Il dipolo elettrico
Dipolo
elettrico
Interazioni del dipolo elettrico
Sviluppo in serie di multipoli
Esempi
Dipolo elettrico
Due cariche puntiformi +q e –q distanti a
!
!
p = qa
"
q
1
q
1
q $ 1
1
$
VP =
! !
! =
! !
!
4!" 0 r! ! a 4!" 0 r! + a
4!" 0 $ r! ! a r! + a
$#
2
2
2
2
P
%
'
'
'
'&
P lontano a/r << 1
+q
θ
a er
-q
! !
! ! !
f (r + h) ! f (r ) + h " #f + """
r
! !
!
!
! ! 1 a ! er
1 a !1
1 a !1
! !
! " ( ! # $ ) ! ( + # $ ) = !a " # = 2
! a ! a
r
r 2
r
r 2
r
r
r!
r+
2
2
1
1
Dipolo elettrico
"
q $ 1
1
$
VP =
! !
!
4!" 0 $ r! ! a r! + a
$#
2
2
%
! !
! !
'
p
! er
q a ) er
'(
=
2
4!" 0 r 2
' 4!" 0 r
'&
! !
p ! er
V (r) =
4!" 0 r 2
Va a zero piu` rapidamente del
potenziale di una carica puntiforme
(+q, -q tendono a neutralizzarsi)
!
!
! $ p#e '
!
r
E = !" &
)
2
% 4!" 0 r (
1
∝ 3
r
Campo! elettrico del dipolo
! r
er =
! ! r'
!
!
!
$ p#r '
! $ p#e
!
1
r
=
!
"
& 3 )
E = !" &
)
2
4!" 0 % r (
% 4!" 0 r (
! ! ! 3
!
!
!
1 "( p # r )r ! 3r 2 ( p # r ) "r
=!
6
4!" 0
r
!
2 ! ! !
1 r p ! 3r ( p " r )er
=!
6
4!" 0
r
3
! ! !
!
!( p"r) = p
! ! !%
1 #!
=!
p ! 3( p " er )er &
3$
4!" 0 r
Campo elettrico del dipolo
z
P
p θ
e
r
r
Er
Eθ
!
!
• Giace nel piano individuato da p ed e r
−3
• Decresce con la distanza come r
!
! !
!
(
p
!
e
=
0)
• Nel piano mediano
E !" p
r
! !
• Lungo l asse del dipolo E ! p
!
• Negli altri casi mai parallelo a p
y
Campo elettrico del dipolo
!
!
!
p = pcos ! er ! psin ! e"
! !
p ! er = pcos !
! ! ! !
!
!
3( p ! er )er ! p = 2 pcos ! er + psin ! e!
z
P
p θ
e
r
r
Er
Eθ
y
Campo elettrico del dipolo
!
!
!
p = pcos ! er ! psin ! e"
! !
p ! er = pcos !
! ! ! !
!
!
3( p ! er )er ! p = 2 pcos ! er + psin ! e!
z
!
E(! = 0) =
θ
p
er
!
1
(2 p)er
3
4"# 0 r
θ = 0, π
asse del dipolo: campo radiale, // dipolo
y
Campo elettrico del dipolo
!
!
!
p = pcos ! er ! psin ! e"
! !
p ! er = pcos !
! ! ! !
!
!
3( p ! er )er ! p = 2 pcos ! er + psin ! e!
z
!=
p θ
e
r
" 3"
,
2 2
campo perpendicolare alla direzione
radiale, // dipolo
!
!
"
1
E(! = ) = !
pe z
3
2
4"# 0 r
y
Linee di forza ed
equipotenziali
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico
+q
!
a
!
E
Energia potenziale del dipolo
-q
! !
r +a
!
r
!
! !
!
!
!
!
U ( r ) = qV ( r + a ) +[!qV ( r )] = q "#V ( r + a ) !V ( r )$%
! ! !
! qa ! "V!( r )
!
p
!E
!
!
! !
U (r ) = " p # E
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico
!
p
!
E
Forza
!
qa =
! ! !
! ! !
! !
! ! !
! ! !
! !
! !
"
$
F = F ( r ) + F ( r + a ) = !qE( r ) + qE( r + a ) = q # E( r + a ) ! E( r )% " q a & '
(
!
! ! !
F = p!" E
(
)
! !
Fi = p ! " Ei = ( pk # k ) Ei
(
Anche da:
!
! ! !
! ! !
!
F = !"U = !"(! p # E) = "( p # E)
! !
!"E =0
)
!
E
!
p
! !
p ! E = pE
!
!
F = p!E
!
p
!
E
)
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico
!
p
!
E
Forza
! !
qa = p !
! ! !
! ! !
! !
! ! !
! ! !
! !
!
!
"
$
F = F ( r ) + F ( r + a ) = !qE( r ) + qE( r + a ) = q # E( r + a ) ! E( r )% " q a & ' E
(
! !
Fi = p ! " Ei = ( pk # k ) Ei
!
! ! !
F = p!" E
(
(
)
Anche!da: !
! ! !
!
! !
F = !!U = !! " p ! E = ! p ! E
! !
!"E =0
(
)
(
)
)
!
E
!
p
! !
p ! E = " pE
!
!
F = ! p"E
)
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico uniforme
!
!
La forza e` nulla: F = p!E
=0
Momento della forza:
! ! !
!
! !
M = r ! F"q + ( r + a ) ! F+q
! ! !
M = p! E
!
!
F±q = ±qE
Il momento fa ruotare il dipolo per
allinearlo al campo elettrostatico.
Minimo dell energia di interazione.
Dipolo elettrico in un campo
elettrostatico uniforme
E
p
! ! !
M = p! E
! !
!
!
!
!
p ! E = pez ! (E y e y + Ez ez ) = " pE sin ! e x
dU
M = pE sin ! = !
d!
(U = ! pE cos ! )
dW = Md! = !dU
Interazione tra due dipoli
Consideriamo il primo dipolo nel campo del
secondo, o viceversa: il problema e` simmetrico.
Energia di interazione
! !
U12 = ! p1 ! E2 = !
! r "3 # F ! r "4
! ! ! !
1 !
p ! 3( p2 ! er )er ! p2 )
3 1 (
4!" 0 r
! !
! ! ! !
1
U12 =
p ! p2 " 3( p1 ! er )( p2 ! er ) ) = U 21
3 ( 1
4!" 0 r
