html
http://www5.indire.it:8080/set/set_modelli/UL/I/modIMat/pres.htm
l
http://www5.indire.it:8080/set/set_modelli/UL/L/modLmat/pres.ht
ml
* il progetto MIUR- DIMA: la modellizzazione matematica
nell'insegnamento-apprendimento della matematica all'indirizzo
e in particolare
http://didmat.dima.unige.it/miur/miur_dima/E/parenti/pres.html
2) MAtematica per COnoscere e per Sapere all'indirizzo:
http://macosa.dima.unige.it/
Il corso è suddiviso in due parti “in serie”: 1) Matematica
Computazionale, 2) Dimostrazioni e Paradossi.
OBIETTIVI: Prima parte: Fornire agli studenti una prima
"alfabetizzazione informatica" ed avviarli all'utilizzo del software
matematico numerico e simbolico (pacchetti come MATLAB o
MAPLE), come ausilio utile per la ricerca e la pratica matematica. Il
corso sarà basato in modo essenziale sulla risoluzione al
calcolatore di problemi matematici di analisi ed algebra provenienti
da argomenti trattati nei corsi del primo semestre. Seconda parte:
Presentare alle matricole il metodo dimostrativo matematico
utilizzando casi semplici, il più possibile interessanti, e cercando di
indurre gli studenti a meditare sul livello di chiarezza che una
dimostrazione deve raggiungere per risultare tale.
PREREQUISITI: nessuno
PROGRAMMA:
Prima parte - Matematica Computazionale: avvio all'utilizzo del
software matematico numerico e simbolico per sviluppare i concetti
di base della matematica da un punto di vista algoritmico
costruttivo.
Seconda parte - Paradossi e Dimostrazioni nella teoria di base
per la matematica. Le proposte di Cantor, Frege, Zermelo,
Fraenkel, von Neumann, Goedel, Lawvere e Tierney. Applicazioni:
l'antinomia di Russell, l'assioma di scelta, l'ipotesi del continuo.
Logica
Matematica 1
Logica
Matematica 2
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~ferrarig/LaborMat/labmat.htm
OBIETTIVI: Fornire una introduzione agli argomenti di base della
logica matematica.
PREREQUISITI: Conoscenze elementari di teoria degli insiemi.
PROGRAMMA:
Logica proposizionale. I connettivi fondamentali. Il linguaggio della
logica proposizionale. Tautologie. Basi di connettivi. Il sistema
formale K per la logica proposizionale: assiomi e regole;
derivabilità e dimostrabilità; teorema di deduzione; teoremi di
correttezza e di completezza.
Logica dei predicati. Il sistema formale F per la logica dei predicati
del primo ordine. La semantica della logica dei predicati. Assiomi e
regole di F. Correttezza e non contraddittorietà. Il teorema di
deduzione. Il teorema di esistenza di un modello e la completezza
di F. Teoremi di Löwenheim-Skolem e di compattezza.
Aritmetica formalizzata e teorema di Gödel (introduzione). Il
sistema formale P per l’aritmetica: linguaggio, assiomi (logici e
specifici) e regole. Le definizioni: cenni introduttivi alla teoria della
definizione con esempi relativi a P. Il teorema di incompletezza di
Gödel: enunciato e traccia della dimostrazione.
TESTI CONSIGLIATI:
M. Borga, Elementi di logica matematica, EUROMA (La
Goliardica), Roma, 1984, ristampa, 1992.
OBIETTIVI: Approfondire alcuni argomenti di teoria della
dimostrazione.
PREREQUISITI: Logica matematica 1
PROGRAMMA:
a) Completamento sul teorema di Gödel: computabilità e
ricorsività; dimostrazione del teorema di incompletezza e analisi di
alcune sue conseguenze.
b) Dimostrazioni formali e informali a confronto. Introduzione alla
teoria della dimostrazione: la deduzione naturale di Gentzen e il
teorema di normalizzazione; il calcolo delle sequenze (o dei
sequenti) e il teorema di eliminazione del taglio.
TESTI CONSIGLIATI:
M. Borga, Elementi di logica matematica, EUROMA (La
Goliardica), Roma, 1984, ristampa, 1992; M. Borga, Fondamenti di
logica: introduzione alla teoria della dimostrazione, Franco Angeli,
Milano, 1995.
Matematiche
OBIETTIVI: Il corso si pone come obiettivo quello di fornire
Complementari 1 l'occasione di riflettere sulla complessità del processo di
modellizzazione matematica del reale e sul grado di
"approssimazione" e "provvisorietà" dei metodi utilizzati e dei
risultati conseguiti, approfondendo alcuni aspetti tecnici,
storico/epistemologici e didattici della modellizzazione matematica,
effettuando alcune riflessioni, guidate dalla lettura di testi specifici,
sul significato che ha costruire un modello matematico e attuando
un’analisi comparativa fra modelli deterministici e probabilistici.
Tutto ciò al fine di fornire agli studenti sia elementi di un quadro di
riferimento più avanzato, a livello “adulto”, per argomenti che
possono essere ragionevolmente svolti a scuola, sia elementi di
riflessione sugli aspetti (conoscenze, difficoltà, potenzialità) che
possono intervenire nell’approccio alla modellizzazione nella
scuola.
PREREQUISITI:
- Analisi matematica: funzioni di una variabile, calcolo
integrale, equazioni differenziali
- Fisica: Elementi base di meccanica, termodinamica ed
elettromagnetismo
- Calcolo delle probabilità: probabilità elementare, variabili
aleatorie discrete e continue, legge dei grandi numeri e
teorema del limite centrale
- Didattica della Matematica: strumenti e conoscenze
dell’epistemologia, della storia della matematica, della
psicologia,
finalizzati
all’analisi
dei
problemi
di
insegnamento/apprendimento della matematica nella
scuola secondaria
PROGRAMMA :
- Breve panoramica di tipo storico/epistemologico sul ruolo dei
modelli matematici e sulla distinzione tra modelli deterministici e
modelli probabilistici, con attenzione particolare agli aspetti che
possono intervenire nell’approccio alla modellizzazione nella
scuola;
- revisione dei concetti base e delle metodologie di tipo
statistico/probabilistico che intervengono nella costruzione di un
modello probabilistico, anche in relazione alla presentazione di
possibili proposte di mediazione didattica;
- costruzione, attraverso esempi, dell’idea di modello probabilistico
come schematizzazione semplice di un fenomeno reale
complesso, e possibili itinerari didattici relativi;
- trattazione di alcuni modelli differenziali elementari di tipo
deterministico in vari campi di applicazione (fisico, biologico,
demografico, epidemiologico, etc.) e relative riflessioni didattiche;
- studio di alcuni processi inferenziali di tipo stocastico (catene di
Markov, processi stocastici Markoviani e loro metodi risolutivi,
etc.), confronto con i corrispondenti modelli deterministici, verifica
dell'adeguatezza dei modelli suddetti a situazioni reali e relative
riflessioni di tipo didattico.
TESTI CONSIGLIATI:
- Belcastro A., Guala E., Eserciziario di probabilità e statistica, Dip.
di Matematica,Ge
- Costantini D., Monari P., Probabilità e giochi d’azzardo, Franco
Muzzio Editore
- Glaymann M., Varga T., La probabilità nella scuola dell’obbligo,
Armando Editore
- Guala E., Dispense di probabilità e statistica Dipartimento di
Matematica, Ge
- Guala E., Modelli deterministici e modelli probabilistici, Dip. di
Matematica, Ge
- Hacking I., L’emergenza della probabilità, Il Saggiatore
- Israel G., La visione matematica della realtá, Laterza
- Mood A.M., Graybill F.A., Boes D.C., Introduzione alla statistica,
McGrawHill
- Pintacuda N., Insegnare la probabilità, Franco Muzzio Editore
- Vajani L., Saggi sui processi stocastici, Giuffré Editore
- Volterra V., D’Ancona U., Les associations biologiques étudiées
au point de vue mathématique, Hermann, Paris
Matematiche
PREREQUISITI: Conoscenze di base di Analisi Matematica,
Elementari da un Geometria, Algebra, Probabilità, Informatica, Logica Matematica e
Punto di Vista
Didattica della Matematica, affrontate nella laurea triennale e nel
Superiore
primo anno di laurea specialistica.
OBIETTIVI: Mettere a fuoco alcune problematiche fondazionali
relative
alle
principali
aree
matematiche
affrontate
nell'insegnamento secondario superiore e il loro collegamento con
le scelte culturali e pedagogiche che un insegnante deve affrontare
nell'impostazione e nello sviluppo della propria attività didattica.
PROGRAMMA
Nell'ambito del corso verranno analizzati e discussi, con riferimenti
a questioni epistemologiche e storiche, i rapporti tra alcuni settori
della matematica (le strutture numeriche ed algebriche, la
matematizzazione dello spazio, gli algoritmi, l'analisi matematica, il
calcolo delle probabilità) e il problema di come impostarne
l'insegnamento "ai nostri giorni": confronto tra diversi modi di
introdurre e formalizzare i concetti, individuazione di percorsi
didattici "unificanti" o "sinergici", ruolo del computer, rapporti tra
aspetti "sperimentali", "costruttivi" e "deduttivi", rapporti con altre
discipline fortemente matematizzate,
MATERIALI DIDATTICI
Nell'ambito del corso verranno messi in rete appunti, indicazioni
bibliografiche, documentazioni o proposte di attività didattiche,
collegamenti a siti, …, anche in relazione ad alcuni
approfondimenti specifici che verranno sviluppati tenendo conto
degli interessi culturali e didattici (e del curricolo) di chi frequenterà
il corso.
Matematica
Finanziaria
Meccanica e
Termodinamica
Metodi di
Ottimizzazione
Metodi
Geometrici in
Fisica
Matematica
OBIETTIVI: Modelli matematici per la valutazione dei più comuni
casi di flussi finanziari
PREREQUISITI: Funzioni elementari e condizioni di minimo in R.
Operazioni con matrici
PROGRAMMA:
Tassi interesse, rendite ammortamenti. Obbligazioni e ZC.
Valutazione di flussi finanziari, VAN, IRR.
Indici temporali e di variabilità, tassi impliciti, Cenno a futures e
opzioni.
Cenno a teoria dell'utilità e selezione di portafoglio
TESTI CONSIGLIATI:
MORICONI Matematica Finanziaria .
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~sideri/did/mafi/info.html
OBIETTIVI: Comprensione delle leggi fondamentali della
meccanica e della termodinamica. Capacità di risolvere problemi
relativi agli argomenti del corso.
PREREQUISITI: Nozioni trattate nei programmi di scuola
secondaria superiore.
PROGRAMMA:
Nel corso vengono introdotti i principi della meccanica e
termodinamica con particolare attenzione alle loro motivazioni
sperimentali.
Sono
sviluppate
applicazioni
riguardanti
principalmente il moto di punti materiali e le trasformazioni
termodinamiche di fluidi omogenei, mettendo in rilievo l’esistenza e
l’uso delle leggi di conservazione.
TESTI CONSIGLIATI:
Halliday, Resnick, Krane, Fisica 1, Casa Editrice Ambrosiana.
OBIETTIVI: Conoscenza teorica dei metodi di minimizzazione
vincolata e capacità di programmazione e uso.
n
PREREQUISITI: Condizioni di ottimo in R , Algoritmi numerici
fondamentali per l'Algebra Lineare
PROGRAMMA:
n
Ricapitolazione algoritmi di minimizzazione in R . Condizioni di
ottimo vincolato. Cenni a Interior point method per
Programmazione Lineare. Idee base e algoritmi per
n
minimizzazione vincolata in R .
TESTI CONSIGLIATI:
(riferimento) Nocedal J, Wright S J Numerical Optimization
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~sideri/did/mot/info.html
OBIETTIVI: Scopo del corso è offrire una prima introduzione alla
dinamica non lineare. Saranno discussi numerosi esempi e
applicazioni. Il docente intende definire i dettagli del programma di
comune accordo con gli studenti.
PREREQUISITI: Il corso di Geometria Differenziale.
Metodi Numerici
per l’Algebra
Lineare
Metodi Numerici
per PDE
PROGRAMMA:
Cicli limite; teorema di Poincaré-Bendixson. Biforcazione; esempi
(reazioni chimiche oscillanti). Applicazione di Poincaré. Stabilità
strutturale. Attrattori e caos.
TESTI CONSIGLIATI:
S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Addison Wesley,
1994
G. Hirsch, S. Smale, Differential equations, dynamical systems and
linear algebra, Academic Press, 1974
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
www.dima.unige.it/~bartocci/fmnew/progFM3.hmtl
OBIETTIVI: Approfondimento delle conoscenze di algebra lineare
numerica, con particolare riferimento al trattamento numerico delle
matrici di grandi dimensioni. Comprensione dei metodi più
efficienti, sia diretti che iterativi, e loro utilizzo in Matlab.
PREREQUISITI: Elementi di base di algebra lineare. Calcolo
differenziale in più variabili. Generalità sui metodi iterativi stazionari
per sistemi lineari. Teoremi di localizzazione per autovalori.
PROGRAMMA:
Trattamento di matrici di grandi dimensioni: motivazione dedotta
dalla discretizzazione di PDE; matrici sparse, matrici strutturate.
Analisi di matrici sparse mediante grafi e tecniche di permutazione.
La Trasformata Veloce di Fourier (FFT) e le sue applicazioni
all’algebra matriciale. Altre tecniche veloci d’inversione: formula di
Sherman-Morrison, complementi di Schur. Teoria della
convergenza per metodi iterativi stazionari (Jacobi, Gauss-Seidel,
rilassamento, e loro varianti a blocchi) per sistemi lineari. Metodi
non stazionari (gradiente coniugato e sue estensioni) e tecniche di
precondizionamento (cenno a fattorizzazioni incomplete e inverse
approssimate). Applicazioni alla risoluzione di sistemi di equazioni
non lineari e alla minimizzazione di funzioni. Calcolo di autovalori
per matrici sparse: metodo di Lanczos, subspace iteration.
Esercitazioni di laboratorio in linguaggio Matlab.
TESTI CONSIGLIATI:
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l’Algebra
Lineare. Zanichelli, Bologna, 1988.
Altri testi di approfondimento verranno segnalati durante il corso.
OBIETTIVI: Comprensione delle principali problematiche teoriche e
pratiche che si devono affrontare nella soluzione numerica di PDE
che originano da applicazioni reali. Capacità di implementare
direttamente algoritmi di soluzione alle differenze finite in casi
relativamente semplici. Capacità di utilizzare un package a
elementi finiti per implementare la soluzione di casi più complessi.
PREREQUISITI: Fondamenti di analisi funzionale (in particolare,
spazi di Hilbert, operatori, funzionali, teorema di rappresentazione
2
di Riesz, spazio L (Ω); utili, ma non indispensabili, distribuzioni e
spazi di Sobolev).
Il contenuto del corso: “Metodi Analitici e Numerici per Equazioni
Differenziali” (utile, ma non indispensabile, quello di “Metodi
Numerici per l’Algebra Lineare”).
PROGRAMMA
Complementi sulle approssimazioni alle differenze finite di PDE
(sotto forma di esercitazioni di laboratorio). Risultati propedeutici di
analisi funzionale sotto ipotesi sufficientemente deboli per trattare
applicazioni reali (distribuzioni, spazi di Sobolev, tracce ed
estensioni). Formulazione variazionale di problemi al contorno per
PDE ellittiche con coefficienti e dati discontinui e domini irregolari
(bordo Lipschitz-continuo). Lemma di Lax-Milgram.
Buona
posizione del problema differenziale. Approssimazione di Galerkin
agli
elementi
finiti.
Lemma
di
Céa.
Convergenza
dell’approssimazione.
Formulazione
variazionale
e
approssimazione agli elementi finiti di problemi ai valori iniziali e al
contorno per PDE paraboliche ed iperboliche. Approfondimenti
sull’approssimazione di problemi ellittici: controllo adattivo
dell’errore, formulazioni miste, problemi non lineari e problemi agli
autovalori. Esercitazioni di laboratorio sulle approssimazioni agli
elementi finiti utilizzando il PDE Toolbox di MATLAB.
TESTI CONSIGLIATI:
All’inizio del corso verranno consegnate agli studenti le fotocopie
dei lucidi delle lezioni. Testi di approfondimento di argomenti
specifici verranno eventualmente segnalati durante il corso.
Modelli dei
OBIETTIVI: Fornire una conoscenza di base dei principi, dei
Sistemi Continui modelli e delle tecniche utilizzate nelle applicazioni della
e Applicazioni
matematica allo studio del comportamento di sistemi materiali
continui, solidi e fluidi. Nella seconda parte del corso si applicano
le conoscenze acquisite alla modellizzazione dei problemi di
scattering diretto.
PREREQUISITI: Contenuti dei corsi obbligatori della Laurea
triennale in Matematica
PROGRAMMA
Fondamenti di elasticità lineare: cenni storici; richiami sulla
deformazioni; equazioni costitutive, equazioni di bilancio.
Modelli vari: vibrazioni trasversali o longitudinali di una corda,
flusso della pittura lungo una parete verticale; tensione
superficiale; modelli per la diffusione.
Onde sonore nei fluidi perfetti: equazioni acustiche; teorema di
unicità; propagazione 1-dimensionale. Propagazione nello spazio e
soluzione di Poisson; problemi spaziali ai dati iniziali e al contorno;
dipendenza armonica dal tempo.
Equazione di Helmholtz e problemi di scattering diretto:
Ottimizzazione
Probabilità e
Processi
Stocastici
introduzione;
rappresentazione
integrale
del
campo di
scattering;armoniche sferiche; funzioni di Bessel sferiche; proprietà
del campo all'infinito.
TESTI CONSIGLIATI:
Sarà disponibile materiale fornito dal titolare del corso. Su richiesta
saranno indicati testi di approfondimento degli argomenti
presentati.
OBIETTIVI: fare una panoramica su alcuni aspetti del calcolo delle
variazioni, con possibile interesse sia per studi teorici
sull'argomento che per applicazioni
PREREQUISITI: Analisi matematica 1-4, Algebra lineare,
Geometria 1, Istituzioni di Analisi superiore 1
PROGRAMMA:
Problemi di minimo in spazi astratti. Il problema più semplice del
calcolo delle variazioni, l'equazione di Eulero, estremali, la
condizione necessaria di Jacobi. Problemi di controllo ottimo,
formulazioni equivalenti;
esempi: problemi lineari quadratici e problema del minimo tempo; il
principio di massimo di Pontrjagin; un teorema di esistenza di
controllo e stato ottimo.
TESTI CONSIGLIATI:
W.H. Fleming, R.W. Rishel - Deterministic and Stochastic Optimal
Control - Springer 1975
OBIETTIVI: Gli scopi del corso sono: mostrare la trattazione
matematica delle leggi fondamentali del caso ovvero legge dei
grandi numeri e teorema limite centrale, fornire un’introduzione alla
teoria dei processi stocastici (a tempo continuo) iniziando dai
processi di salto e processi di Markov a stati discreti arrivando
eventualmente al moto browniano.
PREREQUISITI: I soli prerequisiti sono: un primo modulo di
probabilità, la teoria della misura. Il primo modulo di probabilità è
necessario per la comprensione delle motivazioni fondamentali per
lo sviluppo di una teoria matematica delle leggi del caso. La teoria
della misura costituisce il linguaggio di base di buona parte della
trattazione matematica del calcolo delle probabilità. La conoscenza
degli elementi di base della teoria della misura trattati abitualmente
in un corso istituzionale di Analisi Matematica è pertanto
indispensabile.
PROGRAMMA:
Richiami di teoria della probabilità. Richiami e complementi di
teoria della misura. Misura prodotto di infinite misure di probabilità.
Variabili aleatorie indipendenti. Convergenza di successioni di
variabili aleatorie. Legge forte (o di Kolmogorov) dei grandi numeri.
Teorema limite centrale (condizioni di Liapounov e Lindeberg).
Processi stocastici, definizioni fondamentali ed esempi a tempo
discreto. Processi di salto a tempo continuo: processi di rinnovo,
processo di Poisson, processi di nascita e morte. Applicazioni.
Moto browniano (omettendo le dimostrazioni relative alla
costruzione) e principali proprietà.
Speranza condizionale. Martingale e prime proprietà. Processi e
semigruppi markoviani.
TESTI CONSIGLIATI:
[1.] F. Fagnola, Processi stocastici.
http://web.mate.polimi.it/viste/studenti/main.php
[2.] S. Karlin, H.M. Taylor, A first course in stochastic processes.
Second edition. Academic Press, New York-London, 1975.
[3.] G. Letta, Probabilità elementare. Zanichelli, 1993.
Processi
OBIETTIVI: Lo scopo del corso è introdurre un modello stocastico
Stocastici
per affrontare e risolvere problematiche collegate allo studio dei
processi.
PREREQUISITI: Argomenti svolti in Algebra, Calcolo delle
Probabilità e Statistica Matematica e Calcolo delle Probabilità 2.
PROGRAMMA:
Catene di Markov a tempo discreto. Applicazioni: Passeggiate
aleatorie, code di attesa. Classificazione di stati. Criteri per la
transienza e la ricorrenza. Probabilità di assorbimento nelle classi
ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi
invarianti. Algoritmo di Metropolis. Cenni sulle catene di Markov a
tempo continuo (processo di Poisson).
TESTI CONSIGLIATI:
P. Baldi, Calcolo delle probabilità e Statistica .
W. Feller, An introduction to Probabilità Theory and its Applications
S. Karlin, H. Taylor, A First Course in Stocastic Process.
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~sasso/PrSt.html
Programmazione OBIETTIVI: Introduzione alla programmazione imperativa "in
piccolo"
PREREQUISITI: nessuno
PROGRAMMA:
Programmazione di base in un linguaggio imperativo (con
riferimento al linguaggio C). Dichiarazioni ed istruzioni base. Tipi
strutturati: array e record. Gestione di input/output da file. Funzioni
e procedure non ricorsive. Struttura dei programmi e scopo delle
dichiarazioni. Programmazione strutturata e modulare. Esempi
notevoli di algoritmi.
Laboratorio: Pratica di programmazione in C (più precisamente: il
sottoinsieme del C++ corrispondente al C).
TESTI CONSIGLIATI:
1. Dispense (coprono il contenuto del corso, ma non costituiscono
un riferimento completo per il C/C++ per il quale è necessario
usare uno dei tanti manuali esistenti ).
2 Ceri, Mandrioli, Sbattella: Informatica arte e mestiere, McGrawHill (include anche vari capitoli di informatica generale)
3 Ceri, Mandrioli, Sbattella: Informatica - programmazione,
McGraw-Hill (sostanzialmente, il libro precedente, ristretto alla
parte di programmazione)
4 Oualline: Practical C++ programming 2nd edition, O'Reilly (in
inglese, un buon testo per la programmazione in C++)
LINK PAGINA WEB DEL CORSO :
http://www.disi.unige.it/person/CostaG/smid_04/
Ricerca
OBIETTIVI: Modelli, idee e algoritmi classici (fondamentali) della
Operativa
Ricerca Operativa
PREREQUISITI: Matrici e loro proprietà . Soluzione numerica di un
sistema lineare
PROGRAMMA: Formulazione di Modelli, Modelli Lineari. Esempi di
modelli lineari
Algoritmo del Simplesso e sue varianti. Dualità e complementarità.
Soluzione di problemi lineari interi.
Problemi su grafi. Cammino minimo, Flussi, Matching, Matching
pesato
Complessità computazionale Problemi NP . Algoritmi euristici.
TESTI CONSIGLIATI: Saranno rese disponibili dispense
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
http://www.dima.unige.it/~sideri/did/romat/info.html
Sistemi Dinamici OBIETTIVI: L’evoluzione di un sistema fisico – sia esso meccanico
e Meccanica
oppure di natura più generale (ad esempio biologico) – può essere
Analitica
descritta, in numerosi esempi di interesse, da un campo vettoriale
definito su uno spazio astratto, detto spazio delle fasi. Adottando
questa prospettiva unificante, il corso si propone un duplice scopo:
da una parte, fornire una prima introduzione ai concetti e ai metodi
della teoria dei sistemi dinamici; dall’altra, esporre i fondamenti
della meccanica lagrangiana e hamiltoniana.
PREREQUISITI: I corsi di analisi, algebra, geometria e fisica del
primo anno e del primo semestre del secondo anno della Laurea in
Matematica.
PROGRAMMA:
Sistemi dinamici e stabilità: richiami sui sistemi di equazioni
diffferenziali del prim'ordine, campi vettoriali e loro curve integrali,
punti di equilibrio e loro classificazione, teorema di Liapunov,
equazione di Lotka-Volterra. Meccanica lagrangiana e
hamiltoniana: equazioni cardinali, sistemi olonomi, equazioni di
Lagrange, geodetiche su superficie, problemi dei due corpi,
equazioni di Hamilton, piccole oscillazioni.
TESTI CONSIGLIATI:
A. Fasano, S. Marmi, Meccanica analitica, Bollati Boringhieri,
Torino 2002
S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Addison Wesley,
Statistica
Descrittiva 2
Statistica
Inferenziale
1994
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:
www.dima.unige.it/~bartocci/newmecc/progsd.html
OBIETTIVI: Fornire i principali metodi di analisi multivariata dei dati
da un punto di vista descrittivo
PREREQUISITI: Algebra lineare
PROGRAMMA:
Cluster analysis. Aggregazione gerarchica secondo la distanza.
Ultrametrica. Aggregazione secondo la varianza (Ward).
Aggregazione non gerarchica. Aggregazione delle variabili.
Analisi in componenti principali. Rappresentazione grafica di dati
quantitativi multivariati e costruzione degli assi principali Fedeltà
della rappresentazione in uno spazio di dimensione minore.
Correlazione fra le variabili e le componenti principali. Grafici delle
osservazioni e delle variabili.
Analisi delle corrispondenze Analisi per tabelle a due vie (profili,
distanza chi-quadro, indici per l'interpretazione delle proiezioni in
spazi di dimensione minore, relazioni semi-baricentriche fra profili
riga e colonna). Analisi delle corrispondenze multiple.
Aspetti geometrici della regressione multipla e multivariata. Metodo
dei minimi quadrati. Interpretazione geometrica dell’indice R-sq.
Esercitazioni al calcolatore con il software Minitab
TESTI CONSIGLIATI:
Rapallo, Rogantin (2004). Statistica multivariata. CLUT Torino
OBIETTIVI: Il corso si pone come obiettivo quello di fornire i
principali concetti e metodologie tipici dell’inferenza statistica, che
permettono di passare da informazioni relative ad un campione a
considerazioni su tutta la popolazione e di valutare in termini
probabilistici gli errori che si commettono nell’effettuare tale
passaggio.
PREREQUISITI:
- Analisi matematica: funzioni di una variabile, calcolo
integrale
- Algebra: elementi di algebra vettoriale e matriciale
- Calcolo delle probabilità: probabilità elementare, variabili
aleatorie discrete e continue, legge dei grandi numeri e
teorema del limite centrale
PROGRAMMA :
Campionamento e stima. Popolazioni, campioni e stimatori.
Proprietà degli stimatori. Alcuni stimatori e loro distribuzioni.
Intervalli di confidenza.
Verifica di ipotesi. Come si effettua un test statistico (ipotesi, errori
di prima e seconda specie, statistiche test, regione critica).. Test
per parametri di v.a. con legge normale, esponenziale, ... Test
per grandi campioni. Test comparativi. Cenno ai test non
parametrici.
Statistiche e test per il modello lineare multiplo. Teorema di
Cochran, intervalli di confidenza per i parametri, i valori stimati e i
residui, residui “studentizzati”, test di ipotesi sui singoli coefficienti
e su un sottoinsieme di coefficienti. Previsione.
Statistiche e test per l'analisi della varianza. A una via, a due vie
senza interazione e con interazione.
TESTI CONSIGLIATI:
- Rogantin M.P. (2004), Introduzione alla statistica, C.L.U.T.,
Torino
- Ross S.M. (2003), Probabilità e statistica per l’ingegneria e le
scienze, Apogeo, Milano
Statistica e
OBIETTIVI: Saper utilizzare i principali metodi di stima e verifica di
Verosimiglianza ipotesi statistiche nell’ambito della statistica matematica e saper
inquadrare i problemi di stima parametrica in un contesto rigoroso
dal punto di vista matematico-probabilistico.
PREREQUISITI: Analisi 1, 2, 3. Calcolo delle Probabilità e
Statistica Matematica, Calcolo delle Probabilità 2.
PROGRAMMA:
Richiami di Calcolo delle Probabilità: le principali variabili aleatorie
discrete e continue. Densità condizionata: caso discreto e caso
continuo. Il concetto di speranza condizionata. Esempi di calcolo.
La verosimiglianza di un campione. Statistiche Sufficienti, minimali
e complete; il teorema di Neyman-Fisher. Stimatori e loro
proprietà; teorema di Rao-Blackwell. Stima di massima
verosimiglianza e sue proprietà. Il modello esponenziale.
Informazione di Fisher e teorema di Cramer-Rao. Il modello di
regressione lineare.
Cenni ad altri metodi di stima: metodo dei momenti, metodo dei
minimi quadrati. Verifica di ipotesi. Il teorema di Neyman-Pearson
per ipotesi semplici. Il test del rapporto di verosimiglianza.
TESTI CONSIGLIATI:
Appunti distribuiti a lezione.
Teoria dei Codici OBIETTIVI: Introduzione alla teoria dei codici autocorrettori
PREREQUISITI: nozioni elementari di algebra lineare e della teoria
dei corpi finiti
PROGRAMMA:
Si introduce la nozione di codice lineare e se ne studiano i caratteri
numerici fondamentali quali la lunghezza, la dimensione e la
distanza. Maggiore enfasi sarà data allo studio dei codici di
Hamming e dei codici ciclici
TESTI CONSIGLIATI:
R. HILL, A FIRST COURSE IN CODING THEORY.
Teoria delle
OBIETTIVI: Introdurre le principali tematiche e i modelli più classici
Decisioni
della teoria delle decisioni.
Mettere in condizione di poter modellizzare un problema di
decisione riconoscendone le principali caratteristiche e sapendone
individuare soluzioni appropriate.
PREREQUISITI: I corsi di matematica di base previsti per una
laurea triennale della classe di matematica..
PROGRAMMA:
Decisioni in condizione di certezza: preferenze e loro
rappresentazione con funzioni di utilità. Decisioni in condizione di
rischio e utilità di von Neumann-Morgenstern.
Decisioni in condizione di incertezza: il modello “state-preferences”
di Savage; probabilità soggettiva.
Decisioni in condizioni di completa incertezza (Wald, Laplace, min
regret ed altri approcci).
Decisioni efficienti: revisione del concetto di massimizzazione;
scalarizzazione e dualità.
Scelte collettive: il teorema di Arrow; la problematica della
implementazione.
Situazioni di decisione interattiva e loro modellizzazione;
rappresentazioni formali e soluzioni; equilibrio e dominanza;
strategie miste.
TESTI CONSIGLIATI:
Sono disponibili appunti che coprono le varie parti del corso.
È indicata, sulla pagina web del corso, una bibliografia per
approfondimenti.
Teoria dei Giochi OBIETTIVI: La Teoria dei Giochi studia situazioni in cui due o più
1
individui razionali prendono decisioni per ottimizzare i propri
obiettivi, pertanto uno degli scopi di questo corso e’ fornire i
concetti di base della teoria e insegnare agli studenti ad analizzare
un problema decisionale
e studiarne le soluzioni. Inoltre avendo questa teoria applicazioni
in campo economico, politico, militare, biologico, industriale e
medico questo costituisce uno stimolo per svolgere un lavoro
multidisciplinare.
PREREQUISITI: sono considerati prerequisiti i corsi di base del
corso di studi in matematica e in particolare l’Analisi Matematica e
la Topologia.
Sarebbe utile che lo studente avesse già seguito un corso di
Istituzioni di Analisi
per la miglior comprensione di alcuni concetti.
PROGRAMMA:
1)Introduzione alla Teoria delle Decisioni
2)Giochi non-cooperativi: gioco in forma strategica e in forma
estesa. Equilibrio di Nash e teorema di esistenza.
3) Applicazioni all’economia: oligopolio di Cournot e di Bertrand
4) Giochi con potenziale esatto e ordinale
5) Dilemma del pescatore e "Tragedy of commons"
6) Strategie evolutivamente stabili (ESS)
7)* Giochi cooperativi:
TU-games, Core stable sets, Shapley value Linear production
games, sequencing games, flow games
*Il punto 7) sarà svolto dal prof. Tijs in lingua inglese.
TESTI CONSIGLIATI:
S.Tijs “ Introduction to Game Theory” Hindustan Book Agency
2003
K. Binmore “Fun and games: a text on Game theory”, Lexington
(Mass),
D.C.Health 1993
G.Costa-P.Mori “ Introduzione alla Teoria dei Giochi” ed.Il Mulino
1994
Teoria dei Giochi OBIETTIVI
2
Comprensione del comportamento strategico di decisori razionali
mediante l’illustrazione dei concetti di gioco in forma strategica,
estesa e caratteristica, e quindi dei vari concetti di soluzione e di
equilibrio per giochi cooperativi, di contrattazione e non
cooperativi.
Fornire elementi specifici di analisi per i giochi considerati offrendo
una trattazione appropriata delle varie forme di informazione,
conoscenza e apprendimento
PREREQUISITI: sono considerati prerequisiti i corsi di base del
corso di studi in matematica .
PROGRAMMA
1) Cooperative games: Bargaining games.
2) NTU games, convex games
3)OR and Game Theory: LP,LCP,ORG's
4)** Stackelberg and Hotelling games, repeated games,
multicriteria potential games and congestion games
5) Bayesian games
6) Auctions
7) Common Knowledge and games
Teoria dei
Numeri
** Le lezioni sono in lingua inglese escluso il punto 4) che sarà
svolto dalla prof. Pusillo.
TESTI CONSIGLIATI:
S.Tijs “ Introduction to Game Theory” Hindustan Book Agency
2003
K. Binmore “Fun and games: a text on Game theory”, Lexington
(Mass), D.C.Health 1993
G.Costa-P.Mori “Introduzione alla Teoria dei Giochi” ed. Il Mulino
1994
OBIETTIVI: L’obiettivo è introdurre alcuni dei concetti fondamentali
della teoria dei numeri ed illustrare le tecniche analitiche di base
per lo studio della distribuzione dei numeri primi.
Topologia
Algebrica 1
PREREQUISITI: Argomenti standard dei primi due anni del corso
di Matematica; nozioni di base dell’analisi complessa.
PROGRAMMA:
L’anello delle funzioni aritmetiche: anello di Dirichlet; funzioni
aritmetiche classiche; identità di Eulero; derivazione.
Comportamento asintotico delle funzioni aritmetiche: il problema
dei divisori e il metodo dell’iperbole; il problema del cerchio e il
metodo dell’area; altri risultati classici.
Metodi elementari per la distribuzione dei numeri primi: il metodo di
Eulero; il crivello di Eratostene-Legendre; i teoremi di Chebyshev;
altri risultati classici; cenni sulla dimostrazione elementare del
teorema dei numeri primi.
La funzione zeta di Riemann e il teorema dei numeri primi: alcuni
strumenti di analisi complessa (serie di Dirichlet, funzione gamma
di Eulero, trasformata di Mellin, formula di Poisson); la funzione
zeta di Riemann, proprietà generali, distribuzione degli zeri e
formule esplicite; il teorema dei numeri primi con resto.
Le funzioni L di Dirichlet: caratteri di Dirichlet; proprietà generali
delle funzioni L di Dirichlet; zeri reali e teorema di Siegel; il
teorema di Siegel-Walfisz.
TESTI CONSIGLIATI: Vengono fornite le note del corso; altri testi
sono:
H.Davenport – Multiplicative Number Theory – Springer Verlag
1980
K.Chandrasekharan – Introduction to Analytic Number Theory –
Springer Verlag 1971
G.Tenenbaum – Introduction to Analytic and Probabilistic Number
Theory – Cambridge U. P. 1990
OBIETTIVI:
La Topologia Algebrica studia problemi topologici riconducendoli a
problemi algebrici. Gli strumenti fondamentali sono le teorie
d'omologia, che associano ad uno spazio una successione di
gruppi abeliani, e la teoria d'omotopia, che associa ad uno spazio
puntato la successione dei gruppi d'omotopia (a partire dal gruppo
fondamentale). Questi gruppi evidenziano la presenza di
"singolarità" nello spazio in questione, e permettono di dimostrare
vari risultati importanti, tra cui il teorema di invarianza della
dimensione topologica.
I metodi utilizzati per la costruzione e lo studio delle teorie
d'omologia formano l'Algebra Omologica e la teoria delle categorie
abeliane.
PREREQUISITI:
Geometria 1 e 2, Algebra 1 e 2.
PROGRAMMA:
Trattamento
Numerico di
Equazioni
Differenziali
Omologia singolare. Cubi, facce e degenerazioni. Il complesso
delle catene cubiche di uno spazio. Omologia singolare (cubica),
primi calcoli. Il teorema di invarianza omotopica.
Calcolo dell'omologia singolare. Sequenze esatte. Il teorema di
suddivisione. La sequenza esatta di Mayer-Vietoris. Calcolo
dell'omologia delle sfere e di varie superfici. Applicazioni.
Omologia singolare relativa e teorie d'omologia. Omologia
singolare relativa. Gli assiomi di Eilenberg-Steenrod.
Prodotti tensori. Moduli, gruppi abeliani e spazi vettoriali. Il funtore
Hom. Prodotti tensori di moduli: definizione, proprietà
fondamentali, calcoli. Cenni ai funtori derivati.
Omologia singolare relativa a coefficienti in un gruppo. Definizione,
proprietà, calcoli.
Coomologia singolare relativa a coefficienti in un gruppo. Cocatene
e coomologia. Gli assiomi di Eilenberg-Steenrod e la sequenza
esatta di Mayer-Vietoris. Calcoli e applicazioni.
TESTI CONSIGLIATI:
J. Vick, Homology Theory, Academic Press 1973.
S. Mac Lane, Homology, Springer 1963.
W. Massey, Singular Homology Theory, Springer 1980.
E. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill 1966.
A. Hatcher, Algebraic Topology, 2002.
www.math.cornell.edu/~hatcher/
Note schematiche:
http://www.dima.unige.it/~grandis/LNc_grandis.html
LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO
http://www.dima.unige.it/~grandis/TA1.05.html
OBIETTIVI:
Analisi comparativa dei metodi numerici maggiormente usati per la
risoluzione di problemi di Cauchy. Comprensione delle principali
problematiche che si devono affrontare nella soluzione di PDE con
metodi alle differenze finite; capacità di implementare i
corrispondenti algoritmi di soluzione in casi relativamente semplici.
PREREQUISITI:
Formula di Taylor (in una e due variabili), integrazione in più
variabili;
teorema
della
divergenza.
Concetto di norma. Soluzione di sistemi algebrici lineari. Metodo di
Eulero per l'approssimazione di problemi di Cauchy.
Classificazione delle equazioni differenziali lineari alle derivate
parziali di secondo ordine ed esempi notevoli. Concetto di curva
caratteristica; metodo di separazione delle variabili. Teoremi di
unicità e principio di massimo per problemi al contorno relativi alle
equazioni di Poisson e del calore; dipendenza continua dai dati.
PROGRAMMA
Equazioni alle differenze: il caso lineare a coefficienti costanti.
Metodi di Runge-Kutta e Multistep per problemi di Cauchy ai valori
iniziali: consistenza, convergenza, stabilità, controllo automatico
del passo. Approssimazioni alle differenze finite di problemi ai
valori iniziali e/o al contorno per PDE ellittiche, paraboliche ed
iperboliche. Metodi espliciti ed impliciti. Consistenza, stabilità,
convergenza. Esercitazioni di laboratorio in Matlab sui metodi
studiati.
TESTI CONSIGLIATI:
J. D. Lambert, Computational Methods in Ordinary Differential
Equations. John Wiley & Sons, London, 1973.
J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential
Equations. Second Edition, SIAM Publications, 2004.
All'inizio dell'ultima parte del corso verranno consegnate agli
studenti le fotocopie dei lucidi delle lezioni. Testi di
approfondimento di argomenti specifici verranno eventualmente
segnalati durante il corso.
