Alcune proposte sul ruolo del calcolo combinatorio nell

ALCUNE PROPOSTE
sul ruolo del calcolo combinatorio
nell’apprendimento della matematica
Aniello (Nello) Buonocore
e
Luigia (Igia) Caputo
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REGISTRI SEMIOTICI
Il concetto di dividere a metà un intero
− Registro semiotico: il linguaggio naturale
□ Rappresentazione semiotica: un mezzo
□ Rappresentazione semiotica: la metà
− Registro semiotico: grafico
□ Rappresentazione semiotica:
|----------•----------|
0
½
1
− Registro semiotico: aritmetico
□ Rappresentazione semiotica: ½ (scrittura frazionaria)
□ Rappresentazione semiotica: 0,5 (scrittura decimale)
□ Rappresentazione semiotica: 5x10-1 (scrittura esponenziale)
Tratto dalla dispensa Didattica della Matematica di Stefania
Pozio.
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REGISTRI SEMIOTICI
Il concetto di dividere a metà un intero
− Il passaggio da una rappresentazione semiotica ad
un’altra dello stesso registro semiotico è una
“trasformazione di trattamento” :
½
Trasformazione di trattamento --->
0,5
− Il passaggio da una rappresentazione semiotica ad
un’altra di un altro registro semiotico è una
“trasformazione di conversione ”:
½ Trasformazione di conversione --->
|---------•----------|
0
½
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REGISTRI SEMIOTICI
CONTRATTO DIDATTICO
L’insieme dei comportamenti dell’insegnante che
sono attesi dall’allievo e l’insieme dei
comportamenti dell’allievo che sono attesi
dall’insegnante.
Ignorare la questione significa mettersi nelle
condizioni di non voler capire quel che accade
attorno a noi nelle ore di matematica.
Permette di interpretare vari fenomeni che
riguardano le prestazioni matematiche degli allievi e,
più in generale, l’apprendimento‐insegnamento della
matematica.
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REGISTRI SEMIOTICI
ESEMPI
− Gli studenti, di fronte all’enunciato di un problema, non
sono abituati a mettere in discussione la validità delle
domande dell’insegnante perché ripongono fiducia in lui e
di conseguenza sono portati a pensare che ogni problema
ha una sua soluzione che si può ricavare proprio
utilizzando i dati del problema stesso.
− Il tentativo disperato, nella risoluzione di un problema, di
ricordare degli schemi risolutivi quando si tratterebbe
invece di ragionare ex novo.
− Il tentativo (assai meno frequente del precedente) di
costruire un ragionamento risolutivo originale laddove
basterebbe applicare una formula opportuna.
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REGISTRI SEMIOTICI
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REGISTRI SEMIOTICI
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REGISTRI SEMIOTICI
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REGISTRI SEMIOTICI
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REGISTRI SEMIOTICI
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
−
Registro semiotico: algebrico
!
=
.
! − !
− Registro semiotico: combinatorio
Il numero delle combinazioni semplici di lunghezza dall’insieme
= 1,2, ⋯ , .
− Registro semiotico: fisico
Il numero delle collocazioni di k particelle indistinguibili in n stati
di energia per i quali vale il principio di esclusione di Pauli.
− Registro semiotico: insiemistico
Il numero dei sottoinsiemi dell’insieme = 1,2, ⋯ , cardinalità .
aventi
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
− Nel triangolo di Tartaglia c’è una condizione al
contorno:
=
.
0
− Il triangolo di Tartaglia è simmetrico rispetto
all’altezza:
=
.
−
− Il triangolo di Tartaglia si può costruire per
ricorrenza:
−1
−1
=
+
−1
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
− Nel triangolo di Tartaglia sussiste la seguente
proprietà:
∀ ∈ ℕ,
+
+ ⋯+
= 2 .
0
1
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
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PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI
Il coefficiente binomiale ( ≤ )
Una dimostrazione per induzione:
− La proprietà è vera per = 2. Infatti = ∅, 1 , 2 , per cui il numero dei
sottoinsiemi di è 4.
− Sia vera la proprietà per = . Dobbiamo dimostrare
che la proprietà è vera per = + 1. L’insieme ha 2 sottoinsiemi (quelli che non contengono + 1)
che provengono da ⊂ . Se a ciascuno di essi
si unisce il singoletto + 1 si ottengono altri 2
sottoinsiemi di (quelli contenenti + 1) e la
dimostrazione è completata.
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CONCLUSIONE
La costruzione dei concetti matematici potrebbe
essere strettamente dipendente dalla capacità:
− di saper usare più registri di rappresentazioni
semiotiche;
− di scegliere i tratti distintivi del concetto da
rappresentare e rappresentarli in un dato registro;
− di trattare tali rappresentazioni all’interno di uno
stesso registro;
− di convertire tali rappresentazioni da un dato
registro ad un altro.
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