Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Una delle richieste fondamentali per i rivelatori è determinare le
traiettorie delle particelle prodotte nell’interazione.
Il tubo proporzionale (o anche il tubo di Iarocci) può fornire una qualche
informazione sulla posizione della particella, ma certamente limitata.
Î fino al 1970 si usavano camere a scintilla, emulsioni nucleari,
camere a bolle …
Nel 1968 Charpak (Nobel nel 1992) dimostrò che le camere
proporzionali funzionano come tanti tubi proporzionali messi vicini l’uno
all’altro.
Rivelatori di Particelle
1
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
La configurazione base di una camera proporzionale è:
Parametri tipici:
L=5mm, d=1÷2 mm
a(filo)~20μm
field lines and equipotentials around anode wires
Il catodo è normalmente a
massa ed i fili anodici sono
a tensione positiva
Rivelatori di Particelle
2
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Il campo elettrico ed il potenziale sono abbastanza complicati, ma ricavabili
dall’elettrostatica.
y
x
d
Una forma approssimata con V(a)=V0 e
L V(L)=0 essendo a il raggio dell’anodo è
data da:
⎫
⎡ ⎛ 2 πx
CV0 ⎧ 2πL
2 πy ⎞ ⎤
V ( x, y ) =
− ln ⎢4⎜ sin
+ sinh
⎟⎥ ⎬
⎨
4πε ⎩ d
d
d
⎠⎦ ⎭
⎣ ⎝
1
2
CV0 ⎛
⎛ 2 πx
2 πx
2 πy ⎞
2 πy ⎞
1
+
⋅
+
E ( x, y ) =
tg
tgh
tg
tgh
⎜
⎟ ⎜
⎟
2εd ⎝
d
d ⎠ ⎝
d
d ⎠
essendo C la capacità per unità di lunghezza anodo-catodo
C=
−1
2
2πε
( )
π L d − ln πa d
Poiché a<<d la capacità è sempre minore della capacità del condensatore piano con la
stessa superficie. Se d=2mm, L=8mm 2a=30μm Î C=3.56 pF/m.
Rivelatori di Particelle
3
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Lungo le linee di simmetria x=0 e y=0 il campo può essere scritto come:
CV0
πy
coth
d
2εd
CV0
πx
E x = E ( x,0 ) =
cot
2εd
d
E y = E (0, y ) =
per y<<d
per y≥d
CV0 1
2πε r
CV0 1
Ey =
2ε d
E ( x, y ) =
r = (x 2 + y 2 )
coth
πy
d
1
2
≈1
Rivelatori di Particelle
4
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Nelle vicinanze dell’anodo il campo E va come 1/r, mentre per y≥d il campo e’
uniforme.
x
y
Catodo
(V=0)
Anodo
Le linee intere indicano le linee di
campo, mentre quelle tratteggiate sono
le superfici equipotenziali.
Catodo
(V=0)
Î la moltiplicazione a valanga avviene esattamente come nel tubo
proporzionale. Poiché per ogni anodo la moltiplicazione avviene nelle
vicinanze dell’anodo stesso Æ sono gli ioni che, spostandosi verso il catodo
sono responsabili del segnale .
Rivelatori di Particelle
5
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Scelta dei parametri geometrici.
Se usiamo una camera proporzionale quale misura di posizione ovviamente più
vicini sono i fili anodici e maggiore sarà la risoluzione spaziale.
σx=d/(12)½
y
L
x
d
risoluzione
C=
2πε
( )
π L d − ln πa d
Capacità per unità di lunghezza
M ≈ keCV0
guadagno
valido per V0 >> del voltaggio di soglia per
creare una valanga VT
Per uno spessore del filo costante, se vogliamo mantenere fisso il guadagno
dobbiamo mantenere costante la carica per unità di lunghezza (CV0), cioè
aumentare V0 se diminuiamo d (e quindi C) Î rischio di cattivo funzionamento
al di sopra di un certo valore.
Rivelatori di Particelle
6
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
L
(mm)
2a
(μm)
1
8
10
20
30
1.94
2.00
2.02
4
10
20
30
3.47
3.63
3.73
d(mm)
2
3
5
3.33
3.47
3.56
4.30
4.55
4.70
5.51
5.92
6.19
5.33
5.71
5.96
6.36
6.91
7.28
7.34
8.10
8.58
Capacità per unità di lunghezza (pF/m) per diverse geometrie di camere proporzionali
piane.
L = Distanza filo anodico catodo; a = raggio del filo anodico; d = distanza fra i fili
anodici
Rivelatori di Particelle
7
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Diminuire la distanza fra i fili aiuta, ma ci sono delle limitazioni meccaniche ed
elettrostatiche. Empiricamente si è verificato che una spaziatura fra i fili anodici di ~ 1mm
è possibile purché le dimensioni della camera siano relativamente piccole.
Scalare tutti i parametri geometrici (cioè lo spessore dei fili, la distanza fra i fili e la
larghezza della gap) non assicurano un buon funzionamento della camera: infatti il
cammino libero medio per avere una ionizzazione rimane invariato, a meno che non si
aumenti la pressione del gas.
Il guadagno varia anche in funzione dello spessore del filo anodico, approssimativamente
secondo la formula:
⎡ kNCV0 a
M = exp ⎢2
2πε
⎢⎣
⎞⎤
⎛ V0
⎜
⋅⎜
− 1⎟⎟⎥
⎠⎥⎦
⎝ VT
Con VT abbiamo indicato il voltaggio di soglia, ovvero il voltaggio al disopra del quale inizia la
moltiplicazione a valanga e con N il numero di molecole del gas per unità di volume.
Sebbene in teoria possiamo ottenere il guadagno che vogliamo con qualunque raggio del
filo anodico la slope che è più pronunciata per grossi diametri rende il funzionamento
della camera più critico (tolleranze).
Diametri di ~10 μm sono il limite pratico, mentre ~20 μm sono il valore più comune.
Rivelatori di Particelle
8
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
In conclusione estrema attenzione deve essere posta nella costruzione della
camera se non si vogliono instabilità e perdite di guadagno.
2πε
CV
Infatti se M è il guadagno della camera si ha dalla M ≈ ke 0 e C =
π L d − ln πa d
ΔM
ΔQ
( )
M
Ma :
≈ ln M ⋅
Q
ΔQ CL ΔL
≈
⋅
Q
2εd L
ΔQ
C Δa
≈
⋅
Q
2πε a
ΔM
ΔL
≈ 12
M
L
Dove:
L = distanza filo anodico dal catodo=8mm
d = distanza fra i fili=2mm
a = raggio del filo= 10 μm
C = capacità per unità di lunghezza = 3.47 pF/m
Q = carica per unità di lunghezza
M = 106
Δa
ΔM
≈3
M
a
Rivelatori di Particelle
9
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Esempio.
Supponiamo che la distanza L anodo-catodo sia di 8mm e ci sia un errore di
posizionamento del filo di 0.1 mm.
Se M è il guadagno del filo (tipicamente 106)
Î
ΔM/M~12ΔL/L=12x0.1/8~ 15%
Fili di 2a=20μm hanno una tolleranza tipica dell’ 1%
Î
ΔM/M~3Δa/a~3%
Se la camera deve essere usata per una misura di energia bisogna essere
estremamente attenti alle possibili variazioni di guadagno ( e di carica).
Bisogna tenere conto delle variazioni di guadagno (dovute a errati posizionamenti dei fili)
nell’elettronica di lettura (amplificatori).
Rivelatori di Particelle
10
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Forze gravitazionali ed elettrostatiche.
Abbiamo visto più sottile il filo anodico più stabile il guadagno.
Ma, attenzione, se il filo è troppo sottile, per via delle forze gravitazionali ed elettrostatiche si
può rompere.
L’effetto combinato delle forze gravitazionali, elettrostatiche e della forza di richiamo elastica
del filo genera una deformazione elastica del filo.
Se T è la tensione del filo (anodo lungo P e distante L dal
catodo
catodo) la forza di richiamo per unità di lunghezza del filo
x
nella direzione ┴ al filo (x) (x(y) è lo spostamento
y
anodo
dall’equilibrio e y è la coordinata lungo il filo) è
R=T(d2x/dy2).
catodo
La forza gravitazionale (per unità di lunghezza) che agisce sul filo è F=gρσ con ρ densità del
filo e σ sezione trasversa. La forza elettrostatica è F=λE essendo λ la carica per unità di
lunghezza ed E il campo elettrico che agisce sul filo (campo generato dagli altri elettrodi).
Se il filo è in una posizione di equilibrio elettrostatico, un piccolo spostamento da tale
posizione genera una forza che agisce sul filo F=(V2/2)(dC/dx) con V = potenziale del filo e
dC/dx = variazione della capacità per unità di lunghezza dovuta allo spostamento. Si può
mostrare che
1
V2
4πε
F≅
x = kx
2
L
2
[L ln( a )]
Rivelatori di Particelle
11
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Forze gravitazionali ed elettrostatiche.
Considerando tutte le forze alle quali il filo è sottoposto si ricava la seguente
equazione per la condizione di equilibrio del filo:
1
d 2x V 2
4πε
T 2+
2
dy
L ln L
[ ( a )]
2
d 2x
x + ρgσ = T 2 + kx + ρgσ = 0
dy
con a = raggio del filo e L = distanza dagli altri elettrodi.
Se assumiamo che il filo sia stato incollato sui supporti nella sua posizione ideale,
le condizioni al contorno di questa equazione sono x(0)=x(P)=0, essendo P la
lunghezza del filo.
Rivelatori di Particelle
12
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Forza gravitazionale.
Se vogliamo studiare solo l’effetto gravitazionale basta porre k=0. L’equazione
diventa: T(d2x/dy2) = -ρgσ
x( y ) =
Î
1 ρgσ
⋅
⋅ yP − y 2
2 T
(
)
P 2 gρσ
s g = x( ) =
8T
P
2
sg
La sagitta è dunque proporzionale all’inverso della tensione. La tensione non
può essere aumentata arbitrariamente onde evitare rotture o deformazioni
anelastiche.
La tensione massima Tc che può essere applicata ad un filo è proporzionale alla
sua sezione.
Î la sagitta minima di un filo di data lunghezza è dunque indipendente dalla
sezione del filo.
Rivelatori di Particelle
13
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Tabella: tensione massima e sagitta per fili lunghi 1m
Materiale
Tc/σ (Kg/mm2) sagitta (μm)
filo lungo 1 m
Al
4… 16
21…84
Cu
21… 37
30…35
Fe
18… 25
39…54
W
180…410
6…13
Rivelatori di Particelle
14
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Effetto delle forze elettrostatiche.
L’ ultimo termine dell’equazione:
d 2x
T 2 + kx + ρgσ = 0
dy
puo’ essere modificato usando l’espressione:
2
P
gρσ
s g = x( P2 ) =
8T
ovvero:
8s g T
d 2x
T 2 + kx + 2 = 0
dy
P
Rivelatori di Particelle
15
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Effetto delle forze elettrostatiche.
La soluzione dell’equazione nel caso di forze elettrostatiche e gravitazionali è:
(
)
⎞
⎛
8s g T ⎜ cos k T ⋅ y − P 2
⎟
x( y ) = 2 ⎜
− 1⎟
P k ⎜ cos k ⋅ P
⎟
T
2
⎠
⎝
( )
e la sagitta del filo sotto l’effetto combinato delle forze gravitazionali ed
elettrostatiche diventa:
⎛
⎞
8s g T ⎜
⎟
⎞
1
2 ⎛ 1
P
= 2 ⎜
− 1⎟ = s g 2 ⎜⎜
− 1⎟⎟ ;
x
2
q ⎝ cos q ⎠
P k ⎜ cos k ⋅ P
⎟
T 2 ⎠
⎝
( )
Rivelatori di Particelle
q=
P 2k
4T
16
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
5
2
q2
Le forze elettrostatiche amplificano la
sagitta gravitazionale. Il fattore di
amplificazione diverge per qÆ π/2 e la
posizione del filo non è più stabile.
⎛ 1
⎞
⎜⎜
− 1 ⎟⎟
⎝ cos q
⎠
3
La condizione di stabilità si ha per:
1
q = 4πε ⋅
L ln L
2
1
0.5
1
(
)
a
2
V 2 P2
⋅
⋅
≤1
2T 4
1.5 q2
Siccome T non può superare la tensione critica Tc per ottenere stabilità bisogna
fare un compromesso fra la lunghezza del filo ed il guadagno .
Rivelatori di Particelle
17
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
È interessante risolvere l’equazione di stabilità ignorando il termine
gravitazionale ed usando come condizioni al contorno x(0)=0 e x(P)=δ.
Ovvero caso di un errore di posizionamento del filo.
la soluzione è:
x( y ) = δ ⋅
sin k
sin k
T
T
⋅y
⋅P
Î δ è amplificato dalle forze elettrostatiche ed abbiamo una condizione
di instabilità per q=π/2.
Anche il piano catodico può presentare una sagitta a causa delle forze
elettrostatiche Î variazione di guadagno.
Rivelatori di Particelle
18
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Teorema di Ramo e segnale sugli anodi vicini.
Una camera proporzionale è costituita da tanti anodi vicini e non schermati Î sono
accoppiati capacitivamente.
Ci si attende quindi che il segnale (negativo) dovuto al moto degli ioni sia diffuso su
tutti gli anodi vicini a quello interessato Î sembra impossibile una misura di
posizione. Ma …. Teorema di Ramo
La corrente Ii che scorre in un particolare elettrodo i sotto l’influenza di una carica q
che si muove ad x1 con una velocità v può essere calcolata dalla:
r r
v ⋅ Ei ( x1 )
I i = −q ⋅
Vi
dove Ei è il campo creato mettendo l’elettrodo i alla tensione Vi ed a massa tutti gli
altri in assenza della carica q.
Rivelatori di Particelle
19
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Per il teorema di Ramo Ei ha direzione opposta per gli anodi vicini
rispetto a quello considerato Î il segnale sugli anodi vicini è positivo e,
in gran parte, compensa il segnale negativo dovuto all’accoppiamento
capacitivo.
Il segnale sugli anodi vicini è piccolo e di segno opposto
Rivelatori di Particelle
20
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Risoluzione in posizione.
Le camere proporzionali sono generalmente usate per misure di
posizione. Essendo proporzionali in linea di principio è possibile anche
una misura di dE/dx, ma…. code alla Landau.
La risoluzione in posizione è data da:
σ=d/(12)1/2
essendo d la distanza fra gli anodi.
Per d di 1÷2 mm la risoluzione è 300÷600 μm quindi piuttosto limitata.
Rivelatori di Particelle
21
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Lettura della seconda coordinata.
Più di un piano anodico. Segnali spuri. Se
solo 2 piani limitata a basse molteplicità.
Meglio piani stereo (x,u,v) per eliminare i
segnali spuri.
Divisione di carica Fili resistivi (Carbon,2kΩ/m).
y
track
QB
QA
y
QB
=
P QA + QB
⎛ y⎞
⎝P⎠
σ ⎜ ⎟ up to 0.4%
P
Rivelatori di Particelle
22
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Linee di ritardo (DELPHI Outer detector, OPAL vertex detector).
Delle linee di ritardo esterne sono accoppiate capacitivamente al catodo o
anodo della camera Î si induce un segnale su di esse e si misura una
differenza di tempo.
Rivelatori di Particelle
23
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Strip Catodiche
Divido il catodo in strisce sottili (ortogonali) al filo. La presenza di una carica q
vicinissima ad un certo anodo induce una distribuzione di carica σ sul catodo. (Si
calcola col metodo delle cariche immagine –q simmetrica a q, creo un dipolo e ricavo
σ integrando). Si può calcolare che:
σ (y) =
−q
πy
sec h
4L
2L
essendo y la distanza lungo l’anodo, catodo ortogonale all’anodo ed L separazione
anodo-catodo.
Se il catodo è diviso in strisce si calcola y dal centro di gravità.
y=
∑q y
∑q
i
i
i
Rivelatori di Particelle
24
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
1 piano di fili
+ 2 piani catodici
segmentati
Analog readout of
cathode planes.
→ σ ≈ 100 μm
Rivelatori di Particelle
25
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Clusters.
Più di un filo può essere colpito perché:
i.
la traccia può attraversare la camera ad un angolo
ii.
la presenza di raggi δ energetici può confondere la situazione.
d
L
Siccome la distanza delle coppie
elettroni-ioni dagli anodi è diversa i
segnali sui fili colpiti saranno
distanziati in tempo a seconda del
tempo di deriva degli elettroni.
Il segnale che vogliamo tenere è
quello che arriva prima.
Rivelatori di Particelle
26
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Per abolire i segnali ritardati in modo da limitarci a segnali
da solo 1 o 2 fili (dipende dall’angolo della traccia e dalla
sua posizione) si può:
Aggiustare il gate dell’elettronica di lettura in modo da tenere
solo i segnali più rapidi. (In una camera tipica con L=8mm e
d=2mm il tempo minimo del gate che permette di mantenere
una buona efficienza della camera è ~30ns.)
Aggiungere dei gas elettronegativi. Elettroni prodotti più lontani
vengono mangiati più facilmente Î non arrivano abbastanza
vicino all’anodo per produrre una moltiplicazione a valanga Î
si limita il numero dei fili colpiti.
Rivelatori di Particelle
27
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Efficienza delle MWPC.
L’efficienza intrinseca di una MWPC dipende dal numero delle coppie
ione-elettrone prodotte e raccolte. Î dipende dal dE/dx del gas, dalla
larghezza della gap L, dalla pressione del gas, dalla quantità di atomi
elettronegativi, dall’alta tensione applicata, dalla soglia del
discriminatore, dalla larghezza del gate, da quanto si differenzia il
segnale ….
Nell’ipotesi che la camera sia stata progettata correttamente per quanto
riguarda la scelta del gas e la larghezza della gap ciò che mi determina
l’efficienza è l’alta tensione e l’elettronica di front-end (amplificatore e
discriminatore).
Tipicamente le camere hanno un’efficienza ~ 99%, con la giusta alta
tensione (in plateau) e una soglia non troppo alta.
Rivelatori di Particelle
28
Lezione 13
Camere proporzionali (MWPC)
Plateau di alta tensione.
L’alta tensione si determina facendo una curva di efficienza.
Scintillatore 1
trigger
camera
tripla
Scintillatore 2
Tripla
trigger
100%
L’alta tensione si mette 100 o 200V
al di sopra del ginocchio.
4500
V
La soglia del discriminatore deve
essere abbastanza bassa in modo
da non tagliare i segnali, ma non
troppo per ridurre il rumore.
Rivelatori di Particelle
29
Lezione 13
Regime saturato
Regione di amplificazione saturata.
Se si aggiungono piccole quantità di elementi elettronegativi quali freon (CF3Br)
si possono raggiungere guadagni fino a 107 prima della scarica.(Salendo un po’
con la tensione).
Questo comportamento fu osservato per la prima volta da Charpak e
collaboratori utilizzando il cosiddetto gas magico argon-isobutano-freon nelle
proporzioni 70:29.6:0.4.
Il vantaggio di operare le camere in regime saturato consiste nella
semplificazione dell’elettronica di lettura in quanto abbiamo un segnale più alto
ed un range dinamico più basso Æ ad esempio spesso non serve un
amplificatore.
D’altra parte in regime saturato si perde la proporzionalità con la carica
rilasciata e quindi la possibilità di una misura di dE/dx.
Î
Camere operate in regime saturato sono utilizzate solo per misure di posizione.
Rivelatori di Particelle
30
Lezione 13
Alcune Derivate dalle MWPC
Camere a valanga multiple (PPAC)
Conversione
Griglie
{
E basso G=1
Amplif. 1
E alto G=103
Trasferimento
E basso G=1
Amplif. 2
E alto G=103
G(totale)~106
Moltiplicazione via effetto Penning (A*BÆAB+e- e campo non troppo alto).
Possibili applicazioni: raccolta del singolo foto-elettrone.
Rivelatori di Particelle
31
Lezione 13
Alcune Derivate dalle MWPC
Thin gap chambers (TGC)
cathode pads
ground plane
graphite
3.2 mm
G10 (support)
50 μm
4kV
2 mm
Gas:
CO2/n-pentane
(≈ 50/50)
Funziona in regime saturato. L’ampiezza del segnale è limitata dalla resistività della
grafite. (vedi il segnale indotto) (≈ 40KΩ/□). Notiamo che la resistenza di un quadrato di
grafite non dipende dall’area del quadrato.
Molto veloce (tempo di salita ~ 2ns); segnali ampi (G~106)
Application: OPAL pole tip hadron calorimeter.
G. Mikenberg, NIM A 265 (1988) 223
ATLAS muon endcap trigger, Y.Arai et al. NIM A 367 (1995) 398
Rivelatori di Particelle
32
Lezione 13
Alcune Derivate dalle MWPC
Senza fili !
Resistive plate chambers (RPC)
10 kV
2 mm
spacer
bakelite
(melamine
phenolic laminate)
pickup strips
Gas: C2F4H2, (C2F5H) + few % isobutane
(ATLAS, A. Di Ciaccio, NIM A 384 (1996) 222)
Dispersione temporale ≈ 1..2 ns → adatta per trigger
Rate capability ≈ 1 kHz / cm2
Rivelatori di Particelle
33
Lezione 13
Alcune Derivate dalle MWPC
Resistive plate chambers (RPC) a molte gap.
15 kV
Double and
multigap
geometries →
improve timing
and efficiency
Problem: Operation close to streamer mode.
Rivelatori di Particelle
34
