ist. di matematica i [ae] - Dipartimento di Matematica

I ST.
DI
M ATEMATICA I
[A-E]
4. Lezione
lunedı̀ 10 ottobre 2016
4.1. Funzioni.
Sono funzioni tutti i procedimenti di calcolo di cui ci serviamo in numerose
occasioni: esse coinvolgono
• un valore da assegnare,
• un procedimento di calcolo sul valore assegnato,
• un risultato.
Il valore assegnato si indica con una lettera, generalmente x,
il procedimento di calcolo si indica con un’altra lettera, per esempio f
e il risultato del procedimento f eseguito sul numero assegnato x si indica
con f (x).
E SEMPIO 4.1. Il procedimento di elevazione al quadrato è una funzione f
f:
x 7→ x2
Le varie funzioni, cioè i vari procedimenti, possono essere assegnati su
alcuni valori e non su altri: per esempio il procedimento
1
x
è definito solo sui valori x 6= 0: si dice in tal caso che la funzione g assegnata è definita su R − {0} e tale insieme prende il nome di dominio della
funzione.
g : x 7→
Il dominio di una funzione può essere assegnato direttamente
Sia f la funzione che ad ogni x ∈ [0, 1] fa corrispondere
il risultato f (x) = 3x
cioè considero il procedimento di triplicazione limitatamente ai numeri x di
quell’intervallo.
Oppure, caso più frequente, il dominio dipende dalla eseguibilità del procedimento da eseguire
Sia h la funzione
che fa corrispondere ad x la sua radice
√
quadrata x
2
È evidente che tale procedimento è eseguibile solo sui numeri x maggiori o
uguali a zero.
Il dominio della funzione h sarà pertanto l’insieme dei numeri maggiori o
uguali a zero.
NOTA: Una funzione puó servirsi di differenti procedimenti a seconda dei
differenti valori x che vengono assegnati.
Ad esempio consideriamo la funzione f che calcola
• se x ≤ 0
• se x > 0
f (x) = 3x
f (x) = x2
4.2. Il grafico. Si tratta di uno strumento di informazione su una funzione (un procedimento di calcolo):
• per ogni x del dominio della funzione f
• si calcola il corrispondente risultato f (x)
• si segna sul piano cartesiano il punto di coordinate (x, f (x)).
Il grafico, tutti i punti (x, f (x)) al variare di x nel dominio della funzione, è
un disegno sul piano cartesiano.
Esistono attualmente molti software, liberi, che permettono di disegnare il
grafico di moltissime funzioni: ad esempio
• http://www.wolframalpha.com/
• https://www.geogebra.org/
• http://gnuplot.sourceforge.net/
4.3. Polinomi.
Le prime e più importanti funzioni da considerare sono i procedimenti
polinomiali di cui elenchiamo ovvi esempi
• f : x 7→ 3x + 5, f (x) = 3x + 5
• g : x 7→ x2 + 1, g(x) = x2 + 1
• h : x 7→ x3 , h(x) = x3
È necessario impratichirsi, a partire dagli esempi proposti, di tali funzioni polinomiali: le prime hanno grafici rette, le seconde parabole, le terze
cubiche.
Familiarizzate con esse tramite http://www.wolframalpha.com/.
E SEMPIO 4.2. Determinare la funzione che ha come grafico la retta passante per A = (−1, −6) e B = (3, 2).
4. LEZIONE
3
Si tratta di una f (x) = ax+b che verifichi le condizioni f (−1) = −6, f (3) =
2, quindi
−a + b = −6
→ a = 2, b = −4
3a + b = 2
f (x) = 2x − 4
E SEMPIO 4.3. Sia f (x) =
x = 2, x = 1, x = 0 sono

 f (2)
f (1)

f (0)
2x2 − 3x + 1: i valori della funzione negli
= 2 ∗ 22 − 3 ∗ 2 + 1 = 3
= 2 ∗ 12 − 3 ∗ 1 + 1 = 0
= 2 ∗ 02 − 3 ∗ 0 + 1 = 1
f (2 + h) = 2 ∗ (2 + h)2 − 3 ∗ (2 + h) + 1 = 2 ∗ (4 + 4h + h2 ) − 3 ∗ (2 + h) + 1
f (2 + h) = 2h2 + 5h + 7
4.4. La fattorizzazione.
Le funzioni (i procedimenti) polinomiali, e non solo, possono, a volte,
presentarsi sotto forma di prodotti.
E SEMPIO 4.4.
f (x) = x2 − 5x + 4
= (x − 4)(x − 1)
3
2
g(x) = x − 3x + 3x − 1
= (x − 1)3
h(x) = x3 − 7x2 + 16x − 10 = (x − 1)(x2 − 6x + 10)
La fattorizzazione è particolarmente interessante per determinare i valori x0
in cui una funzione si annulla, ovvero f (x0 ) = 0.
Infatti la legge di annullamento dice che un prodotto è nullo se e solo se è
nullo uno dei fattori.
Quindi l’equazione
x3 − 7x2 + 16x − 10 = 0
ha come radici quelle che annullano uno (almeno) dei due fattori
(x − 1) = 0,
(x2 − 6x + 10) = 0
(che abbiamo avuto la fortuna di conoscere sopra.)
4.5. Funzioni razionali.
Le funzioni razionali corrispondono a procedimenti che includono, oltre i
calcoli di polinomi, divisioni.
È evidente quindi che, sovente le funzioni razionali non saranno definite
in corrispondenza ai valori x rispetto ai quali qualcuna delle divisioni da
eseguire presentasse un denomiknatore nullo.
Elenchiamo ovvi esempi di funzioni razionali:
• f : x 7→ 1x , f (x) = 1x
4
• g : x 7→ x21−1 , g(x) = x21−1
x+1
, h(x) = x+1
• h : x 7→ x−1
x−1
Provate a familiarizzare con esse tramite http://www.wolframalpha.com/.
4.6. Funzioni trigonometriche.
Le funzioni trigonometriche sono essenzialmente le tre funzioni
seno, coseno e tangente
I procedimenti che le definiscono sono quelli leggibili sulla circonferenza
goniometrica (centro l’origine O e raggio r = 1):
coseno e seno sono le ccordinate dei punti P di tale circonferenza, il valore
x da assegnare è la misura, in radianti, dell’angolo tra l’asse delle ascisse e
il segmento OP:
P = (cos(x), sin(x))
Questa lettura consente di riconoscere che
−1 ≤ sin(x) ≤ 1, cos2 (x) + sin2 (x) = 1
sin(x)
La tangente è il quoziente tan(x) =
.
cos(x)
Nella scuola secondaria sono generalmente proposte, sotto il titolo Trigonometria numerose formule che collegano fra loro le funzioni trigonometriche.
È bene non dimenticare:
• i legami in un triangolo rettangolo tra cateti, ipotenusa e funzioni
trigonometriche degli angoli del triangolo,
• le relazioni sulle somme e/o differenze sin(α ± β ), cos(α ± β )
• le relazioni di duplicazione sin(2α), cos(2β ).
È particolarmente importante familiarizzare con i grafici delle funzioni
−1 ≤ cos(x) ≤ 1,
sin(n x),
sin(x + α),
A sin(x) + B cos(x)
al variare dei parametri n, α, A, B introdotti.