Corrente ele)rica Cariche in movimento e legge di Ohm Corrente ele)rica • Nei metalli si possono avere elettroni che si muovono anche velocemente
fra un estremo e l’altro del metallo, ma la risultante istante per istante è
zero perché questi elettroni si muovono in modo totalmente casuale
(agitazione termica).
• Si può avere ancora corrente netta nulla se la somma delle cariche
positive e quella delle cariche negative procedono in direzione opposta
(caso degli elettroliti).
La corrente elettrica di cui parleremo è la corrente di cariche elettriche che
viaggiano in una sola direzione ed è frutto di una differenza di potenziale
applicato ai suoi estremi.
Se attraverso una sezione del
conduttore passa, nell’unità di
tempo una definita quantità di
carica allora
i = dq/dt
+
_
Definizione di corrente La quantità di carica che passa in un filo è data da:
q = ∫dq = ∫i dt
In regime stazionario, cioè se la corrente non varia nel tempo, in ogni
sezione di un conduttore tanti elettroni entrano e altrettanti ne escono
(conservazione della carica) 1A (ampere) = 1 C/s La corrente è pari
alla quantità di carica elettrica che passa nell’unità di tempo ed è una
grandezza scalare
Il verso della corrente è quello delle cariche positive che si muovono
dal + al - anche se in effetti le cariche mobili sono negative e vanno
dal – al +
Densità di corrente J = i/A Nella figura si nota che la quantità di cariche trasferite da un
estremo all’altro non varia. La densità di corrente è più alta dove
le linee sono più fitte.
La densità di corrente è data dal rapporto fra corrente i e sezione
del filo A
i = ∫j.dA
J = i/A
[ Am-2]
La velocità della corrente elettrica è vd
(velocità di deriva), può essere molto
piccola 10-5 - 10-4 m/s, anche se il moto
casuale dell’agitazione termica può
essere 106 m/s.
Relazione fra J e Vd Quale è la relazione fra la densità di corrente J e la vd ?
Ipotesi:
i) che tutte le cariche siano positive;
ii) che abbiano tutte la stessa velocità di deriva;
iii) che la densità sia uniforme.
Allora in un tratto di filo L ci saranno (nLA) portatori e la carica
varrà q = (nLA)e che transiterà attraverso il filo in un tempo
t = L/vd dando arigine ad una corrente ed ad una densità
q LAne
i= =
= nAev d
t
L vd
i
= J = ( ne )vd
A
Legge di Ohm R = V/i
[Ω] = [VA-1]
• Data una differenza di potenziale, la corrente che scorre in un
conduttore dipende dalla resistenza che il materiale offre al
passaggio di corrente V = Ri
• Un materiale obbedisce
alla legge di Ohm se il
valore della resistenza non
dipende dalla polarità della
d.d.p. applicata.
• Può succedere che un materiale abbia un comportamento come
quello del grafico a destra della figura; allora diremo che il materiale
ha una natura semiconduttrice
• L’andamento della resistività di un conduttore con la temperatura è
monotono (cresce se cresce la temperatura). Tuttavia in prossimità
dello zero assoluto la resistività dei metalli non diventa zero.
Resistenza e conducibilità
Conoscendo il valore della
conducibilità o della resistività di un
materiale si può risalire alla
resistenza che offre un tratto di filo di
quel materiale.
ρ=
E V L
=
J
i A
R=ρ
L
A
La resistività è data da:
ρ = E/J
[Vm-1/Am-2] = [Ωm]
In questa espressione non si tiene
conto della forma del materiale.
Si può parlare di conducibilità elettrica
ricordando che σ = 1/ρ ottenendo
J=σE
La potenza nei circuiA ele)rici Il simbolo della resistenza elettrica è quello di figura.
La batteria stabilisce una tensione costante V ai capi
del dispositivo a-b, con Va > Vb e la corrente che vi
scorre è costante e vale i, pertanto la quantità di carica
è dq = i dt
L’energia potenziale ai capi del dispositivo diminuisce
di
dU = dq V = idt V
questa energia si trasformerà, per esempio in calore, e
la potenza associata a questa trasformazione è
i
+
_
P=iV
[1VA] = 1W
Se il dispositivo è una resistenza avremo anche le relazioni
P = i2 R
o
P = V2/R
a
b
Semicondu)ori m
ρ= 2
e nτ
Nei conduttori non tutti gli elettroni n sono fortemente legati ai loro nuclei;
quelli più esterni sono molto debolmente legati e se sottoposti ad una piccola
d.d.p. si muoveranno da un polo all’altro
Negli isolanti non ci sono elettroni liberi e una grande ddp riesce a vincere la
rigidità dielettrica, ma non a spostare elettroni da un atomo all’altro.
I semiconduttori sono come gli isolanti, ma se sottoposti ad una grande
d.d.p. o se opportunamente drogati mettono alcuni elettroni in circolazione
offrendo comunque una grande resistenza.
Nei conduttori n è molto grande e non dipende dalla T, quindi all’aumentare
della temperatura aumenta il numero delle collisioni e diminuisce il tempo di
volo fra un urto e l’altro τ e conseguentemente la resistività ρ aumenta.
Nei semiconduttori n è piccolo e dipende da T, quindi all’aumentare della
temperatura ρ diminuisce
La superconduCvità (Kammerling Onnes 1911) I circuiA ele)rici Per far circolare una carica in un filo conduttore (dove la
disponibilità di elettroni è elevata) bisogna disporre di un
generatore di cariche. l’energia chimica di una batteria
muove le cariche positive da un potenziale negativo ad un
potenziale positivo. Se il circuito è aperto dopo un
transiente le reazioni chimiche non avvengono, se invece il
circuito è molto resistivo la batteria deve fare molto lavoro
per spostare l’elemento di carica da un punto all’altro del
circuito, quindi si scarica più facilmente
dL = E dq
con E forza elettromotrice
I circuiti elettrici a valle della sorgente elettrica risentono
di questo campo e se hanno cariche libere a disposizione
le vedono muoversi.
La f.e.m. [volt] è il lavoro che una sorgente compie per
portare una carica da un potenziale basso ad uno più alto
i
+
a
_
b
Leggi di Kirchhoff Per comprendere questo metodo dobbiamo definire
le legge dei nodi e delle maglie di “Kirchhoff”
Legge dei nodi ∑ i = 0 nei circuiti con più maglie
quando si incontrano tre o più rami si parla di nodo e
nei nodi la corrente deve essere zero (non ci
possono essere accumuli di carica o pozzi senza
fondo)
Legge delle maglie ∑ (iR + E) = 0 nel circuito di figura partendo da a
sarà VA – iR + E = VA à E = iR
Nei circuiti reali le sorgenti di f.e.m. non sono dispositivi con resistenza
nulla ma hanno una loro resistenza interna
E − ir − iR = 0
E
i=
R+r
Resistenze in serie • La resistenza equivalente di due o più
resistenze in serie è la somma delle
resistenze Req = ∑i Ri
• Se si vuole conoscere la ddp fra due
punti A e B si percorre il circuito da A fino a
B facendo la somma algebrica delle
cadute di tensione
• Siccome nelle sorgenti reali si ha una
resistenza interna r. La potenza erogata da
una batteria dovrà tenere conto della
perdita interna.
La ddp sia V = E – ir à P = i(E – ir) = iE - i2r
potenza disponibile
i2r è la potenza dissipata internamente al generatore
iE è la potenza erogata dal generatore
Resistenze in parallelo Nelle resistenze in parallelo si conosce la ddp ai capi di
ciascuna, ma non la corrente che vi circola attraverso,
quindi ciascun ramo avrà una corrente ij = V/Rj .
La corrente che deve essere erogata dalla batteria sarà
i = V (1/R1 +1/R2 …+ 1/Rn)
1
n 1
= ∑1
Req
Ri
Carica di un condensatore Con l’interruttore S in a il condensatore C si carica fino
al valore della f.e.m. E e la carica accumulata ai suoi
capi è q = EC . Quale è l’andamento nel tempo del
valori di i , q, Vc ?
Per la legge delle maglie E - iR – q/C = 0
R
dq q
+ =E
dt C
q = C E [1 – e -t/(RC)]
(fase di carica)
La corrente di carica è dq/dt = E/R [e - t/(RC)]
Da q = CV si può ricavare VC = E [1 – e -t/(RC)]
• Il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo, ed è
chiamata costante di tempo τ, ed è il tempo
necessario a caricare il condensatore fino al 63%
R
Scarica del condensatore V=E
C
In questo caso l’equazione della maglia sarà come quella della carica senza
termine noto ovvero:
R
dq q
+ =0
dt C
q = q0 e-t/RC
CV0
q0
I0 = q0/RC
37%
τ
2τ
q0 −t / RC
dq
i=
=−
e
dt
RC
τ
2τ
τ = RC dopo un tempo t il
condensatore si è scaricato
al 37%
