Capitolo II

1
IL CONCETTO DI POTENZIALE
Argomento di questo capitolo è il concetto di lavoro in elettrostatica. Conviene
ricordare alcune delle considerazioni svolte sul concetto di lavoro in meccanica.
Abbiamo imparato nel corso di Meccanica che vi sono alcune forze, dette conservative, il cui lavoro non dipende dalla conoscenza della traiettoria del corpo,
ma solo dalle posizioni iniziali e finali, come per esempio la forza di gravitazione
universale, la forza peso e la forza elastica. Per tali forze, abbiamo definito
un’energia potenziale: Un punto materiale che si muove sotto l’azione di una
forza conservativa passa attraverso i diversi punti dello spazio cui è associato
un ben determinato valore della funzione energia potenziale, U (r). Il valore che
viene associato al generico punto rA è uguale al lavoro che la forza compie sul
punto materiale per spostarlo dal punto A ad un altro O, preso come punto di
riferimento per A e tutti gli altri punti dello spazio in cui agisce la forza. Allora
per le forze conservative è possibile definire la seguente funzione
U (rA ) ≡ U (A) = L (A → O)
(1)
Se B è un altro punto dello spazio
U (B) = L (B → O)
Scegliendo una traiettoria che vada da A a B, passando anche per O, possiamo scrivere
U (A)−U (B) = L (A → O)−L (B → O) = L (A → O)+L (O → B) = L (A → B)
(2)
cioè
L (A → B) = U (A) − U (B) ≡ −∆U
(3)
Il lavoro per spostare un punto materiale da A a B è, nel caso di forze
conservative, uguale alla variazione di energia potenziale cambiata di segno.
Passiamo al caso di campi elettrici. Supponiamo di avere un campo elettrico
E. La forza agente su di una carica di prova q è
F0 = qE
(4)
Se la forza è conservativa, possiamo associare ad ogni punto dello spazio ove
agisce il campo un’energia potenziale elettrostatica nel modo seguente:
Z 0
U (A) = LF0 (A → 0) = q
E · dr
(5)
A
dove 0 è il punto di riferimento sopra descritto. Si definisce potenziale in A
il lavoro fatto dal campo sulla carica unitaria.
R0
Z 0
q A E·dr
V (A) =
E·dr
(6)
=
q
A
1
Se si ha un secondo punto si avrà
V (B) =
Z
0
E·dr
B
e la differenza di potenziale tra i due punti sarà
V (B) − V (A) =
Z
0
E·dr−
B
Z
0
A
Nel prosieguo, sostituiremo dr con dl,
V (B) − V (A) = −
E·dr = −
Z
Z
B
E·dr
(7)
A
B
E·dl
(8)
A
Il vettore infinitesimo dl, è in ogni punto tangente ad una ”linea”, l che può
essere una traiettoria di una particella reale o un ipotetico percorso.
2
Il potenziale coulombiano
Abbiamo imparato nel capitolo precedente che le proprietà dello spazio intorno
ad una carica puntiforme sono determinate dalla conoscenza del campo elettrico
coulombiano in ogni punto dello spazio. Ora mostreremo che il metodo alternativo per avere informazioni sullo spazio in cui è presente un campo coulombiano
è conoscere il potenziale, ad esso associato, in ogni punto dello spazio. Lo scopo
di questo paragrafo è la determinazione dell’espressione di questo potenziale
coulombiano.
Proviamo a calcolare la differenza di potenziale tra due punti dello spazio
in cui è presente una carica puntiforme Q. In particolare, calcoliamo il secondo
membro della seguente relazione
V (B) − V (A) = −
Z
B
E·dl
A
nel caso di un campo generato la carica puntiforme Q è posta nell’origine
di un sistema di riferimento.
2
Sostituendo l’espressione del campo elettrico coulombiano, per una carica
posta nell’origine, nell’integrando della precedente relazione, avremo
V (B) − V (A) = −
Z
B
k0
A
Q
ur ·dl
r2
dove ur è il versore radiale del campo e dl è lo spostamento infinitesimo,
ovvero è un vettore tangente alla curva che rappresenta il percorso (reale o ideale) che stiamo esaminando. Il prodotto scalare ur ·dl rappresenta la componente
del vettore dl nella direzione radiale, vale a dire dr. Allora
V (B) − V (A) = −
Z
B
k0
A
¶¯B
¶
µ
µ
1
Q
1 ¯¯
1
dr=
−
k
Q
=
k
Q
−
−
0
0
r2
r ¯A
rB
rA
(1)
Notiamo subito che due punti che hanno la stessa distanza dalla carica Q hanno
lo stesso potenziale. Possiamo, più in generale, affermare che tutte le superfici
sferiche con centro sulla carica Q sono superfici equipotenziali per la carica Q.
Ricordando che il campo elettrico di una carica puntiforme è radiale, possiamo
concludere che il campo è sempre ortogonale alle superfici equipotenziali.
Assumeremo sempre che il potenziale sia nullo all’infinito (il punto di riferimento comune per tutti i punti è all’infinito ed in tale punto il potenziale è
zero)
V (B = ∞) = 0
(2)
Dalla (1) avremo
V (A) =
Z
∞
A
k0
Q
1
dr = k0 Q
r2
rA
Se la carica Q è negativa, avremo
3
(3a)
V (A) = −k0 Q
1
rA
(3b)
All’espressione
V0 (r) =
U (r)
=
q
Z
∞
A
k0
Q
Q
dr = ±k0
2
r
r
(4)
si dà il nome di potenziale coulombiano generato dalla carica Q, posta
nell’origine del sistema di riferimento. Il potenziale coulombiano, ad una distanza r dalla carica Q è uguale al lavoro fatto dalla forza coulombiana, generata
dalla carica Q su di un corpo di carica unitaria, per spostarlo da una distanza
r ad una distanza infinita dalla carica Q. Il segno coincide con il segno della
carica.
Il potenziale si misura in joule su coulomb e si chiama volt (V). Dalle precedenti equazioni si vede che il campo elettrico si può esprimere Volt su metro:
V
m
Se la carica non è posta nell’origine del sistema di riferimento
[E] =
ma occupa una posizione individuata dal vettore r0 e il potenziale deve calcolarsi nel punto P, il cui vettore posizione è r, allora il potenziale coulombiano
associato alla carica Q nel punto P si scrive
V0 (r) = ±k0
1
Q
Q
=±
4π 0 |r − r0 |
|r − r0 |
(5)
Notiamo subito che, essendo il campo elettrostatico coulombiano conservativo (per esso abbiamo potuto definire l’energia potenziale e poi il potenziale),
l’integrale di linea tra due punti qualsiasi non dipende dal percorso scelto per
connettere i due punti. In particolare, se il punto iniziale e quello finale coincidono, ovvero, se il percorso scelto è chiuso, l’integrale di linea è nullo:
4
I
E · dl = 0
(6)
Si dice che la circuitazione del campo coulombiano elettrostatico è nulla.
3
Il potenziale del campo uniforme e costante
Ci proponiamo di calcolare la differenza di potenziale tra due punti dello spazio
in cui è presente un campo elettrico uniforme e costante. Per ora non ci preoccuperemo di sapere quale distribuzione di cariche determina un tale campo
(vedremo che un tale campo si trova tra le piastre di un condensatore piano)
ma solo di studiarne le proprietà. Un campo elettrico uniforme e costante è un
campo che assume in una regione dello spazio sempre lo stesso valore, in modulo
direzione e verso.
Supponiamo che il nostro campo elettrico E sia diretto lungo l’asse z:
E =Euz
(7)
Abbiamo visto che la differenza di potenziale tra due punti, in uno spazio in
cui è presente un campo elettrico conservativo è
V (B) − V (A) = −
Z
B
E·dl
(8)
A
Notiamo che, per ogni spostamento ortogonale all’asse z (piani paralleli al piano
xy), si ha
Euz ·dl =0
(9)
Quindi, se i punti A e B si trovano su un qualunque piano parallelo al piano
xy avranno lo stesso valore del potenziale:
V (B) = V (A)
5
(10)
Si dice che i piani ortogonali all’asse z sono superfici equipotenziali. (In
generale, una superficie equipotenziale è una superficie su cui il potenziale elettrico ha lo stesso valore in ogni punto della superficie; inoltre, le linee di forza
del campo elettrico sono perpendicolari alle superfici equipotenziali in ogni loro
punto. Non rimane che calcolare la differenza di potenziale tra due punti dello
spazio nella direzione dell’asse z. Poiché
E =Euz
dl =dxuz
segue
V (B) − V (A) = −
Z
zB
zA
Euz ·dzuz = −
Z
zB
zA
Edz = −E
Z
zB
dz
zA
In definitiva,
V (B) − V (A) = −∆zE = E (zA − zB )
(11a)
Se si sceglie lo zero del potenziale in z = 0, il potenziale in un punto a quota
z 6= 0 sarà (V (B) = 0)
V (z) = −Ez
(11b)
La simililarità con il campo gravitazionale terrestre, cioè quello legato alla forza
peso F = M g, è marcata
V (z) = gz
4
Espressione cartesiana di potenziali coulombiani
La funzione V (r), cioè il potenziale coulombiano è un campo scalare in quanto
esso associa ad ogni punto dello spazio uno scalare.
Abbiamo visto che se una carica positiva Q non è più posta nell’origine degli
assi, ma si trova fissata in r0 , allora il potenziale generato da Q, in un punto r,
è
V (r) =
Q
1
4π 0 |r − r0 |
(12)
Se usiamo le coordinate cartesiane, possiamo scrivere esplicitamente
V (r) =
1
Q
q
4π 0
2
2
2
(x − x0 ) + (y − y 0 ) + (z − z 0 )
6
(13)
4.1
Numero N di cariche puntiformi
Se si ha un numero N di cariche puntiformi Qn , per il principio di sovrapposizione,
si potrà scrivere
V (r) =
N
1 X Qn
4π 0 n=1 |r − rn |
(14)
che utilizzando le coordinate cartesiane, è possibile esplicitare nella forma
V (r) =
5
N
1 X
Qn
q
4π 0 n=1
2
2
2
(x − xn ) + (y − yn ) + (z − zn )
(15)
Il dipolo elettrico e il suo momento
Due particelle cariche puntiformi che distano fra loro d e hanno carica opposta
costituiscono il dipolo elettrico (si pensi all’atomo di idrogeno con l’elettrone
supposto fermo; vogliamo studiare il campo prodotto da tale atomo, a grande
distanza da esso). Se Q è la loro carica, il vettore
dQ = Qd
(16)
diretto lungo la congiungente le due cariche e verso che va da −Q a +Q è
detto momento di dipolo elettrico.
Ci proponiamo di determinare il potenziale generato da tale distribuzione di
carica, a grande distanza dal luogo ove è localizzato il dipolo.
7
Assumeremo che il dipolo sia in prossimità dell’origine del sistema di riferimento. Nelle applicazioni pratiche il dipolo è posto proprio nell’origine (vedi
figura successiva). Dal principio di sovrapposizione e dalla figura precedente,
segue che
·
¸
1
Q
Q
V (r) =
(17)
−
4π 0 |r − (r0 + d)| |r − r0 |
¡ ¢−1/2
Poiché a−1 = a2
, e a2 = a · a , con a =(r − r0 ) − d , possiamo scrivere
0
−1
|(r − r ) − d|
0 −1
= |r − r |
"
1−
2 (r − r0 ) · d
(r − r0 )
2
+
d2
(r − r0 )
2
#−1/2
Al primo ordine, in |d| / |(r − r0 )| si può scrivere
"
#
(r − r0 ) · d
−1
0
0 −1
1+
|(r − r ) − d| = |r − r |
(r − r0 )2
(18)
Sostituendo tale espressione nella (17) e semplificando si ottiene
V (r) ∼
=
1 dQ · (r − r0 )
1 Qd · (r − r0 )
=
4π 0 |r − r0 |3
4π 0 |r − r0 |3
(19)
Supponiamo di porre il dipolo con il suo punto medio nell’origine e diretto lungo
l’asse z (vedi figura seguente).
8
Si avrà
V (x, y, z) ∼
=
1 dQ cos θ
1 dQ r cos θ
=
3
4π 0
r
4π 0 r2
(20)
che, in termini di componenti cartesiane, ricordando le espressioni di r e cos θ
p
z
r = x2 + y 2 + z 2
cos θ =
r
diventa
V (x, y, z) =
6
z
1
dQ
4π 0 (x2 + y 2 + z 2 )3/2
(21)
Potenziale a grande distanza da una distribuzione
puntiforme di cariche
Si supponga di avere una distribuzione di cariche puntiformi, localizzate in una
regione limitata dello spazio (un atomo con elettroni considerati fermi!).
9
Il potenziale si scriverà
"
µ 0 ¶2 #−1/2
N
N
2r · r0n
1 X Qn
rn
1 X Qn
1−
=
+
V (r) =
2
0
4π 0 n=1 |r − rn |
4π 0 n=1 r
r
r
(22)
Al primo ordine in (rn0 /r):
V (r) ∼
=
ovvero
V (r) ∼
=
1
4π 0
·
¸
N
1 X Qn
r · r0n
1+ 2
4π 0 n=1 r
r
PN
1 r·
n=1 Qn
+
r
4π 0
³P
N
n=1
r3
Qn r0n
´
(23)
Definendo il momento di dipolo del sistema
dQ,tot =
N
X
Qn r0n
(24)
n=1
arriviamo alla seguente espressione:
V (r) ∼
=
1 Qtot
1 dQ,tot · r
+
4π 0 r
4π 0
r3
(25)
Il potenziale generato da una distribuzione di carica localizzata in una regione
finita, a grande distanza da quest’ultima, è uguale alla somma del potenziale
generato da una carica puntuale posta nell’origine, di pari a quella totale della
distribuzione, più il potenziale di un dipolo elettrico pari al momento di dipolo
del sistema posto anch’esso nell’origine. Si badi che la distribuzione di carica
deve essere vicina all’origine del riferimento, perché valgano i risultati precedenti.
Il momento di dipolo del sistema dipende, in generale, dalla posizione dell’origine
della terna di assi di riferimento. Infatti, supponiamo che l’origine di un nuovo
sistema di riferimento sia spostata di b.
10
Il nuovo momento di dipolo del sistema sarà:
X
X
X
X
00
dQ,tot =
Qn r00n =
Qn (r0n − b) =
Qn r0n −
Qn b
n
n
n
n
Il generale, osserviamo che il momento di dipolo di un sistema dipende dal
riferimento che si sceglie. Tuttavia, se il sistema è neutro, cioé se
X
Qn = 0
n
avremo
00
dQ,tot =
X
Qn r00n =
n
X
0
Qn r0n = dQ,tot
n
Possiamo allora dire che nel caso di un sistema di cariche neutro, il momento di
dipolo è indipendente dal sistema di riferimento. In tal caso, il potenziale conterrà, come primo termine, il contributo dipolare, perché il termine coulombiano
è nullo:
V (r) ∼
=
7
1 dQ,tot · r
4π 0
r3
Dipolo in un campo elettrico esterno ed uniforme
Ora studieremo l’energia posseduta da un dipolo in un campo elettrico uniforme
esterno.
Supponiamo di avere un campo elettrico uniforme diretto lungo la direzione
dell’asse z.
E =Euz
(26)
Ricordiamo che tale campo è simile ad un campo gravitazionale terrestre
locale. Sappiamo che l’energia posseduta da un corpo di massa M1 , in un
campo gravitazionale è M1 gh1 e che quindi la sua energia potenziale dipende
dall’altezza h1 che il corpo occupa, rispetto alla superficie della Terra. Se abbiamo un altro corpo M2 ad un’altra altezza h2 , la sua energia sarà M2 gh2 .
L’energia del sistema delle due cariche dipenderà dalla posizione di entrambe.
Vedremo, nel caso elettrostatico, che l’esistenza delle cariche negative rende
l’energia del dipolo indipendente dalla posizione spaziale che occupa nel campo
uniforme. In altre parole, sebbene la forza coulombiana e quella gravitazionale
abbiano la stessa forma, la loro natura fisica è molto diversa.
11
Supponiamo che il dipolo non sia inizialmente orientato nella direzione del
campo esterno. Sia z0 la posizione del punto medio del dipolo e θ l’angolo
che il momento di dipolo forma con la direzione del campo (in questo caso con
l’asse z). Abbiamo mostrato che in un campo elettrico uniforme e diretto nella
direzione dell’asse z, il potenziale varia solo nella direzione del campo, quindi,
per determinare l’energia potenziale del dipolo nel campo esterno è sufficiente
dare le coordinate lungo l’asse z del dipolo. Se indichiamo con z− la coordinata z
della carica negativa e con z+ quella della carica positiva, entrambe si potranno
scrivere come segue:
d
d
cos θ
z+ = z0 + cos θ
(27)
2
2
Sappiamo che la differenza di potenziale tra due punti, la cui distanza lungo
l’asse z è ∆z, è
z− = z0 −
∆V = −E∆z
Allora, nel nostro caso, avremo
µ
¶ µ
¶
d
d
∆z = z0 + cos θ − z0 − cos θ = d cos θ
2
2
(28)
(29)
In definitiva, l’energia potenziale associata alla posizione del dipolo, posto
nel campo uniforme, sarà data da
U = Q∆V = −QdE cos θ = −dQ · E
(30)
Possiamo concludere dicendo che l’energia potenziale di un dipolo, in un
campo magnetico esterno e uniforme, non dipende dalla posizione del dipolo
nello spazio ma solo dalla orientazione del momento di dipolo rispetto alla direzione del campo.
Per avere un quadro più completo del sistema ”dipolo”, conviene esaminare
cosa succede alle forze che agiscono sul dipolo quando è immerso nel campo
esterno uniforme. Se il dipolo non è allineato con il campo, avremo due forze
uguali e di segno contrario che agiscono su ciascuna carica. Indicando con F+
12
e con F− le forze esercitate dal campo sulla carica positiva e negativa rispettivamente, troveremo
F+ =QEuz
F− = −QEuz
(31)
Pertanto, la risultante delle forze è nulla ma le due forze agiscono su due
cariche differenti. Il sistema è soggetto ad una coppia, il cui momento non
dipende dal polo rispetto al quale lo si calcola e il suo modulo è uguale all’intensità
della forza per il braccio. In maniera esplicita, avremo
τ = F d sin θ = QEd sin θ = dQ E sin θ
(32)
e in termini vettoriali
τ = dq ∧ E
(33)
Attraverso il momento della forza, il campo tende ad orientare nella sua
stessa direzione il momento di dipolo. Notiamo, inoltre, che se deriviamo,
rispetto alla variabile angolare, l’energia potenziale, associata al dipolo nel
campo esterno, U = −dQ E cos θ, troviamo proprio il momento della coppia
cui è soggetto il dipolo stesso:
d
d
(−dQ E cos θ) = −dQ E (cos θ) = dQ E sin θ = τ
dθ
dθ
Quindi, possiamo scrivere che
dU
dθ
Il momento tenderà ad allineare il dipolo con il campo.
τ=
8
(34)
Esempi
Esempio 1: Una sfera di massa M = 10−1 g e carica Q = 10−8 C è sospeso
ad un filo inestensibile e di massa trascurabile, in mezzo a due piani paralleli
verticali separati da una distanza d = 10cm. Calcolare la differenza di potenziale
che deve esserci tra i due piani affinché la sfera formi un angolo di 30◦ con la
verticale.
13
Il campo tra i due piani è
∆V
d
Sulla carica agiscono tre forze: la forza peso Fp , la forza elettrica generata dai
piani QE e la tensione del filo Fτ . All’equilibrio, si ha
E=
Fp + QE + Fτ = 0
Se si proietta tale equazione lungo la direzione ortogonale al filo si ottiene
−M g sin α + QE cos α = 0
da cui
M g tan α
∆V
=E=
Q
d
In definitiva,
∆V =
M g tan α
d
Q
Sostituendo i valori numerici si trova ∆V = 566V
14