ALCUNE PROPOSTE sul ruolo del calcolo combinatorio nell’apprendimento della matematica Aniello (Nello) Buonocore e Luigia (Igia) Caputo Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità Piano Lauree Scientifiche - Napoli REGISTRI SEMIOTICI Il concetto di dividere a metà un intero − Registro semiotico: il linguaggio naturale □ Rappresentazione semiotica: un mezzo □ Rappresentazione semiotica: la metà − Registro semiotico: grafico □ Rappresentazione semiotica: |----------•----------| 0 ½ 1 − Registro semiotico: aritmetico □ Rappresentazione semiotica: ½ (scrittura frazionaria) □ Rappresentazione semiotica: 0,5 (scrittura decimale) □ Rappresentazione semiotica: 5x10-1 (scrittura esponenziale) Tratto dalla dispensa Didattica della Matematica di Stefania Pozio. Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 2 REGISTRI SEMIOTICI Il concetto di dividere a metà un intero − Il passaggio da una rappresentazione semiotica ad un’altra dello stesso registro semiotico è una “trasformazione di trattamento” : ½ Trasformazione di trattamento ---> 0,5 − Il passaggio da una rappresentazione semiotica ad un’altra di un altro registro semiotico è una “trasformazione di conversione ”: ½ Trasformazione di conversione ---> |---------•----------| 0 ½ 1 Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 3 REGISTRI SEMIOTICI CONTRATTO DIDATTICO L’insieme dei comportamenti dell’insegnante che sono attesi dall’allievo e l’insieme dei comportamenti dell’allievo che sono attesi dall’insegnante. Ignorare la questione significa mettersi nelle condizioni di non voler capire quel che accade attorno a noi nelle ore di matematica. Permette di interpretare vari fenomeni che riguardano le prestazioni matematiche degli allievi e, più in generale, l’apprendimento‐insegnamento della matematica. Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 4 REGISTRI SEMIOTICI ESEMPI − Gli studenti, di fronte all’enunciato di un problema, non sono abituati a mettere in discussione la validità delle domande dell’insegnante perché ripongono fiducia in lui e di conseguenza sono portati a pensare che ogni problema ha una sua soluzione che si può ricavare proprio utilizzando i dati del problema stesso. − Il tentativo disperato, nella risoluzione di un problema, di ricordare degli schemi risolutivi quando si tratterebbe invece di ragionare ex novo. − Il tentativo (assai meno frequente del precedente) di costruire un ragionamento risolutivo originale laddove basterebbe applicare una formula opportuna. Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 5 REGISTRI SEMIOTICI Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 6 REGISTRI SEMIOTICI Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 7 REGISTRI SEMIOTICI Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 8 REGISTRI SEMIOTICI Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 9 REGISTRI SEMIOTICI Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 10 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) − Registro semiotico: algebrico ! = . ! − ! − Registro semiotico: combinatorio Il numero delle combinazioni semplici di lunghezza dall’insieme = 1,2, ⋯ , . − Registro semiotico: fisico Il numero delle collocazioni di k particelle indistinguibili in n stati di energia per i quali vale il principio di esclusione di Pauli. − Registro semiotico: insiemistico Il numero dei sottoinsiemi dell’insieme = 1,2, ⋯ , cardinalità . aventi Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 11 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 12 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) − Nel triangolo di Tartaglia c’è una condizione al contorno: = . 0 − Il triangolo di Tartaglia è simmetrico rispetto all’altezza: = . − − Il triangolo di Tartaglia si può costruire per ricorrenza: −1 −1 = + −1 Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 13 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 14 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 15 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) − Nel triangolo di Tartaglia sussiste la seguente proprietà: ∀ ∈ ℕ, + + ⋯+ = 2 . 0 1 Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 16 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 17 PERMUTAZIONI, DISPOSIZIONI, COMBINAZIONI Il coefficiente binomiale ( ≤ ) Una dimostrazione per induzione: − La proprietà è vera per = 2. Infatti = ∅, 1 , 2 , per cui il numero dei sottoinsiemi di è 4. − Sia vera la proprietà per = . Dobbiamo dimostrare che la proprietà è vera per = + 1. L’insieme ha 2 sottoinsiemi (quelli che non contengono + 1) che provengono da ⊂ . Se a ciascuno di essi si unisce il singoletto + 1 si ottengono altri 2 sottoinsiemi di (quelli contenenti + 1) e la dimostrazione è completata. Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 18 CONCLUSIONE La costruzione dei concetti matematici potrebbe essere strettamente dipendente dalla capacità: − di saper usare più registri di rappresentazioni semiotiche; − di scegliere i tratti distintivi del concetto da rappresentare e rappresentarli in un dato registro; − di trattare tali rappresentazioni all’interno di uno stesso registro; − di convertire tali rappresentazioni da un dato registro ad un altro. Laboratorio di Calcolo Combinatorio e Probabilità - Piano Lauree Scientifiche - Napoli 19