SOLUZIONI TEST D’INGRESSO 1. La risposta giusta e’: p 1/2 < 5/7 < 0.72 p infatti, considerando il quadrato dei numeri 3/5 e 1/2, si scrive 9/25 e 1/2; se moltiplichiamo il numeratore e il denominatore dei due numeri rispettivamente per 2 e per 25 si ha 9 18 1 25 = = , 25 50 2 50 p e visto che 18 < 25, cio’ permette di concludere che 3/5 < 1/2. p Procedendo nello stesso modo si prova che 1/2 < 5/7, infatti si ha 3/5 < 1 49 = 2 98 25 50 = . 49 98 Infine si ha 0.72 = 72/100 = 18/25 e 5/7 < 18/25 visto che 5/7 = 125/175 e 18/25 = 126/175 e che 125 < 126. 2. La risposta giusta e’ che i due numeri sono entrambi uguali a 1. Infatti dati due numeri a e b, la media aritmetica e’ (a + b)/2, deve quindi essere a+b 2 =1 a·b=1 dalla seconda equazione ricaviamo a = 1/b, che sostituita nella prima equazione da’ b2 − 2b + 1 = (b − 1)2 = 0 e questa equazione ha due radici coincidenti uguali a 1; quindi si ha a = b = 1. 3. La risposta giusta e’ −a2 < 0 sempre, infatti il quadrato di qualunque numero diverso da zero e’ sempre positivo e −a2 < 0 sempre. Se a ∈ R, a < 0, allora −a > 0 e la (b) non e’ detto sia corretta. Se −1 < a < 0 (ad es. a = −1/2) non e’ vero che 2a > a (-1 e’ minore di −1/2), quindi neanche la (c) vale sempre. Infine se 0 < a < 1 la (d) non vale; se ad es. e’ a = 1/4, si ha a2 = 1/16 < 1/4. 4. La risposta corretta e’ (−0.05)−3 = −8000. Infatti (−0.05)−3 = 1 100 3 = −( ) = −8000. −0.053 5 5. La risposta giusta e’ che 3/0 non e’ un numero, infatti non e’ mai possibile dividere per zero. 6. La risposta giusta e’ che il numero di bambini che mangia merendine e’ lo stesso in tutte e due le scuole dato che 40% = 0.4 = 4/10 = 2/5. 7. La risposta giusta e’ che l’uomo e’ dimagrito di circa 1 chilo e mezzo rispetto al peso iniziale infatti si ha che il 12% di 115 vale 13.8, quindi, per la dieta, l’uomo dimagrisce raggiungendo il peso di 101.2 chili. Visto che il 12% di 101.2 e’ 12.144, l’uomo ingrassa fino a 113.344 chili. Visto che 115-113.344=1.656, l’uomo e’ complessivamente dimagrito di un piu’ di 1 chilo e mezzo. 1 8. La risposta corretta e’ F = 6L, infatti per ogni larice si osservano 6 faggi (se i larici sono 2 si osservano 12 faggi e cosi’ via). 9. La risposta corretta e’ ” V’ e’ circa 15 volte e mezzo piu’ grande di V”. Infatti il volume di una sfera di raggio R vale V = 4πR3 /3, quindi se il raggio vale R0 = 5R/2, il volume sara’ V 0 = 4π(5R)3 /(3·22 ) = V ·(125/8) = V ·15.625. 10. La risposta giusta e’ (24 + 30) cm2 . Infatti la superficie laterale del cubo di lato L0 vale 6(L0 )2 = 6(L + 1)2 = 6L2 + (12L + 6) e, tenendo conto del fatto che L = 2, 12L + 6 = 30, si ha il risultato. √ 11. La risposta corretta e’ y = 3/2, infatti se il punto appartiene alla circonferenza, il triangolo che ha per cateti le coordinate di P e’ rettangolo e l’ipotenusa e’ il raggio, che vale 1. Il teorema di Pitagora afferma che x2 + y 2 = 1, cioe’ 1 − 1/4 = y 2 e tenuto √ conto del fatto che il punto si trova nel primo quadrante si deve avere y = 3/2. 12. La risposta giusta e’ |OP | = 5 visto che |OP | e’ l’ipotenusa del traingolo rettangolo √ che ha le coordinate di P come cateti. Dal teorema di Pitagora risulta |OP | = 16 + 9 = 5. 13. La risposta giusta e’ che x = 4 e’ una delle soluzioni. Infatti la disequazione x + 2 > 3 ha come soluzioni tutti i valori di x che soddisfano la relazione x > 1 e quindi x = 4 e’ uno di questi valori. 14. La disequazione a2 + 2 > 0 per ogni scelta di a. Infatti comunque si scelga il numero a si ha a2 ≥ 0 (a2 = 0 se a = 0) e quindi a2 + 2 deve necessariamente essere sempre positivo. 15. La risposta giusta e’ b2 + 3a = 0. Infatti un’equazione di secondo grado ha radici coincidenti se il discriminante e’ nullo. In questo caso il discriminante vale ∆ = 4b2 − 4a(−3a) = 4(b2 + 3a). 16. Si ha − log 2 = log 2−1 = log(1/2). 17. La soluzione dell’equazione e’ x = 5. Infatti, per le proprieta’ dei logaritmi si puo’ scrivere log(x + 1) = log(2(x − 2)) = log(2x − 4) e i due logaritmi sono uguali se lo sono i loro argomenti, quindi se x + 1 = 2x − 4. Questa equazione di primo grado ha soluzione x = 5. 18. La risposta corretta e’ che la concentrazione H + del succo di limone e’ molto + maggiore di quella del sangue. Infatti se phlimone = 2.3 = − log Hlimone = + log(1/Hlimone ), si ha + Hlimone = 1/102.3 , mentre + Hsangue = 1/107.4 . 19. L’equazione 10x+1 = 2 ha soluzione x = log 2 − 1 infatti e’ equivalente alla relazione x + 1 = log 2. 20. Per raggiungere il volume di 50 microgrammi il microrganismo impiega poco piu’ di 3 ore. Se infatti il volume raddoppia ogni ora, si ha V (1) = 2V (0) = 10, 2 V (2) = 2V (1) = 20, V (3) = 2V (2) = 40 e V (4) = 2V (3) = 80. Meglio: la legge che descrive la crescita del volume e’ V (t) = V (0)2t = 5 · 2t , quindi si ha 50 = 5 · 2t cioe’ 2t = 10 per t = log2 10 ≈ 3. 3