SOLUZIONI TEST D`INGRESSO 1. La risposta giusta e`: 3/5 < √1/2

SOLUZIONI TEST D’INGRESSO
1. La risposta giusta e’:
p
1/2 < 5/7 < 0.72
p
infatti, considerando il quadrato dei numeri 3/5 e 1/2, si scrive 9/25 e 1/2; se
moltiplichiamo il numeratore e il denominatore dei due numeri rispettivamente
per 2 e per 25 si ha
9
18
1
25
=
=
,
25
50
2
50
p
e visto che 18 < 25, cio’ permette di concludere
che
3/5
<
1/2.
p
Procedendo nello stesso modo si prova che 1/2 < 5/7, infatti si ha
3/5 <
1
49
=
2
98
25
50
=
.
49
98
Infine si ha 0.72 = 72/100 = 18/25 e 5/7 < 18/25 visto che 5/7 = 125/175 e
18/25 = 126/175 e che 125 < 126.
2. La risposta giusta e’ che i due numeri sono entrambi uguali a 1. Infatti dati
due numeri a e b, la media aritmetica e’ (a + b)/2, deve quindi essere
a+b
2 =1
a·b=1
dalla seconda equazione ricaviamo a = 1/b, che sostituita nella prima equazione
da’ b2 − 2b + 1 = (b − 1)2 = 0 e questa equazione ha due radici coincidenti uguali
a 1; quindi si ha a = b = 1.
3. La risposta giusta e’ −a2 < 0 sempre, infatti il quadrato di qualunque numero
diverso da zero e’ sempre positivo e −a2 < 0 sempre.
Se a ∈ R, a < 0, allora −a > 0 e la (b) non e’ detto sia corretta. Se −1 < a < 0
(ad es. a = −1/2) non e’ vero che 2a > a (-1 e’ minore di −1/2), quindi neanche
la (c) vale sempre.
Infine se 0 < a < 1 la (d) non vale; se ad es. e’ a = 1/4, si ha a2 = 1/16 < 1/4.
4. La risposta corretta e’ (−0.05)−3 = −8000. Infatti
(−0.05)−3 =
1
100 3
= −(
) = −8000.
−0.053
5
5. La risposta giusta e’ che 3/0 non e’ un numero, infatti non e’ mai possibile
dividere per zero.
6. La risposta giusta e’ che il numero di bambini che mangia merendine e’ lo
stesso in tutte e due le scuole dato che 40% = 0.4 = 4/10 = 2/5.
7. La risposta giusta e’ che l’uomo e’ dimagrito di circa 1 chilo e mezzo rispetto
al peso iniziale infatti si ha che il 12% di 115 vale 13.8, quindi, per la dieta,
l’uomo dimagrisce raggiungendo il peso di 101.2 chili. Visto che il 12% di 101.2
e’ 12.144, l’uomo ingrassa fino a 113.344 chili. Visto che 115-113.344=1.656,
l’uomo e’ complessivamente dimagrito di un piu’ di 1 chilo e mezzo.
1
8. La risposta corretta e’ F = 6L, infatti per ogni larice si osservano 6 faggi (se
i larici sono 2 si osservano 12 faggi e cosi’ via).
9. La risposta corretta e’ ” V’ e’ circa 15 volte e mezzo piu’ grande di V”.
Infatti il volume di una sfera di raggio R vale V = 4πR3 /3, quindi se il raggio
vale R0 = 5R/2, il volume sara’ V 0 = 4π(5R)3 /(3·22 ) = V ·(125/8) = V ·15.625.
10. La risposta giusta e’ (24 + 30) cm2 . Infatti la superficie laterale del cubo di
lato L0 vale 6(L0 )2 = 6(L + 1)2 = 6L2 + (12L + 6) e, tenendo conto del fatto che
L = 2, 12L + 6 = 30, si ha il risultato.
√
11. La risposta corretta e’ y = 3/2, infatti se il punto appartiene alla circonferenza, il triangolo che ha per cateti le coordinate di P e’ rettangolo e l’ipotenusa
e’ il raggio, che vale 1. Il teorema di Pitagora afferma che x2 + y 2 = 1, cioe’
1 − 1/4 = y 2 e tenuto
√ conto del fatto che il punto si trova nel primo quadrante
si deve avere y = 3/2.
12. La risposta giusta e’ |OP | = 5 visto che |OP | e’ l’ipotenusa del traingolo
rettangolo
√ che ha le coordinate di P come cateti. Dal teorema di Pitagora risulta
|OP | = 16 + 9 = 5.
13. La risposta giusta e’ che x = 4 e’ una delle soluzioni. Infatti la disequazione
x + 2 > 3 ha come soluzioni tutti i valori di x che soddisfano la relazione x > 1
e quindi x = 4 e’ uno di questi valori.
14. La disequazione a2 + 2 > 0 per ogni scelta di a. Infatti comunque si scelga
il numero a si ha a2 ≥ 0 (a2 = 0 se a = 0) e quindi a2 + 2 deve necessariamente
essere sempre positivo.
15. La risposta giusta e’ b2 + 3a = 0. Infatti un’equazione di secondo grado
ha radici coincidenti se il discriminante e’ nullo. In questo caso il discriminante
vale ∆ = 4b2 − 4a(−3a) = 4(b2 + 3a).
16. Si ha − log 2 = log 2−1 = log(1/2).
17. La soluzione dell’equazione e’ x = 5. Infatti, per le proprieta’ dei logaritmi
si puo’ scrivere log(x + 1) = log(2(x − 2)) = log(2x − 4) e i due logaritmi sono
uguali se lo sono i loro argomenti, quindi se x + 1 = 2x − 4. Questa equazione
di primo grado ha soluzione x = 5.
18. La risposta corretta e’ che la concentrazione H + del succo di limone e’ molto
+
maggiore di quella del sangue. Infatti se phlimone = 2.3 = − log Hlimone
=
+
log(1/Hlimone ), si ha
+
Hlimone
= 1/102.3 ,
mentre
+
Hsangue
= 1/107.4 .
19. L’equazione 10x+1 = 2 ha soluzione x = log 2 − 1 infatti e’ equivalente alla
relazione x + 1 = log 2.
20. Per raggiungere il volume di 50 microgrammi il microrganismo impiega poco
piu’ di 3 ore. Se infatti il volume raddoppia ogni ora, si ha V (1) = 2V (0) = 10,
2
V (2) = 2V (1) = 20, V (3) = 2V (2) = 40 e V (4) = 2V (3) = 80. Meglio:
la legge che descrive la crescita del volume e’ V (t) = V (0)2t = 5 · 2t , quindi si
ha 50 = 5 · 2t cioe’ 2t = 10 per t = log2 10 ≈ 3.
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