Appunti di Geometria - 1

Appunti di Geometria - 1
Samuele Mongodi - [email protected]
1
Spazi vettoriali
Richiami Uno spazio vettoriale sul campo K è un insieme V , su cui abbiamo
definito una somma
+:V ×V →V
tale che
1. v + w = w + v per ogni due elementi v, w ∈ V (commutatività)
2. v + (w + u) = (v + w) + u per ogni tre elementi u, v, w ∈ V (associatività)
3. esiste un elemento 0 ∈ V tale che 0 + v = v(elemento neutro)
4. fissato v ∈ V , esiste un elemento −v ∈ V tale che v + (−v) = 0 (inverso)
e su cui ho definito un prodotto per scalari
·:K×V →V
tale che
1. λ · (µ · v) = (λµ) · v per ogni v ∈ V e per ogni λ, µ ∈ K (associatività)
2. 0 · v = 0
3. 1 · v = v
4. λ · (v + w) = λ · v + µ · w (distributività)
Esempio L’insieme Rn di n−uple di numeri reali è un R−spazio vettoriale,
definendo
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn )
e
k · (a1 , . . . , an ) = (ka1 , . . . , kan )
Esempio L’insieme R[x] dei polinomi a coefficienti reali nella variabile x è
uno spazio vettoriale su R, infatti posso definire la somma di due polinomi e la
moltiplicazione di un polinomio per un numero reale.
Esercizio 1 Verificare che l’insieme
Rd [x] = {polinomi a coefficienti reali di grado al più d}
1
è uno spazio vettoriale su R.
Esercizio 2 Verificare che l’insieme R[x, y] dei polinomi a coefficienti reali in
DUE variabili è uno spazio vettoriale su R.
Esercizio 3 Verificare che l’insieme
C 0 (R) = {f : R → R | f è continua}
delle funzioni continue da R in R è uno spazio vettoriale su R.
Esercizio 4 Verificare che l’insieme
RN = {(a0 , a1 , a2 , . . . , an , . . .) | ai ∈ R ∀ i ∈ N}
delle successioni (anche infinite) di numeri reali è uno spazio vettoriale su R.
2
Basi
Richiami Un insieme di vettori v1 , . . . , vm in uno spazio vettoriale V sul campo
K si dice libero (o i vettori si dicono linearmente indipendenti ) se l’equazione
vettoriale
λ1 v1 + . . . + λm vm = 0
ha come unica soluzione in K λ1 = . . . = λn = 0.
Un insieme di vettori v1 , . . . , vm si dice insieme di generatori se
Span(v1 , . . . , vm ) = V
ovvero se l’insieme delle combinazioni lineari finite
{µ1 v1 + . . . + µn vn | µi ∈ K i = 1, . . . , m}
è tutto l’insieme V .
Un insieme di vettori v1 , . . . , vm si dice base di V se è un insieme di generatori
composto da vettori linearmente indipendenti.
La dimensione di uno spazio vettoriale V è il numero di vettori che compongono una base.
Esempio L’insieme
{(1, 0), (0, 1)}
è una base di R2 ; infatti
λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1) = (0, 0)
ha come unica soluzione λ1 = λ2 = 0 (e quindi i vettori sono indipendenti) ed
inoltre, ogni vettore (a, b) si scrive come a(1, 0) + b(0, 1).
Esempio L’insieme
{(1, 1), (1, −2)} = {f1 , f2 }
è un sistema libero in R2 in quanto
λ1 f1 + λ2 f2 = 0
2
è equivalente a
λ1 + λ2
λ1 − 2λ2
= 0
= 0
che ha come unica soluzione λ1 = λ2 = 0. Inoltre, visto che è composto da 2
vettori e sappiamo già che R2 ha dimensione 2.
Esempio L’insieme
{1, x, x2 , . . . , xn }
è un sistema libero in R[x], per ogni n; infatti, per il principio di identità dei
polinomi, se
a0 · 1 + a1 · x + . . . + an · xn = 0
allora
a0 = . . . = an = 0
Del resto, non è mai una base (infatti il polinomio xn+1 non si scrive come
somma di multipli reali di potenze più piccole); quindi diciamo che R[x] ha
dimensione infinita.
Osservazioni Se uno spazio vettoriale V ha una base formata da n elementi, allora tutte le basi sono formate da n elementi. Inoltre un sistema
libero di n vettori (ovvero un insieme di n vettori linearmente indipendenti)
è automaticamente una base.
Inoltre, avendo fissato una base {e1 , . . . , en } di V , ogni altro insieme di n
vettori {f1 , . . . , fn } è una base se e solo se la matrice delle loro coordinate
rispetto a {e1 , . . . , en } ha determinante non nullo; in pratica, se
f1
f2
..
.
fn
=
=
=
=
a11 e1 + . . . + a1n en
a21 e1 + . . . + a2n en
..
.
an1 e1 + . . . + ann en
allora dobbiamo verificare che

a11
 ..
det  .
an1
...
..
.
...

a1n
..  =
. 6 0
ann
Esempio Consideriamo R3 con la base standard; i vettori
f1 = e 1 + e 2
f2 = e 2 + e 3
f3 = e3 + e1
sono una base, infatti sono 3 e la matrice


1 1 0
 0 1 1 
1 0 1
ha determinante 2.
Esempio Del resto, in R4 con la base standard, i vettori
f1 = e 1 + e 2
f2 = e2 + e3
f3 = e 3 + e 4
3
f4 = e 4 + e 1
non sono una base, infatti

1
 0
det 
 0
1
1
1
0
0
0
1
1
0

0
0 
=0
1 
1
Più esplicitamente, si può verificare che
f4 = f1 − f2 + f3
e dunque
Span{f1 , f2 , f3 , f4 } = Span{f1 , f2 , f3 }
Esercizio 5 Verificare che l’insieme
{1, x, . . . , xd }
è una base per Rd [x].
Esercizio 6 Verificare che i vettori
f1 = e 1 − e 2
f2 = e1 + e3
f3 = e2 + e3
sono linearmente dipendenti.
Esercizio 7 Scrivere un insieme di n vettori indipendenti in R[x, y] per ogni n;
scrivere una base per quello spazio.
Esercizio 8 Dire se
v1 = 5e1 + 3e2 + e3
v2 = 4e1 + 2e2
v3 = 3e1 + e2 − e3
è una base di R3 .
Esercizio 9 Dire se
v1 = e 1
v2 = e 1 + e 2 + e 3
v3 = e2 − e3
v4 = e 4 + e 5
v5 = e 4 − e 5
è una base di R5 .
Esercizio 10 Dimostrare che l’insieme infinito
e1 = (1, 0, 0, . . .)
e2 = (0, 1, 0, . . .)
...
en = tutti zeri e un uno in posizione n-esima
...
è un insieme di vettori linearmente indipendenti in RN , ma non è una base.
4
3
Cambi di base
Richiami Fissare una base {v1 , . . . , vk } di uno spazio vettoriale V sul campo
K equivale a scegliere un isomorfismo tra V e Kk , che associa ad ogni vettore le
sue coordinate nella base scelta. Scegliendo due diverse basi V = {v1 , . . . , vn }
e W = {w1 , . . . , wn }, abbiamo due diversi isomorfismi di V con Kn ; è naturale
chiedersi come fare a trasformare le coordinate di un vettore rispetto alla prima
base nelle coordinate rispetto alla seconda e vicevera. Tale trasformazione sarà
una applcazione lineare e quindi sarà espressa come una matrice
A : Kn → Kn
Ora, supponiamo di sapere che
w1 = a11 v1 + . . . + a1n vn
w2 = a21 v1 + . . . + a2n vn
...
wn = an1 v1 + . . . + ann vn
ovvero che, nella base V, i vettori della base W si scrivono come






an1
a21
a11
 an2 
 a22 
 a12 






·
·
·
 .. 


.
 ... 
 . 
 .. 
a1n
ann
a2n
Allora la matrice che porta le coordinate rispetto a W nelle coordinate rispetto
a V è quella che ha come colonne le coordinate dei vettori della base W rispetto
alla base V, ovvero è


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A= .
..
..
.. 
 ..
.
.
. 
an1
an2
···
ann
Mentre la matrice che porta le coordinate rispetto a V nelle coordinate rispetto
a W è A−1 , che ha come colonne le coordinate dei vettori di V rispetto a W.
Esempio Consideriamo lo spazio vettoriale R4 con la base canonica
e1 = (1, 0, 0, 0) e2 = (0, 1, 0, 0)
e3 = (0, 0, 1, 0)
e4 = (0, 0, 0, 1)
e siano
f1 = e1 + e2 + e3
f2 = e2 + e3 + e4
f3 = e1 + e3 + e4
f4 = e1 + e2 + e4
Tale insieme è una base, in quanto è fatto di 4 vettori (e sappiamo che R4 ha
basi di 4 elementi) che sono linearmente indipendenti, infatti, esprimendo le
coordinate di f1 , f2 , f3 , f4 nella base canonica {e1 , e2 , e3 , e4 }, si trova






 
1
0
1
1
 1 
 1 
 0 
 1 





 
f1 = 
 1  f2 =  1  f3 =  1  f4 =  0 
0
1
1
1
5
e la matrice

1
 1
A=
 1
0
0
1
1
1
1
0
1
1

1
1 

0 
1
ha determinante 3. Inoltre, A è la matrice che trasforma le coordinate di un
vettore rispetto alla base F = {f1 , f2 , f3 , f4 } nelle coordinate rispetto alla base
E = {e1 , e2 , e3 , e4 }; ovvero, il vettore v = f1 + f2 + f3 + f4 (che ha coordinate
(1, 1, 1, 1) nella base F) ha coordinate
    
  
3
1
1 0 1 1
1
 1   1 1 0 1   1   3 
    
 
A·
 1 = 1 1 1 0 · 1 = 3 
3
1
0 1 1 1
1
ovvero f1 + f2 + f3 + f4 = 3e1 + 3e2 + 3e3 + 3e4 .
Inoltre, l’inversa di A è

1/3 −2/3 1/3
 1/3
1/3 −2/3
−1
A =
 1/3
1/3
1/3
−2/3 1/3
1/3

1/3
1/3 

−2/3 
1/3
e, come ovvio, le colonne sono le coordinate dei vettori di E nella base F, ovvero
considerando la prima colonna, come esempio, si ha
e1 =
1
1
1
2
f1 + f2 + f3 − f4
3
3
3
3
e, sostituendo ai vettori fi le loro espressioni in funzione dei vettori ei si può
verificare che tale uguaglianza è vera.
Esempio Consideriamo lo spazio vettoriale R3 munito della base canonica
{e1 , e2 , e3 }; i vettori




 
−1
1
1
u =  1  v =  −1  w =  −1 
1
−1
1
sono una base, in quanto

1
B= 1
1
1
−1
−1

−1
−1 
1
ha determinante −4. Consideriamo l’applicazione lineare L : R3 → R3 tale che
L(u) = v
L(v) = w
L(w) = u
Tale applicazione esiste ed è unica, in quanto abbiamo assegnato i suoi valori su
una base. Ora, la matrice associata ad L tra la base {u, v, w} e se stessa è


0 0 1
A1 =  1 0 0 
0 1 0
6
Ovvero, se abbiamo il vettore λ1 u + λ2 vλ3 w, la sua immagine tramite L è
µ1 u + µ2 v + µ3 w, dove i numeri µ1 , µ2 , µ3 sono dati da

 

λ1
µ1
A1  λ2  =  µ2 
λ3
µ3
Invece, la matrice associata a L dalla base {e1 , e2 , e3 } in sè è
A2 = BA1 B −1
infatti, B −1 prende le coordinate di un vettore nella base canonica e le trasforma
nelle coordinate dello stesso vettore nella base {u, v, w}, A1 porta le coordinate
di un vettore nella base {u, v, w} nelle coordinate della sua immagine tramite L
nella base {u, v, w}, infine B riporta le coordinate dalla base {u, v, w} in quella
canonica. Esplicitamente,


1/2
0
1/2
B −1 =  1/2 −1/2 0 
0 −1/2 1/2




1 1 −1
0 0 1
1/2
0
1/2
A2 =  1 −1 −1   1 0 0   1/2 −1/2 0  =
1 −1 1
0 1 0
0 −1/2 1/2


 

1 −1 1
1/2
0
1/2
0
0 1
=  −1 −1 1   1/2 −1/2 0  =  −1 0 0 
−1 1 1
0 −1/2 1/2
0 −1 0
Esercizio 11 Calcolare la matrice di cambio di base dalla base {e1 , e2 , e3 } alla
base {f1 , f2 , f3 } data nell’esercizio 6.
Esercizio 12 Calcolare la matrice di cambio di base dalla base canonica
{e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } alla base {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } data nell’esercizio 9.
Esercizio 13 Sia L : R3 → R3 l’applicazione lineare tale che
L(f1 ) = f2 + f3
L(f2 ) = f1 + f3
L(f3 ) = f1 + f2
dove f1 , f2 , f3 sono dati dall’esercizio 6. Determinare la matrice associata a L
dalla base {f1 , f2 , f3 } in sè e la matrice associata a L dalla base {e1 , e2 , e3 } in
sè.
Esercizio 14 Sia R : R3 → R3 la riflessione nel piano V = Span{v1 , v2 } con
v1 = (1, 0, 2) e v2 = (0, 1, 5). Determinare un vettore w ortogonale a V e
dimostrare che
R(v1 ) = v1
R(v2 ) = v2
R(w) = −w
Scrivere quindi la matrice di R nella base {v1 , v2 , w} (in partenza e in arrivo) e
ottenere poi la matrice di R rispetto alla base standard di R3 .
Esercizio 15 Sia R3 [x, y] l’insieme dei polinomi omogenei di grado 3 (ovvero
formati solo da monomi di grado totale 3) in due variabili a coefficienti reali.
Verificare che l’insieme
{x3 − xy 2 , x3 + xy 2 , y 3 + yx2 , y 3 − yx2 }
7
è una base. Sia poi
T (p(x, y)) = x
∂p(x, y)
∂p(x, y)
+y
∂x
∂y
Verificare che T è un operatore lineare e scriverne la matrice associata rispetto
alla base prima definita in partenza e in arrivo.
Esercizio 16 Consideriamo lo spazio vettoriale R[x], con la base (infinita)
{1, x, x2 , . . .}; dire se la applicazione T definita da
T (p(x)) = p(x2 + 1)
è lineare e, nel caso, calcolare le coordinate di T (xn ) per ogni n rispetto alla
base sopra fornita.
Esercizio 17 Consideriamo lo spazio vettoriale R[x, y] e l’insieme
{1, x, y, x2 , y 2 , xy, x3 , y 3 , xy 2 , x2 y, . . .}
Si dimostri che questo è una base e si trovi la matrice associata a T in tale base,
dove T (p(x, y)) = p(y, x), ovvero T applicata ad un polinomio scambia tra loro
x e y.
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