Circuiti con accoppiamento magnetico

Autoinduttanza
i(t)
+
v
Φ
–
dΦ
dΦ di
di
v=N
=N
= L⋅
dt
di dt
dt
L = N dΦ/di è detta autoinduttanza (lega fra loro
tensioni e correnti sulla stessa bobina)
Teoria dei Circuiti
Prof. Luca Perregrini
Condensatori e induttori, pag. 1
Mutua induttanza
i1(t)
+
v1
Φ11
–
Φ12 +
v2
–
Φ1 = Φ11+ Φ12
dΦ1
dΦ1 di1
di1
= N1
= L1 ⋅
v1 = N1
dt
di1 dt
dt
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Condensatori e induttori, pag. 2
Mutua induttanza
i1(t)
+
v1
Φ11
–
Φ12 +
v2
–
dΦ12
dΦ12 di1
di1
= ± N2
= ± M 21 ⋅
v2 = ± N 2
dt
di1 dt
dt
M21 = N2 dΦ12/di1 è detta mutua induttanza
(lega la tensione indotta sulla seconda bobina
alla corrente nella prima bobina)
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Condensatori e induttori, pag. 3
Mutua induttanza
+ Φ21
v1
Φ2 = Φ22+ Φ21 –
+
v2
Φ22
–
i2(t)
dΦ 2
dΦ 2 di2
di2
= N2
= L2 ⋅
v2 = N 2
dt
di2 dt
dt
dΦ 21
dΦ 21 di2
di2
= ± N1
= ± M 12 ⋅
v1 = ± N1
dt
di2 dt
dt
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Condensatori e induttori, pag. 4
Mutua induttanza
Si mostrerà che M12= M21= M
Nonostante la mutua induttanza sia sempre
positiva (M > 0), la tensione indotta Mdi/dt può
risultare positiva o negativa. Il segno dipende dal
senso di avvolgimento dei fili delle due bobine.
Normalmente non è necessario “ispezionare” gli
avvolgimenti poiché i terminali vengono “marcati”
in modo che valga la convenzione dei puntini
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Condensatori e induttori, pag. 5
Convenzione dei puntini
Se la corrente entra dal terminale con il puntino
di una bobina, la direzione di riferimento della
tensione mutuamente indotta nella seconda
bobina ha il segno positivo nel terminale col
puntino della seconda bobina
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Condensatori e induttori, pag. 6
Convenzione dei puntini
i1
i1
Teoria dei Circuiti
M
+
di1
v2 = M
dt
–
M
i1
+
i1
di1
v2 = − M
dt
–
Prof. Luca Perregrini
M
+
di1
v2 = M
dt
–
M
+
di1
v2 = − M
dt
–
Condensatori e induttori, pag. 7
Convenzione dei puntini
i1
i2
M
+
v1 L1
+
L2 v2
–
di1
di2
+M
v1 = L1
dt
dt
Teoria dei Circuiti
–
di2
di1
+M
v2 = L2
dt
dt
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Condensatori e induttori, pag. 8
Collegamento serie concorde
i
+
v = L1
L1
M
L2
v
–
di
di
di
di
di
+ M + L2 + M
= ( L1 + L2 + 2M )
dt
dt
dt
dt
dt
Leq = L1 + L2 + 2M
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Condensatori e induttori, pag. 9
Collegamento serie in opposizione
i
+
v = L1
L1
M
L2
v
–
di
di
di
di
di
− M + L2 − M
= ( L1 + L2 − 2M )
dt
dt
dt
dt
dt
Leq = L1 + L2 − 2 M
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Condensatori e induttori, pag. 10
Energia in un circuito con accoppiamento
i1
Ricordiamo che si ha:
v1 = L1
di1
di
+ M 12 2
dt
dt
v2 = L2
di2
di
+ M 21 1
dt
dt
+
v1 L1
Supponiamo i1(0) = i2(0) = 0 e w1(0) = w2(0) = 0.
In un tempo t1 si fa crescere i1 fino a i1(t1) = I1, con i2 = 0
(di2/dt = 0). Si ha quindi:
t1
I1
0
0
w(t1 ) = ∫ (v1i1 + v2i2 )dt = L1 ∫ i1di1 =
M
–
i2
L2
+
v2
–
1
L1 I12
2
Dall’istante t1 all’istante t2 facciamo crescere i2 fino a i2(t2) = I2,con i1 = I1 (di1/dt = 0).
Si ha quindi:
t2
w(t 2 ) = w(t1 ) + ∫ (v1i1 + v2i2 )dt
t1
I2
I2
1
1
1
2
2
= L1 I1 + M 12 ∫ I1di2 + L2 ∫ i2 di2 = L1 I1 + M 12 I1 I 2 + L2 I 22
0
0
2
2
2
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Condensatori e induttori, pag. 11
Energia in un circuito con accoppiamento
i1
Ricordiamo che si ha:
v1 = L1
di1
di
+ M 12 2
dt
dt
v2 = L2
di2
di
+ M 21 1
dt
dt
+
v1 L1
Supponiamo ancora i1(0) = i2(0) = 0 e w1(0) = w2(0) = 0.
Al contrario di prima, nel tempo t1 si fa crescere i2 fino a
i2(t1) = I2, con i1 = 0 (di1/dt = 0). Si ha quindi:
t1
I2
0
0
w' (t1 ) = ∫ (v1i1 + v2i2 )dt = L2 ∫ i2 di2 =
M
–
i2
L2
+
v2
–
1
L2 I 22
2
Dall’istante t1 all’istante t2 facciamo crescere i1 fino a i1(t2) = I1,con i2 = I2 (di2/dt = 0).
Si ha quindi:
t2
w' (t2 ) = w' (t1 ) + ∫ (v1i1 + v2i2 )dt
t1
I1
I1
1
1
1
2
2
= L2 I 2 + L1 ∫ i1di1 + M 21 ∫ I 2 di1 = L2 I 2 + L1 I12 + M 21 I1 I 2
0
0
2
2
2
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Condensatori e induttori, pag. 12
Energia in un circuito con accoppiamento
i1
Riassumendo si ha:
1
1
w(t 2 ) = L2 I 22 + L1 I12 + M 12 I1 I 2
2
2
1
1
w' (t 2 ) = L2 I 22 + L1 I12 + M 21I1 I 2
2
2
M
+
v1 L1
–
i2
L2
+
v2
–
ma in entrambi i casi siamo partiti dalla stessa condizione iniziale e
arrivati alla stessa condizione finale. Pertanto deve essere:
M 21 = M 12
w(t 2 ) = w' (t 2 )
Teoria dei Circuiti
w=
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1
1
L2 I 22 + L1 I12 + MI1 I 2
2
2
Condensatori e induttori, pag. 13
Energia in un circuito con accoppiamento
Poiché I1 e I2 sono quantità arbitrarie, si può
scrivere:
1 2
1 2
w(t ) = L1i1 (t ) + L2i2 (t ) + Mi1 (t )i2 (t )
2
2
i1
M
+
v1 L1
i2
L2
–
+
v2
–
Se le correnti non entrano o escono entrambe dal terminale con il
puntino si ha:
i1
i2
M
1 2
1 2
w(t ) = L1i1 (t ) + L2i2 (t ) − Mi1 (t )i2 (t )
2
2
+
v1 L1
–
Teoria dei Circuiti
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L2
+
v2
–
Condensatori e induttori, pag. 14
Energia in un circuito con accoppiamento
Poiché il circuito è passivo, l’energia immagazzinata non può
essere negativa. Deve quindi essere verificata la relazione
1 2 1 2
w = L1i1 + L2i2 − Mi1i2 ≥ 0
2
2
Sommando e sottraendo i1i2 L1 L2 si ha:
(
1
i1 L1 − i2 L2
2
) +i i (
2
1 2
)
L1 L2 − M ≥ 0
e quindi deve essere
L1 L2 − M ≥ 0
Teoria dei Circuiti
M ≤ L1 L2
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Condensatori e induttori, pag. 15
Coefficiente di accoppiamento
Si definisce coefficiente di accoppiamento la quantità
k=
M
L1 L2
Il coefficiente di accoppiamento misura
l’accoppiamento magnetico fra le due bobine (0 ≤ k ≤ 1)
k=
Φ12
Φ12
=
Φ1 Φ11 + Φ12
Φ 21
Φ 21
k=
=
Φ 2 Φ 21 + Φ 22
Se k = 1 si parla di accoppiamento perfetto
Se k > 0.5 si parla di accoppiamento stretto
Se k < 0.5 si parla di basso accoppiamento
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Condensatori e induttori, pag. 16
Trasformatori lineari
campo magnetico
traferro
R1
flussi
dispersi
R2
M
L1
L2
k < 1 a causa dei flussi dispersi
N1 spire
N2 spire
Un trasformatore è un quadrupolo costituito da due bobine magneticamente accoppiate. Se le proprietà magnetiche del traferro su cui
sono avvolti i fili sono lineari, il trasformatore si dice lineare.
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Condensatori e induttori, pag. 17
Impedenza riflessa
R1
+
V
I1 jωL1
jωM
R2
jωL2
I2
ZL
Zin –
V = ( R1 + jωL1 )I1 − jωMI 2

0 = − jωMI1 + ( R2 + jωL2 + Z L )I 2
V
ω 2M 2
Z in = = R1 + jωL1 +
I1
R2 + jωL2 + Z L
Impedenza del primario
Impedenza riflessa
L’impedenza riflessa è il carico che viene visto in serie
all’impedenza del primario a causa del mutuo accoppiamento
Teoria dei Circuiti
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Condensatori e induttori, pag. 18
Trasformatori ideali
Un trasformatore è ideale se:
• non ha flussi dispersi ⇒ k = 1
• le auto e mutue induttanze sono molto elevate (L1, L2, M → ∞)
• non vi sono perdite (R1 = R2 = 0)
campo magnetico
traferro
N1
N1 spire
Teoria dei Circuiti
N2
N1
N2
N2 spire
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Condensatori e induttori, pag. 19
Trasformatori ideali
campo magnetico
traferro
+
v1 N1
–
N1 spire
N2
+
v2
–
N2 spire
dΦ 2
v2 = N 2
dt
dΦ1
v1 = N1
dt
Poiché k = 1 si ha Φ1 = Φ2 e quindi
v2 N 2
=
=n
v1 N1
Teoria dei Circuiti
n è detto rapporto di trasformazione
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Condensatori e induttori, pag. 20
Trasformatori ideali
I1
1:n
I2
Passando ai fasori si ha:
+
V1
+
V2
–
–
V2 N 2
=
=n
V1 N1
Per l’ipotesi di assenza di perdite tutta la potenza entrante sul
primario deve essere erogata al carico collegato al secondario:
v1i1 = v2i2
Teoria dei Circuiti
i2 v1 N1 1
= =
=
i1 v2 N 2 n
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I 2 N1 1
=
=
I1 N 2 n
Condensatori e induttori, pag. 21
Trasformatori ideali
I1
1:n
I2
+
V1
+
V2
–
–
V2 N 2
=
=n
V1 N1
I 2 N1 1
=
=
I1 N 2 n
(si noti che I2 è uscente)
Se V2 > V1 (n > 1) si parla di trasformatore elevatore
Se V2 < V1 (n < 1) si parla di trasformatore riduttore
Teoria dei Circuiti
Prof. Luca Perregrini
Condensatori e induttori, pag. 22
Trasformatori ideali
I1
1:n
I2
+
V1
+
V2
–
–
V2 = nV1
I1
I2 =
n
V2
V1 =
n
I 1 = nI 2
Per la potenza complessa si ha:
V2
S1 = V I =
(nI 2 )* = V2 I *2 = S 2
n
*
1 1
e quindi tutta la potenza complessa fornita al primario viene
trasferita al secondario
Teoria dei Circuiti
Prof. Luca Perregrini
Condensatori e induttori, pag. 23
Trasformatori ideali
I1
1:n
I2
+
V1
+
V2
–
–
Zin
ZL
V2 = nV1
I1
I2 =
n
V2
V1 =
n
I 1 = nI 2
L’impedenza vista ai capi dell’avvolgimento primario è:
V1 V2 / n
V2
ZL
Z in =
=
= 2 = 2
I1
nI 2
n I2 n
Teoria dei Circuiti
Prof. Luca Perregrini
Condensatori e induttori, pag. 24
Trasformatore reale
Un modello approssimato del trasformatore reale (ancora
nell’ipotesi di assenza di perdite) è il seguente
1:n
L1
Dove L1 rappresenta l’induttanza del primario
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Prof. Luca Perregrini
Condensatori e induttori, pag. 25