Teorema del momento angolare
Enuncia il teorema del momento angolare, soffermandoti in particolare sul caso in cui il momento
angolare si conserva. Fornisci un esempio in cui il momento angolare di un punto materiale / corpo
rigido / sistema di corpi si conserva, e uno in cui non si conserva.
Punto materiale
Si consideri un punto materiale in moto rispetto ad un centro O, rispetto al quale presenta un certo momento
~ Se sul punto materiale, per un intervallo di tempo ∆t, agiscono delle forze che esercitano complessivaangolare1 L.
~ tot , allora il momento angolare del punto materiale varia, in maniera direttamente
mente un momento della forza2 M
proporzionale a Mtot e a ∆t:
~ =M
~ tot · ∆t.
∆L
~ tot = 0), allora L
~ si conserva
In particolare, se il momento delle forze che agiscono sul punto materiale è nullo3 (M
come si vede da semplici passaggi algebrici ricavati dalla formula precedente:
~ =0
∆L
⇒
~1 = L
~2
L
~ della particella è l’analogo, in dinamica rotazionale, della quantità di moto ~q. L
~ dipende
Il momento angolare L
infatti dalla massa m della particella, dalla sua velocità ~v e (a differenza di ~q) anche dalla distanza ~r a cui si
trova la particella da O, e dall’angolo θ tra ~v e ~r. Il teorema afferma semplicemente che, se su questa particella
~ tot diverso da zero, allora queste modificano il momento angolare L
~
agiscono forze che esercitano un momento M
della particella (potrebbero quindi modificarne la velocità ~v , oppure ~r o θ). Se invece il momento delle forze che
agiscono sulla particella fosse nullo (quindi (a) non ci sono forze o si bilanciano cioè F = 0, oppure (b) la retta su
cui agiscono passa per O cioè r = 0, oppure (c) la retta su cui agiscono è parallela ad ~r cioè sin θ = 0), allora la
~ Ciò non vuol dire che mantenga necessariamente la stessa distanza
particella mantiene il suo momento angolare L.
~
~r da O o la stessa velocità ~v : tali grandezze possono variare, ma in modo tale da lasciare inalterato il valore di L.
• Ad esempio, si consideri un satellite in orbita circolare attorno alla Terra. Sia ~r1 il raggio dell’orbita, e
~v1 la sua velocità (perpendicolare a ~r1 ). Possiamo dire che il satellite ha un momento angolare pari a
~ 1 = ~r1 × ~q1 = ~r1 × (m · ~v1 ) rispetto alla Terra. Supponiamo che ad un certo punto e per un intervallo di
L
tempo ∆t venga esercitata una forza F~ sul satellite, diretta perpendicolarmente a ~r1 (ad esempio, potremmo
supporre che il satellite sia stato spinto da un sistema di propulsione). Possiamo dire che la forza è responsabile
~ = ~r × F~ . Per effetto di questo momento della forza
di un momento della forza, rispetto alla Terra, pari a M
~
~
M , il momento angolare L1 del satellite cambia (potrebbe quindi cambiare4 il raggio dell’orbita ~r2 o la sua
velocità ~v2 ), e il cambiamento è descritto dall’equazione:
~ =M
~ tot · ∆t.
∆L
• Si consideri ora un satellite in orbita ellittica attorno alla Terra. Siano ~r1 e ~v1 la distanza del satellite dalla
Terra e la sua velocità in un certo punto della sua orbita. Possiamo dire che in questo punto il satellite ha
~ 1 = ~r1 × ~q1 = ~r1 × (m · ~v1 ) rispetto alla Terra. Sul satellite agisce la forza
un momento angolare pari a L
~
di attrazione F da parte della Terra. Tale forza però produce, rispetto alla Terra, un momento della forza
~ = ~r1 × ~v1 pari a zero: infatti la forza di attrazione è una forza centrale (è diretta verso la Terra, quindi
M
θ = 0). Siamo allora nelle condizioni adatte per poter dire che il momento angolare del satellite si conserva.
Ciò significa che, se osserviamo il satellite in un altro punto della sua orbita (in cui la distanza dalla Terra è
~ 2 è uguale a L
~ 1 . Il satellite può aver cambiato5 la sua distanza
~r2 e la velocità ~v2 ), il suo momento angolare L
dalla Terra ~r2 e la sua velocità ~v2 , ma sempre in modo che:
~1 = L
~ 2.
L
~ =~
~ =I ·ω
che L
r × q~ = ~
r × (m · ~v ) oppure L
~ , e che L = r · m · v · sin θ oppure L = I · ω = m · r2 · ω).
~ =~
~ , e che M = r · F sin θ.
che M
r×F
3 Ricordiamo che M
~ tot = 0 se la somma dei momenti di tutte le forze che agiscono sul punto materiale è zero, oppure - nel caso in
~ agisce su O), oppure se F = 0 (cioè la forza è nulla), oppure se
cui agisca una singola forza - se r · F · sin(θ) = 0, cioè se r=0 (cioè F
~ è parallela a ~
θ = 0 (cioè se F
r).
4 Si possono determinare r e v tenendo in considerazione anche la conservazione dell’energia, oltre al teorema del momento angolare.
2
2
5 Si possono determinare r e v tenendo in considerazione anche la conservazione dell’energia, oltre alla conservazione del momento
2
2
angolare.
1 Ricordiamo
2 Ricordiamo
1
Corpo rigido
Si consideri un corpo rigido in rotazione rispetto ad un certo asse, rispetto al quale presenta un certo momento
~ Se sul corpo rigido, per un intervallo di tempo ∆t, agiscono delle forze che esercitano complessivaangolare6 L.
~ tot , allora il momento angolare del corpo rigido varia, in maniera direttamente
mente un momento della forza M
proporzionale a Mtot e a ∆t:
~ =M
~ tot · ∆t.
∆L
~ tot = 0), allora L
~ si conserva come
In particolare, se il momento delle forze che agiscono sul corpo rigido è nullo (M
si vede da semplici passaggi algebrici ricavati dalla formula precedente:
~ =0
∆L
⇒
~1 = L
~2
L
• ...
• ...
Sistema di corpi
Si consideri un sistema di corpi, ciascuno di essi in moto rispetto ad un centro O, rispetto al quale presentano
~ A1 , L
~ B1 , . . .. Si consideri il momento angolare del sistema:
momenti angolari L
~ sist1 = L
~ A1 + L
~ B1 + . . . .
L
Se su tutti i corpi, per un intervallo di tempo ∆t, agiscono delle forze esterne che esercitano complessivamente un
~ est , allora il momento angolare sistema varia, in maniera direttamente proporzionale a Mest
momento della forza M
e a ∆t:
~ sist = M
~ est · ∆t.
∆L
~ est = 0), allora L
~ sist
In particolare, se il momento delle forze esterne che agiscono sul punto materiale è nullo (M
si conserva come si vede da semplici passaggi algebrici ricavati dalla formula precedente:
~ sist = 0
∆L
⇒
~ sist1 = L
~ sist2
L
cioè
~ A1 + L
~ B1 + . . . = L
~ A2 + L
~ B2 + . . .
L
• ...
• ...
6 Ricordiamo
~ =Iω
che L
~ e che L = I · ω, con I che dipende dalla geometria del corpo.
2
