Prefazione
La Matematica ha da sempre avuto una doppia natura. Da un lato essa risulta
essere uno strumento essenziale per la formalizzazione e lo sviluppo di tecniche
quantitative e qualitative nelle Scienze applicate e nell’Ingegneria. A questo proposito, e in modo dichiaratamente provocatorio, G.C. Rota affermava che “il fine
ultimo di ogni Scienza è diventare Matematica...”. D’altra parte questa Scienza
ha un profondo valore culturale e metodologico. Come sosteneva G.H. Hardy in
Apologia di un Matematico, “mi si potrà obiettare che la matematica non ne ha
alcun bisogno (di un’apologia) dato che, come tutti sanno, non esiste oggi una disciplina che sia ritenuta, a torto o a ragione, più utile o più degna di lode”.
Per la maggior parte degli studenti queste affermazioni risulteranno un pò azzardate. In ogni caso con la ridefinizione dei corsi di studi universitari si rischia
concretamente di ridurre i pochi insegnamenti di carattere matematico al solo ruolo di strumenti di supporto o, nel caso peggiore, a un formulario. D’altro canto
vi è una crescente necessità di Matematica e di strumenti tipici del linguaggio
matematico non solo in settori quali la fisica, l’ingegneria o l’informatica ma in
settori apparentemente “distanti” dalla matematica, quali la chimica, la biologia,
l’economia, l’architettura, la medicina o la sociologia.
Scopo del presente testo è la presentazione delle tecniche fondamentali del
Calcolo differenziale e integrale, dell’Algebra lineare, della Probabilità e della Statistica attraverso molti esempi pratici in modo da evitare una separazione tra
teoria e applicazioni. Per quanto è possibile ogni argomento è stato completato
da motivazioni ed esempi e, in qualche caso, da algoritmi numerici. In supporto
al testo vengono infatti forniti semplici esperimenti numerici, utilizzabili da quei
corsi che prevodono Laboratori, che tengono conto delle più recenti innovazioni
dovute all’uso dei calcolatori ed alla visualizzazione grafica.
Il principale sforzo degli autori è stato quello di realizzare un unico testo che possa
essere utilizzato per più corsi (ad esempio un corso di Istituzioni di Matematica
e un corso di Probabilità e Statistica, ma, come illustrato nel paragrafo successivo, sono possibili anche usi più selettivi nell’ambito dei nuovi Corsi di Laurea)
da diversi docenti, dando al docente la possibilità di scegliere il proprio percorso
didattico.
La struttura base del testo si compone in modo naturale di tre parti
• Calcolo differenziale in una variabile (Capitoli 1-6)
• Algebra lineare (Capitoli 7-10)
• Probabilità e Statistica (Capitoli 11-14)
x
Prefazione
Alcuni argomenti affrontati rappresentano degli approfondimenti rispetto ad un
classico corso di base. Per esempio nel Capitolo 4 si accenna a problemi di ottimizzazione, cosı̀ come nel Capitolo 5 viene presentato il metodo di Newton. Il
Capitolo 6 contiene inoltre una introduzione alle equazioni differenziali ordinarie.
Alcuni cenni sulle funzioni di più variabili sono contenuti nei Capitoli 5, 6 e 10.
In particolare, molti degli argomenti relativi alla Statistica sono stati presentati
“sul campo”, cercando di rendere operativo da subito lo studente. Lo stesso spirito ci ha fatto privilegiare la trattazione dell’Algebra lineare partendo da vettori
e matrici intesi come concetto algebrico astratto (approccio sempre più naturale
nell’ambito della scienza dei calcolatori) prima di introdurre il corrispondente geometrico. Da notare che abbiamo voluto accoppiare sia gli argomenti “classici” del
Calcolo differenziale e dell’Algebra lineare con quelli di base del calcolo delle Probabilità e della Statistica. Questa scelta è motivata dall’aumento della richiesta
di insegnamenti di Probabilità e Statistica in corsi di laurea diversi da quello di
Matematica. Pensiamo in particolare agli studenti dei corsi di laurea in Chimica,
Biologia o Farmacia o dei diplomi di Ingegneria.
Un ulteriore vantaggio rappresentato dall’avere un unico testo contenente materiale relativo a più corsi è dato dal fatto di potere presentare gli argomenti come
diversi aspetti di un’unica disciplina, evitando cosı̀ di fatto problemi legati alla
mancanza di collegamenti tra i vari corsi, alla propedeuticità, o più semplicemente
all’uso di diverse notazioni. Come già evidenziato molti esempi ed esperimenti
numerici sono sviluppati e suggeriti nel caso in cui ai singoli corsi siano affiancati
dei laboratori. Abbiamo scelto come linguaggio di programmazione MATLAB in
modo tale da poter usufruire di alcuni algoritmi di calcolo numerico e simbolico
senza la necessità di entrare in dettagli che fanno parte dei corsi di calcolo numerico o simili. Il materiale didattico relativo a MATLAB e le versioni dei laboratori
basate sui software Maple e Mathematica sono disponibili sul sito Web del libro
http://ww.ateneonline.it/naldi matematica
Desideriamo infine ringraziare tutti i colleghi che con i loro consigli e le loro
osservazioni hanno contribuito alla realizzazione di questo testo. In particolare:
Roberta Nibbi, Luigi Salmaso, Fausto Segala, Leonardo Colzani, Graziano Guerra, Silvia Braschi, Nicoletta Castellano, Paolo Pezzoni, Caterina May. Eventuali
errori e omissioni, come sempre, sono da imputarsi solamente agli autori.
Maggio 2003
Gli Autori
Consigli per l’uso
xi
Consigli per l’uso
Desideriamo fornire qualche consiglio per l’uso di questo testo nell’ambito dei corsi
di carattere matematico. Solitamente questi corsi si riducono a uno o due moduli
didattici nei primi due anni di corso e in alcuni casi si ha un ulteriore modulo al
terzo anno o durante la laurea specialistica. In questo contesto si è registrato un
notevole aumento di richieste di corsi con argomenti di Probabilità e Statistica
Matematica. Come già anticipato, riteniamo che un unico testo possa essere utile
per coprire le varie esigenze fornendo un “ambiente” di lavoro coerente nell’approccio, nelle notazioni, nella struttura.
Nel seguito riportiamo qualche “ricetta d’uso” per alcune tipologie di corsi di
base. Gli argomenti contrassegnati con un asterisco indicano il fatto di essere facoltativi (o perchè rappresentano possibili richiami di argomenti già svolti in altri
corsi o perchè rappresentano potenziali approfondimenti). All’interno dei paragrafi indicati il docente potrà poi ulteriormente raffinare la tipologia del corso, per
esempio scegliendo solo alcuni degli esempi riportati e saltando alcune dimostrazioni. È evidente che tali schemi, suggeriti dalle esperienze didattiche degli autori
nei diversi corsi di laurea, hanno carattere puramente indicativo.
Capitoli
Ist. Mat. I
Ist. Mat.
Mat. Appl.
Prob. Stat.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A
0.1-0.4
1.1-1.3
2.1-2.4, 2.5∗
3.1-3.4, 3.5∗
4.1-4.3, 4.4∗
5.1-5.4, 5.5∗
6.1∗ , 6.2∗
0.1-0.4
1.1-1.3
2.1-2.3,2.4.1
3.1-3.4
4.1,4.3,4.2∗
5.1-5.4,5.2.1∗ ,5.2.2∗ ,
0.1.1∗
1.1∗ ,1.3.2∗
2.1.1∗ , 2.3.1∗
0.1.1∗
9.1.1∗
A.1∗
7.1-7.2
8.1.1-8.1.2, 8.2
9.1.1∗
10.1
A.1∗
5.2∗
6.4, 6.2∗
6.1.1∗ , 6.2∗
11.1-11.2
12.1-12.2
13.1,13.2.1,13.3.1
14.1.1∗ ,14.4.1∗
10.3∗
11.1-11.2
12.1-12.2
13.1-13.3
14.1-14.4
Legenda: Ist. Mat. = Istituzioni di Matematica o Matematica, Mat.
Matematica Applicata, Prob. Stat. = Probabilità e Statistica.
Appl.
=
Inoltre un corso di Istituzioni di Matematica II che preveda solo un accenno
ad argomenti di calcolo in più variabili a discapito di elementi di probabilità potrebbe essere sviluppato tramite i capitoli 6, 7, 8, 9, 10 con 7.3, 8.1.4, 8.2.2, 9.1.5,
9.2.1, 9.2.2, 10.1 opzionali e scegliendo alcuni argomenti di base dai capitoli 11 e
12 (per esempio i paragrafi 11.1, 11.2.1, 11.2.2, 12.1.1, 12.1.2, 12.2, 12.3 senza dimostrazioni). Allo stesso modo è evidente come il testo possa essere utilizzato per
xii
Consigli per l’uso
un corso che prevede una parte di Algebra Lineare (capitoli 7,8,9,10) o di Statistica.
Chiaramente i laboratori corrispondenti possono essere svolti a scelta dal docente, per questo rimandiamo al relativo sito web già indicato nel precedente paragrafo. Concludiamo osservando che alla fine di ogni capitolo sono contenuti alcuni
esercizi di riepilogo. Gli esercizi contrassegnati con un asterisco sono da considerarsi come una sfida per gli studenti più motivati. Le soluzioni di molti esercizi
sono riportate alla fine del libro.
